Transcript Lecture 5
ADVANCED CONTROL Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad Reference: Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999. I thank my students , Saina Ramyar and Parisa Tavakkoli, for their help in making slides of this lecture. . lecture 5 Lecture 5 Stability Topics to be covered include: Introduction. Input-Output Stability of LTI systems. Internal Stability. Lyapunov Theorem. Stability of Linear Time-Varying(LTV) Systems 2 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید • Input-output stability (BIBO) • Input-output stable systems (BIBO) خروجی-• مفهوم پایداری ورودی (BIBO) خروجی-• شرط وجود پایداری ورودی )• مفهوم پایداری داخلی (لیاپانوفی و مجانبی • Internal stability(in the sense of Lyapunov and asymptotic) • شرط وجود پایداری لیانوفی و مجانبی • Marginal and asymptotic stability conditions • بررسی پایداری مجانبی توسط معاله لیاپانوف • Internal stability by Lyapunov equation • Stability analysis for LTV state equation LTV • بررسی پایداری در سیستمهای 3 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 مقدمه Introduction خاصیت سیستم خطی Linear System property ) ytotal (t ) yzs (t ) yzi (t پاسخ ورودی صفر +پاسخ حالت صفر = پاسخ کامل پاسخ سیستمهای خطی را می توان بصورت جمع پاسخ حالت صفر و پاسخ ورودی صفر بیان نمود. -1پایداری ورودی خروجی سیستمهای خطی پایداری ( BIBOورودی کراندار خروجی کراندار) نامیده می شود( .پاسخ حالت صفر ) -2پایداری داخلی سیستمهای خطی پایداری مجانبی نامیده می شود( .پاسخ ورودی صفر ) 4 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Input output stability of LTI system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI در سیستم تک ورودی تک خروجی خطی غیر متغیر با زمان ) (LTIخروجی را میتوان بصورت ) (I t t 0 0 y(t ) g (t )u( )d g ( )u(t )d نمایش داد که ) g(tپاسخ ضربه بوده و سیستم در t=0آرام است. تعریف : 1-5یک سیستم را پایدار BIBOگویند اگر هر ورودی محدود خروجی محدود را تولید کند .این پایداری برای پاسخ حالت صفر تعریف شده و سیستم در ابتدا آرام است. قضیه : 1-5یک سیستم SISOتوصیف شده با معادالت ) (Iرا پایدار BIBOگویند اگر و فقط اگر قدر مطلق ) g(tدر بازه )∞ [0,انتگرال پذیر باشد یا 5 M عدد ثابت می باشد. Dr. Ali Karimpour Oct 2013 g (t ) dt M 0 lecture 5 Input output stability of LTI system اثبات قضیه :1-5باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: سیستم پایدار BIBO ) g(tمطلقا انتگرال پذیر ) g(tمطلقا انتگرال پذیر سیستم پایدار BIBO ابتدا قسمت اول را ثابت می کنیم. فرض کنید ) g(tبطور مطلق انتگرال پذیر است باید نشان دهیم هر ورودی کراندار منجر به خروجی کراندار می شود. ورودی کراندار دلخواه با شرط ∞ < |u(t)| ≤ umرا در نظر بگیرید: y(t ) g ( )u(t )d 0 g ( ) u(t ) d um g ( ) d um M 0 t 0 لذا خروجی محدود است .پس سیستم پایدار BIBOاست. 6 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Input output stability of LTI system اثبات قضیه (1-5ادامه) :باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: سیستم پایدار BIBO ) g(tمطلقا انتگرال پذیر ) g(tمطلقا انتگرال پذیر سیستم پایدار BIBO حال به اثبات قسمت دوم قضیه می پردازیم. فرض کنید سیستم پایدار BIBOاست باید نشان دهیم ) g(tبطور مطلق انتگرال پذیر است. نشان می دهیم اگر ) g(tمطلقا انتگرال پذیر نباشد ،به تناقض می رسیم. اگر ) g(tمطلقا انتگرال پذیر نباشد ،آنگاه یک t1وجود دارد به طوری کهg ( ) d : if g ( ) 0 فرض کنید ورودی کراندار زیر را انتخاب کنیم: 7 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 تناقض if g ( ) 0 t1 0 1 u (t ) 1 y(t ) g ( )u (t )d g ( ) d 0 0 lecture 5 Input output stability of LTI system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI آیا محدود بودن انتگرال قدرمطلق پاسخ ضربه به معنی محدود بودن پاسخ ضربه است؟ مثال :1-5تابع مقابل داده شده استfor n 1 / n t n . for n t n 1 / n 3 3 4 4 n (t n)n f (t n) n (t n)n مساحت زیر هر مثلث1/n2 : انتگرال قدر مطلق تابع : 1 ) 2 n ( n2 تابع مطلقا انتگرال پذیر است اما تابع محدود نیست و برای ∞→ tبه صفر میل نمی کند. 8 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Input output stability of LTI system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI قضیه : 2-5اگر سیستمی با پاسخ ضربه ) g(tپایدار BIBOباشد برای ∞→ tداریم: )1خروجی تحریک شده به وسیله u(t)=a ،t ≥ 0به سمت ĝ(0)×aمیل می کند. )2خروجی تحریک شده به وسیله u(t)=sin ω̥ t ، t ≥ 0به سمت میل می کند که ) ĝ(sتبدیل الپالس ) g(tاست یعنی: ) ( II gˆ (s) g ( )e d s 0 اثبات ()1 t اگر برای تمام u(t)=a ،t ≥ 0باشد ،داریم: t y (t ) g ( )u (t )d a g ( )d 0 0 طبق تعریف تبدیل الپالس به ازای s = 0نتیجه می دهد که وقتی ∞→t بخش اول قضیه 2-5اثبات شد. 9 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 )y (t ) a g ( )d ag (0 0 lecture 5 Input output stability of LTI system LTI پایداری ورودی خروجی سیستمهای )2( اثبات : خروجی عبارتست از، باشدu(t)=sin ω̥ t ورودی برابرt ≥ 0 اگر برای y(t ) g ( ) sin (t )d g ( )[sin t cos cos t sin ]d t t 0 0 0 0 0 0 0 sin t g ( ) cos d cos t g ( ) sin d t 0 t 0 0 0 y(t) sin ω t g(τ ) cos ω τdτ cos ω t g(τ ) sin ω τdτ 0 0 0 0 0 0 0 : داریمt→∞ لذا برای 0 است دو انتگرال فوق کراندار است و از طرفیBIBO چون سیستم پایدار Re[ g ( j )] g ( ) cos d Im[ g ( j )] g ( ) sin d gˆ ( j ) g ( )[cos j sin ]d 0 0 0 با جایگزینی بخشهای حقیقی و موهومی در رابطه y(t) sin ω t Re gˆ ( jω cos ω t Im gˆ ( jω gˆ ( jω ) sin ω t gˆ ( jω ) 0 0 0 0 0 0 . اثبات شد2-5 بخش دوم قضیه 0 10 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Input output stability of LTI system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI قضیه : 3-5یک سیستم SISOبا تابع انتقال گویاا و مناسا ) ĝ(sپایادار BIBOاسات اگار فقط اگر هر قط ) ĝ(sدارای بخش حقیقی منفی باشد یا ،به طور متعادل ،در نیمه چپ صفحه s واقع شود. اگر ) ĝ(sدارای قط piبا درجه تکرار miباشد ،بسط به صورت کسرهای جزئی آن شامل عوامل زیر است: 1 1 1 , ,..., s pi ( s pi ) 2 ( s pi ) mi لذا تبدیل الپالس معکوس ) ĝ(sیا پاسخ ضربه آن دارای عوامل زیر باشد. pi t e mi1 pi t pi t e , te ,...,t می توان نشان داد که هر یک از این جمله ها مطلقا انتگرال پذیر اسات اگار و فقاط اگار piدارای بخش حقیقی منفی است. 11 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Input output stability of LTI system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI مثال : 2-5پایداری BIBOسیستم مقابل را بررسی کنید. پاسخ ضربه سیستم عبارتست از: )g (t ) a (t 1) a (t 2) a (t 3) ...... a i (t i 3 می دانیم: 2 i 1 )g (t ) a (t i i i 1 حال پس سیستم برای |a|<1پایدار BIBOاست. تابع انتقال بصورت زیر است ولی نمی توان از روی آن پایداری BIBOرا تشخیص داد چرا که ... 12 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Input output stability of LTI system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI قضیه : 4-5یک سیستم MIMOتوصیف شده با ماتریس ضربه ]) G(t)=[gij(tرا پایدار BIBOگویند اگر و فقط اگر قدر مطلق ) gij(tدر بازه )∞ [0,انتگرال پذیر باشد. قضیه : 5-5یک سیستم MIMOتوصیف شده با ماتریس انتقال ]) G(s)=[gij(sرا پایدار BIBOگویند اگر و فقط اگر هر قط هر ) gij(sدارای بخش حقیقی منفی باشد. تشخیص پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTIاز معادالت فضای حالت: x Ax Bu y Cx Du ماتریس تابع انتقال عبارتست از: G ( s ) C ( sI A) B D 1 )adj ( sI A G(s) C BD sI A پس اگر کلیه مقادیر ویژه Aدارای بخش حقیقی منفی باشد .در اینصورت ....................ولی اگر ................. 13 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Input output stability of LTI system پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI مثال : 3-5شبکه نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید .معادله حالت این شبکه به صورت زیر است ،پایداری BIBOآن را بررسی کنید. ) x (t ) x(t ) 0 u (t ) y (t ) 0.5 x(t ) 0.5u (t ماتریس Aو مقدار ویژه آن برابر 1است .مقدار ویژه یک بخش حقیقی مثبت دارد تابع انتقال عبارتست از: g (s) 0.5(s 1)1 0 0.5 0.5 تابع انتقال فاقد قط است پس پایدار BIBOاست. 14 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 پایداری داخلی Internal stability تعریف :2-5پاسخ ورودی صفر سیستم ẋ = Axرا به مفهوم لیاپانوف پایدار(پایدار حاشیه ای) گویند اگر هر حالت اولیه محدود x0پاسخ محدودی را بوجود آورد .عالوه بر این اگر پاسخ به صفر میل کند پایداری مجانبی حاصل می شود. قضیه : 6-5 )1معادله ẋ = Axپایدار حاشیه ای (پایدار لیاپانوفی) است اگر و فقط اگر تمام مقاادیر ویاژه Aدارای بخشهای حقیقی صفر و منفی باشند و آنهایی کاه دارای بخاش هاای حقیقای صافر هستند ریشه های ساده چند جمله ای مینیمال Aباشند. )2معادله ẋ = Axپایدار مجانبی است اگر و فقط اگر تمام مقاادیر ویاژه Aدارای بخشاهای حقیقی منفی باشند. 15 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Internal stability پایداری داخلی اثبات قضیه – 6-5بخش اول: تبدیل همانندی پایداری یک معادله حالت را تغییر نخواهد داد. x Px x A x PAP1 x Pناویژه است بنابراین :اگر xمحدود باشد ͞x ،هم محدود خواهد بود. اگر xبرای ∞→ tبه سمت صفر میل کند ͞x ،هم به همین به سمت صفر میل می کند. می توان پایداری Aرا با استفاده از Āمورد مطالعه قرار داد ( .مقادیر ویژه Aو Āیکسان هستند). این پاسخ محدود است اگر و فقط اگر هر درایه هر درایه eĀt برای تمام t≥0محدود باشد. 16 t t t 2e 1 / 2! t 3e 1 / 3! 1t 2 1t te t e / 2! t t e1 te 1 1t 0 e Dr. Ali Karimpour Oct 2013 t te 1 t e1 0 0 )x A x x (t ) e At x (0 e 1t 0 A : Jordan Form chapter 3 e A t 0 0 lecture 5 پایداری داخلی Internal stability • اگر یک مقدار ویژه دارای بخش حقیقی منفی باشد ،هر درایه ماتریس eĀtمحدود است و برای ∞→ tبه سمت صفر میل می کند. • اگر یک مقدار ویژه دارای بخش حقیقی صفر بوده و فاقد بلوک جردنی از مرتبه 2یا باالتر باشد ،درایه مربوطه در ماتریس eĀtبرای تمام tها یک ثابت یا سینوسی است که محدود است. ← اثبات کفایت بخش اولیه قضیه 6-5 • اگر Āدارای مقدار ویژه ای با بخش حقیقی مثبت باشد ،هر درایه eĀtبه طور نامحدود افزایش می یابد. • اگر Āدارای یک مقدار ویژه ای با بخش حقیقی صفر و بلوک جردن آن از مرتبه 2یا باالتر باشاد eĀt ،دارای حداقل یک درایه خواهد بود که به طور نامحدود افزایش می یابد. اثبات قضیه – 6-5بخش دوم: برای پایدار مجانبی بودن ،هر درایه eĀtباید برای ∞→ tبه سمت صفر میل کند. هیچ مقدار ویژه ای با بخش حقیقی صفر مجاز نیست. 17 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Internal stability پایداری داخلی مثال : 4-5سیستم مقابل داده شده است ،پایداری حاشیه ای این سیستم را بررسی کنید. چندجمله ای مشخصه : )( ) 2 ( 1 چندجمله ای مینیمال : ) ( ) ( 1 0 0 0 x 0 0 0 x 0 0 1 مقادیر ویژه 0, 0, -1 : : 0ریشه ساده چندجمله ای مینیمال پایدار لیاپانوفی (حاشیه ای ) است. مثال را برای سیستم مقابل تکرار کنید : چندجمله ای مینیمال : 18 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 ) ( ) 2 ( 1 پایدار حاشیه ای نیست. 0 1 0 x 0 0 0 x 0 0 1 : 0ریشه ساده چندجمله ای مینیمال نیست. lecture 5 Internal stability and input-output stability R(s) s 1 s2 1 s 1 BIBO stability: پایداری داخلی و ورودی خروجی C (s ) مطلوبست بررسی. سیستم مقابل داده شده است:5-5 مثال BIBO پایداری مجانبی و پایداری C ( s) 1 G( s) فاقد قط سمت راست پس پایدار R( s ) s 2 Internal stability: For internal stability we need state-space model so we have: 1 x1 ( s ) s 1 s 1 x1 ( s ) R( s) s2 x2 ( s ) R(s) x1 s 1 s2 1 s 1 x2 C (s ) x2 C (s ) x2 x1 x2 x1 2 x1 r r ? 1 x1 ( s) R( s) s 1 3 x1 ( s ) R( s) s2 x2 ( s ) x2 x1 x2 r x1 2 x1 3r R(s) 3 s2 x1 + + 1 s 1 19 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Internal stability and input-output stability R(s) s 1 s2 1 s 1 C (s ) مطلوبست بررسی. سیستم مقابل داده شده است:5-5 مثال BIBO پایداری مجانبی و پایداری BIBO stability: Internal stability: فاقد قط سمت راست پس پایدار For internal stability we need state-space model so we have: x1 2 x1 3r پایداری داخلی و ورودی خروجی R(s) x2 x1 x2 r x1 2 0 x1 3 x 1 1 x 1 r 2 2 x1 c 0 1 x2 sI - A x 1 3 + 20 s2 + 1 s 1 x2 C (s ) s2 0 ( s 1)(s 2) 1 s 1 1, 2 1 2 The system is not internally stable (neither asymptotic nor Lyapunov stable). Very important note: If RHP poles and zeros between different part of system 20 omitted then the system is internally unstable although it may be BIBO stable. Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 پایداری داخلی Internal stability قضیه :7-5 تمام مقادیر ویژه ماتریس Aدارای بخش حقیقی منفی هستند ،اگر و فقط اگر برای هر ماتریس متقارن معین مثبت Nمعادله لیاپانوف AM MA Nدارای جواب متقارن، معین مثبت و یکتای Mباشد. تمرین :12-5قضیه فوق را اثبات کنید. قضیه :8-5 اگر تمام مقادیر ویژه Aدارای بخش حقیقی منفی باشند ،معادله لیاپانوف AM MA N به ازاء هر ماتریس Nدارای جواب یکتایی به صورت زیر استM e At N e At dt . 0 تمرین :13-5قضیه فوق را اثبات کنید. 21 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 BIBO stability of LTV systems پایداری BIBOدر سیستمهای LTV رابطه ورودی-خروجی یک سیستم متغیر با زمان خطی ،تک ورودی-تک خروجی: y(t ) g (t , )u ( )d t t0 یک سیستم دارای پایداری ورودی-خروجی یا BIBOاست در صورتی که هر ورودی محدود منجر به خروجی محدود شود. شرط پایداری BIBOاین است که: g (t , ) d M t , t and t t t 0 t0 0 رابطه ورودی-خروجی یک سیستم متغیر با زمان خطی ،چندمتغیره: y(t ) G(t , )u ( )d t t0 شرط پایداری BIBOسیستم فوق اینست که هر درایه Gبطور مطلق انتگرال پذیر باشد و یا G(t , ) d M t , t and t t t 22 0 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 0 t0 lecture 5 BIBO stability of LTV systems LTV در سیستمهایBIBO پایداری :در صورتی که معادالت حالت سیستم داده شده باشد x (t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) y (t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t ) :پاسخ ضربه سیستم G(t , ) C (t )(t , ) B( ) D(t ) (t ) :پاسخ حالت صفر سیستم y(t ) C(t )(t , ) B( )u( )d D(t ) (t ) t t0 وM2 ( است اگر و فقط اگرBIBO) خروجی-پاسخ حالت صفر سیستم دارای پایداری ورودی موجود باشند به قسمی کهM1 G(t , ) d M t t0 2 D(t ) M 1 t , t and t t 0 0 23 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Internal stability of LTV systems پایداری داخلی سیستمهای LTV در پایداری داخلی ورودی نداریم لذا با معادله مقابل باید کار کنیم: x A(t ) x جواب معادله حالت فوق عبارتست از: ) x(t ) (t , t ) x(t 0 0 پاسخ ورودی صفر سیستم یعنی پاسخ معادله x A(t ) x پایدار حاشیه ای است اگر هر شرط اولیه محدود منجر به حالت محدود شود. x A(t ) x پاسخ ورودی صفر سیستم محدود Mوجود داشته باشد به قسمی که 0 24 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 پایدار حاشیه ای است اگر وفقط اگر عدد ثابت و (t , t ) M , t and t t 0 0 lecture 5 Internal stability of LTV systems پایداری داخلی سیستمهای LTV در پایداری داخلی ورودی نداریم لذا با معادله مقابل باید کار کنیم: x A(t ) x جواب معادله حالت فوق عبارتست از: ) x(t ) (t , t ) x(t 0 0 پاسخ ورودی صفر سیستم یعنی پاسخ معادله x A(t ) xپایدار مجانبی است اگر هر شرط اولیه محدود پاسخ محدودی بوجود آورد که در t به صفر میل کند. پاسخ ورودی صفر سیستم x A(t ) x وجود داشته باشد به قسمی که و 0 25 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 پایدار مجانبی است اگر عدد ثابت و محدود M (t , t ) M , t and t t 0 0 (t , t ) 0 as t 0 lecture 5 Internal stability of LTV systems پایداری داخلی سیستمهای LTV مثال : 6-5سیستم مقابل داده شده است ،پایداری حاشیه ای و مجانبی این سیستم را بررسی کنید. 1 e x A(t ) x x 0 1 2t چندجمله ای مشخصه : 2 )( ) ( 1 لذا برای تمام tدو مقدار ویژه در -1داریم. می توان نشان داد که ماتریس گذار حالت عبارتست از: 2(e e ) e t t t e (t ,0) 0 t واضح است که سیستم نه پایداری حاشیه ای دارد و نه مجانبی. 26 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Exercises تمرینها 27 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 Exercises تمرینها 28 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 lecture 5 تمرینها تمرین :12-5قضیه 7-5را اثبات کنید. تمرین :13-5قضیه 8-5را اثبات کنید. 29 Dr. Ali Karimpour Oct 2013 Exercises lecture 5 Answers to selected problems جواب :1-5 It is not BIBO stable since u (t ) sin t y (t ) 0.5t sin t جواب :2-5خیر ،بلی جواب :3-5 y(t)-6و )y(t) 1.26sin(2t+1.25 جواب :6-5مجانبی نیست ولی حاشیه ای است. جواب :8-5هر دو پایدار BIBOهستند. جواب :10-5پایدار BIBOو حاشیه ای است ولی مجانبی نیست P(t) .تبدیل لیاپانوفی نیست. 30 Dr. Ali Karimpour Oct 2013