Transcript المستقيمات الهامة في المثلث

‫‪www.elghoufimath.6te.net 1‬‬
‫السنة الدراسية ‪2012/2011‬‬
‫األستاذ ‪:‬علي الغوفي‬
‫‪ -I‬واسط مثلث‬
‫المستقيمات الهامة في مثلث‬
‫نشاط تذكيري‬
‫‪ -1‬لتكن [ ‪ ]AB‬قطعة و )‪(D‬واسطها‬
‫أ‪ -‬أنشئ الشكل‬
‫ب‪ -‬أتمم ما يلي‪ - :‬إذا كانت ‪ M‬تنتمي إلى )‪ (D‬فإن ‪ .......‬و إذا كانت ‪ OA=OB‬فإن ‪......................‬‬
‫‪ -2‬لتكن [ ‪ ]AB‬قطعة و‪ O‬نقطة خارج )‪(AB‬‬
‫أ‪ -‬أنشئ المستقيم المار من ‪O‬و العمودي على )‪ (AB‬في ‪H‬‬
‫ب‪ -‬ماذا يمثل المستقيم (‪ )OH‬بالنسبة للمثلث ‪OAB‬؟‬
‫ج‪ -‬أنشئ )‪ ] AF‬منصف الزاوية [‪ ]OAB‬ثم أذكر الخاصية المميزة لمنصف زاوية‬
‫‪ -3‬لتكن (‪ )C‬دائرة مركزها ‪ I‬و شعاعها ‪r‬‬
‫أتمم مايلي ‪ - :‬إذا كانت ‪ M‬تنتمي إلى )‪ (C‬فإن ‪ .......‬وإذا كان‪ IA=r :‬فإن ‪......................‬‬
‫‪ -1‬تعريف‬
‫واسط مثلث هو واسط أحد أضالعه‬
‫‪ -2‬مثال‬
‫المستقيم )‪ (D‬واسط الضلع ]‪،[AC‬‬
‫وفي هذه الحالة نسمي المستقيم )‪(D‬‬
‫واسطا للمثلث ‪ABC‬‬
‫اإلرتفاع‬
‫‪2‬‬
‫‪.C‬‬
‫‪ A‬تنتمي إلى )‪(C‬‬
‫)‪(D‬‬
‫‪A.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪MA=MB‬‬
‫‪ O‬تنتمي الى )‪(D‬‬
‫‪IM=r‬‬
‫‪B .‬‬
‫المستقيمات الهامة في مثلث‬
‫‪ -3‬واسطات مثلث ‪:‬‬
‫نشاط تمهيدي‪1‬‬
‫‪ABC‬مثلث ‪ ) D( ،‬و (‪ )L‬واسطا القطعتين [ ‪]AB‬و[ ‪]AC‬‬
‫على التوالي ويتقاطعان في النقطة ‪O‬‬
‫‪ -1‬أنشئ الشكل‬
‫‪ -2‬بين أن ‪ OA = OC :‬و ‪OA = OB‬‬
‫‪ -3‬استنتج أن ‪ O‬تنتمي إلى ( ‪ ) k‬واسط [ ‪]CB‬‬
‫‪ -4‬ماذا يمكن أن تقول إذن عن واسطات المثلث ‪ABC‬؟‬
‫‪ -5‬تحقق أن النقط ‪ A‬و‪ B‬و ‪ C‬تنتمي إلى الدائرة التي مركزها‬
‫‪ O‬شعاعها ‪ OA‬ثم أنشئها‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫المستقيمات الهامة في مثلث‬
‫خاصية‬
‫واسطات مثلث تتالقى في نقطة وحيدة تسمى مركز الدائرة المحيطة‬
‫بهذا المثلث‬
‫مثال ‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫في الشكل أسفله واسطات المثلث ‪ABC‬‬
‫تتالقى في النقطة ‪ O‬و التي تمثل مركز الدائرة الحيطة بهذا‬
‫المثلث‬
‫‪.C‬‬
‫‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫تمرين تطبيقي‪1‬‬
‫‪ A‬و ‪ B‬و ‪ O‬ثالث نقط غير مستقيمية‪.‬‬
‫أنشىء ‪ C‬بحيث يكون ‪ O‬مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ‪.ABC‬‬
‫‪5‬‬
‫المستقيمات الهامة في مثلث‬
‫تمرين ‪1‬‬
‫‪ ABC‬مثلث حيث‪ AB=2 :‬و ‪ AC=3‬و ‪BC=4‬‬
‫أنشئ الدائرة المحيطة بالمثلث ‪ABC‬‬
‫تمرين ‪2‬‬
‫رسم تلميذ دائرة باستعمال قطعة نقدية و أراد أن يحدد‬
‫مركزها ( أنظر الشكل جانبه)‬
‫ساعد هذا التلميذ في تحديد مركز هذه الدائرة‬
‫تمرين ‪4‬‬
‫اتفق ثالثة إخوة أن يحفروا بئرا يبعد بنفس المسافة عن‬
‫منازلهم (الشكل) ‪.‬‬
‫‪M1‬‬
‫‪ᵪ‬‬
‫‪M2 ᵪ‬‬
‫ساعد هؤالء اإلخوة في تحديد موقع البئر‬
‫‪ᵪ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪M3‬‬
‫المستقيمات الهامة في مثلث‬
‫‪ -II‬منصف مثلث‬
‫نشاط تمهيدي‪2‬‬
‫‪ ABC‬مثلث‬
‫‪ -1‬أنشئ منصفي زاويتين من زواياه‪.‬‬
‫‪ -2‬لتكن ‪ I‬نقطة تقاطع هذين المنصفين و ‪ H‬و ‪ k‬و ‪ L‬المساقط العمودية‬
‫للنقطة ‪ I‬على‬
‫(‪) AB‬و(‪) AC‬و(‪) BC‬على التوالي‪.‬‬
‫أ‪ -‬تحقق بواسطة البر كار أن ‪ H‬و ‪ K‬و ‪L‬‬
‫تقع على نفس الدائرة التي مركزها ‪ .I‬أنشئها‬
‫ب‪ -‬تحقق أن المنصف الثالث يمر من ‪.I‬‬
‫ج‪ -‬ماذا يمكن أن تقول إذن عن منصفات‬
‫المثلث ‪ABC‬؟‬
‫‪7‬‬
‫‪ -1‬تعريف‬
‫المستقيمات الهامة في مثلث‬
‫منصف مثلث هومنصف إحدى زواياه‬
‫‪A‬‬
‫‪ – 2‬مثال ‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫في الشكل أعاله‬
‫نصف المستقيم )‪ [BM‬منصف الزاوية‬
‫و في هذه الحالة نسمي نصف المستقيم )‪ [BM‬منصفا للمثلث ‪ABC‬‬
‫‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪B‬‬
‫المستقيمات الهامة في مثلث‬
‫‪ -3‬منصفات مثلث‬
‫خاصية‬
‫منصفات مثلث تتالقى في نقطة وحيدة تسمى مركز الدائرة المحاطة‬
‫بهذا المثلث‬
‫في الشكل جانبه‬
‫منصفات المثلث ‪ABC‬‬
‫تتالقى في النقطة ‪I‬‬
‫و التي تمثل مركز‬
‫الدائرة المحاطة بهذا‬
‫المثلث‬
‫‪9‬‬
‫المستقيمات الهامة في مثلث‬
‫تمرين ‪5‬‬
‫‪ ABC‬مثلث حيث‪ AB=6 :‬و ‪ AC=5‬و ‪BC=7‬‬
‫أنشئ الدائرة المحاطة بالمثلث ‪.ABC‬‬
‫تمرين ‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ABC‬و ‪ˆ  60‬‬
‫و ‪ˆ  80‬‬
‫‪BC  4‬‬
‫‪ACB‬‬
‫مثلث حيث‬
‫‪ I‬هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ‪ABC‬‬
‫‪ -1‬أنشئ الشكل‬
‫ˆ‬
‫‪ -2‬أحسب ‪ˆ :‬‬
‫ˆ‬
‫‪IBC‬‬
‫‪ ICB‬و‬
‫‪ BIC‬و‬
‫تمرين ‪7‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ D‬نقطة تقاطع منصف ‪BAC‬و المستقيم )‪.(BC‬‬
‫لتكن ‪ S‬مساحة المثلث ‪ ADC‬و '‪ S‬مساحة المثلث ‪.ADB‬‬
‫‪S‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -1‬بين أن ‪:‬‬
‫'‪S‬‬
‫‪AB DC‬‬
‫‪AC‬‬
‫‪ -2‬استنتج أن ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪DB‬‬
‫‪AB‬‬
‫تمرين ‪8‬‬
‫نعتبر الشكل التالي‬
‫أنشئ نقطتين ‪ B‬و ‪ C‬باستعمال المسطرة و الكوس فقط بحيث ‪:‬‬
‫تكون ) ‪ ( C‬هي الدائرة المحاطة بالمثلث ‪ ABC‬معلال جوابك‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-III‬ارتفاع مثلث‬
‫المستقيمات الهامة في مثلث‬
‫نشاط تمهيدي‪3‬‬
‫‪ EFG‬مثلث ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬منتصفات القطع [ ‪]FG‬و[ ‪ ]EG‬و [ ‪ ]EF‬على التوالي‬
‫‪ -1‬أنشئ الشكل‬
‫‪ -2‬بين أن ‪) EG( // )AC( :‬‬
‫‪ -3‬أ‪ -‬أنشئ ارتفاع المثلث ‪ ABC‬المار من ‪B‬‬
‫ب‪ -‬ماذا يمثل هذا االرتفاع بالنسبة للمثلث ‪ EFG‬؟علل جوابك‬
‫‪ -4‬استنتج أن ارتفاعات المثلث ‪ ABC‬تتالقى في نقطة وحيدة‬
‫‪ -1‬تعريف‬
‫إرتفاع مثلث هو مستقيم يمر من أحد رؤوس المثلث و العمودي على حامل الضلع المقابل لهذا الرأس‬
‫مثال‬
‫‪A‬‬
‫في الشكل جانبه ‪ ABC‬مثلث و )‪(AH‬‬
‫المستقيم المار من ‪ A‬والعمودي على‬
‫حامل الضلع )‪ (BC‬في ‪.H‬‬
‫نسمي )‪(AH‬إرتفاع المثلث ‪ABC‬‬
‫الموافق للضلع ]‪. [BC‬‬
‫‪C‬‬
‫•‬
‫‪H‬‬
‫‪B‬‬
‫‪11‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ -2‬في المثلث ‪EFG‬‬
‫‪ A‬منتصف ]‪[FG‬‬
‫‪ B‬منتصف ]‪[EG‬‬
‫إذن )‪(AC) // (EG‬‬
‫‪•C‬‬
‫‪B‬‬
‫•‬
‫‪ -3‬ليكن )‪ (BH‬اإلرتفاع‬
‫الموافق للضلع ]‪[AC‬‬
‫إذن ‪(H є (AC) :‬‬
‫‪BH   AC ‬‬
‫‪F‬‬
‫‪H‬‬
‫‪•A‬‬
‫نستنتج أن ‪ BH  EG ‬في ‪.B‬‬
‫و )‪(AC) // (EG‬‬
‫بما أن ‪ B‬منتصف ]‪ [EG‬فإن )‪ (BH‬واسط في المثلث ‪.EFG‬‬
‫‪ -4‬نعلم أن واسطات مثلث تتالقى في نقطة واحدة نستنتج إذن أن ارتفاعات‬
‫مثلث تتالقى في نقطة واحدة تسمى مركز تعامد المثلث‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪G‬‬
‫المستقيمات الهامة في مثلث‬
‫* حالة خاصة ‪:‬‬
‫‪ˆ ‬‬
‫‪  A BC‬زاوية منفرجة‪.‬‬
‫في الشكل أعاله ‪ ABC‬مثلث بحيث ‪‬‬
‫نالحظ آن النقطة ‪ H‬ال تنتمي إلى الضلع ]‪.[BC‬‬
‫تمرين ‪9‬‬
‫‪ ABC‬مثلث حيث‪ AB=6 :‬و ‪ AC=5‬و ‪BC=7‬‬
‫أنشئ مركز تعامد المثلث ‪.ABC‬‬
‫تمرين ‪10‬‬
‫‪ ABC‬مثلث حيث‪ AB=6 :‬و ‪ AC=2‬و ‪BC=7‬‬
‫أنشئ مركز تعامد المثلث ‪.ABC‬‬
‫‪13‬‬
‫‪ -2‬خاصية‬
‫ارتفاعات مثلث تتالقى في نقطة وحيدة تسمى مركزتعامد هذا المثلث‬
‫مثال‬
‫في الشكلين أعاله النقطة ‪ O‬هي مركز تعامد المثلث ‪ABC‬‬
‫‪14‬‬
‫تمرين‪9‬‬
‫نعتبر الشكل التالي‬
‫‪ -1‬أنشئ ‪ C‬نقطة تقاطع (‪ )AE‬و (‪)BF‬‬
‫‪ -2‬أثبت أن ‪ )CH( :‬عمودي على (‪)AB‬‬
‫تمرين ‪10‬‬
‫نعتبر الشكل التالي‬
‫أنشئ النقطة ‪ C‬بحيث تكون النقطة ‪ H‬هي مركز تعامد المثلث ‪ABC‬‬
‫‪15‬‬
‫‪ -IV‬متوسط مثلث‬
‫نشاط تمهيدي‪4‬‬
‫‪ ABC‬مثلث '‪ B‬منتصف ]‪[AC‬‬
‫(المستقيم )'‪ (BB‬متوسط للمثلث‪) ABC‬‬
‫‪ -1‬أنشئ متوسط المثلث ‪ ABC‬المار من ‪ ( C‬يقطع (‪ ) AB‬في ’‪)C‬‬
‫‪ -2‬لتكن ‪ G‬نقطة تقاطع هذين المتوسطين‬
‫و '‪ A‬نقطة تقاطع (‪ )AG‬و (‪) BC‬‬
‫أ‪ -‬بين أن '‪ A‬منتصف ]‪.[BC‬‬
‫(يمكن اعتبار نقطة ‪ I‬مماثلة ‪ A‬بالنسبة ل‪.(G‬‬
‫ب‪ -‬بين أن الرباعي ‪ GCIB‬متوازي أضالع‬
‫ج‪ -‬استنتج أن متوسطات المثلث ‪ABC‬‬
‫تتالقى في النقطة ‪.G‬‬
‫‪2‬‬
‫ذ‪ -‬برهن أن ‪:‬‬
‫' ‪AG  AA‬‬
‫‪3‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ -IV‬متوسط مثلث‬
‫‪ -1‬تعريف‬
‫متوسط مثلث هو مستقيم يمر من أحد رؤوس المثلث و من منتصف الضلع المقابل لهذا الرأس‬
‫مثال‬
‫في الشكل أعاله ‪ ،‬المستقيم (‪ )D‬يمر من الرأس ‪ A‬ومن منتصف الضلع [‪.]BC‬‬
‫في هذه الحالة نسمي المستقيم (‪ )D‬متوسطا للمثلث ‪ABC‬‬
‫‪17‬‬
‫تمرين‪11 :‬‬
‫نعتبر الشكل التالي‬
‫حيث ‪ ABCD‬متوازي األضالع‬
‫‪ -1‬أنشئ (‪ )D‬واسط المثلث ‪ ABC‬المار من ‪C‬‬
‫‪ -2‬أنشئ (‪ )L‬واسط المثلث ‪ ADC‬المار من ‪A‬‬
‫‪ -3‬برهن أن ‪)L( //)D( :‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ -2‬خاصية المتوسطات‬
‫متوسطات مثلث تتالقى في نقطة وحيدة تسمى مركزثقل هذا المثلث‬
‫مثال‬
‫النقطة ‪ G‬هي مركز ثقل المثلث ‪ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫'‪B‬‬
‫•‬
‫•‪G‬‬
‫•‬
‫‪C‬‬
‫‪19‬‬
‫'‪A‬‬
‫•‬
‫'‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫متوسطات مثلث وموقع مركز‬
‫ثقل المثلث‬
‫‪ -3‬خاصية موقع مركز الثقل‬
‫خاصية‬
‫‪A‬‬
‫إذا كان ‪ ABC‬مثلثا و ‪ G‬مركز ثقله و '‪ A‬منتصف ]‪[BC‬‬
‫'‪ B‬منتصف ]‪ [AC‬و '‪ C‬منتصف ]‪.[AB‬‬
‫فإن ‪:‬‬
‫و‬
‫و‬
‫‪20‬‬
‫‪2‬‬
‫' ‪AG  AA‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫' ‪BG  BB‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫'‪CG  CC‬‬
‫‪3‬‬
‫'‪B‬‬
‫•‪G‬‬
‫'‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫'‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫تمرين ‪12‬‬
‫[‪ ]AB‬قطعة و ‪ C‬نقطة خارجها‬
‫‪M‬منتصف ]‪ [AB‬و ‪ N‬منتصف ]‪. [BC‬‬
‫)‪ (AN‬و )‪ (CM‬يتقاطعان في النقطة ‪. O‬‬
‫‪ – (1‬أرسم شكــال مناسبا ‪.‬‬
‫‪ – (2‬أثبت أن المستقيم )‪ (OB‬يمر من منتصف ]‪. [AC‬‬
‫تمرين ‪13‬‬
‫‪ ABC‬مثلث و ‪ M‬منتصف [‪ ]BC‬حيث‪:‬‬
‫‪AM=6‬‬
‫‪ -1‬أنشئ الشكل‬
‫‪ -1‬لتكن ‪ G‬مركز ثقل المثلث ‪ABC‬‬
‫أ‪ -‬أحسب ‪AG‬‬
‫ب‪ -‬استنتج إنشاء النقطة ‪G‬‬
‫‪21‬‬
‫المادة‬
‫المستوى‬
‫‪:‬‬
‫الرياضيات‬
‫‪:‬‬
‫الثانية ثانوي إعدادي‬
‫تمارين لتقوية التعلمات‬
‫تمرين‬
‫^‬
‫‪ ABC‬مثلث متساوي الساقين و ‪ D‬نقطة تقاطع )‪ (BC‬ومنصف ‪. BAC‬‬
‫المستقيم المار من ‪ D‬و الموازي للمستقيم )‪ (AC‬يقطع المستقيم )‪ (AB‬في ‪،E‬‬
‫والمستقيم المار من ‪ D‬والموازي للمستقيم )‪ (AB‬يقطع المستقيم )‪ (AC‬في ‪.F‬‬
‫‪ -1‬بين أن الرباعي ‪ AEDF‬معين ؟‬
‫‪ -2‬بين أن‬
‫‪22‬‬
‫‪DC AC‬‬
‫‪‬‬
‫‪DB AB‬‬