Transcript Slide 1

1
‫عناوین‬
‫تعاریف اساسی‬
‫قضیه اویلر‬
‫ماتریس مجاورت‬
‫ماتریس برخورد‬
‫گراف های خاص‬
‫یک ریختی گراف ها‬
‫گراف های مسطح شده‬
‫گراف اویلری‬
‫قضایای گراف‬
‫درخت‬
‫‪2‬‬
‫قضایای درخت‬
‫گراف همیلتونی‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 1‬‬
‫هرگاه ‪ A‬و ‪ B‬مجموعه های ناتهی باشند‪ A×B .‬را حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه گویند که به صورت‬
‫زیر تعریف میشود‪:‬‬
‫}‪A B  {(a, b) a  A, b  B‬‬
‫‪ A‬و ‪ B‬را یک زوج مرتب می نامیم یعنی ترتیب نوشتن مولفه های ‪ A‬و ‪ B‬در آن اهمیت دارد‪ .‬به عبارت‬
‫دیگر در حالت کلی‬
‫)‪(a, b)  (b, a‬‬
‫اما هرگاه نوشتن ترتیب مولفه ها بی اهمیت باشد از نماد‬
‫‪‬‬
‫استفاده می کنیم‪.‬‬
‫‪ A  B‬را به صورت زیر تعریف می کنیم‪.‬‬
‫}‪{a, b}  {b, a}, A  B  {{a, b} a  A, b  B‬‬
‫‪3‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 2‬‬
‫یک گراف از یک مجموعه ‪ V‬به نام مجموعه رأس ها یا گره ها (نقطه)‪ ،‬یک مجموعة ‪ E‬به نام مجموعة یالها‬
‫(خطوط یا لبه ها) ویک نگاشت به این صورت که از مجموعه یالها به ‪ F : E  V  V‬یا ‪E  V  V‬‬
‫مجموعه زوج مرتب ها یا نامرتب ها ) ‪(V V ,V  V‬‬
‫یک گراف را نماد)‪ G(V,E,F‬یا )‪ G(E,V‬یا ‪ G‬نمایش می دهند‪.‬‬
‫مجموعه ‪ E‬و ‪ V‬را با نماد)‪ G(E‬و )‪ G(V‬نمایش می دهند‪ .‬تعداد اعضای ‪ V‬را مرتبة ‪ G‬گوییم‪ .‬تعداد اعضای ‪E‬‬
‫را مجموعه یالها(اندازه یال) گوییم‪.‬‬
‫‪G(E)=3‬‬
‫‪G(V)=4‬‬
‫‪4‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 3‬‬
‫یال ‪ e‬را سودار یا جهت دار می نامیم اگر نظیر زوج مرتبی از رئوس ‪ u‬و ‪ v‬باشد‪ .‬درغیراین صورت یال ‪ e‬را‬
‫بی سو(فاقدسو) می نامیم‪.‬‬
‫یال جهت دار را با نماد‬
‫‪5‬‬
‫نشان می دهیم و اغلب به آن کمان گوییم‪.‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 4‬‬
‫گرافی که تمام یالهای آن جهت دار باشد یک گراف جهت دار و گرافی را که تمام یال های آن بی جهت‬
‫باشد یک گراف بی جهت و گرافی که دارای یال های جهت دار و بی جهت باشدگراف مخلوط می نامیم‪.‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫اگر مجموعه رئوس به صورت }‪ V={v1,v2,v3‬و }‪ E={e1,e2,e3‬باشد‪ ،‬گراف آن را رسم کنید؟‬
‫‪6‬‬
‫‪V V‬‬
‫‪E‬‬
‫‪V1 V2‬‬
‫‪e1‬‬
‫‪V1 V3‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪V3 V3‬‬
‫‪e3‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪V3‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 5‬‬
‫اگر در گراف ‪ G‬بین بعضی از رئوس بیش از یک یال وجود داشته باشد( یا ‪ G‬دارای یالهای چندگانه باشد)‪،‬‬
‫‪ G‬را گراف چندگانه می نامیم‪.‬‬
‫تعریف ‪: 6‬‬
‫هرگاه یک یال از رأسی شروع و به همان رأس ختم شود آن را یک طوق می نامیم‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 7‬‬
‫اگر گراف )‪ ،G(V,E‬یک گراف باشد آنگاه یک مسیر دنباله ای از رأس ها و یال های ‪ G‬است که به طور‬
‫متناوب دنبال یکدیگر قرار می گیرند‪.‬‬
‫‪v4‬‬
‫‪e4‬‬
‫‪v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v5‬‬
‫‪v5‬‬
‫‪e3‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪e1‬‬
‫‪v1‬‬
‫به طور کلی یال ‪ ei‬تالقی رئوس )‪ (Vi,Vi+1‬برای ‪.i=1,2,3,…,n-1‬‬
‫‪8‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫نمایش یک مسیر‬
‫یک مسیر را با رأس های موجود در آن به صورت زیر نمایش می دهیم‪:‬‬
‫‪v4‬‬
‫‪v1 - v5‬‬
‫‪e4‬‬
‫یا ‪v1 v2 v3 v4 v5‬‬
‫‪v5‬‬
‫‪e3‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪e1‬‬
‫‪v3‬‬
‫در حالت کلی ‪V1 . . . Vn :‬‬
‫همچنین یک مسیر را می توان با یال های موجود در آن به صورت زیر نمایش داد‪.‬‬
‫‪e1 - e5‬‬
‫‪9‬‬
‫یا‬
‫‪e1 e2 e3 e4‬‬
‫‪v1‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 8‬‬
‫هرگاه مسیری از رئوس متمایز تشکیل شده باشد آن را مسیر ساده می نامیم‪.‬‬
‫هرگاه مسیری دارای یال های متمایز باشد آن را گذر یا تریل می نامیم‪.‬‬
‫نکته‬
‫هرگاه در یک مسیر رئوس متمایز باشند آنگاه یال ها نیز متمایزند‪ .‬اما عکس این مطلب درست نیست‪.‬‬
‫ممکن است یال ها چندگانه باشد ولی رئوس چندگانه نباشد‪.‬‬
‫لذا‬
‫هر مسیر ساده یک گذر است اما هر گذر الزاماً یک مسیر ساده نیست‪.‬‬
‫دور مسیر ساده ای است که رئوس ابتدا و انتهای آن برهم منطبق هستند‪.‬‬
‫هر یال که در یک دور وجود داشته باشد یک یال دوری نامیده می شود‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 10‬‬
‫مسیری از یک گراف را که شامل تمام رئوس گراف باشد یک مسیر فراگیر گوییم‪.‬‬
‫تعریف ‪: 11‬‬
‫طول یک مسیر یا یک دور‪ ،‬تعداد یالهای موجود در آن(به انضمام یالهای تکراری) می باشد‪.‬‬
‫یک ‪-k‬دور‪ ،‬دوری به طول ‪ k‬ویک ‪-k‬مسیر مسیری است به طول ‪.k‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫‪v7‬‬
‫‪v9‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪v6‬‬
‫مسیر‬
‫‪11‬‬
‫‪v2 v1 v3 v4 v6 v8 v9‬‬
‫‪v4‬‬
‫‪v10‬‬
‫دور‬
‫‪v2 v3 v4 v5 v7 v2‬‬
‫گذر‬
‫‪v4 v6 v8 v9‬‬
‫مسیرفراگیر‬
‫‪v8‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪v9 v8 v10 v8 v6 v4 v5 v7 v2 v1 v3‬‬
‫‪v5‬‬
‫‪v1‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 12‬‬
‫گراف ‪ G‬را همبند گوییم هرگاه بین هردو رأس متمایز آن حداقل یک مسیر وجود داشته باشد‬
‫و درغیر این صورت ‪ G‬را غیرهمبند می نامیم‪.‬‬
‫‪v6‬‬
‫‪G1‬‬
‫‪v4‬‬
‫‪v8‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪v7‬‬
‫‪v5‬‬
‫نا همبند‬
‫توجه‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪G2‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪v2‬‬
‫همبند‬
‫رأسی مانند ‪ v8‬در گراف ‪ G1‬را یک رأس تنها می نامیم‪.‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 13‬‬
‫گراف ‪ h‬را زیرگراف گراف ‪ G‬می نامیم اگر یالها و رأسهای ‪ h‬به مجموعه یالها و رأسهای ‪ G‬متعلق‬
‫باشند‪ .‬به عبارت دیگر اگر > ‪ G=< V,E‬و > ʹ‪ H=< Vʹ,E‬باشد‪ H ،‬را زیرگراف ‪ G‬می نامیم‬
‫هرگاه ʹ‪ V‬زیرمجموعة ‪ V‬و ʹ‪ E‬زیرمجموعة ‪ E‬باشد‪.‬‬
‫) ‪( E  E,V   V‬‬
‫‪G‬‬
‫‪13‬‬
‫با حذف یک یال‬
‫‪H4‬‬
‫‪H3‬‬
‫‪H2‬‬
‫‪H1‬‬
‫با حذف دو یال‬
‫‪H8‬‬
‫‪H7‬‬
‫‪H6‬‬
‫‪H5‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 14‬‬
‫زیرگراف ‪ H‬از گراف ‪ G‬را یک زیرگراف فراگیر از ‪ G‬می نامیم هرگاه شامل تمام‬
‫رئوس ‪ G‬باشد‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫توجه‪:‬‬
‫هرگاه ‪W‬و‪ V‬رئوس ‪ H‬باشند که ‪ H‬زیرگراف ‪ G‬است و )‪ (VW‬یالی از ‪ G‬باشد لزوماً ‪ VW‬یالی از ‪ H‬نیست‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 15‬‬
‫فرض کنید ‪ H‬یک زیرگراف از ‪G‬و ʹ‪ V‬مجموعة رئوس ‪ H‬باشد‪ H .‬را یک زیرگراف القا شده‬
‫از ‪ G‬می نامیم هرگاه شامل همة یالهای ‪ G‬باشد که رئوس ʹ‪ V‬را به هم وصل می کند‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫القا شده‬
‫‪15‬‬
‫القا شده نیست‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 16‬‬
‫هرگاه گراف ‪ G‬همبند نباشد از چند قسمت تشکیل شده است که هرکدام از آن قسمت ها‬
‫یک مولفة گراف ‪ G‬نامگذاری شده است‪.‬‬
‫گراف همبند دارای یک مولفه است که آن خود گراف است‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫تعاریف اساسی‬
‫تعریف ‪: 17‬‬
‫هرگاه ‪ G‬گرافی بی جهت با مجموعه رئوس ‪ V‬باشد‪ ،‬آنگاه تعداد یالهایی را که در یک رأس‬
‫مانند ‪ u‬تالقی داشته باشد‪ ،‬درجه رأس ‪ u‬نامیده و آن را با )‪ d(v‬یا )‪ deg(v‬نشان می دهند‪.‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪Deg(v1) = 2‬‬
‫‪Deg(v2) = 3‬‬
‫‪Deg(v3) = 2‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪V5‬‬
‫‪V3‬‬
‫‪V4‬‬
‫نکته‪:‬‬
‫در محاسبه درجه هر طوقه دو یال به حساب می آید لذا درجة رأسی که یک طوقه در آن تشکیل شده است‬
‫بدون درنظرگرفتن یالهای دیگر ‪ 2‬است ‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫تعاریف اساسی‬
:18 ‫تعریف‬
:‫ را به صورت زیر تعریف می کنیم‬G ‫ درجةگراف‬:‫درجه یک گراف‬
d(G) = deg(G) = max deg(Ui)
V3
V2
V6
V4
V1
V5
Ui  V
Deg(v1) = 4
Deg(v2) = 3
Deg(v3) = 3
Deg(v4) = 4
Deg(v5) = 2
Deg(v6) = 2
Deg(G) = max deg(Ui) = 4
18
‫قضیه اویلر‬
‫اگر ‪ G‬گرافی با ‪ p‬رأس و ‪ q‬یال باشد‪ ،‬آنگاه مجموع درجه های رئوس ‪2، G‬برابر تعداد یالهای ‪ G‬است‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ deg(v )  2q‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 0‬‬
‫اثبات‪( :‬استقرا)‬
‫‪p‬‬
‫‪ deg(1)  2q‬‬
‫تذکر‪:‬‬
‫‪q=1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫گاهی درجه گراف را با ∆ نمایش می دهیم‪.‬‬
‫∆ برای بزرگترین درجه گراف‬
‫‪p‬‬
‫‪ deg(v)  2q‬‬
‫‪i‬‬
‫∂ برای کوچکترین درجه گراف‬
‫‪K=q‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪K=q+1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1  q )  2q‬‬
‫‪ deg(v )  2   deg(v)  2  2q  2(‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪q‬‬
‫‪19‬‬
‫‪i 0‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 0‬‬
‫ماتریس مجاورت‬
‫هرگاه ‪ G‬یک گراف با ‪ M‬رأس و ‪ N‬یال باشد ماتریس ‪ A  (aij ) mm‬را ماتریس مجاورت گوییم‬
‫هرگاه‬
‫اگر ‪ Vi‬و ‪ Vj‬توسط یک یال متصل باشند‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫اگر بین ‪ Vi‬و ‪ Vj‬یالی نباشد‬
‫مثال‬
‫‪V1 V 2 V 3 V 4 V 5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪20‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪V 1 0‬‬
‫‪V 2 1‬‬
‫‪V 3 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪V 4 0‬‬
‫‪V 5 1‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪V3‬‬
‫‪V4‬‬
‫‪V5‬‬
‫عناصر قطر اصلی همواره صفر هستند‪.‬‬
‫خواص ماتریس مجاورت‬
‫هرگاه ‪ G‬یک گرافی با مجموعه رئوس }‪ V={V1,. . . , Vm‬و مجموعه یالهای }‪ E={E1,. . . ,En‬و‬
‫ماتریس مجاورت ‪ A  (aij )mn‬باشد آنگاه‬
‫‪ A )1‬ماتریس ‪ m×m‬و متقارن است‪.‬‬
‫‪ )2‬تمام عضوهای روی قطر اصلی ماتریس ‪ A‬برابر صفر می باشد‪.‬‬
‫‪ )3‬مجموع جمالت هر سطر یا ستون از ماتریس ‪ A‬درجة رأس متناظر با آن سطر یا ستون می باشد‪.‬‬
‫‪ )4‬جمالت ماتریس مجاورت ‪ A‬از صفر و یک تشکیل شده است‪ .‬به طوریکه در صورت وجود یال }‪{ViVj‬‬
‫جمله مربوطه برابر یک و درغیراین صورت برابر صفر است‪.‬‬
‫قضیه‬
‫جمله )‪(i,j‬ام ماتریس‪A p‬‬
‫‪21‬‬
‫‪p‬‬
‫‪،‬‬
‫‪ij‬‬
‫‪a‬‬
‫برابر مجموع مسیرهای به طول ‪ p‬بین رئوس ‪ Vi‬و ‪ Vj‬میباشد‪.‬‬
‫ماتریس برخورد‬
‫اگر > ‪ G = < E,V‬گرافی بی جهت با مجموعه رئوس }‪ V={V1, . . . ,Vm‬و مجموعه یالهای‬
‫}‪ E={e1, . . . ,em‬باشد‪ ،‬ماتریس برخورد ‪ m×n‬است و ‪ M (i, j ) mn‬بطوریکه‬
‫اگر ‪ Vi‬و ‪ Vj‬توسط یک یال متصل باشند‬
‫اگر بین ‪ Vi‬و ‪ Vj‬یالی نباشد‬
‫‪e‬‬
‫‪7‬‬
‫‪e‬‬
‫‪6‬‬
‫‪e5‬‬
‫‪e3 e4‬‬
‫‪M  (m, j ) mn‬‬
‫‪e1 e2‬‬
‫‪0 1 0 0 0 1‬‬
‫‪1 0 0 0 0 0‬‬
‫‪1 1 1 1 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 1 0 1 0‬‬
‫‪0 0 0 1 1 1‬‬
‫‪22‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪V 1 1‬‬
‫‪V 2 1‬‬
‫‪V 3 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪V 4 0‬‬
‫‪V 5 0‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪e1‬‬
‫‪e3‬‬
‫‪V3‬‬
‫‪e4‬‬
‫‪V4‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪e5‬‬
‫‪e6‬‬
‫‪e7‬‬
‫‪V5‬‬
‫خواص ماتریس برخورد‬
‫هرگاه گراف ‪ G‬با ‪ m‬رأس و ‪ n‬یال و ماتریس برخورد آن ‪ M‬باشد‪:‬‬
‫‪ )1‬جمالت ماتریس مجاورت ‪ M‬از صفر و یک تشکیل شده است‪. .‬‬
‫‪ )2‬مجموع جمالت هر سطر از ماتریس ‪ M‬درجه رأس نظیر آن می باشد‪.‬‬
‫‪ )3‬مجموع جمالت هر ستون از ماتریس ‪ M‬برابر ‪ 2‬است‪ .‬زیرا هر یال با دو رأس متالقی است‪.‬‬
‫مثال‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪A  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪V3‬‬
‫‪V5‬‬
‫‪V4‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪23‬‬
‫‪V3‬‬
‫‪V4‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪V5‬‬
‫گراف های خاص‬
‫گراف های منظم ‪:‬‬
‫گرافی است که تمام رئوس آن از درجة مساوی باشد‪ .‬اگر درجة تمام رئوس گراف ‪ G‬برابر ‪ k‬باشد آنگاه‬
‫‪ G‬را یک گراف منظم از درجة ‪ k‬یا یک گراف ‪k‬منتظم می نامیم‪.‬‬
‫مثال‬
‫‪ -0‬منتظم‬
‫‪ -1‬منتظم‬
‫‪ -2‬منتظم‬
‫‪24‬‬
‫گراف های خاص‬
‫گراف های مکعبی ‪:‬‬
‫گراف های سه منتظم را گراف های مکعبی گوییم‪.‬‬
‫‪ -3‬منتظم‬
‫کامل‬
‫‪25‬‬
‫کامل‬
‫ناکامل‬
‫گراف های خاص‬
‫گراف های کامل ‪:‬‬
‫گراف ‪ G‬را گراف کامل گوییم هرگاه بین هردو رأس آن یک یال وجود داشته باشد‪ .‬و اگر ‪G‬‬
‫کامل با ‪ n‬رأس باشد آن را با ‪ Kn‬نشان می دهیم‪(.‬اگر درجه هر رأس آن ‪ n-1‬باشد گوییم‬
‫گراف کامل است‪).‬‬
‫مثال‬
‫تعداد یالهای موجود در گراف کامل برابر است با‪:‬‬
‫‪26‬‬
‫)‪ n  n(n  1‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫گراف های خاص‬
‫مکمل گراف ‪: G‬‬
‫مکمل گراف ‪ G‬را با ‪G( G‬بار) نشان می دهیم‪ .‬زیرگرافی از ‪ Kn‬است که شامل همة‬
‫رأس های ‪G‬بوده و شامل تمام یال هایی در ‪ Kn‬است که در ‪ G‬نیست‪.‬‬
‫مثال‬
‫گراف کامل‬
‫‪27‬‬
‫‪G G‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G  V , E ‬‬
‫‪G‬‬
‫‪G  V , E ‬‬
‫گراف های خاص‬
‫گراف های دوبخشی‪:‬‬
‫فرض کنید ‪ G‬گرافی با مجموعة رئوس ‪ V‬باشد‪ V1 .‬و ‪ V2‬دو مجموعه جدا از هم باشند و هیچ‬
‫دو رأسی از ‪ V1‬و ‪ V2‬به هم متصل نباشد‪ .‬از طرفی هریال رأسی از ‪ V1‬را به ‪ V2‬متصل کند‪،‬‬
‫گراف دوبخشی گوییم‪.‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪v5‬‬
‫‪28‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪v4‬‬
‫‪V2‬‬
‫گراف های خاص‬
‫گراف های دوبخشی کامل‪:‬‬
‫اگر گراف ‪ G‬یک گراف دوبخشی باشد که در آن هر رأس از ‪ V1‬به تمام رئوس ‪ V2‬متصل شده‬
‫باشد‪ G ،‬را یک گراف دوبخشی کامل می گوییم‪.‬‬
‫‪ V1‬با ‪ n‬رأس و ‪ V2‬با ‪ m‬رأس که‬
‫‪v2‬‬
‫‪v5‬‬
‫‪29‬‬
‫‪mn‬‬
‫‪v1‬‬
‫‪v4‬‬
‫‪km,n‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪v3‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪k2,3‬‬
‫یک ریختی گراف ها‬
‫فرض کنید >‪ G1=<V1,E1‬و >‪ G2=<V2,E2‬دو گراف غیرجهتدار باشند‪ ،‬گراف ‪ G1‬را یک ریخت‬
‫‪G1  G2‬‬
‫با گراف ‪ G2‬نامیم هرگاه (اگر و تنها اگر)‬
‫‪ )1‬یک تابع یک به یک و پوشا به صورت ‪F : V1  V2‬‬
‫وجود داشته باشد به طوری که یک تناظر‬
‫بین درجة رئوس وجود داشته باشد‪.‬‬
‫‪ )2‬اگر ‪( F (u), F (v))  E2 , (u, v)  E1‬‬
‫‪az‬‬
‫‪b y‬‬
‫‪cz‬‬
‫‪dw‬‬
‫‪30‬‬
‫باشد‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪b‬‬
‫‪z‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪w‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫تعریف درجه برای گراف های جهت دار‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪31‬‬
‫) ‪deg(V‬‬
‫‪ :‬درجه ورودی در گراف جهت دار یعنی تعداد یالهایی که به ‪ V‬وارد می شوند‪.‬‬
‫) ‪deg(V ‬‬
‫‪ :‬درجه خروجی در گراف جهت دار یعنی تعداد یالهایی که از ‪ V‬خارج می شوند‪.‬‬
‫گراف های مسطح شده ‪:‬‬
‫گراف های مسطح شده گرافی است که چنان در صفحه رسم شده که یال های آن یکدیگر را به‬
‫جز رئوسی که از آنها می گذرند قطع نکنند‪.‬‬
‫گراف مسطح گرافی است که با یک گراف مسطح شده یک ریخت باشد‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫مسطح شده‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫مسطح شده نیست‬
‫اما مسطح است‬
‫‪32‬‬
‫گراف اویلری‪:‬‬
‫فرض کنید >‪ ،G=<V,E‬این گراف یا چند گراف غیرجهت دار باشد گوییم ‪ G‬یک مدار اویلری دارد‪،‬‬
‫هرگاه یک مدار در ‪ G‬موجود باشد به طوری که هر یال را دقیقاً یکبار طی کند‪.‬‬
‫گراف همبند ‪ G‬را گراف اویلری گوییم هرگاه یک مدار اویلری داشته باشیم‪.‬‬
‫گذر اویلری‬
‫همان مدار اویلری است با این تفاوت که ابتدا و انتهای آن یکی نیست‪.‬‬
‫گراف همبند ‪ G‬را نیمه اویلری گوییم هرگاه دارای گذر اویلری باشد‪.‬‬
‫نیمه اویلری‬
‫‪33‬‬
‫(گذر اویلری دارد)‬
‫‪‬‬
‫تعریف ‪:‬‬
‫هرگاه ‪ deg V=1‬گوییم یک رأس آویزان یا سرشاخه داریم‪.‬‬
‫‪34‬‬
‫گراف همیلتونی‪:‬‬
‫مسیری در یک گراف را همیلتونی گوییم هرگاه از هر رأس گراف دقیقاً یکبار گذر کنیم‪ .‬هر مسیر‬
‫بسته همیلتونی را یک دور همیلتونی گوییم‪.‬‬
‫گراف را همیلتونی گوییم هرگاه یک دور همیلتونی داشته باشد و گراف را نیمه همیلتونی گوییم‬
‫هرگاه یک مسیر همیلتونی داشته باشد‪.‬‬
‫نیمه همیلتونی‬
‫‪35‬‬
‫‪‬‬
‫قضایای گراف‬
‫قضیه‪:‬‬
‫گراف همبند ‪ G‬اویلری است اگروتنها اگر درجة هر رأس زوج باشد‪.‬‬
‫نتیجه‪:‬‬
‫گراف همبند ‪ G‬نیمه اویلری است اگروتنها اگر دو رأس درجه فرد داشته باشد‪.‬‬
‫(هرگاه گرافی به تعداد کافی یال داشته باشد یعنی هرقدر درجة هر رأس بزرگتر باشد احتمال اینکه گراف‬
‫مورد نظر همیلتونی باشد بیشتر است‪).‬‬
‫قضیه اور(‪:)ORE‬‬
‫اگر ‪ G‬گرافی سادة ‪ n‬رأسی (‪ )n>=3‬باشد که در آن برای هر دو رأس غیرمجاور‬
‫‪ x‬و‪ y‬داشته باشیم‪:‬‬
‫‪deg( x)  deg( y)  n‬‬
‫‪22 4‬‬
‫‪36‬‬
‫قضایای گراف‬
‫قضیه دیراک (‪:)Dirac‬‬
‫اگر ‪ G‬گرافی سادة ‪ n‬رأسی (‪ )n>=3‬باشد به طوری که درجة هر رأس حداقل‪  n ‬است‪،‬‬
‫آنگاه ‪ G‬همیلتونی است‬
‫‪37‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫درخت‬
‫فرض کنید ‪ G‬گرافی غیرجهتدار و خالی از طوقه باشد‪ ،‬گوییم ‪ G‬یک درخت است هرگاه همبند‬
‫بوده و فاقد دور باشد‪.‬‬
‫تعریف‪:‬‬
‫فرض می کنیم ‪ T‬زیرگرافی از گراف همبند ‪ G‬باشد به طوریکه ‪ T‬درخت بوده و مجموعه‬
‫رئوس آن دقیقاً مجموعة رئوس ‪ G‬باشد‪ ،‬در این صورت گوییم ‪ T‬یک درخت فراگیر ‪G‬است‪.‬‬
‫(منظور از فراگیر همان پوشاست‪).‬‬
‫‪G‬‬
‫‪38‬‬
‫غیرفراگیر‬
‫فراگیر‬
‫قضایای درخت‬
‫قضیه‪:‬‬
‫قضیه‪:‬‬
‫در هر درخت هر دو رأس به وسیله مسیری یکتا به یکدیگر متصل اند‪.‬‬
‫درخت ‪ T‬با ‪ n‬رأس دارای ‪ n-1‬یال است‪.‬‬
‫قضیه‪:‬‬
‫گراف ‪ T‬یک درخت است اگروتنها اگر فاقد دور باشد و افزودن هر یالی به آن یک دور تشکیل می دهد‪.‬‬
‫قضیه‪:‬‬
‫‪39‬‬
‫اگر ‪ T‬گرافی همبند با ‪ n‬رأس و ‪ n-1‬یال باشد آنگاه ‪ T‬یک درخت است‪.‬‬
‫قضایای درخت‬
‫قضیه‪:‬‬
‫قضیه‪:‬‬
‫قضیه‪:‬‬
‫‪40‬‬
‫فرض کنید ‪ T‬یک گراف ‪ n‬رأسی باشد‪ .‬دراین صورت گزاره های زیر هم ارزند‪:‬‬
‫‪ T (1‬یک درخت است‪.‬‬
‫‪ T (2‬دور ندارد و ‪ n-1‬یال دارد‪.‬‬
‫‪ T (3‬همبند است و ‪ n-1‬یال دارد‪.‬‬
‫‪ T (4‬همبند است و هر یال آن یک پل است‪.‬‬
‫‪ (5‬هر دو رأس ‪ T‬فقط با یک مسیر همبند هستند‪.‬‬
‫‪ T (6‬دور ندارد ولی افزایش هر یال جدید دقیقاً یک دور در آن تولید می کند‪.‬‬
‫‪ G‬دارای درخت فراگیر است اگروتنهااگر ‪ G‬همبند باشد‪.‬‬
‫هر درخت ‪ (T  V , E ) T‬که ‪ V  2‬حداقل دو رأس سرشاخه ای دارد‪.‬‬