Transcript d(z)=min(d(z), d(p)+a(pz))

‫گشت در ‪ ،G‬دنباله ناتهی ‪W=υ0e1υ1e2υ2…ekυk‬‬
‫است‪ ،‬که جمله های آن متناوبا راسها و یالها هستند به‬
‫قسمی که برای ‪ 1 ≤ i ≤ k‬دو انتهای ‪ vi-1 ،ei‬و ‪vi‬‬
‫هستند‪ .‬میگوییم ‪ W‬گشتی از ‪ v0‬به ‪ vk‬یا گشت‬
‫)‪ (v0,vk‬است‪ .‬راسهای ‪ v0‬و ‪ vk‬را به ترتیب مبدا و‬
‫انتهای ‪ W‬و ‪ v1,v2…,vk-1‬راسهای داخلی اش می‬
‫نامند‪ .‬عدد صحیح ‪ k‬طول ‪ W‬است‪.‬‬
‫گشت ‪uavfyfvgyhwbv :‬‬
‫اگر ‪ W=v0e1v1…ekvk‬و ‪W'=vkek+1vk+1…elvl‬‬
‫گشت باشند ‪ ،‬گشت ‪v0e1v1…elvl‬را که از پیوند‬
‫‪W‬و '‪W‬در ‪ vk‬به دست می آید‪ ،‬به وسیله '‪WW‬‬
‫نشان می دهند‪.‬‬
‫گشت ‪ vkekvk1-1…e1v0‬را که از وارون کردن ترتیب ‪W‬‬
‫به دست می آید با ‪W-1‬نمایش می دهند‪.‬‬
‫در گراف ساده‪ ،‬گشت ‪ v0e1v1…ekvk‬به وسیله دنباله‬
‫‪ v0v1…vk‬متشکل از راسهایش تعیین می شود‪ .‬از این‬
‫رو گشت را در گراف ساده می توان صرفا به وسیله‬
‫دنباله راسهایش مشخص کرد‪.‬‬
‫گشت ‪uavfyfvgyhwbv :‬‬
‫اگر یالهای ‪ ek,…e2,e1‬گشت ‪ W‬مجزا باشند‪ W ،‬را گذر‬
‫می نامند‪ .‬در این حالت طول ‪ W‬درست برابر )‪ε(W‬‬
‫است‪.‬‬
‫اگر عالوه بر این راسهای ‪ v0,v1,..,vk‬مجزا باشند‪W ،‬‬
‫را مسیر می نامند‪.‬‬
‫گشت ‪uavfyfvgyhwbv :‬‬
‫گذر ‪wcxdyhwbvgy :‬‬
‫مسیر‪xcwhyeuav :‬‬
‫دو راس ‪ u‬و ‪v‬ی ‪ G‬را همبند خوانند اگر مسیر )‪ (u,v‬در ‪ G‬موجود باشد‪.‬‬
‫همبندی‪ ،‬یک رابطه هم ارزی در مجموعه راسهای ‪ V‬است‪ .‬بنابراین افرازی از ‪ V‬به‬
‫زیرمجموعه های ناتهی ‪ Vw،...،V2،V1‬وجود دارد به طوری که دو راس ‪ u‬و‪v‬‬
‫همبندند اگر و تنها اگر ‪ u‬و ‪ v‬هر دو متعلق به یک مجموعه ‪ Vi‬باشند‪ .‬زیرگرافهای‬
‫]‪G[V2] ،G[V1‬و‪ G[Vw]...‬را مولفه های ‪ G‬می نامند‪.‬‬
‫اگر ‪ G‬دقیقا دارای یک مولفه باشد‪ G ،‬همبند است‪ .‬در غیر اینصورت ‪ G‬ناهمبند‬
‫است‪ .‬تعداد مولفه های ‪ G‬را با )‪ ω(G‬نشان می دهیم‪.‬‬
‫تمرین‪:‬‬
‫‪ -1‬نشان دهید که اگر ‪ eE‬آنگاه ‪(G)≤(G-e) ≤(G)+1‬‬
‫فرض کنید ‪ vV‬نشان دهید که در نابرابری باال ‪ G-v‬را نمی توان در حالت کلی به‬
‫جای ‪ G-e‬قرار داد‪.‬‬
‫‪ ‬تمرین‬
‫‪ ‬نشان دهید که اگر ‪ G‬همبند و ساده بوده اما کامل نباشد‪ ،‬آنگاه ‪ G‬دارای سه راس ‪،u‬‬
‫‪ v‬و ‪ w‬است به طوریکه ‪ uv , vw  E‬و ‪. uw  E‬‬
‫‪ ‬تمرین‬
‫‪ ‬نشان دهید که اگر ‪ G‬ساده باشد و‬
‫‪𝜈−1‬‬
‫‪2‬‬
‫> 𝜀آنگاه ‪ G‬همبند است‪.‬‬
‫‪ ‬نشان دهید که اگر ‪  2‬آنگاه ‪ G‬شامل دور است‪.‬‬
‫‪ ‬تمرین‬
‫‪ ‬کمر ‪ G‬طول کوتاهترین دور در ‪ G‬است اگر ‪ G‬دارای هیچ دوری نباشد‬
‫کمر ‪ G‬را بی نهایت تعریف می کنیم‪.‬‬
‫‪ ‬نشان دهید که‬
‫‪ ‬الف) گراف ‪ k‬منتظم چهار کمر دارای حداقل ‪ 2k‬راس است و با تقریب‬
‫یک ریختی دقیقا چنین گرافی با ‪ 2k‬راس وجود دارد‪.‬‬
‫‪ ‬ب) گراف ‪-k‬منتظم پنج کمره دارای حداقل ‪ k2+1‬راس است‪.‬‬
‫‪ ‬گراف بی دور گرافی است که شامل هیچ دوری نباشد‪.‬‬
‫‪ ‬درخت‪،‬گراف همبند بی دور است‪.‬‬
‫‪ ‬قضیه در درخت‪ ،‬هر دو راس به وسیله مسیری یکتا به هم متصلند‪.‬‬
‫‪ ‬برهان خلف‪ :‬فرض می کنیم که بین ‪ u‬و ‪ v‬دو مسیر مجزای ‪ P1‬و ‪ P2‬وجود دارد‪ .‬چون‬
‫‪ ، P1≠P2‬یال ‪ e=xy‬متعلق به ‪ P1‬موجود است که یال ‪P2‬نیست‪ .‬به وضوح گراف‬
‫‪ (P1UP2)-e‬همبند است‪ .‬لذا این گراف شامل مسیر ‪ P‬ی )‪ (x,y‬است‪ .‬اما ‪P+e‬‬
‫دوری در گراف بی دور ‪ G‬است که با فرض تناقض دارد‪.‬‬
‫‪ ‬قضیه ‪ :‬اگر ‪ G‬درخت باشد‪ ،‬آنگاه ‪.ε=v-1‬‬
‫برهان با استقرا روی ‪ .v‬وقتی ‪ ،v=1‬و ‪.ε=0=v-1‬‬
‫فرض کنید قضیه برای هر درخت با راسهای کمتراز ‪ v‬درست باشدو گیریم ‪ G‬درختی با ‪ v≥2‬راس‬
‫است‪ .‬فرض کنید ‪ .uvE‬چون ‪ uv‬مسیر )‪(v,u‬ی یکتا در ‪ G‬است‪ ،‬لذا ‪ G-uv‬شامل‬
‫هیچ مسیر )‪ (u,v‬نیست‪ .‬چون ‪ G-uv‬ناهمبند بوده و لذا‬
‫‪.w(G-uv)=2‬‬
‫پس مؤلفه های ‪ G1‬و ‪ G2‬از ‪ G-uv‬که بی دورند‪ ،‬درختند‪ .‬به عالوه هر کدام کمتر از ‪ v‬راس‬
‫دارند‪.‬‬
‫لذا بنابر فرض استقرا‬
‫‪ i=1,2‬برای ‪ε(Gi)=v(Gi)-1‬‬
‫پس‬
‫‪ε(G)=ε(G1)+ε(G2)+1=v(G1)+v(G2)-1=v(G)-1‬‬
‫‪ ‬فرع قضیه‪ :‬هر درخت نابدیهی الاقل دو راس از درجه یک دارد‪.‬‬
‫برهان فرض کنید ‪ G‬درختی نابدیهی باشد‪ .‬در این صورت‬
‫‪ vV‬به ازای هر ‪d(v)≥1‬‬
‫همچنین بنابر قضیه های قبل داریم‬
‫‪2‬‬
‫‪2v‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪d( v ) ‬‬
‫‪vV‬‬
‫حال نتیجه می شود برای حداقل دو راس ‪.d(v)=1 ،v‬‬
‫‪ ‬فاصله‬
‫طول کوتاهترين مسیر بین دو رأس در يک گراف را فاصله بین آن دو راس گويند‪.‬‬
‫‪ ‬قطر‬
‫بلندترين فاصله در يک گراف را قطر گراف گويند ‪.‬‬
‫‪ ‬فرض کنید به هر یال ‪ ِe‬از گراف ‪ G‬عدد حقیقی )‪ W(e‬که وزن آن یال نامیده‬
‫می شود همراه باشد‪.‬در این صورت ‪ G‬را همراه با این وزن ها روی یالهایش گراف‬
‫وزندار می نامند‪.‬‬
u1
2
u0
6
8
1
u2
7
u3
1
u4
5
3
4
2
9
u7
9
u5
1
2
u6
9
7
u8
6
1
3
1
u9
2
u10
4
u1
2
u0
6
8
1
u2
7
u3
1
u4
5
3
4
2
9
u7
9
u5
1
2
u6
9
7
u8
6
1
3
1
u9
2
u10
4
)‫الگوريتم محاسبة کوتاهترين مسير(ديکسترا‬
N {x}
For all node z not in N do
Begin
d(z)  a(xz)
s(z)  x
end
while y Є N
begin
p  node z not in N with d(z) min
N N Ư {p}
For all node z not in N do
Begin
Old_distance=d(z)
d(z)=min(d(z), d(p)+a(pz))
if d(z)≠ old_distance then s(z)=p
end
end
)‫الگوريتم محاسبة کوتاهترين مسير(ديکسترا‬
N {x}
For all node z not in N do
Begin
d(z)  a(xz)
s(z)  x
end
while y Є N
begin
p  node z not in N with d(z) min
N N Ư {p}
For all node z not in N do
Begin
Old_distance=d(z)
d(z)=min(d(z), d(p)+a(pz))
if d(z)≠ old_distance then s(z)=p
end
end
a2
7
a4
1
8
x
3
10
3
y
4
1
a1
6
1
a3
x
x
∞
a1
3
a2
8
a3
4
a4 y
∞ 10
a1
3
∞
∞
6
∞
∞
a2
8
∞
∞
∞
7
∞
a3
4
6
∞
∞
1
3
a4
∞
∞
1
∞
1
y
10
∞
3
1
∞
7
∞
)‫الگوريتم محاسبة کوتاهترين مسير(ديکسترا‬
N {x}
For all node z not in N do
Begin
d(z)  a(xz)
s(z)  x
end
while y Є N
begin
p  node z not in N with d(z) min
N N Ư {p}
For all node z not in N do
Begin
Old_distance=d(z)
d(z)=min(d(z), d(p)+a(pz))
if d(z)≠ old_distance then s(z)=p
end
end
a2
7
8
x
a4
1
3
10
3
4
a1
N
X
d
s
y
1
6
1
a3
{X}
a1 a2 a3 a4 y
3 8
4 ∞ 10
x x x x
x
)‫الگوريتم محاسبة کوتاهترين مسير(ديکسترا‬
N {x}
For all node z not in N do
Begin
d(z)  a(xz)
s(z)  x
end
while y Є N
begin
p  node z not in N with d(z) min
N N Ư {p}
For all node z not in N do
Begin
Old_distance=d(z)
d(z)=min(d(z), d(p)+a(pz))
if d(z)≠ old_distance then s(z)=p
end
end
a2
7
8
x
a4
1
3
10
3
4
a1
N
X
d
s
N
y
1
6
1
a3
{X}
a1 a2 a3 a4 y
3 8
4 ∞ 10
x x x x
x
{X,a1}
d(a2)=min(d(a2),d(a1)+a(a1.a2))=(8,3+∞)=8
d(a3)=min(d(a3),d(a1)+a(a1.a3))=(4,3+6)=4
d(a4)=min(d(a4),d(a1)+a(a1.a4))=(∞,3+∞)=∞
d(y)=min(d(y),d(a1)+a(a1.y))=(10,3+∞)=10
)‫الگوريتم محاسبة کوتاهترين مسير(ديکسترا‬
N {x}
For all node z not in N do
Begin
d(z)  a(xz)
s(z)  x
end
while y Є N
begin
p  node z not in N with d(z) min
N N Ư {p}
For all node z not in N do
Begin
Old_distance=d(z)
d(z)=min(d(z), d(p)+a(pz))
if d(z)≠ old_distance then s(z)=p
end
end
a2
7
8
x
N
3
10
3
4
a1
X
d
s
a4
1
a1
3
x
y
1
6
a2
8
x
1
a3
a3 a4 y
4 ∞ 10
x
x x
{X,a1,a3}
d(a2)=min(d(a2),d(a3)+a(a3.a2))=(8,4+∞)=8
d(a4)=min(∞,4+1)=5
d(y)=min(10,4+1)=5
)‫الگوريتم محاسبة کوتاهترين مسير(ديکسترا‬
N {x}
For all node z not in N do
Begin
d(z)  a(xz)
s(z)  x
end
while y Є N
begin
p  node z not in N with d(z) min
N N Ư {p}
For all node z not in N do
Begin
Old_distance=d(z)
d(z)=min(d(z), d(p)+a(pz))
if d(z)≠ old_distance then s(z)=p
end
end
a2
7
a4
1
8
x
3
10
3
4
a1
X
d
s
N
a1
3
x
y
1
6
1
a3
a2
8
x
a3 a4 y
4
5 5
x
a3 a3
{X,a1,a3,a4}
d(a2)=min(8,5+7)=8
d(y)=min(5,5+3)=5
)‫الگوريتم محاسبة کوتاهترين مسير(ديکسترا‬
N {x}
For all node z not in N do
Begin
d(z)  a(xz)
s(z)  x
end
while y Є N
begin
p  node z not in N with d(z) min
N N Ư {p}
For all node z not in N do
Begin
Old_distance=d(z)
d(z)=min(d(z), d(p)+a(pz))
if d(z)≠ old_distance then s(z)=p
end
end
a2
7
8
x
a4
1
3
10
3
4
a1
X
d
s
N
y
1
6
a1
3
x
1
a3
a2 a3 a4 y
8
4
5 5
x x
a3 a3
{X,a1,a3,a4,y}
y.a3.x
)‫الگوريتم محاسبة کوتاهترين مسير(ديکسترا‬
N {x}
For all node z not in N do
Begin
d(z)  a(xz)
s(z)  x
end
while y Є N
begin
p  node z not in N with d(z) min
N N Ư {p}
For all node z not in N do
Begin
Old_distance=d(z)
d(z)=min(d(z), d(p)+a(pz))
if d(z)≠ old_distance then s(z)=p
end
end
x
8
a1
5 1
a3
3
22
10
4
7
a2
3
3 12
a4
y
L
60
56
51
70
T
13
62
59
61
21
78
35
68
PE
MC
51
57
PA
NY
36
‫یک یال برش ی ‪ G‬یال ‪ e‬است به طوری که )‪.w(G-e)>w(G‬‬
‫قضیه ‪ :‬یال ‪ e‬از ‪ G‬یال برش ی ‪ G‬است اگر و تنها اگر ‪ e‬در هیچ دور ‪ G‬واقع نباشد‪.‬‬
‫برهان ‪ :‬فرض کنید ‪ e‬یال برش ی ‪ G‬باشد‪ .‬چون )‪ ،w(G-e)>w(G‬راسهای ‪ u‬و ‪ v‬از‬
‫‪ G‬موجودند که در ‪ G‬به هم متصلند اما در ‪ G-e‬به هم متصل نیستند‪ .‬بنابراین‬
‫مسیر ‪ِP‬ی )‪ (u,v‬در ‪ G‬وجود دارد که لزوما ‪ e‬را طی میکند‪ .‬فرض کنید که ‪ x‬و‬
‫‪ y‬دو انتهای ‪ e‬هستند و ‪ x‬قبل از ‪ y‬روی ‪ P‬است‪ .‬در ‪ u ، G-e‬به ‪ x‬به وسیله‬
‫بخش ی از ‪ P‬وصل شده و ‪ y‬به ‪ v‬بوسیله بخش ی از ‪ P‬متصل میشود‪ .‬اگر ‪ e‬در دور ‪c‬‬
‫می بود‪ x,y ،‬باید در ‪ G-e‬به وسیله مسیر ‪ C-e‬به هم متصل باشند‪ .‬بنابراین ‪ u‬و‬
‫‪ v‬در ‪ G-e‬به هم متصل خواهند بود که این یک تناقض است‪.‬‬
‫برعکس فرض کنید که ‪ e=xy‬یال برش ی ‪ g‬نباشد بنابراین )‪ .w(G-e)=w(G‬چون‬
‫مسیر )‪ (x,y‬یعنی ‪ xy‬در ‪ G‬وجود دارد‪ x,y ،‬در یک مولفه ‪ G‬هستند‪ .‬نتیجه می‬
‫شود که ‪ x‬و ‪ y‬در یک مولفه ‪ G-e‬بوده و از این رو یک مسیر ‪ِP‬ی )‪ (x,y‬در ‪G-e‬‬
‫وجود دارد‪ .‬اما در این صورت ‪ e‬روی دور ‪ P+e‬از ‪ G‬است‪.‬‬
‫قضیه ‪ :‬گراف همبند‪ ،‬درخت است اگر و تنها اگر هر یال‪ ،‬یال برش ی باشد‪.‬‬
‫برهان ‪ :‬فرض کنید ‪ G‬درخت بوده و ‪ e‬یالی از ‪ G‬باشد‪ .‬چون ‪G‬بی دور است‪ e ،‬در هیچ‬
‫دور ‪ G‬قرار ندارد و لذا بنابر قضیه قبل یال برش ی ‪ G‬است‪.‬‬
‫برعکس‪ ،‬فرض کنید که ‪ G‬همبند بوده اما درخت نباشد‪ .‬در اینصورت ‪ G‬شامل دور‬
‫‪ C‬است‪ .‬بنابر قضیه قبل‪ ،‬هیچ یال ‪ C‬نمیتواند یال برش ی ‪ G‬باشد‪.‬‬
‫درخت فراگیر ‪ ،G‬زیرگراف فراگیر ‪ G‬است که درخت است‪.‬‬
‫فرع قضیه ‪ :‬هر گراف همبند شامل درخت فراگیر ست‪.‬‬
‫برهان ‪ :‬فرض کنید ‪ G‬همبند بوده و ‪ T‬زیرگراف فراگیر همبند مینیمال ‪ G‬باشد‪ .‬بنابر‬
‫تعریف ‪ w(T)=1‬و به ازای هر یال ‪ e‬از ‪ .w(T-e)>1 ، T‬نتیجه می شود که هر‬
‫یال ‪ T‬یال برش ی است و لذا بنابر قضیه ‪ T ،4-2‬که همبند است‪ ،‬درخت است‪.‬‬
‫فرع قضیه ‪ :‬اگر ‪ G‬همبند باشد آنگاه ‪.ε≥v-1‬‬
‫برهان ‪ :‬فرض کنید ‪ G‬همبند باشد‪ .‬بنابر فرع قبل ‪ G‬شامل درخت فراگیر ‪ T‬است‪ .‬بنابراین‬
‫‪ε(G)≥ε(T)=v(T)-1=v(G)-1.‬‬
‫قضیه ‪ :‬فرض کنید ‪ T‬درخت فراگیر گراف همبند ‪ G‬بوده و گیریم ‪ e‬یالی از ‪ G‬باشد که در ‪T‬‬
‫نیست‪ .‬در اینصورت ‪ T+e‬شامل دوری یکتاست‪.‬‬
‫برهان ‪ :‬چون ‪ T‬بی دور است‪ ،‬هر دور ‪ T+e‬شامل ‪ e‬است‪ .‬به عالوه ‪ C‬دور ‪ T+e‬است اگر و‬
‫تنها اگر ‪C-e‬مسیری در ‪ T‬باشد که دو انتهای ‪ e‬را به هم متصل می سازد‪ .‬بنابرقضیه که‬
‫قبال اثبات شده ‪ T ،‬چنین مسیری یکتا دارد‪ .‬بنابراین شامل دوری یکتاست‪.‬‬
‫برای زیر مجموعه های ‪ S‬و '‪ S‬از ‪ ،V‬مجموعه یالهایی را که یک انتهای آنها در ‪ S‬و‬
‫انتهای دیگر آنها در '‪ S‬است به وسیله ]'‪ [S,S‬نمایش می دهیم‪.‬‬
‫برش یالی ‪ G‬زیر مجموعه ای از ‪ E‬به صورت ] ‪ ،[S,‬است که در آن ‪ S‬زیرمجموعه‬
‫سره ناتهی از ‪ V‬و ‪ . =V/S‬برش یالی ناتهی مینیمال ‪ G‬را بند می نامند‪ .‬مثال هر‬
‫یال برش ی ‪ ،e‬بند }‪ {e‬را به وجود می آورد‪ .‬اگر ‪ G‬همبند باشد آنگاه بند ‪B‬ی ‪G‬‬
‫زیرمجموعه مینیمالی از ‪ E‬است به طوری که ‪ G-B‬ناهمبند باشد‪.‬‬
‫نمایش می دهیم‪،‬‬
‫اگر ‪ H‬زیرگراف ‪ G‬باشد‪ ،‬مکمل ‪ H‬در ‪ G‬که آن را با )‪(G‬‬
‫زیرگراف )‪ G-E(H‬است‪ .‬اگر ‪ G‬همبند باشد زیرگرافی را به صورت که در آن ‪T‬‬
‫درخت فراگیر است‪ ،‬همدرخت ‪ G‬می نامند‪.‬‬
‫قضیه ‪:‬فرض کنید ‪ T‬درخت فراگیر گراف همبند ‪ G‬بوده و ‪ e‬یالی از ‪ T‬باشد‪ .‬در اینصورت‬
‫)‪(I‬‬
‫همدرخت ‪ T‬شامل هیچ بند ‪ G‬نیست‪.‬‬
‫)‪(II‬‬
‫‪ +e‬شامل بندی یکتا از ‪ G‬است‪.‬‬
‫برهان‪:‬‬
‫)‪ (I‬فرض کنید ‪ B‬بند ‪ G‬باشد‪ .‬در اینصورت ‪ G-B‬ناهمبند است‪.‬و لذا نمی تواند شامل درخت فراگیر ‪ T‬باشد‪ .‬بنابراین ‪ B‬در‬
‫نیست‪.‬‬
‫)‪ (II‬مجموعه راسهای یکی از دو مولفه ‪ T-e‬را به ‪ S‬نمایش می دهیم‪ .‬به وضوح‪ ،‬برش یالی ]‬
‫در ‪+e‬‬
‫‪B=[S,‬بند ‪ G‬است‪ .‬و‬
‫قرار دارد‪ .‬حال به ازای هر ‪ T-e+b ، bЄB‬درخت فراگیر ‪ G‬است‪ .‬بنابراین هر بند ‪ G‬که در ‪+e‬‬
‫باید شامل هر عامل این چنینی ‪ b‬باشد‪ .‬نتیجه می شود که ‪ B‬تنها بند ‪ G‬است که در ‪+e‬‬
‫است‪.‬‬
‫است‬
‫راس ‪ v‬راس برش ی است اگر ‪ E‬بتواند به دو زیرمجموعه ناتهی ‪ E1‬و ‪ E2‬افراز شود به‬
‫طوری که ]‪ G[E1‬و ]‪ G[E2‬تنها در راس ‪ v‬مشترک باشند‪ .‬اگر ‪ G‬بدون طوقه و‬
‫)‪.w(G-v)>w(G‬‬
‫نابدیهی باشد آنگاه ‪ v‬راس برش ی ‪ G‬است اگر و تنها اگر‬
‫قضیه ‪ :‬راس ‪v‬ی درخت ‪ G‬راس برش ی ‪ G‬است اگر و تنها اگر ‪.d(v)>1‬‬
‫برهان ‪:‬‬
‫‪ ‬اگر ‪d(v)=0‬و ‪ ، G≈K1‬به وضوح راس ‪ v‬برش ی نیست‪.‬‬
‫‪ ‬اگر ‪ d(v)=1‬و ‪ G-v‬گراف بی دور با ‪ v(G-v)-1‬یال بوده و بنابراین (تمرین ‪-1-2‬‬
‫‪ )5‬درخت است‪ .‬از اینرو )‪ w(G-v)=1=w(G‬و ‪ v‬راس برش ی ‪ G‬نیست‪.‬‬
‫‪ ‬اگر ‪ d(v)>1‬راسهای مجزای ‪ u‬و ‪w‬مجاور به ‪ v‬وجود دارند‪ .‬مسیر ‪ uvw‬مسیر‬
‫)‪ (u,w‬در ‪ G‬است‪ .‬بنابر قضیه ‪ ،uvw 1-2‬مسیر )‪(u,v‬ی یکتا در ‪ G‬است‪.‬‬
‫نتیجه میشود که هیچ مسیر )‪ (u,w‬در ‪ G-v‬وجود ندارد‪ ،‬و بنابراین ‪w(G-‬‬
‫)‪ .v)>1=w(G‬لذا ‪ v‬راس برش ی گراف ‪ G‬است‪.‬‬
‫فرع قضیه ‪ :‬هر گراف همبند بدون طوقه نابدیهی حداقل دو راس دارد که راسهای برش ی‬
‫نیستند‪.‬‬
‫برهان ‪ :‬فرض کنید ‪ G‬گراف همبند بدون طوقه نابدیهی باشد‪ .‬بنابر فرع ‪ G ، 1-4-2‬شامل‬
‫درخت فراگیر ‪ T‬است‪ .‬با توجه به فرع ‪ 2-2‬و قضیه ‪ T ، 7-2‬حداقل دو راس دارد که‬
‫راسهای برش ی نیستند‪ .‬فرض کنید ‪ v‬چنین راس ی باشد‪ .‬پس‬
‫‪w(T-v)=1‬‬
‫چون ‪ T‬زیرگراف فراگیر ‪ G‬است‪ T-v ،‬زیرگراف فراگیر ‪ G-v‬بوده و بنابراین‬
‫)‪w(G-v)≤w(T-v‬‬
‫نتیجه می شود که ‪ w(G-v)=1‬و از اینرو ‪ v‬راس برش ی ‪ G‬نیست‪ .‬چون حداقل دو راس‬
‫اینچنین وجود دارند‪ ،‬اثبات کامل است‪.‬‬