Transcript هندسه 2 مبحث مساحت وقضیه فیثاغورث

‫هندسه ‪2‬‬
‫فصل ‪2‬‬
‫مساحت و قضیه ی فیثاغورس‬
‫مساحت‪:‬‬
‫با انتخاب هر واحدی برای اندازه گیری طول یک پاره خط‪ ،‬واحدی نیز برای‬
‫اندازه گیری مساحت بدست می آوریم که به کمک آن میتوانیم مقدار سطح‬
‫محدود شده در ناحیه ای از صفحه ای را اندازه بگیریم‪.‬‬
‫انواع مساحت ها‬
‫مساحت مربع‪:‬‬
‫با پر کردن مربع با مربع هایی به ضلع واحد فرمول مساحت مربع بدست‬
‫آمده‪ .‬مساحت مربع برابر است با یک ضلع × خودش‪.‬به شکل زیر توجه‬
‫کنید‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫مربع های ‪ 1‬سانتی‬
‫‪CM‬‬
‫مساحت مستطیل‪:‬‬
‫با پر کردن مستطیل با مربع های به طول واحد مساحت مستطیل به‬
‫دست آمد مساحت مستطیل برابر با‪:‬‬
‫طول×عرض‬
‫مساحت قائم الزاویه‪:‬‬
‫ابتدا مثلث همنهشت مثلث ‪ ABC‬را مانند شکل کنار هم قرار دهیم مستطیل ایجاد‬
‫میشود‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫محاسبه مساحت متوازی االضالع‪:‬‬
‫‪ ABH‬را بریده و به سمت دیگر می چسبانیم‪ ،‬یک‬
‫ابتدا مانند شکل مثلث ‪ABH‬‬
‫مستطیل ایجاد شد مساحت متوازی الضالع برابر مثلث ایجاد شده‬
‫است‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪SABC=BC×AH‬‬
‫‪SABC=BC×AH‬‬
‫نتیجه‪ :‬مساحت متوازی االضالع برابر‪:‬قاعده×ارتفاع‬
‫‪ABH‬‬
‫وتر ویک‬
‫وتر‬
‫‪ABH CDB‬‬
‫ضلع ‪CDB‬‬
‫ویک ضلع‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪SABCD=SAHBD‬‬
‫‪SABCD=SAHBD‬‬
‫‪ SABCD=HΒʹ×AH‬متوازی‬
‫االضالع‬
‫‪ SABCD=HΒʹ×AH‬متوازی‬
‫االضالع‬
‫‪ SABCD=(HC+CB)×AH‬متوازی‬
‫‪ SABCD=(HC+CB)×AH‬متوازی‬
‫‪BH‬‬
‫´‪B‬‬
‫‪BH‬‬
‫‪C‬‬
‫‪H‬‬
‫محاسبه مساحت مثلث غیر مشخص‪:‬‬
‫ابتدا مثلث همنهشت با مثلث ‪ ABC‬را مانند شکل کنار آن قرار می دهیم متوازی‬
‫االضالع ‪ ABCD‬ایجاد میشود مساحت ‪ ABC‬نصف مساحت متوازی االضالع‬
‫خواهد بود‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫متوازی االضالع‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪H‬‬
‫محاسبه مساحت ذوزنقه‪:‬‬
‫همنهشت ذوزنقه ‪ ABC‬را مانند شکل کنار هم قرار داده‪ ،‬و یک متوازی‬
‫االضالع ایجاد شده‪-‬مساحت ذوزنقه نصف مساحت متوازی االضالع ایجاد‬
‫شده‪.‬‬
‫مساحت ذوزنقه برابر است با مجموع ‪2‬قاعده×ارتفاع‬
‫محاسبه مساحت لوزی‪:‬‬
‫مساحت لوزی برابر است با مساحت ‪ 2‬مثلثی که با رسم قطر تشکیل شد‪.‬‬
‫مساحت لوزی برابر ضرب ‪2‬قطر اتضم‪2‬‬
‫اثبات رابطه فیثاغورس با استفاده از‪2‬مثلث همنهش‪:‬‬
‫ابتدا ‪ 2‬مثلث همنهش را کنار هم قرار داده یک ذوزنقه ایجاد شده (روش‬
‫ذوزنقه گفته میشود)‬
‫محاسبه ارتفاع مثلث متوازی االضالع با استفاده از رابطه فیثاغورس‪:‬‬
‫توجه‪:‬می دانیم ارتفاع در مثلث متساوی االضالع میانه نیم ساز و عمود است‬
‫میانه‪ :‬میانه خطی است که ضلع مقابل را نصف می کند‪.‬‬
‫نیم ساز‪ :‬نیم ساز خطی است که زاویه را نصف می کند‪.‬‬
‫عمود منصف‪ :‬عمودمنصف خطی است که هم عمود میکند و هم نصف‬
‫می کند‪.‬‬
‫ارتفاع‪ :‬ارتفاع خطی است که از رأس بر ضلع مقابل عمود میشود‪.‬‬
‫اثبات رابطه فیثاغورس با استفاده از ‪ 4‬مثلث همنهشت‪:‬‬
‫ابتدا ‪ 4‬مثلث همنهشت را مانند شکل کنار هم قرار می دهیم‪ .‬مساحت مربع ایجاد‬
‫شده در وسط شکل برابر است با مساحت مربع بزرگ منهای ‪ 4‬برابر مساحت‬
‫مثلث ‪ABC‬‬
‫‪SAʹBʹCʹDʹ=SABCD‬‬
‫مربع کوچک‬
‫مربع بزرگ‬
‫)‪a²=(b+c)²-4²(bc‬‬
‫‪A²=b²+c²+2bc-2bc‬‬
‫‪A²=b²+c²‬‬
‫پایان‬