Transcript Slide 1
1
عناوین
تعاریف اساسی
قضیه اویلر
ماتریس مجاورت
ماتریس برخورد
گراف های خاص
یک ریختی گراف ها
گراف های مسطح شده
گراف اویلری
قضایای گراف
درخت
2
قضایای درخت
گراف همیلتونی
تعاریف اساسی
تعریف : 1
هرگاه Aو Bمجموعه های ناتهی باشند A×B .را حاصل ضرب دکارتی دو مجموعه گویند که به صورت
زیر تعریف میشود:
}A B {(a, b) a A, b B
Aو Bرا یک زوج مرتب می نامیم یعنی ترتیب نوشتن مولفه های Aو Bدر آن اهمیت دارد .به عبارت
دیگر در حالت کلی
)(a, b) (b, a
اما هرگاه نوشتن ترتیب مولفه ها بی اهمیت باشد از نماد
استفاده می کنیم.
A Bرا به صورت زیر تعریف می کنیم.
}{a, b} {b, a}, A B {{a, b} a A, b B
3
تعاریف اساسی
تعریف : 2
یک گراف از یک مجموعه Vبه نام مجموعه رأس ها یا گره ها (نقطه) ،یک مجموعة Eبه نام مجموعة یالها
(خطوط یا لبه ها) ویک نگاشت به این صورت که از مجموعه یالها به F : E V Vیا E V V
مجموعه زوج مرتب ها یا نامرتب ها ) (V V ,V V
یک گراف را نماد) G(V,E,Fیا ) G(E,Vیا Gنمایش می دهند.
مجموعه Eو Vرا با نماد) G(Eو ) G(Vنمایش می دهند .تعداد اعضای Vرا مرتبة Gگوییم .تعداد اعضای E
را مجموعه یالها(اندازه یال) گوییم.
G(E)=3
G(V)=4
4
تعاریف اساسی
تعریف : 3
یال eرا سودار یا جهت دار می نامیم اگر نظیر زوج مرتبی از رئوس uو vباشد .درغیراین صورت یال eرا
بی سو(فاقدسو) می نامیم.
یال جهت دار را با نماد
5
نشان می دهیم و اغلب به آن کمان گوییم.
تعاریف اساسی
تعریف : 4
گرافی که تمام یالهای آن جهت دار باشد یک گراف جهت دار و گرافی را که تمام یال های آن بی جهت
باشد یک گراف بی جهت و گرافی که دارای یال های جهت دار و بی جهت باشدگراف مخلوط می نامیم.
مثال:
اگر مجموعه رئوس به صورت } V={v1,v2,v3و } E={e1,e2,e3باشد ،گراف آن را رسم کنید؟
6
V V
E
V1 V2
e1
V1 V3
e2
V3 V3
e3
V2
V1
V3
تعاریف اساسی
تعریف : 5
اگر در گراف Gبین بعضی از رئوس بیش از یک یال وجود داشته باشد( یا Gدارای یالهای چندگانه باشد)،
Gرا گراف چندگانه می نامیم.
تعریف : 6
هرگاه یک یال از رأسی شروع و به همان رأس ختم شود آن را یک طوق می نامیم.
7
تعاریف اساسی
تعریف : 7
اگر گراف ) ،G(V,Eیک گراف باشد آنگاه یک مسیر دنباله ای از رأس ها و یال های Gاست که به طور
متناوب دنبال یکدیگر قرار می گیرند.
v4
e4
v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v5
v5
e3
v2
e2
v3
e1
v1
به طور کلی یال eiتالقی رئوس ) (Vi,Vi+1برای .i=1,2,3,…,n-1
8
تعاریف اساسی
نمایش یک مسیر
یک مسیر را با رأس های موجود در آن به صورت زیر نمایش می دهیم:
v4
v1 - v5
e4
یا v1 v2 v3 v4 v5
v5
e3
v2
e2
e1
v3
در حالت کلی V1 . . . Vn :
همچنین یک مسیر را می توان با یال های موجود در آن به صورت زیر نمایش داد.
e1 - e5
9
یا
e1 e2 e3 e4
v1
تعاریف اساسی
تعریف : 8
هرگاه مسیری از رئوس متمایز تشکیل شده باشد آن را مسیر ساده می نامیم.
هرگاه مسیری دارای یال های متمایز باشد آن را گذر یا تریل می نامیم.
نکته
هرگاه در یک مسیر رئوس متمایز باشند آنگاه یال ها نیز متمایزند .اما عکس این مطلب درست نیست.
ممکن است یال ها چندگانه باشد ولی رئوس چندگانه نباشد.
لذا
هر مسیر ساده یک گذر است اما هر گذر الزاماً یک مسیر ساده نیست.
دور مسیر ساده ای است که رئوس ابتدا و انتهای آن برهم منطبق هستند.
هر یال که در یک دور وجود داشته باشد یک یال دوری نامیده می شود.
10
تعاریف اساسی
تعریف : 10
مسیری از یک گراف را که شامل تمام رئوس گراف باشد یک مسیر فراگیر گوییم.
تعریف : 11
طول یک مسیر یا یک دور ،تعداد یالهای موجود در آن(به انضمام یالهای تکراری) می باشد.
یک -kدور ،دوری به طول kویک -kمسیر مسیری است به طول .k
مثال:
v7
v9
v3
v6
مسیر
11
v2 v1 v3 v4 v6 v8 v9
v4
v10
دور
v2 v3 v4 v5 v7 v2
گذر
v4 v6 v8 v9
مسیرفراگیر
v8
v2
v9 v8 v10 v8 v6 v4 v5 v7 v2 v1 v3
v5
v1
تعاریف اساسی
تعریف : 12
گراف Gرا همبند گوییم هرگاه بین هردو رأس متمایز آن حداقل یک مسیر وجود داشته باشد
و درغیر این صورت Gرا غیرهمبند می نامیم.
v6
G1
v4
v8
v1
v3
v7
v5
نا همبند
توجه:
12
G2
v2
v1
v3
v2
همبند
رأسی مانند v8در گراف G1را یک رأس تنها می نامیم.
تعاریف اساسی
تعریف : 13
گراف hرا زیرگراف گراف Gمی نامیم اگر یالها و رأسهای hبه مجموعه یالها و رأسهای Gمتعلق
باشند .به عبارت دیگر اگر > G=< V,Eو > ʹ H=< Vʹ,Eباشد H ،را زیرگراف Gمی نامیم
هرگاه ʹ Vزیرمجموعة Vو ʹ Eزیرمجموعة Eباشد.
) ( E E,V V
G
13
با حذف یک یال
H4
H3
H2
H1
با حذف دو یال
H8
H7
H6
H5
تعاریف اساسی
تعریف : 14
زیرگراف Hاز گراف Gرا یک زیرگراف فراگیر از Gمی نامیم هرگاه شامل تمام
رئوس Gباشد.
G
توجه:
هرگاه Wو Vرئوس Hباشند که Hزیرگراف Gاست و ) (VWیالی از Gباشد لزوماً VWیالی از Hنیست.
14
تعاریف اساسی
تعریف : 15
فرض کنید Hیک زیرگراف از Gو ʹ Vمجموعة رئوس Hباشد H .را یک زیرگراف القا شده
از Gمی نامیم هرگاه شامل همة یالهای Gباشد که رئوس ʹ Vرا به هم وصل می کند.
G
القا شده
15
القا شده نیست
تعاریف اساسی
تعریف : 16
هرگاه گراف Gهمبند نباشد از چند قسمت تشکیل شده است که هرکدام از آن قسمت ها
یک مولفة گراف Gنامگذاری شده است.
گراف همبند دارای یک مولفه است که آن خود گراف است.
16
تعاریف اساسی
تعریف : 17
هرگاه Gگرافی بی جهت با مجموعه رئوس Vباشد ،آنگاه تعداد یالهایی را که در یک رأس
مانند uتالقی داشته باشد ،درجه رأس uنامیده و آن را با ) d(vیا ) deg(vنشان می دهند.
V1
Deg(v1) = 2
Deg(v2) = 3
Deg(v3) = 2
V2
V5
V3
V4
نکته:
در محاسبه درجه هر طوقه دو یال به حساب می آید لذا درجة رأسی که یک طوقه در آن تشکیل شده است
بدون درنظرگرفتن یالهای دیگر 2است .
17
تعاریف اساسی
:18 تعریف
: را به صورت زیر تعریف می کنیمG درجةگراف:درجه یک گراف
d(G) = deg(G) = max deg(Ui)
V3
V2
V6
V4
V1
V5
Ui V
Deg(v1) = 4
Deg(v2) = 3
Deg(v3) = 3
Deg(v4) = 4
Deg(v5) = 2
Deg(v6) = 2
Deg(G) = max deg(Ui) = 4
18
قضیه اویلر
اگر Gگرافی با pرأس و qیال باشد ،آنگاه مجموع درجه های رئوس 2، Gبرابر تعداد یالهای Gاست.
p
deg(v ) 2q
i
i 0
اثبات( :استقرا)
p
deg(1) 2q
تذکر:
q=1
i 1
گاهی درجه گراف را با ∆ نمایش می دهیم.
∆ برای بزرگترین درجه گراف
p
deg(v) 2q
i
∂ برای کوچکترین درجه گراف
K=q
i 1
K=q+1
p
p
1 q ) 2q
deg(v ) 2 deg(v) 2 2q 2(
i
q
19
i 0
i
i 0
ماتریس مجاورت
هرگاه Gیک گراف با Mرأس و Nیال باشد ماتریس A (aij ) mmرا ماتریس مجاورت گوییم
هرگاه
اگر Viو Vjتوسط یک یال متصل باشند
1
a
0
اگر بین Viو Vjیالی نباشد
مثال
V1 V 2 V 3 V 4 V 5
1
0
1
1
0
20
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
V 1 0
V 2 1
V 3 1
V 4 0
V 5 1
V2
V1
V3
V4
V5
عناصر قطر اصلی همواره صفر هستند.
خواص ماتریس مجاورت
هرگاه Gیک گرافی با مجموعه رئوس } V={V1,. . . , Vmو مجموعه یالهای } E={E1,. . . ,Enو
ماتریس مجاورت A (aij )mnباشد آنگاه
A )1ماتریس m×mو متقارن است.
)2تمام عضوهای روی قطر اصلی ماتریس Aبرابر صفر می باشد.
)3مجموع جمالت هر سطر یا ستون از ماتریس Aدرجة رأس متناظر با آن سطر یا ستون می باشد.
)4جمالت ماتریس مجاورت Aاز صفر و یک تشکیل شده است .به طوریکه در صورت وجود یال }{ViVj
جمله مربوطه برابر یک و درغیراین صورت برابر صفر است.
قضیه
جمله )(i,jام ماتریسA p
21
p
،
ij
a
برابر مجموع مسیرهای به طول pبین رئوس Viو Vjمیباشد.
ماتریس برخورد
اگر > G = < E,Vگرافی بی جهت با مجموعه رئوس } V={V1, . . . ,Vmو مجموعه یالهای
} E={e1, . . . ,emباشد ،ماتریس برخورد m×nاست و M (i, j ) mnبطوریکه
اگر Viو Vjتوسط یک یال متصل باشند
اگر بین Viو Vjیالی نباشد
e
7
e
6
e5
e3 e4
M (m, j ) mn
e1 e2
0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 1 1
22
1
0
V 1 1
V 2 1
V 3 0
V 4 0
V 5 0
V2
e2
e1
e3
V3
e4
V4
V1
e5
e6
e7
V5
خواص ماتریس برخورد
هرگاه گراف Gبا mرأس و nیال و ماتریس برخورد آن Mباشد:
)1جمالت ماتریس مجاورت Mاز صفر و یک تشکیل شده است. .
)2مجموع جمالت هر سطر از ماتریس Mدرجه رأس نظیر آن می باشد.
)3مجموع جمالت هر ستون از ماتریس Mبرابر 2است .زیرا هر یال با دو رأس متالقی است.
مثال
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
A 0
1
0
1
1
1
1
2
0
2
0
2
1
2
1
3
0
1
0
3
1
2
1
2
0
2
A 2
0
1
V2
V1
V3
V5
V4
V1
23
V3
V4
V2
V5
گراف های خاص
گراف های منظم :
گرافی است که تمام رئوس آن از درجة مساوی باشد .اگر درجة تمام رئوس گراف Gبرابر kباشد آنگاه
Gرا یک گراف منظم از درجة kیا یک گراف kمنتظم می نامیم.
مثال
-0منتظم
-1منتظم
-2منتظم
24
گراف های خاص
گراف های مکعبی :
گراف های سه منتظم را گراف های مکعبی گوییم.
-3منتظم
کامل
25
کامل
ناکامل
گراف های خاص
گراف های کامل :
گراف Gرا گراف کامل گوییم هرگاه بین هردو رأس آن یک یال وجود داشته باشد .و اگر G
کامل با nرأس باشد آن را با Knنشان می دهیم(.اگر درجه هر رأس آن n-1باشد گوییم
گراف کامل است).
مثال
تعداد یالهای موجود در گراف کامل برابر است با:
26
) n n(n 1
2
2
گراف های خاص
مکمل گراف : G
مکمل گراف Gرا با G( Gبار) نشان می دهیم .زیرگرافی از Knاست که شامل همة
رأس های Gبوده و شامل تمام یال هایی در Knاست که در Gنیست.
مثال
گراف کامل
27
G G
G
G V , E
G
G V , E
گراف های خاص
گراف های دوبخشی:
فرض کنید Gگرافی با مجموعة رئوس Vباشد V1 .و V2دو مجموعه جدا از هم باشند و هیچ
دو رأسی از V1و V2به هم متصل نباشد .از طرفی هریال رأسی از V1را به V2متصل کند،
گراف دوبخشی گوییم.
v3
v2
v5
28
v1
V1
v4
V2
گراف های خاص
گراف های دوبخشی کامل:
اگر گراف Gیک گراف دوبخشی باشد که در آن هر رأس از V1به تمام رئوس V2متصل شده
باشد G ،را یک گراف دوبخشی کامل می گوییم.
V1با nرأس و V2با mرأس که
v2
v5
29
mn
v1
v4
km,n
V1
v3
V2
k2,3
یک ریختی گراف ها
فرض کنید > G1=<V1,E1و > G2=<V2,E2دو گراف غیرجهتدار باشند ،گراف G1را یک ریخت
G1 G2
با گراف G2نامیم هرگاه (اگر و تنها اگر)
)1یک تابع یک به یک و پوشا به صورت F : V1 V2
وجود داشته باشد به طوری که یک تناظر
بین درجة رئوس وجود داشته باشد.
)2اگر ( F (u), F (v)) E2 , (u, v) E1
az
b y
cz
dw
30
باشد.
y
b
z
a
x
w
d
c
تعریف درجه برای گراف های جهت دار:
31
) deg(V
:درجه ورودی در گراف جهت دار یعنی تعداد یالهایی که به Vوارد می شوند.
) deg(V
:درجه خروجی در گراف جهت دار یعنی تعداد یالهایی که از Vخارج می شوند.
گراف های مسطح شده :
گراف های مسطح شده گرافی است که چنان در صفحه رسم شده که یال های آن یکدیگر را به
جز رئوسی که از آنها می گذرند قطع نکنند.
گراف مسطح گرافی است که با یک گراف مسطح شده یک ریخت باشد.
a
b
d
c
مسطح شده
a
b
d
c
مسطح شده نیست
اما مسطح است
32
گراف اویلری:
فرض کنید > ،G=<V,Eاین گراف یا چند گراف غیرجهت دار باشد گوییم Gیک مدار اویلری دارد،
هرگاه یک مدار در Gموجود باشد به طوری که هر یال را دقیقاً یکبار طی کند.
گراف همبند Gرا گراف اویلری گوییم هرگاه یک مدار اویلری داشته باشیم.
گذر اویلری
همان مدار اویلری است با این تفاوت که ابتدا و انتهای آن یکی نیست.
گراف همبند Gرا نیمه اویلری گوییم هرگاه دارای گذر اویلری باشد.
نیمه اویلری
33
(گذر اویلری دارد)
تعریف :
هرگاه deg V=1گوییم یک رأس آویزان یا سرشاخه داریم.
34
گراف همیلتونی:
مسیری در یک گراف را همیلتونی گوییم هرگاه از هر رأس گراف دقیقاً یکبار گذر کنیم .هر مسیر
بسته همیلتونی را یک دور همیلتونی گوییم.
گراف را همیلتونی گوییم هرگاه یک دور همیلتونی داشته باشد و گراف را نیمه همیلتونی گوییم
هرگاه یک مسیر همیلتونی داشته باشد.
نیمه همیلتونی
35
قضایای گراف
قضیه:
گراف همبند Gاویلری است اگروتنها اگر درجة هر رأس زوج باشد.
نتیجه:
گراف همبند Gنیمه اویلری است اگروتنها اگر دو رأس درجه فرد داشته باشد.
(هرگاه گرافی به تعداد کافی یال داشته باشد یعنی هرقدر درجة هر رأس بزرگتر باشد احتمال اینکه گراف
مورد نظر همیلتونی باشد بیشتر است).
قضیه اور(:)ORE
اگر Gگرافی سادة nرأسی ( )n>=3باشد که در آن برای هر دو رأس غیرمجاور
xو yداشته باشیم:
deg( x) deg( y) n
22 4
36
قضایای گراف
قضیه دیراک (:)Dirac
اگر Gگرافی سادة nرأسی ( )n>=3باشد به طوری که درجة هر رأس حداقل n است،
آنگاه Gهمیلتونی است
37
n
n
n
2
2
2
درخت
فرض کنید Gگرافی غیرجهتدار و خالی از طوقه باشد ،گوییم Gیک درخت است هرگاه همبند
بوده و فاقد دور باشد.
تعریف:
فرض می کنیم Tزیرگرافی از گراف همبند Gباشد به طوریکه Tدرخت بوده و مجموعه
رئوس آن دقیقاً مجموعة رئوس Gباشد ،در این صورت گوییم Tیک درخت فراگیر Gاست.
(منظور از فراگیر همان پوشاست).
G
38
غیرفراگیر
فراگیر
قضایای درخت
قضیه:
قضیه:
در هر درخت هر دو رأس به وسیله مسیری یکتا به یکدیگر متصل اند.
درخت Tبا nرأس دارای n-1یال است.
قضیه:
گراف Tیک درخت است اگروتنها اگر فاقد دور باشد و افزودن هر یالی به آن یک دور تشکیل می دهد.
قضیه:
39
اگر Tگرافی همبند با nرأس و n-1یال باشد آنگاه Tیک درخت است.
قضایای درخت
قضیه:
قضیه:
قضیه:
40
فرض کنید Tیک گراف nرأسی باشد .دراین صورت گزاره های زیر هم ارزند:
T (1یک درخت است.
T (2دور ندارد و n-1یال دارد.
T (3همبند است و n-1یال دارد.
T (4همبند است و هر یال آن یک پل است.
(5هر دو رأس Tفقط با یک مسیر همبند هستند.
T (6دور ندارد ولی افزایش هر یال جدید دقیقاً یک دور در آن تولید می کند.
Gدارای درخت فراگیر است اگروتنهااگر Gهمبند باشد.
هر درخت (T V , E ) Tکه V 2حداقل دو رأس سرشاخه ای دارد.