المعدلات المرتبطة بالزمن
Download
Report
Transcript المعدلات المرتبطة بالزمن
Start
1
Start
2
•
•
•
•
•
3
يعين عالقة بين المتغير المطلوب إيجاد معدل تغيره و باقي
المتغيرات .
يحل مسائل وتطبيقات حياتية على السرعة .
توجد معدل التغير في مساحة سطح مكعب إذا علم طول ضلعه
ومعدل التغير طول كل ضلع من أضالعه .
توجد معدل التغير في طول قطر كرة إذا علم معدل التغير في
حجمها وعلم طول نصف قطرها .
تحل مسائل وتطبيقات حياتية علي المعدالت الزمنية المرتبطة.
د) مخروط دائري ق ائم يصب فيه الماء
يتشكل الماء بشكل اإلناء
ويكون نصف القطر متغيرr
vمتغير هو الحجم hوارتفاع الماء
r
معدل تغير االرتفاع
=
معدل تغير نصف القطر
=
معدل تغير الحجم
=
4
dh
dt
dr
dt
dv
dt
h
اقرأ السؤال جيدا (العدد الكافي من المرات) وفكر بالحقائق المتضمنةوالكميات المجهولة المطلوب إيجادها.
ارسم شكال (إن أمكن)وعين عليه المعطيات والمطلوب بما في ذلك المتغيرات. اكتب الحقائق المتوفرة بما في ذلك المعدالت المعلومة والمعدالت المطلوبةللمتغيرات المتضمنة في الخطوة .2
-اكتب العالقة بين المتغيرات.
قد تحتاج إلى إيجاد احد المتغيرات بداللة آخر (من خالل نظرية فيثاغورث ،تشابالمثلثات ،حجوم أو مساحات ).....،وذلك حسب المعطيات المتوفرة.
اشتق العالقة بين المتغيرين بالنسبة للزمن لتحصل على عالقة بين المعدالت المربالزمن.
عوض بالقيم المعطاة لتحصل على القيم المطلوبة.5
مالحظة :ال يتم التعويض بقيم المتغيرات والمعدالت
المرتبطة المعطاة إال بعد االشتقاق بالنسبة للزمن .
إذا كان معدل تغير اإلحداثي السيني لنقطة تتحرك على الدائرة التي
وحدات في الثانية عند النقطة معادلتها
هو
فما سرعة تغير اإلحداثي الصادي عند تلك النقطة ؟
x2 + y2 = 16
dy
dn
االشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن
s
6سعة تغير إحداثيها الصادي
=
w
0و
وحدة /ثانية
ً
يرتكز سلم طوله على حائط رأسي طوله 5قدم فإذأ أنزلق طرفه ألسفلي مبتعدأ عن ألحائط
على ألرض بسرعة 2أقدأم في ألثانية ،فكم تكون سرعة هبوط ألطرف لخر إلى أسفل
ألحائط عندما تكون قاعدة ألسلم تبعد مسافة 3أقدأم عن ألحائط ؟
بفرض أن هي المسافة بين مستوى األرض وقمة السلم في أي لحظة
وأن هي المسافة بين الحائط وقاعدة السلم
باستخدام نظرية فيثاغورث x ، y:نوجد عالقة بين
x2 + y2 = 25
5 ft
y
وباشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن
x
7
قطعة من الثلج علي شكل كرة تذوب بمعدل
سم مكعب في الدقيقة4
بحيث تحافظ علي شكلها الكروي .فكم يكون معدل تناقص
طول قطرها عندما
12 cmيكون طول قطرها
4
vحجم الكرة
dr 3 r2
dv
3 = dn
dn
dr 6 6
4 = -4
dn
- 1
dr
dn
= 36
8 معدل تناقص طول القطر
4
= 3
r3
dv
dn
= -4
)2(dr
dn
=
12 = 2 r
r=6
مخروط دائري قائم مصمت من المعدن ارتفاعه يزيد عن طول نصف قطرقاعدته
يتمدد بالحرارة بانتظام فإذا كان معدل ازدياد طول نصف قطر القاعدة
؟
أوجد معدل الزيادة في الحجم عندما نصف قطر قاعدته يساوي
مخروط مصمت
1
=v
3
=v
r2h
h = r+3
( r2 )r + 3
1
3
r3 + r2 = v
االشتقاق لطرفى المعادلة بالنسبة للزمن
=
+
r = 20m
معدل الزيادة في حجم المخروط = 220
9
dr
dn
dv
dn
=
=
rنصف قطر الماء
،vحجم الماء
سم10
،hارتفاع الماء
سم60
10
h
r
h
سم 60ارتفاع الخزان ثابت
سم 10 .ونصف قطر الخزان ثابت
ال تعطي لهم رموز
سم60
dv
dn
من هندسة الشكل
h
r
= 10
60
1h
r=6
سم / 3ثانية
–4=8
=12سم10
r
h =r
h3
1
=v
)3 (36
االشتقاق لطرفى المعادلة بالنسبة للزمن
=
8
=
dh
dn
=
سم10
r
dh 3h2
( 3 ) 36
dn
dh
40 40 36
dn
)8 )36
× 40 × 40
=
سم60
dv
dn
h
0.57
dh
dn
11
1
6
=؟
h = 40
اعتبر كرة نصف قطرها 10سنتمر .إذا تغير نصف القطر بمعدل
0.1سنتمتر لكل ثانية ما هو معدل التغير في حجم الكرة ؟
3
r
4
V
3
d V 4 r d r
2
12
V
4
r
3
3
dV
dt
dV
dt
dV
dt
4 r
2
dr
dt
4 10cm
4 0
2
cm
0.1
sec
cm
3
sec
.
13
dV
L
3
dt
3000
sec
Find
cm
3
sec
dh
dt
V r h
2
dV
r
dt
3000
cm
2
dh
dt
3
sec
r
2
dh
dh
dt
dt
3000
cm
3
sec
r
2
14
4
d
dt
0.14
rad
m in
h
5 0 0 ft
15
d
4
dt
0.14
rad
m in
h
Find
dh
dt
sec
2
4
h
tan
5 0 0 ft
500
d
sec
2
dt
sec
4
1
2
dh
500 dt
2
0.14
1
dh
500 dt
2
0.14 500
140
ft
m in
dh
dt
dh
dt
16
r t d
40
1
4
30
10
3
10
3 4 z
2
1
2
9 16 z
25 z
5 z
2
2
2
17
r t x d y z
2
2
2
1
1 dz
dx
dy
40
2 x 10 42 y 30 10
2z 3
dt
dt
dt
2
2
2
3 4 z
dz
4 40 3 230 5
9 16 z
dt
2 dz
25
z
250 5
dt 50 dz
5 z
dt
dy
30
dt
dx
40
dt
50
m iles
hour
18
Hello! I am
Tweety.
Today, I get
the bird….
Hector
19
I will wait until
Tweety is up on his
bird house. Then,
I’ll take a ladder and
snatch him!
20
Hector, I am going to
my birdhouse. Watch
out for the cat.
Yes
boss.
21
Not so
fast!!!
22
How fast is the ladder falling (dy/dt) when it is
10 ft off the ground (y)?
y
dx
2 ft/s
x
dt
y 10 ft
L 26 ft
x
2
y
2
L
2
dy
Solve for:
1. Prepare Equation
dt
2. Substitute Values
23
dx
2 ft/s
dt
y 10 ft
L 26 ft
x y L
2
dy
dy
dt
2
x
2
dx
dt
y
Solve for:
dt
24
Known Values:
dx
2 ft/s
dt
y 10 ft
Equation:
L 26 ft
dy
dy
dt
dt
x
dx
dt
y
4 . 8 ft/s
25
dy
4 . 8 ft/s
dt
26
6
16
xy
6 x 6 y 16 x
16
10 x 6 y 0
6
x
x
y
dx
dy
dt
dt
10
2
dx
dt
10
dx
dt
6
dy
0
dt
6 2 0
dx
dt
6
5
The size of his shadow is reducing at a rate of 6/5.
27
3
r
12
h
dV
dt
3
V
1
r
r h
2
3
3
2
1
h h
3 4
1
3
V
h
48
dV
3
2 dh
h
dt
48
dt
V
1
3
3
48
4
3
dh
dt
6
2
h
12
1
r h
4
dh
dt
4
3
28
29
ds
Given:
400
s 10
dt
dx
Find:
?
dt
Equation:
x2 + 62 = s2
Solve:
2x
dx
2s
dt
x
2 8
s 36
2
dx
dt
ds
dt
100 36 8
2 10 400
dx
dt
500 mph
30
x
d
2000 5000
2
?
h t =50t
2
h 1 0 = 5 0 0 0
x
h
dt
Const
d
sec
2
tan
1
dt
h
2000
2
1
cos
2
d
dt
d
dt
cos
2000
2000 dt
1
dh
2000 dt
2
dh
dh
dt
2
29
radians per second
31
x
15 ft.
32
Given:
dx
1
dt
d
Find:
x = 25 ft.
?
dt
Equation:
sin
15
sin 15 x
1
x
Solve:
cos
h = 15 ft.
d
dt
15 x
2
dx
dt
d
dt
0 . 003 rad / sec
33
34
A r
2
At t = 8, r = (8)(4) = 32
A 32 1024
2
dr
dt
4
dA
dt
dA
dA
dt
dt
dA
2 r
dr
dt
2 32 4
256
dt
The area is increasing at a rate of 2 5 6
35
V
V
dr
4
3
4
r
3
5 V
3
3
500
3
10
dt
dV
4 r
2
dt
dV
dt
dV
dt
dr
dt
4 5
2
10
1000
1 0 0 0 36
37
V
dh
4
15
dt
V
1
3
1
r h
h
h
h
2
3
dV
dt
dV
h
2
dt
dV
1 5
2
d
2r
hr
dh
dt
dt
dV
2
1
2
3
15
1
4
900
dt
38
Triangular prism
39
Surface area
h
b
40
15
4
x
L
dL
xyL
15
0
dt
xy
2
15 4
V
yy
2 3
dV
2
y
1
2
V
3 y
3
V
20 y
dt
x
x
2
4
2 2 3x 2y
x y
2
y
3
3
dy
5
dt
2
1
16
20 2
dy
dt
dy
dt
41
42