Transcript R-Finite Element Method-Chapter 3

‫روش عناصر محدود‬
‫(برای دوره کارشناس ی ارشد مکانیک سنگ)‬
‫‪Finite Element Procedures‬‬
‫کریم عابدی‬
‫فصل سوم ‪ :‬فرمول بندی روش عناصر‬
‫محدود در تحليل خطی‬
‫(بخش دوم)‬
‫پ‪)2-‬عناصرتيری‪ :‬از اين عنصر در تحليل تيرهاي پیوسته‪ ،‬قاب هاي مسطح و قاب هاي فضايي استفاده مي شود‪.‬‬
‫ دو نظریه در تيرها ‪ -1‬نظريه تير ‪( Euler-Bernoulli‬بدون اثر برش)‪،‬‬‫‪ -2‬نظريه تير ‪( Timoshenko‬با اثر برش)‪.‬‬
‫الف‪ -‬تير ‪:Euler-Bernouli‬‬
‫• اثر برش در فرمول بندی وارد نمی شود؛‬
‫• مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند‪ ،‬بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می‬
‫مانند؛‬
‫• مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند‪ ،‬همچنان عمود باقي مي‬
‫مانند‪.‬‬
‫• زاويه دوران مساوی است با‪:‬‬
‫ب‪ -‬تير ‪Timoshenko‬‬
‫• اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛‬
‫• مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند‪ ،‬بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛‬
‫• مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند‪ ،‬در حالت کلی بعد از تغييرشکل عمود باقی‬
‫نمی مانند؛‬
‫• زاويه دوران مساوی است با‪:‬‬
‫در این بخش صرفا فرمول بندی عنصر تيری بر مبنای نظريه تير ‪( Euler-Bernoulli‬بدون اثر برش) ارائه می شود‪.‬‬
‫)‬
‫ مولفه هاي تغييرمكان تعميم يافته (‬‫( اگر چنانچه بطور معمول در تحليل قاب از تغييرشكل هاي محوري صرف نظر شود‪ ،‬فقط الزم است كه در هر‬
‫گره دو درجه آزادي مدنظر قرار گيرد‪ ،‬يك خيز قائم بر تير ‪ w‬و يك دوران حول محور ‪.)) ( y‬‬
‫توجه شود که خيز‪ ،‬یک متغير حالت مستقل و دوران‪ ،‬یک متغير حالت وابسته می باشد)‪.‬‬
‫‪ -‬تابع تغييرمكان‪ ( :‬عنصر یک بعدی می باشد)‬
‫ مولفه كرنش (انحنا)‪:‬‬‫ مولفه تنش (لنگر)‪:‬‬‫ ماتريس مصالح ‪:C‬‬‫‪ -‬نحوه انتگرال گيري‪:‬‬
‫مراحل تشکیل ماتریس سختی عنصر تيری دوگرهی‬
‫پ‪ )3-‬عنصر تنش مسطح‪ :‬از اين عناصر براي مدل نمودن سازه هاي غشايي‪ ،‬رفتار درون صفحه اي تيرها و صفحه‬
‫ها استفاده مي شود‪ .‬در هر يك از اين حاالت‪ ،‬يك وضعيت تنش دو بعدي در صفحه ‪ x-y‬وجود دارد و تنش‬
‫مساوي صفر مي باشند‪.‬‬
‫هاي‬
‫‪ -‬مولفه هاي تغييرمكان‪:‬‬
‫)‪v (x ,y) , u (x ,y‬‬
‫ توابع تغييرمكان ( عنصر دوبعدی می باشد)‪:‬‬‫‪ -‬مولفه هاي كرنش‪:‬‬
‫ مولفه هاي تنش‪:‬‬‫‪ -‬ماتريس مصالح ‪:C‬‬
‫‪ -‬نحوه انتگرال گيري براي بدست آوردن ماتريس سختي‪:‬‬
‫پ‪ )4-‬عنصر كرنش مسطح‪ :‬از اين عناصر براي نمايش قسمتي( با ضخامت واحد) از يك سازه بكار مي روند كه‬
‫مساوي صفر مي باشند‪ .‬اين وضعيت در تحليل يك سد طويل بكار‬
‫در آن مولفه هاي كرنش‬
‫مي رود‪.‬‬
‫ مولفه هاي تغييرمكان‪v (x ,y) , u (x ,y) :‬‬‫ توابع تغييرمكان ( عنصر دوبعدی می باشد)‪:‬‬‫ مولفه هاي كرنش‪:‬‬‫ مولفه هاي تنش‪:‬‬‫‪ -‬ماتريس مصالح ‪:C‬‬
‫‪ -‬نحوه انتگرال گيري براي بدست آوردن ماتريس سختي‪:‬‬
‫پ‪ )5 -‬عناصر خمش صفحه ای‪:‬‬
‫از این عناصر در تحلیل صفحات نازک نظير دال های سازه پل ها و واحدهای کف سازی تحت اثر بارهای‬
‫جانبی قائم ( و‪ /‬یا لنگر های خمش ی ) استفاده می شود (مقایسه با سازه های شبکه ای)‪ .‬ویژگی های این نوع‬
‫سازه ها عبارتند از‪:‬‬
‫‪ -1‬ضخامت نسبت به طول و عرض ناچيز می باشد‪،‬‬
‫‪ -2‬تخت می باشند‪،‬‬
‫‪ -3‬تحت اثر بارهای جانبی قائم و لنگر های خمش ی حول محورهای ‪ x‬و ‪ y‬قرار دارند‪،‬‬
‫‪ -4‬تحت اثر بارهای درون صفحه ای قرار ندارند‪،‬‬
‫‪ -5‬متغيرهای حالت عبارتند از‪:‬‬
‫ نکته اساس ی در این است که در سازه خمش صفحه ای که در یک بعد نازک می باشد‪ ،‬تنش در‬‫سرتاسر ضخامت صفحه (در جهت عمود بر میان سطح) صفر است )‪.(σzz=0‬‬
‫بررس ی دو نظریه در مورد صفحات‪:‬‬
‫الف) نظریه صفحه ‪( Kirchhoff‬‬
‫) ( ‪ γxz , γyz‬قابل صرف نظر کردن و ناچيزند)‪.‬‬
‫•‬
‫اثر برش در فرمول بندی وارد نمی شود؛‬
‫•‬
‫مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند‪ ،‬بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛‬
‫•‬
‫مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند‪ ،‬بعد از تغييرشکل نيز همچنان عمود باقی می‬
‫مانند؛‬
‫•‬
‫زوايای دوران مساوی است با‪:‬‬
‫ب) نظریۀ صفحه ‪( Reissner/Mindlin‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫) (‪ γxz , γyz‬قابل صرفنظر کردن نمی باشند)‪.‬‬
‫اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛‬
‫مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند‪ ،‬بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛‬
‫مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند‪ ،‬در حالت کلی بعد از تغييرشکل عمود باقی‬
‫نمی مانند؛‬
‫زوايای دوران مساوی است با‪:‬‬
‫‪ -‬نحوه استخراج معادالت حاکم بر خمش صفحه‬
‫اکنون می توان فرمول بندی عناصر محدود عنصر خمش صفحه ای را با استفاده از مفهوم مختصات تعمیم یافته به‬
‫دست آورد‪:‬‬
‫‪ -‬عنصر خمش صفحه ای را به شکل مستطیل در نظر می گيریم (با ‪ 12‬درجه آزادی)‪:‬‬
‫ مولفه های تغیيرمکان تعمیم یافته‬‫متغير حالت مستقل‬
‫متغير حالت وابسته‬
‫متغير حالت وابسته‬
‫دوران ها طبق قانون دست راستی عقربه های ساعت تعریف می شوند‪.‬‬
‫توابع تغیيرمکان (عنصر دوبعدی)‪:‬‬‫برای حالت خاص عنصر خمش صفحه مستطیلی با ‪ 4‬گره داریم‪:‬‬
‫توجه شود که برای فرمول بندی عنصر خمش‬
‫صفحه از نظریه صفحه ‪ Kirchhoff‬استفاده‬
‫کرده ایم‪.‬‬
‫‪ -‬مولفه های کرنش‪:‬‬
‫ مولفه های تنش‪:‬‬‫‪ -‬ماتریس مصالح ‪:C‬‬
‫‪ -‬نحوه انتگرال گيری برای یافتن ماتریس سختی عناصر‪:‬‬
‫ براي يك عنصر خمش صفحه با درجات آزادي محلي و كلي نشان داده‬T ‫ مطلوبست استخراج ماتريس دوران‬: ‫مثال‬
:‫شده در شكل زير‬
uˆT  [w 1 , x 1 , y 1 ,w 2 , x 2 , y 2 ,w 3 , x 3 , y 3 ,w 4 , x 4 , y 4 ]
0
0
1
0 cos  sin 

0  sin  cos 

0
0
0
0
0
0

0
0
0
T  
0
0
0

0
0
0
0
0
0

0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
cos 
sin 
0
0
0
0
0  sin  cos  0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
cos 
sin 
0
0
0
0
0  sin  cos  0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
0
0 
0
0 

0
0 
0
0 

0
0 
0
0 

0
0 
0
0 

0
0 

cos  sin  
 sin  cos  
0
‫بررس ی پیوستگی تغییرمکان ها و دورا ن ها در املان محدود مستطیلی برای مسائل خمش صفحه‬
‫در ابتدا پیوستگی تغیيرمکان در املان محدود مستطیلی برای مسائل االستیسیته صفحه‬
‫ای (حالت تنش مسطح یا کرنش مسطح ) را در نظر می گيریم‪:‬‬
‫ بنابراین چهار معادله چهار مجهولی داریم‪ ،‬پس به اندازه کافی معادله برای حل ضرایب مربوط به این مقادیر موجود است و لذا واضحا‬‫تغیير مکان های ‪ u , v‬در امتداد لبه ‪ 3-1‬کامل به وسیله حرکات انتهایی لبه ( گره های ‪ 1‬و ‪ )3‬به طور منحصر بفرد تعیين می شوند‪ ،‬به‬
‫عبارت دیگر پیوستگی ‪ u , v‬در امتداد لبه هایی که ‪ y‬ثابت است‪ ،‬کسب می شود‪ .‬به همين ترتیب می توان ثابت کرد که پیوستگی ‪ u , v‬در‬
‫امتداد لبه هایی که ‪ x‬ثابت است ارضا می گردد‪ ،‬به عبارت دیگر در دو املان مجاور در تمام نقاط مزبور مشترک‪ ،‬تغیير مکان های ‪u , v‬‬
‫برابر هستند‪ .‬بنابراین توابع انتخابی‪ ،‬توابع ایده الی می باشند‪.‬‬
‫اکنون وضعیت پیوستگی خيز و دوران ها در املان محدود مستطیلی برای مسائل خمش صفحه‬
‫ای را مورد بررس ی قرار می دهیم‪:‬‬
‫لذا شش معادله با ‪ 8‬مجهول در دست است‪ ،‬بنابراین نمی توان ضرایب را تعیين کرد‪.‬‬‫شامل‬
‫هستند‪ .‬در صورتی که‬
‫شامل چهار ضریب‬
‫ با یک بررس ی دقیق می توان دید که‬‫چهار معادله چهار مجهولی در دست است و می توان‬
‫است‪ .‬بنابراین برای‬
‫چهار ضریب دیگر‬
‫و دوران در امتداد لبه کامل بوسیله حرکات‬
‫را بر حسب تغیيرمکان های گرهی تعیين نمود‪ .‬پس تغیيرمکان‬
‫در امتداد لبه‬
‫انتهایی لبه (گره های ‪1‬و‪ ) 2‬به طور منحصر بفرد تعیين می شوند‪ .‬به عبارت دیگر پیوستگی‬
‫هایی که ‪ x‬ثابت است ‪ ،‬تامين می گردد‪.‬‬
‫به طور‬
‫ دو معادله باقیمانده برای تعیين چهار ضریب مجهول موجود در کافی نیست لذا دوران عمود بر لبه‬‫منحصر بفرد مشخص نمی شود‪ .‬بنابراین در امتداد این لبه ناپیوسته است‪ .‬به همين ترتیب می توان ثابت نمود‬
‫که در لبه دیگر (‪ ،)y=0‬در امتداد لبه ناپیوسته است‪.‬‬
‫پ‪ )6-‬عناصر با محور تقارن ( ‪) Axisymmetric Element‬‬
‫از اين عناصر در تحليل محيط های پيوسته با محور تقارن استفاده مي شود‪.‬‬
‫ نمونه ای از سازه های با تقارن محوری‪ ،‬مخازن تحت فشار‪ ،‬دیسک های دوار‪ ،‬سیلوها‪ ،‬برج های خنک‬‫کننده‪ ،‬گنبدها و شمع ها می باشند که هم از نظر شکل و هم از نظر نيروهای اعمال شده‪ ،‬دارای تقارن‬
‫دورانی می باشند‪.‬‬
‫ سازه های با محور تقارن (از نظر هندس ی و بارگذاری) را مي توان به دو بخش تقسيم کرد‪:‬‬‫الف‪ -‬پوسته های مدور جدارنازک که در آنها ضخامت سازه نسبت به قطرش کوچک است‪،‬‬
‫ب‪ -‬پوسته های مدور جدارکلفت که ضخامت آنها در مقايسه با قطرشان قابل ملحظه است‪.‬‬
‫اگر سازه ای با تقارن محوری هندس ی به طور غير متقارن بارگذاری شود‪ ،‬در اين صورت يا بايد از تجزيه‬
‫فوريه بارها برای جمع آثار جواب های هارمونيک استفاده کرد و یا اینکه به صورت زیر عمل کرد‪:‬‬
‫الف‪ -‬در تحلیل پوسته های مدور جدارنازک‪ ،‬از عناصر پوسته ای عمومی استفاده نمود‪،‬‬
‫ب ‪ -‬در تحلیل پوسته های مدور جدارکلفت‪ ،‬از عناصر سه بعدی عمومی استفاده نمود‪.‬‬
‫پ‪ )1-6-‬پوسته های مدور جدارنازک‬
‫تفاوت با عنصر خمش صفحه ای‪ :‬عناصر مدور جدارنازک تحت اثر نيروهای درون صفحه ای قرار دارند و تحت اثر‬
‫برش و لنگر پیچش ی قرار ندارند‪.‬‬
‫تفاوت با عنصر تنش مسطح‪ :‬عناصر مدور جدارنازک تحت اثر لنگر خمش ی قرار دارند‪.‬‬
‫تفاوت با عنصر پوسته ای عمومی‪ :‬عناصر مدور جدارنازک تحت اثر برش و لنگر پیچش ی قرار ندارند‪.‬‬
‫‪ -‬عنصر پیشنهادی دارای دو گره حلقوی است‪.‬‬
‫ هر گره شامل حرکت های محوری‪ ،‬شعاعی و‬‫یک دوران می باشد‪.‬‬
‫ مولفه های بردار تغیيرمکان گرهی‪:‬‬‫یا‬
‫‪ -‬مولفه های بردار نيروی گرهی‪:‬‬
‫نحوه گسسته سازی‪:‬‬
‫در حالت پوسته استوانه ای مدور‬
‫در حالت صفحه مسطح دایروی‬
‫توابع تغیيرمکان‪:‬‬
‫‪ -‬مولفه های کرنش‪:‬‬
‫ مولفه های تنش‪:‬‬‫‪ -‬ماتریس مصالح ‪:C‬‬
‫‪ -‬نحوه انتگرال گيری‪:‬‬
‫توجه شود که در حالت‬
‫داریم‪ :‬پوسته استوانه ای مدور‬
‫توجه شود که در حالت‬
‫داریم‪ :‬صفحه مسطح دایروی‬
‫پ‪ )2-6-‬پوسته های مدور جدارکلفت‬
‫اجسام با محور تقارن و بدنه های دیوار ضخیم و دوار (مانند پیستونها و راکت ها) با استفاده از عناصر‬‫محدود خاص ی تحلیل می شوند‪.‬‬
‫هر عنصر حاوی یک حلقه توپری است که سطح مقطع آن به شکل خاص ی نظير مستطیلی‪ ،‬چهار ضلعی‬‫و مثلثی ایجاد می گردد‪.‬‬
‫‪ -‬با توجه به سادگی و قابلیت کاربرد‪ ،‬عناصر مثلثی دوار بیشتر مورد توجه قرار گرفته اند‪.‬‬
‫املان با محور تقارن‬
‫جسم با محور تقارن‬
‫نحوه گسسته سازی‪:‬‬
‫بسط ماتریس های سختی این عناصر شبیه به بسط ماتریس های مربوط به عنصر مثلثی االستیسیته صفحه ای‬
‫می باشد‪ .‬اختلف اصلی در مولفه های تنش است‪ .‬به عبارت دیگر یک مولفه اضافی به نام تنش محیطی‬
‫اضافه می گردد‪.‬‬
‫‪ -‬مولفه های تغیير شکل‪:‬‬
‫‪ -‬توابع تغیيرمکان‪:‬‬
‫‪ -‬مولفه های کرنش‪:‬‬
‫‪ -‬مولفه های تنش‪:‬‬
‫‪ -‬نحوه انتگرال گيری‪:‬‬
‫به منظور اجتناب از عملیات طوالنی انتگرال گيری‪ ،‬یک تقریب ساده ای که منجر به نتایج خوبی گردیده‬
‫است استفاده می شود‪ .‬تقریب مذکور به این صورت است که ماتریس‪ B‬برای یک نقطه مرکز شکل درون‬
‫تقریب می شود‪ ،‬مورد ارزیابی قرار می گيرد‪.‬‬
‫املان به وسیله مختصات‬
‫لذا ماتریس سختی به سادگی به صورت زیر‬
‫درمیآید که سطح مثلث است ‪.‬‬
‫به جای ‪ r ,z‬مقادیر‬
‫جایگذاری می شود‪.‬‬
‫پ‪ )7-‬عنصر پوسته ای‬
‫ پوسته ها سازه هایی هستند که دارای انحناء (در یک بعد مانند استوانه‪ ،‬در دو بعد مانند گنبد و ‪ )...‬می باشند و‬‫ضخامت آنها در مقایسه با دو بعد دیگر به طور قابل ملحظه ای کوچک است‪ .‬در ضمن تحت بارگذاری دلخواهی‬
‫قرار دارند‪.‬‬
‫ وجه تمایز پوسته ها با صفحات خمش ی آن است که صفحات تنها تحت اثر نيروهای خمش ی و برش ی قرار دارند‪،‬‬‫در حالی که پوسته ها علوه بر نيروهای خمش ی و برش ی‪ ،‬تحت اثر نيروهای غشایی(محوری) (‪ )Membrane‬نيز قرار‬
‫دارند‪.‬‬
‫ در یک سازه صفحه ای که با عنصر خمش صفحه مدل شده است‪ ،‬در هر گره سه درجه آزادی داریم‪w , θx , θy :‬‬‫ ولی در یک سازه پوسته ای که با عناصر پوسته ای مدل شده است در هر گره شش درجه آزادی داریم‪θx , θy ( :‬‬‫‪) , θz , u , v , w‬‬
‫ وضعیت تنش در پوسته ها مشابه وضعیت تنش در صفحات خمش ی می باشد‪.‬‬‫ بنابراین وجه تشابه صفحات خمش ی و پوسته ها این است که‬‫پوسته یا صفحه (در جهت عمود بر میان سطح ) صفر می باشد‪.‬‬
‫می باشد‪ ،‬یعنی تنش در سرتاسر ضخامت‬
‫وضعيت نيروهای داخلی در پوسته ها‪:‬‬
‫ در هر نقطه از پوسته جمعا ده کميت زير مشخص کننده برآيند نيروهای داخلی در پوسته مي باشند‪:‬‬‫ نيروهای غشایی یا میدان غشایی‪:‬‬‫‪ -‬نيروهای برش ی‪ ،‬لنگرهای خمش ی و پیچش ی یا میدان خمش ی‪:‬‬
‫روابط نيرو – تنش در پوسته های عمومی نازک‪:‬‬
‫ طبقه بندی پوسته ها‬‫از نظر گسترش پذيری‪:‬‬
‫الف‪ -‬پوسته های گسترش پذير‬
‫ پوسته هايي هستند که سطح هندس ی آنها را بدون اينکه در آن بريدگی بوجود آورده و يا اينکه بوسيله ای در پوسته تنش و‬‫تغييرشکل ايجاد کنيم‪ ،‬بتوان به شکل صفحه ای مستوی در آورد‪ .‬پوسته های استوانه ای که دارای انحناء یکجانبه می‬
‫باشند از نوع پوسته های گسترش پذیر به شمار می روند‪.‬‬
‫ب‪ -‬پوسته های گسترش ناپذير‬
‫ پوسته هايي هستند که سطح هندس ی آنها را صرفا مي توان از طريق بريدگی و يا ايجاد تنش و تغييرشکل به شکل صفحه ای‬‫مستوی در آورد‪ .‬پوسته های کروی که دارای انحناء دو جانبه می باشند از نوع پوسته های گسترش ناپذیر به شمار می روند‪.‬‬
‫از نظر شکل هندس ی‪:‬‬
‫الف‪ -‬سطوح انتقالی‬
‫سطح حاصله از لغزاندن يک منحنی صفحه ای را روی منحنی صفحه ای ديگر‪ ،‬يک سطح انتقالی مي گويند‪.‬‬
‫ب) سطح دورانی‬
‫سطح حاصله از دوران يک منحنی صفحه ای حول يک محور دوران را سطح دورانی مي گويند‪.‬‬
‫پ) سطح لغزش ی‬
‫چنانکه انتهای خطی مستقيم بر روی دو منحنی صفحه ای قرار داشته و اين خط روی آن دو منحنی بلغزد‪ ،‬سطحی حاصل مي‬
‫شود که آن سطح را سطح لغزش ی می نامند‪.‬‬
‫ت) سطح مرکب‬
‫از ترکيب انواع سطوح سه گانه انتقالی‪ ،‬دورانی و لغزش ی مي توان سطوح مرکب بيشماری را بدست آورد‪.‬‬
‫از نظر شعاع های انحناء‪:‬‬
‫الف‪ -‬چنان که حاصل ضرب دو شعاع اصلی انحناء در هر نقطه از پوسته – که انحنای گوس ی ناميده مي شود‪ -‬مثبت‬
‫باشد‪ ،‬پوسته سين کلستيک ناميده مي شود‪.‬‬
‫ب‪ -‬چنان که حاصل ضرب دو شعاع اصلی انحناء در هر نقطه از پوسته منفی باشد‪ ،‬پوسته آنتی کلستيک ناميده مي شود‪.‬‬
‫پ‪ -‬چنان که يکی از دو شعاع انحناء مساوی صفر باشد‪ ،‬پوسته با انحناء گوس ی صفر ناميده مي شود‪.‬‬
‫در حالت کلی دو نوع عنصر پوسته ای وجود دارد ‪:‬‬
‫‪ -1‬عنصر پوسته ای عمومی که برای مدل نمودن پوسته های با انحناء زیاد به کار می رود (عناصر پوسته ای‬
‫عمومی ایزوپارامتریک که علوه بر کارایی و کارامدی فوق العاده‪ ،‬توانایی در برگرفتن اثر تغیير شکل های برش ی را نيز‬
‫دارند)‪.‬‬
‫(فرمول بندی این نوع عنصر پوسته ای در سرفصل های دوره دکترای سازه ارائه خواهد شد)‪.‬‬
‫‪ -2‬عنصر پوسته ای تخت مستطیلی که برای مدل نمودن پوسته های با انحناء کم و صفحاتی که علوه بر نيروهای‬
‫خمش ی و برش ی‪ ،‬تحت اثر نيروهای درون صفحه ای یا غشایی قرار دارند‪ ،‬به کار می رود (نظير شبکه های دو الیه با‬
‫صفحه تقویتی در الیه فشاری و نيز سازه های پلیسه ای )‪.‬‬
‫پ‪ )1-7-‬عنصر محدود پوسته های تخت مستطيلی‬
‫يک عنصر تخت مستطيلی پوسته ای ساده را مي توان از جمع آثار رفتار خمش صفحه ای و رفتار تنش مسطح عنصر مورد‬
‫دست آورد‬
‫استفاده به‬
‫پوسته‪ .‬ای برای مدل نمودن پوسته های با انحناء کم و صفحاتی به کار مي روند که عالوه بر نیروهای‬
‫مستطيلی‬
‫عنصر تخت‬
‫صفحه ای يا غشايي قرار دارند‪.‬‬
‫نیروهایتدرون‬
‫عنصرتحت‬
‫سختیبرش ی‬
‫خمش ی و‬
‫است از‪:‬‬
‫پوسته‬
‫ماتريس‬
‫اثرای عبار‬
‫ماتريس سختی در دستگاه محلی مربوط به رفتار خمش ی عنصر‬
‫ماتريس سختی در دستگاه محلی مربوط به رفتار غشايي عنصر‬
‫اين عنصر پوسته ای را مي توان مستقيما در تحليل انواع مختلفی از سازه های پوسته ای به کار برد‪ .‬از آنجا که در اين تحليل‬
‫ها‪ ،‬در هر گره شش درجه آزادی داريم‪ ،‬ماتريس های سختی عنصری را که متناظر با درجات آزادی کلی مي باشند مي توان‬
‫با استفاده از تبديل زير محاسبه نمود‪:‬‬
‫ماتريس تبديل بین درجات آزادی محلی و کلی عنصر مي باشد‬
‫نحوه اصالح رابطه تا ضرايب سختی مربوط به دوران های محلی حول محور ‪ z‬در گره ها را‬
‫شامل شود‪ .‬اين ضرايب مساوی صفر قرار داده شده اند به اين دليل که اين درجات آزادی‬
‫در فرمول بندی عنصر در نظر گرفته نشده اند‬
‫جواب يک مدل را ميتوان با استفاده از رابطه فوق به دست آورد‪ ،‬به شرط اينکه عناصر احاطه کننده يک گره هم صفحه‬
‫نباشند‪ .‬در غیر اينصورت ماتريس سختی کلی مي تواند به علت وجود عناصر قطری صفر و مشکالت ناش ی از حل معادالت‬
‫تعادل کلی تکین باشد‪ .‬برای اجتناب از اين مساله داريم‪:‬‬
‫پ‪ )8-‬عنصر سه بعدی عمومی‬
‫ برای تحلیل اجسام جامد سه بعدی (‪ )Three-dimensional solid body‬که‬‫تحت اثر بارگذاری دلخواهی قرار دارند‪ ،‬به کار می روند‪.‬‬
‫‪ -‬مولفه های تغیيرشکل‪:‬‬
‫‪u,v,w‬‬
‫ توابع تغیيرشکل ( عنصر سه بعدی می باشد)‪:‬‬‫ مولفه های کرنش( حالت عمومی کرنش)‪:‬‬‫ مولفه های تنش( حالت عمومی تنش)‪:‬‬‫‪ -‬ماتریس مصالح ‪:C‬‬
‫‪c b a‬‬
‫‪ -‬نحوه انتگرال گيری‪:‬‬
‫‪K     B T CBdxdydz‬‬
‫‪0 0 0‬‬
‫‪ -7‬همگرایی (‪)Convergence‬‬
‫الف) منظور از همگرایی‬
‫مروری دیگر بر فرایند تحلیل‬
‫عناصر محدود ‪:‬‬
‫منظور اصلی از همگرایی جواب های تقریبی تحلیل عناصر محدود (‪،)Approximate finite element solution‬‬
‫همگرایی به جواب کامل ( ‪ )Exact solution - Analytical solution - Closed-form solution‬مدل ریاض ی می‬
‫باشد‪.‬‬
‫جواب تقریبی عناصر محدود‬
‫جواب کامل مدل ریاض ی‬
‫اگر معادالت دیفرانسیل حرکت‪ ،‬مانند حالت تحلیل یک پوسته پیچیده‪ ،‬نامشخص باشند و یا پیدا کردن جواب‬
‫های تحلیلی امکان پذیر نباشد‪ ،‬در این صورت همگرایی جواب های تحلیل عناصر محدود را می توان تنها بر مبنای‬
‫این واقعیت ارزیابی نمود که تمامی شرایط اساس ی سینماتیک‪ ،‬ایستایی و شرایط مشخصه که در مدل ریاض ی‬
‫نهفته هستند‪ ،‬باید در نهایت در همگرایی تامين شوند‪.‬‬
‫ب‪ -‬خطاهای تحلیل عناصر محدود‬
‫ اگر جواب های تقریبی تحلیل عناصر محدود را با پاسخ کامل مدل ریاض ی در نظر بگيریم‪ ،‬در این صورت شناخت‬‫منابع خطا که در نتایج حل عناصر محدود اثر می گذارند‪ ،‬ضروری است‪ .‬در جدول زیر خطاها و منبع وقوع خطاها‬
‫نشان داده می شوند‪.‬‬
‫در حالت کلی خطاها را می توان به دو گونه طبقه بندی کرد‪:‬‬
‫الف) خطاهای ناش ی از عملیات ریاض ی‪،‬‬
‫ب) خطاهای ناش ی از گسسته سازی‪.‬‬
‫آنچه که در اصل مد نظر است‪ ” ،‬کاهش خطاهای ناش ی از گسسته سازی است“‪ .‬به عبارت دیگر ما ” مدلی را در نظر‬
‫می گيریم که در آن سایر خطاهای ناش ی از انجام عملیات ریاض ی رخ نمی دهند؛ یعنی یک مساله ایستایی خطی با‬
‫هندسه ای که به طور کامل با محاسبه کامل ماتریس های عناصر محدود و حل کامل معادالت نمایش داده می شود و‬
‫نيز از خطاهای گرد کردن نيز صرفنظر می شود“‪.‬‬
‫پ‪ -‬تعریف همگرایی‪:‬‬
‫بحثی در مورد تعریف همگرایی با استفاده از ‪:‬‬
‫• معیار تغیير مکان‪،‬‬
‫• معیار نيرو‪،‬‬
‫• معیار انرژی‪.‬‬
‫‪ -‬برای مساله مدل مذکور معادله اصلی کار مجازی حاکم بر جواب کامل مدل ریاض ی را به صورت زیر می نویسیم‪:‬‬
‫برای اینکه جواب کامل مدل ریاض ی باشد‪ ،‬باید تغیيرمکان های مجازی اختیاری ( و کرنش های مجازی متناظر‬
‫) در رابطه مذکور صدق کنند‪ ،‬با این شرط که تغیيرمکان های از پیش تعیين شده و متناظر با آن باید صفر‬
‫باشند‪.‬‬
‫معادله (‪ )a‬را با یک نمادگذاری ساده نشان می دهیم‪:‬‬‫تغیيرمکان های کامل ‪ ( u‬و تنش های متناظر )را به گونه ای پیدا کنید که به ازای تمام تغیيرمکان های قابل‬‫قبول ‪( v‬معادل تغیيرمکان های مجازی ) داشته باشیم‪:‬‬
‫‪linear form‬‬
‫‪Bilinear form‬‬
‫به عبارت دیگر داریم‪:‬‬
‫بنابراین فرم های دو خطی و خطی مذکور‪ ،‬به طور ضمنی داللت بر یک پروسه انتگرال گيری دارند‪.‬‬
‫از رابطه )‪ ، a(u , v)=(f , v‬انرژی کرنش ی مربوط به جواب کامل ‪ u‬به صورت زیر به دست می آید‪:‬‬
‫می باشد ( ‪ h‬در اینجا نشانگر اندازه عنصر عمومی می‬
‫ فرض می کنیم که جواب تحلیل عناصر محدود ‪،‬‬‫باشد و از این رو یک شبکه خاص را نشان می دهد)‪ ،‬در این صورت همگرایی را به صورت زیر تعریف می کنیم‪:‬‬
‫از نقطه نظر فيزیکی‪ ،‬گزاره مذکور‪ ،‬بدین معنی است که به ميزانی که شبکه عناصر محدود ریزتر می شود‪ ،‬انرژی‬
‫کرنش ی محاسبه شده از طریق حل عناصر محدود به انرژی کرنش ی کامل مدل ریاض ی همگرا می شود‪.‬‬
‫ در تحلیل عناصر محدود تغیيرمکان ها در کل کمتر از حد واقعی تخمين زده می شوند و‬‫بنابراین سختی مدل ریاض ی نيز در کل بیش از حد واقعی ارزیابی می گردد‪ .‬این تخمين بیش‬
‫از حد واقعی سختی (به طور فيزیکی) ناش ی از قیدهای تغیيرمکانی داخلی می باشد که آنها نيز‬
‫به علت فرض های تغیيرمکان‪ ،‬به طور ضمنی بر جواب تحلیل اعمال می گردند‪ .‬به ميزانی‬
‫که گسسته سازی عناصر محدود ریزتر می گردد‪ ،‬قیدهای تغیيرمکانی داخلی کاهش پیدا می‬
‫کنند و همگرایی به جواب کامل و سختی مدل ریاض ی حاصل می شود‪.‬‬
‫فرمول بندی عناصر محدود مبتنی بر تغیيرمکان‪ ،‬منجر به یک کران پایين تر (‪ )Lower bound‬در روی انرژی‬
‫کرنش ی کامل سیستم مورد نظر می شود‪ ،‬یعنی‪ ،‬فرمول بندی تغیير مکان‪ ،‬سختی سیستم را ‪ Overestimate‬و‬
‫تغیير مکان سیستم را ‪ Underestimate‬می کند‪.‬‬
‫(مفهوم همگرایی یکنوا)‬
‫‪Exact strain energy‬‬
‫‪Finite element strain energy‬‬
‫‪Exact displacements‬‬
‫‪Finite element displacements‬‬
‫‪ α‬ميزان رواداری مورد نظر (بر مبنای انرژی) برای همگرایی است‪.‬‬
‫‪Finite element stiffness‬‬
‫‪Exact stiffness‬‬
‫مثالی از همگرایی یکنوا‬
‫گسسته سازی ‪ 4‬عنصری‬
‫گسسته سازی ‪ 16‬عنصری‬
‫گسسته سازی ‪ 36‬عنصری‬
‫گسسته سازی ‪ 64‬عنصری‬
‫گسسته سازی ‪ 100‬عنصری‬
‫گسسته سازی‬
‫تغییر مکان ‪ U‬در زیر‬
‫بار ‪P‬‬
‫تغییر مکان ‪ V‬در زیر‬
‫بار ‪P‬‬
‫‪ 4‬عنصری‬
‫‪67.5259E-03‬‬
‫‪-102.236E-03‬‬
‫‪ 16‬عنصری‬
‫‪74.9082E-03‬‬
‫‪-124.911E-03‬‬
‫‪ 36‬عنصری‬
‫‪80.6202E-03‬‬
‫‪-138.265E-03‬‬
‫‪ 64‬عنصری‬
‫‪84.0879E-03‬‬
‫‪-147.104E-03‬‬
‫‪ 100‬عنصری‬
‫‪86.4E-03‬‬
‫‪-153.502E-03‬‬
‫آنایز حساسیت‬
‫شبکه عناصر‬
‫محدود‬
‫مثالی از همگرایی یکنوا‬
‫خمش صفحه‪:‬‬
‫گسسته سازی ‪ 4‬عنصری‬
‫گسسته سازی ‪ 16‬عنصری‬
‫گسسته سازی ‪ 64‬عنصری‬
‫گسسته سازی ‪ 256‬عنصری‬
‫گسسته سازی‬
‫تغییر مکان ‪ w‬در زیر‬
‫بار ‪P‬‬
‫‪ 4‬عنصری‬
‫‪-0.0594‬‬
‫‪ 16‬عنصری‬
‫‪-0.278658‬‬
‫‪ 64‬عنصری‬
‫‪-0.300838‬‬
‫‪ 256‬عنصری‬
‫‪-0.305912‬‬
‫آنایز حساسیت‬
‫شبکه عناصر‬
‫محدود‬
‫ت) معیارهای همگرایی یکنوا (‪)Monotonic convergence‬‬
‫ برای همگرایی یکنوا دو شرط الزم است‪ - :‬کامل بودن عنصر (‪)Complete‬‬‫‪ -‬سازگار بودن عناصر و شبکه (‪)Compatible‬‬
‫اگر دو شرط فوق تامين شوند‪ ،‬در این صورت به ميزانی که تظریف شبکه عناصر محدود ادامه پیدا می کند‪،‬‬
‫دقت نتایج حل به طور پیوسته افزایش خواهند یافت‪.‬‬
‫تظریف شبکه باید از طریق تقسیم نمودن عناصر مورد استفاده پیشين به دو عنصر یا بیشتر انجام گيرد‪ ،‬در این‬
‫صورت شبکه قدیمی در شبکه جدید لحاظ می شود‪ .‬از نکته نظر ریاض ی‪ ،‬این بدان معنی است که فضای جدید توابع‬
‫درون یابی عناصر محدود شامل فضای استفاده شده پیشين خواهد بود و به ميزانی که شبکه تظریف می شود‪ ،‬بعد‬
‫فضای جواب های عناصر محدود به طور پیوسته افزایش پیدا می کند تا در نهایت شامل جواب کامل شود‪.‬‬
‫سه روش مورد استفاده در تظریف شبکه عناصر محدود‪:‬‬
‫‪ -1‬روش تحلیل ‪:h‬‬
‫ مطابق با این روش‪ ،‬در دنباله ای از شبکه ها‪ ،‬از یک نوع عنصر‬‫استفاده می شود و اندازه عناصر به طور یکنواخت کاهش پیدا می کند (‬
‫کاهش ‪.)h‬‬
‫سه روش مورد استفاده در تظریف شبکه عناصر محدود‪:‬‬
‫‪ -2‬روش تحلیل ‪p‬‬
‫ مطابق با این روش‪ ،‬یک شبکه اولیه با عناصر نسبتا بزرگ و با‬‫مرتبه پایين تر انتخاب شده و سپس درجه بسط های چند جمله‬
‫ای تغیيرمکان در عناصر‪ ،‬به طور پیاپی افزایش داده می شود (‬
‫افزایش ‪ p‬درجه بسط چند جمله ای) ( معادل اضافه نمودن گره‬
‫ها در یک عنصر)‪.‬‬
‫سه روش مورد استفاده در تظریف شبکه عناصر محدود‪:‬‬
‫‪ -3‬روش تحلیل ‪:h/p‬‬
‫ مطابق با این روش ‪ ،‬همزمان تعداد عناصر محدود و نيز مرتبه توابع‬‫تغیيرمکان در عناصر افزایش داده می شوند‪.‬‬
‫شرط کامل بودن یک عنصر‬
‫بدین معنی است که توابع‬
‫تغیيرمکان عنصر باید قادر‬
‫باشند که تغیيرمکان های صلب‬
‫جسمی را به نمایش گذارند‪.‬‬
‫تعداد مدهای صلب جسمی یک عنصر مساوی تعداد درجات آزادی عنصر منهای تعداد مدهای کرنش ی می باشد‪.‬‬
‫تعداد درجات آزادی= تعداد مدهای صلب جسمی ‪ +‬تعداد مودهای کرنش ی‬
‫برای عناصر محدود پیچیده تر‪ ،‬تعداد مدهای کرنش ی و مدهای صلب جسمی را می توان به طور موثری با نمایش‬
‫ماتریس سختی عنصر بر مبنای ویژه بردارها نشان داد یعنی‪:‬‬
‫مستقیما سختی عنصر را در مد تغیيرمکان مربوطه نشان می دهد ( از آنجا که‬
‫ ضرایب سختی‬‫تحلیل عناصر محدود سختی سازه را بیش از اندازه واقعی تخمين می زند‪ ،‬از این رو هر اندازه ویژه مقادیر کوچکتر‬
‫باشند‪ ،‬عنصر موثرتر خواهد بود)‪.‬‬
‫شرط سازگاری (‪ )Compatibility requirement‬بدین معنی است که تغیيرمکان ها در عناصر و در‬
‫سرتاسر مرزهای عناصر باید پیوسته باشند‪ .‬بنابراین از نکته نظر فيزیکی‪ ،‬هنگامی که سازه بارگذاری می شود‪،‬‬
‫شرط سازگاری تضمين می کند که هیچ گونه فاصله و درزی بين عناصر ایجاد نشود‪.‬‬
‫هنگامی که تنها درجات آزادی انتقالی در گره های عناصر تعریف می شوند‪ ،‬در این صورت پیوستگی در تغیيرمکان‬
‫های ‪ - u, v, w‬هر کدام که قابل کاربرد باشند ‪ -‬باید حفظ شود‪.‬‬
‫هنگامی که درجات آزادی دورانی در گره های عناصر تعریف می شوند که از مشتق گيری تغیيرمکان های جانبی بدست‬
‫می آیند‪ ،‬در این صورت ضروری است که پیوستگی در مشتقات اول تغیيرمکان های مربوطه نيز تامين شوند ( مثل در‬
‫صفحات پیوستگی ‪ əw/ əx‬و ‪ əw/ əy‬در امتداد لبه های عنصر باید تامين شوند)‪.‬‬
‫ سازگاری بين عناصر خرپایی و تيری به طور خودکار تامين می شود‪ ،‬زیرا آنها تنها در نقاط گرهی به یکدیگر اتصال‬‫می یابند و لبه های مجاور در این عناصر وجود ندارد‪.‬‬
‫ حفظ سازگاری در حالت کرنش مسطح دوبعدی‪ ،‬تنش مسطح و تحلیل متقارن محوری و نيز هنگامی که در تحلیل‬‫سه بعدی فقط درجات آزادی ‪ u,w,v‬به عنوان متغيرهای نقاط گرهی مورد استفاده قرار می گيرند‪ ،‬امکان پذیر‬
‫است‪.‬‬
‫ احراز شرایط سازگاری در تحلیل پوسته ها و صفحات که در آنها دوران ها از مشتقات تغیيرمکان جانبی بدست می‬‫آیند‪ ،‬دشوار می باشد‪ .‬بدین علت‪ ،‬تاکید زیادی به سمت بسط و ایجاد عناصر صفحه ای و پوسته ای سوق داده شده‬
‫است که در آنها تغیيرمکان ها و دوران ها به عنوان متغير مستقل با توابع درون یابی خاص مربوط به خود در نظر‬
‫گرفته می شوند‪.‬‬