Transcript Document
1
یزرم ناملا شور Boundary Element Method
رفسایرد دیون
2
: زا دنترابع شور نیا یایازم .
دنک یم هدافتسا یزرم لارگتنا تلاداعم زا عقاو رد BEM شور لئا سم دروم رد اصوصخم،تسا رت قیقد لیلد نیمه هب و تسا یلیلحت همین شور کی یزرم ناملا شور : تقد .
راشف مکارت هب طوبرم لیلد هب دود حمان هنماد یاراد لئاسم ای و یدعب هس لئاسم یارب یزرم ناملا هکبش دیلوت : یزاس لدم رد ندوب دم اراک .
تسا رتناس ا رایسب یزرم لارگتنا تلاداعم شور رد داعبا شهاک 3
FEM
و
BEM
یاه شور هسیاقم
و اه یگژیو یلک لیلحت تهج FEM عیرس لح • بسانم • یکیناکم گرزب یاه یطخریغ متسیس لئاسم • قتشم ساسارب نراقتم یاه درکیور • سیرتام • راشف مکارت هکبش لئاسم دودحمان نراقتمان عیرس BEM دیلوت • یارب هنماد یاه اب یلارگتنا بسانم • لئاسم • درکیور • سیرتام • 4
BEM
یارب هاتوک یا هچخیرات
5
BEM
و
FEM
نایم هسیاقم کی
) زا شیب یثلثم دودح تباث م ناملا رصانع ( شور تباث اب .
حطس مینک یم رصنع هدافتسا 42000 یترارح دودح لیلحت طقف یزرم و هیزجت ناملا یارب شور اب روتوم یلو کولب تسا کی هتفر زا راکب لاثم ناونع رصنع هب 363000 .
تسا هدش هتفرگ راکب
BEM (42,169 surface elements) FEM (363,180 volume elements)
6
7
لیسناتپ لئاسم
2 2
x
2 2
y
2 0 : یدعبود سلاپلا هلداعم (
p
,
Q
) 1 2 ln : زا
r
تسترابع (
p
1 ,
Q
) p رد عبنم زکرمتم هطقن کی یارب یدعبود سلاپلا هلداعم یساسا لح هار
r
(
p
,
Q
)
X p
x Q
2
Y p
y Q
2 8
A
2 2
dA
n
n
d
.
دنا هتسویپ مود و لوا هبترم تاقتشم = هطقن ره رد هتخانشان لیسناتپ = هطقن ره رد هدش هتخانش یساسا لح هار ینوریب لامرن دحاو = لامرن تهج رد قتشم =
n
n
= , : نیرگ مود هصخشم زا هدافتسا 9
THE 2D POTENTIAL PROBLEM
.
ε عاعش هب کچوک .
دنک هریاد یم یسررب کی ε هلیسوب 0 یارب هدش ار لح هطاحا هار سپس p (A – Aε ) دیدج هقطنم (Γ + Γε ) دیدج زرم
A
A
2 (A – Aε) هیحان رد 2
dA
2 0
n
n
d
& 2 0 .
تسا رفص نونکا هلداعم تسار تمس نینچمه و پچ تمس 10
THE 2D POTENTIAL PROBLEM
0
n
n d
n
n
d
d
d
: هک میراد : هک تیعقاو نیا زا هدافتسا اب
n
r
r
.
n
1 2
r
11
THE 2D POTENTIAL PROBLEM
n
n d
1 2 0 2 1 1 2 ( 2 ) 1 .
ln 1
n
d
C
(
P
) 1 / 1 0 2 Evaluated with p in the domain, on the boundary (Smooth surface), and outside the boundary.
C
(
P
) 2 For coarse surfaces 12
THE 2D POTENTIAL PROBLEM
: یزرم لارگتنا هلداعم
C
(
P
) (
P
)
K
2 (
P
,
Q
)
n d
(
Q
)
K
1 (
P
,
Q
) (
Q
)
d
(
Q
) : اب دنربارب و هدش هتخانش K 2 و K 1 ن ا رد هک
K
1 (
P
,
Q
)
K
2 (
P
,
Q
) (
P
,
Q
)
n
(
P
,
Q
)
C
(
P
) 2 13
NUMERICAL IMPLEMENTATION
Dirichlet, Neumann and mixed case
C
(
P
) (
P
)
K
2 (
P
,
Q
)
n d
(
Q
)
K
1 (
P
,
Q
) (
Q
)
d
(
Q
) The unknowns of the above are values on the boundary and are ,
n
Dirichlet Problem
is given every point Q on the boundary.
Neumann Problem
n
is given every point Q on the boundary.
Mixed case –
Either are given at point Q 14
NUMERICAL IMPLEMENTATION
مولعمان 1 2 (
P i
)
j N
1 (
Q j
)
n
j K
2 (
P i
,
Q j
)
d
j
j N
1 (
Q j
)
j K
1 (
P i
,
Q j
)
d
j
15
NUMERICAL IMPLEMENTATION
Let
K
1
ij
j K
1 (
P i
,
Q j
)
d
j K
2
ij
j K
2 (
P i
,
Q j
)
d
j
مولعمان 1 2 (
P i
)
j N
1 (
Q j
)
n K
2
ij
j N
1 (
Q j
)
K
1
ij
16
NUMERICAL IMPLEMENTATION
(
P i
) (
Q j
)
when i
j j N
1
K
1
ij
1 2
ij
(
Q j
)
j N
1
K
2
ij
(
Q j
)
n Ax
Bz
17
NUMERICAL IMPLEMENTATION
Neumann Problem
Ax
c
Matrix A and vector C are known
Dirichlet Problem
c
Bz
Matrix B and vector C are known
Mixed case
Ax
Bz
Unknowns and knowns can be separated in to same form as above 18
یلک رورم
: هلداعم اب عورش : دشاب یم ریز تروص هب لیسناتپ لئاسم یارب نیرگ عبات : دشاب یم ریز تروص هب یزرم لارگتنا هلداعم تیاهن رد : ن ا رد هک 19
: هک میراد ریز تروص هب یزرم ناملا N هب زرم میسقت اب یدعبود لئاسم یارب یطخ یاه ناملا یدعب هس لئاسم یارب یحطس یاه ناملا : دهد یم تسدب ار ریز BEM هلداعم یزرم لارگتنا هلداعم 20
: هک میراد یزرم طیارش لامعا اب بیاعم .
دشاب یم .
دنشاب یم نراقتمان دایز هظفاح دنمزاین BEM یاه سیرتام • و ینلاوط ،لح نامز • 21
.
تسا w تباث سناکرف کی اب یتوص جاوما شخپ هب طوبرم یتوص لئاسم زا یمهم شخب 2
p
1
c
2 2
p
t
2 0 جوم هلداعم اب عورش 2
p
k
2 : دشاب
p
یم 0 ریز زتلوه مله هلداعم قبط یطخ توص کی یارب لیسنارفید هلداعم .
دنمان یم جوم ددع ار k = ω/c 22
: تسا هدم ا ریز لودج رد لبق زتلوه مله هلداعم یارب یزرم طیارش نیرگ مود هصخش م و لبق زتلوه مله هلداعم زا هدافتسا اب دناوت یم ریز یزرم لارگتنا هلداعم،ینوریب لئاسم یارب : دوش لح 23
Green’s Functions
G
(
Q
,
P
)
e
jkr r
: دوش یم فیرعت ریز تروص هب نیرگ عبات .
دشاب یم حطس یور Q هطقن ات p هطقن هلصاف اب ربارب r ن ا رد هک .
دشاب یم یبطق کت توص یارب ینایب لااب هلداعم .
دنیوگ نیرگ عبات ار G ینعی .
تسا لیسنارفید هلداعم کی هب یساسا لح هار کی نیرگ عبات
LG
(
x
,
x
' ) (
x
x
' ) تسا یطخ یلضافت روتارپا کی L هک زتلوه مله هلداعم رد
L
( 2
k
2 ) 24
درکیور ود
یم زیلان ا نامز کی رد ود ره هک دشاب یم S 2 ینوریب و Interior Problem (Room Modeling) S 1 ینورد حطس ود لماش زرم ره ریز یاه لکش هب Exterior Problem (Object Scattering) هجوت اب : دنوش
V S V Q Source r n V
= VOLUME
S
= SURROUNDING SURFACE
N
= SURFACE NORMAL
Q
= RECEIVER
R
= DISTANCE FROM Q TO A POINT ON S
S Source Q r n
25
Helmholtz-Kirchhoff Integral
تلاداعم نیا اب عورش 2
p
2
G
k
2
r
0
p
k
0 2
G
0 (
r
r
0 ) هک میراد P رد مود هلداعم و G رد لوا هلداعم برض اب
G
2
p
Gk
2
p
0
p
2
G
pk
2
G
p
(
r
r
0 )
p
2
G
G
2
p
(
pk
2
G
Gk
2
p
) مراهچ زا موس
p
(
r
هلداعم
r
0 ندرک ) مک اب 26
Helmholtz-Kirchhoff Integral
لبق دیلاسا زا هلداعم نیرخ ا زا
p
2
G
G
2
p
p
(
r
r
0 ) V مجح یور یریگ لارگتنا اب
V
p
2
G
G
2
p
dV
V
p
(
r
r
0 )
dV
4
p
نیرگ مود هصخشم زا هدافتسا اب
V
2 2
dV
S
n
n dS
هک میراد تیاهن رد
p
(
Q
)
e j
t
4
S
p s
G
n
G
p s
n
dS
27
Helmholtz-Kirchhoff Integral
لبق دیلاسا زا هلداعم نیرخ ا زا
p
(
Q
)
j
t e
4
S
p s
G
n
G
p s
n
dS
نیرگ هلداعم نینچمه و
G
e
jkr r
هک میراد تیاهن رد
p
(
Q
)
j
t e
4
S
p s
n
e
jkr r
e
jkr r
p s
n
dS
28
Helmholtz-Kirchhoff Integral
p
(
Q
)
j
t e
4
S
p s
n
e
jkr r
e
jkr r
p s
n
dS
p(Q) = sound pressure at receiver point
Q
p S = sound pressure on the surface
S
n = surface normal c = speed of sound r = distance from point on
S
to Q Src.
n
Rec. (
Q
) r 29
رب ن ا لامرن قتشم و راشف رظن زا Q هطقن کی رد توص راشف ) سناکرف هزوح ( فیصوت فهشریک زتلوه مله لارگتنا .
دشاب یم ن ا فارطا حطس یور
p
(
Q
)
j
t e
4
S
p s
n
e
jkr r
e
jkr r
p s
n
dS
.
تسا تارذ تعرس اب بسانتم راشف قتشم 30
Helmholtz-Kirchhoff Integral → Boundary Element Method δp/δn لامرن تعرس و P راشف نتسناد اباضف رد Q هطقن ره رد ار توص راشف فهشریک زتلوه .
دهد مله یم لارگتنا تسدب BEM رد .
دننک یم میسقت دنتسه یتباث ریداقم .
δp/δn دننک یم و P هبساحم ن ا رد هک تمسق ره رت کچوک یارب ار تاعطق هب δp/δn و ار زرم ) 1 P ) 2 P(Q) لومرف رد یراذگیاج ) 3 31
(Fast Multipole Method) عیرس یبطقدنچ شور
هزادنا لح رظن یارب زا هچرگا O ( N 3 ) هک دزاس رگید یم روتارپا و نراقتمان بیارض و مکارتم هبساحم ).
یاه یارب یطخ سیرتام O(N 2 ) متسیس یزرم ناملا روتارپا تلاداعم شور کی دادعت دنمزاین N هکنیا .( دشاب هب هجوت دنشاب یم اب کچوک متسیس روتا رپا کی و دنک یم رت عیرس ربارب نیدنچ ار یزرم .
لارگتنا دهد یم تلاداعم تسدب لح بیارض هار FMM هبساحم یارب شور O(N) 32
References
1. L. F. Greengard,
The Rapid Evaluation of Potential Fields in Particle Systems (The MIT Press, Cambridge, 1988).
2. Paris, F. and Cañas, J.
“Boundary Element Method Fundamentals and Applications” Oxford University Press, 1997.
3.Kreysig, E.,
Sons, 199 3.
“Advanced Engineering Mathematics” 7 th Edition, John Wiley &
4. Y. J. Liu,
Fast Multipole Boundary Element Method -Theory and Applications in Engineering(Cambridge University Press, Cambridge, 2009).
5. Y. J. Liu, Fast Multipole Boundary Element Method (
FastBEM) Software for Education, Research and Further Development (1997-2010).
33