Transcript Slide 1

1
‫کنترل پیش بین و پایداری‬
‫شکوفه جعفری ‪89123012‬‬
‫سمینار درس کنترل پیش بین‬
‫استاد درس ‪ :‬آقای دکتر توحید خواه‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬فهرست‬
‫‪ (1‬معرفی کلی‬
‫‪ (2‬کنترل پیش بین غیر خطی با افق شبه بی نهایت‬
‫‪ (3‬شماتیک کنترل پیش بین غیر خطی با افق شبه بی نهایت‬
‫‪ (4‬نتایج اولیه‬
‫‪ (5‬پایداری مجانبی‬
‫‪ (6‬مثال حل شده‬
‫‪3‬‬
‫‪ (7‬بحث های دیگر‬
‫‪ - 1‬معرفی‬
‫‪‬‬
‫پایداری حلقه بسته‌ی ‌یک سیستم امری حیاتی برای ادامه‌ی کار آن سیستم می‌باشد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫حتی در حالتی که الگوریتم بهینه‌سازی برای مسئله ‌یک پاسخ بهینه پیدا کند‪ ‌،‬این امر پایداری حلقه بسته سیستم را‬
‫تضمین نخواهد کرد (حتی اگر مدل مورد استفاده بسیار دقیق باشد)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫مثال‌های متعددی نشان می‌دهند که الگوریتم‌های کنترل پیش‌بین می‌توانند ناپایدار شوند‪.‬‬
‫تکنیکها برای تضمین پایداری سیستم کنترل شده بر اساس پیشبینی مدل ‪:‬استفاده از‬
‫‪ ‬جریمههای نهایی )‪)Terminal Penalty‬‬
‫‪ ‬قیود ( ‪)Constraints‬‬
‫‪ ‬توابع لیاپانوف (‪)Lyapunov functions‬‬
‫‪ ‬مجموعههای نامتغیر (‪)Invariant sets‬‬
‫‪‬‬
‫پیشنهادات اصلی دربرخورد با مشکل پایداری ‪: MPC‬‬
‫‪ ‬افق بی‌نهایت (‪: )Keerthi and Gilbert‬‬
‫‪‬‬
‫افزایش افق‌های پیش‌بینی و کنترل تا بی‌نهایت‬
‫‪‬‬
‫به علت بی‌نهایت بودن متغیرهای تصمیم‌گیری‌ در هر زمان نمونه برداری ‪ :‬غیر قابل اعمال به صورت مستقیم‬
‫‪ ‬قیود نهایی (‪: )Keerthi and Gilbert‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫با اضافه کردن یک قید روی حالت نهایی به فرم‬
‫پایداری تضمین می‌شود‪.‬‬
‫در‪ P‬‬
‫شد‪ x‬و‪) ‬‬
‫نتیجه‪(k‬ور‪x‬ودی کنترلی نیز صفر خواهد بود و (اگر‬
‫با‌این قید در پایان افق محدود حالت صفر خواهد ‪s‬‬
‫اغتشاش وجود نداشته باشد) سیستم در مبدا می‌ماند‪.‬‬
‫هزینه‌ی محاسباتی اضافه می‌کند و باعث افزایش محدودیت ناحیه‌ی عملکرد می‌گردد‪.‬‬
‫اجرای عملی آن مشکل است‪.‬‬
‫‪ ‬کنترل دوگانه (‪: )Michalska and Mayne‬‬
‫• در‌این‌ایده یک ناحیه حول حالت نهایی تعریف می‌شود که سیستم می‌تواند با استفاده از‌ یک کنترل کننده‌ی‬
‫فیدبک حالت خطی حالت نهایی را داخل‌این ناحیه هدایت کند و به مبدا برساند‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫افق شبه بی‌نهایت (‪)Chen and Allg¨ower‬‬
‫‪ - 2‬کنترل پیش بین غیر خطی با افق شبه بی نهایت‬
‫‪‬‬
‫هدف ‪ :‬ارائه ی یک کنترل پیش بین غیر خطی با پایداری مجانبی تضمین شده‬
‫‪‬‬
‫این روش می تواند هم به سیستم های پایدار و هم ناپایدار اعمال شود‪.‬‬
‫‪‬‬
‫مسئله ی ‪ MPC‬در حلت کلی ‪ :‬حل روی خط مسئله ی کنترل بهینه ی حلقه باز با افق محدود و براساس دینامیک‬
‫سیستم (خطی یا غیر خطی) و قیودی که شامل حالت ها و ورودی ها هستند‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫این فرم کلی ‪ MPC‬پایداری حلقه بسته را به خودی خود تضمین نمی کند‪.‬‬
‫‪‬‬
‫پایداری حلقه بسته می تواند با انتخاب مناسب پارامتر های طراحی‪ ،‬مانند افق پیش بینی‪ ،‬افق کنترل ‌و ماتریس های‬
‫وزنی حاصل گردد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫آنچه در این جا ارائه می شود ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫معرفی یک ‪ MPC‬غیر خطی با افق شبه بی نهایت‬
‫‪‬‬
‫تابعی هدف ‪ :‬شامل یک هزینه با افق محدود و یک هزینه ی نهایی‬
‫‪‬‬
‫قیود ‪ :‬دینامیک سیستم‪ ،‬قیود روی ورودی و یک قید ناساوی برای حالت نهایی‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫امکان پذیری قید حالت نهایی یعنی‪ :‬حالت ها در پایان افق محدود در یک ناحیه نهایی از پیش مشخص شده ای قرار می‬
‫گیرند‪.‬‬
‫حالت های نهایی چنان جریمه می شوند که هزینه ی نهایی‪ ،‬هزینه ی افق نامحدود سیستم غیر خطی کنترل شده با‬
‫یک فیدبک حالت خطی محلی مفروض را محدود می کند‪.‬‬
‫کنترل کننده ی پیش بین غیر خطی پیشنهاد شده یک افق پیش بینی شبه بی نهایت دارد! اما دنباله ی ورودی کنترلی‬
‫که قرار است محاسبه شود طبیعت محدود دارد‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫اگر ژاکوبین خطی ساز سیستم غیر خطی ای که قرار است کنترل شود پایدار پذیر باشد‪ ،‬ان گاه پاسخ یکتا و مثبت معین‬
‫متقارن یک معادله ی لیاپانوف مناسب می تواند به عنوان ماتریس جریمه ی نهایی در هزینه ی نهایی استفاده شود‪.‬‬
‫‪‬‬
‫و یک همسایگی از مبدا می تواند به عنوان ناحیه ی نهایی به صورت خارج از خط محاسبه گردد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫پایداری مجانبی حلقه بسته ‪ :‬با امکان پذیری مسئله ی کنترل بهینه ی حلقه باز در زمان ‪ t=0‬تضمین می شود‪.‬‬
‫‪‬‬
‫به صورت معمول در ‪ ،MPC‬کنترل حلقه بسته با حل روی خط مسئله ی کنترل بهینه در هر زمان نمونه بردا ‌ری و‬
‫بدون توجه به این که حالت ها داخل یا خارج از ناحیه ی نهایی قرار دارند محاسبه می شود‪.‬‬
‫هیچ سوئیچی بین کنترل کننده ها الزم نیست‪.‬‬
‫‪‬‬
‫فیدبک حالت خطی محلی تنها برای محاسبه ی خارج از خط ماتریس جریمه ی نهایی و ناحیه ی نهایی استفاده می شود‪.‬‬
‫‪‬‬
‫به همین علت روش ی که در این جا ارائه می شود در مقایسه با سایر روش ها کلی تر بوده و از لحاظ محاسباتی بسیار‬
‫جالب است‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ - 3‬شماتیک کنترل پیش بین غیر خطی با افق شبه بی نهایت‬
‫‪‬‬
‫معرفی سیستم هایی که قرار با این روش کنترل شوند ‪:‬‬
‫بردار ورودی ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫فرض های کلی ‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫بردار حالت ‪:‬‬
‫‪u (t )  R m‬‬
‫قیود روی ورودی ‪:‬‬
‫)‪ f : R n  R m  R n (A1‬دو بار مشتق پذیر پیوسته بود و‬
‫‪ 0  R n‬یک نقطه ی تعادل سیستم با ‪u  0‬‬
‫است‪.‬‬
‫)‪ U  R m (A2‬یک مجموعه‌ی محدب و فشرده است و‌‬
‫)‪ (A3‬سیستم )‪ (1‬برای هر شرایط اولیه‌ی ‪x 0  R n‬و‬
‫پیوسته باشد ‌یک پاسخ‌ یکتا دارد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪9‬‬
‫‪x (t )  f (x (t ),u (t )), x(0)=x 0‬‬
‫‪x (t )  R n‬‬
‫‪u (t ) U , t  0‬‬
‫‪f (0,. 0)  0‬‬
‫یک نقطه‌ی داخلی از ‪ U‬است‪.‬‬
‫‪0R m‬‬
‫‪(.) :[0, ) U‬که‪u‬قطعه‌ای پیوسته و از راست‬
‫‪x s ,u s )  0‬م(ی‪‌f‬توان مبدا سیستم را به‬
‫فرض ‪ f (0, 0)  0‬فرض محدود کننده‌ای نیست‪ .‬زیرا اگر‬
‫) ‪ (x s ,u s‬منتقل نمود‪.‬‬
‫فرض دیگر ‪ :‬قابل اندازه‌گیری بودن همه‌ی حالت‌های سیستم (چون در طراحی فیدبک حالت نیاز داریم‪).‬‬
: ‫نماد گذاری‬

x  R n  x : 2  norm
weighted norm : x
P
 x
2
P
: x T Px
Hermitian, Positive Definite Matrix : P
Induced 2-norm: A
Internal Variable in Controller : (x , u )
largest & smallest real part of the eigenvalues of A : max (A ) & min (A )
10
‫مسئله‌ی بهینه سازی کنترل حلقه باز در زمان ‪ t‬و با حالت اولیه‌ی )‪: x(t‬‬
‫‪‬‬
‫هزینه ی نهایی برای جریمه‬
‫حالت ها در پایان افق محدود‬
‫)‪(2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P‬‬
‫هزینه ی استاندارد افق محدود‬
‫برای عملکرد کنترلی مطلوب‬
‫‪t T p‬‬
‫) ‪( x ( ; x (t ), t ) Q  u ( ) R )d   x (t T p ; x (t ), t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪min J (x (t ),u (t )) ‬‬
‫‪t‬‬
‫)‪x (t ; x (t ), t )  x(t‬‬
‫] ‪ [t,t+TP‬‬
‫‪x  f (x ,u ),‬‬
‫)‪u (.‬‬
‫‪Subj. to‬‬
‫‪u ( ) U ,‬‬
‫‪x (t T P ; x (t ),t ) ‬‬
‫‪Q&P :Positive Definite Symmetric Weighted Matrix‬‬
‫‪Tp : Finite Prediction Horizon‬‬
‫‪: Terminal RegionΩ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪11‬‬
‫‪‬‬
‫‪t , t T P ] U‬به[‪(.) :‬‬
‫دست‪ u‬می‌آید‪.‬‬
‫مسیر سیستم که توسط‬
‫) ‪x (.;: x (t ), t‬‬
‫برای سادگی افق کنترل و پیش‌بینی یکسان در نظر گرفته می‌شوند‪.‬‬
‫مقدار اولیه در پیش بینی آینده ‪ :‬حاالت واقعی سیستم در زمان واقعی ‪ t‬یعنی )‪x(t‬‬
‫قید ناساوی آخر حالت‌ها را در پایان افق پیش‌بینی ‪ ،‬مجبور می‌کند که در‌یک همسایگی از مبدا (ناحیه‌ی نهایی) قرار‬
‫گیرند‪.‬‬
‫‪ Ω‬به گونه ای انتخاب می شود که برای سیستم غیرخطی کنترل شده توسط یک فیدبک حالت خطی محلی‪ ،‬نامتغیر‬
‫‪‬‬
‫باشد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P‬‬
‫) ‪ ، x (t T P ; x (t ), t‬هزینهی افق نامحدود سیستم غیرخطی که از ‪ Ω‬آغاز میشود و توسط فیدبک حالت‬
‫خطی محلی کنترل میشود را محدود میکند‪ ،‬یعنی ‪:‬‬
‫‪( x ( ; x (t ), t ) Q  u ( ) R )d ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t T P‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P‬‬
‫) ‪x (t T P ; x (t ), t‬‬
‫‪u  Kx , x (t T P ; x (t ), t )  ‬‬
‫‪‬‬
‫و نشان داده می شود که پایداری حلقه بسته به این صورت تضمین می شود‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ماتریس جریمه ی نهایی ‪ P‬همراه با ناحیه ی نهایی ‪ Ω‬به صورت خارج از خط به گونه ای تعیین می شود که ویژگی‬
‫نامتغیر بودن ‪ Ω‬حفظ شده و قیود ورودی در ‪ Ω‬برآورده شوند‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫هزینه ی افق نامحدود ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫با جایگذاری داریم ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫بنابراین افق پیش‌بینی کنترل کننده‌ی پیش‌بین پیشنهاد شده به شبه بی نهایت گسترش داده می‌شود‪.‬‬
‫‪‬‬
‫پاسخ بهینه برای مسئله‌ی بهینه سازی (در صورت وجود پاسخ) ‪:‬‬
‫‪J (x (t ),u (t )) :  ( x ( ; x (t ), t ) Q  u ( ) R )d ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪u ( )  Kx ( ; x (t ),t ),  t T P‬‬
‫))‪J  (x (t ),u (.))  J (x (t ),u (.‬‬
‫‪u * (.; x (t ),t ,t T P ) :[t ,t T P ] U‬‬
‫‪‬‬
‫مقدار هدف متناظر ‪:‬‬
‫) * ‪J * (x (t ),t ,t T P ) : J (x (t ),u‬‬
‫‪13‬‬
‫‪‬‬
‫در چهارچوب ‪ MPC‬کنترل حلقه باز می تواند در دوگام در نظر گرفته شود ‪:‬‬
‫‪.I‬‬
‫روی یک افق محدود‪ ،‬یک دنباله ی ورودی بهینه با حل مسئله ی کنترل بهینه ی حلقه باز به دست می آید که‬
‫مدل سیستم غیرخطی را به ناحیه ی نهایی می برد‪.‬‬
‫‪ .II‬یک کنترل فیدبک خطی محلی به گونه ای در نظر گرفته می شود که سیستم را به مبدا هدایت می کند‪.‬‬
‫‪‬‬
‫نکته ‪ :‬فیدبک حالت خطی هیچ گاه مستقیما به سیستم اعمال نمی شود بلکه دنباله ورودی حاصل از کنترل پیش بین‬
‫اعمال می گردد‪.‬‬
‫این فیدبک حالت تنها برای تعیین ماتریس جریمه ی نهایی ‪ P‬و ناحیه ی نهایی ‪ ، Ω‬به صورت خارج از خط استفاده می‬
‫شود‪.‬‬
‫‪‬‬
‫با شرط ‪( Tp<δ‬زمان نمونه برداری‌) کنترل حلقه بسته عبارت است از ‪:‬‬
‫] ‪ [t ,t  ‬‬
‫‪14‬‬
‫‪u * ( ) : u * ( ; x (t ),t ,t T P ),‬‬
‫‪ -4‬نتایج اولیه‬
‫‪‬‬
‫هدف ‪ :‬بیان نتایج اولیه در مورد ناحیه ی جذب و یک کران روی سیستم غیرخطی کنترل شده توسط فیدبک‬
‫حالت خطی محلی برای تعیین ناحیه ی نهایی و ماتریس جریمه ی نهایی و اثبات پایداری مجانبی حلقه بسته‬
‫‪‬‬
‫ژاکوبین خطی ساز سیستم )‪ (1‬در مبدا ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫اگر این ژاکوبین خطی ساز پایدار پذیر باشد آن‌گاه یک فیدبک حالت خطی‬
‫‪x  Ax  Bu‬‬
‫)‪B : (f / u )(0,0‬‬
‫نظر گرفته شود که‬
‫پایدار مجانبی باشد‪.‬‬
‫‪AK : A  BK‬‬
‫‪15‬‬
‫)‪A : (f / x )(0,0‬‬
‫می‌تواند به گونه‌ای در‬
‫‪u  Kx‬‬
‫‪‬‬
‫لم ‪ - 1‬فرض کنید ژاکوبین خطی ساز سیستم )‪ (1‬در مبدا پایدار پذیر باشد‪ .‬آن‌گاه ‪:‬‬
‫یک پاسخ مثبت معین متقارن یکتا ‪ P‬به دست‬
‫‪ (a‬معادله‌ی لیاپانوف * ‪(A،K   I )T P  P (AK   I )  Q‬‬
‫)‪‬‬
‫مثبت* ‪Q‬‬
‫‪ Q  K T RK  R n n‬‬
‫‪[0,‬یر‪‬را ب‪‬رآورده‬
‫معین و متقارن است و‬
‫می‌دهد به طوریکه‬
‫شرط ز‬
‫) ‪  max (A‬‬
‫می‌کند ‪:‬‬
‫‪(b‬‬
‫یک ثابت )‪  (0, ‬چنان وجود دارد که ‌یک همسایگی‬
‫‪‬از‪‬مبدا را به فرم زیر مشخص می‌کند‪:‬‬
‫}‪ : {x  R n | x T Px  ‬‬
‫به طوریکه ‪:‬‬
‫‪.i‬‬
‫برای همه‌ی‬
‫‪ ‬دا‪x‬ریم ‌‬
‫‪Kx‬یعنی کنترل کننده‌ی فیدبک خطی قیود‌ ورودی را در برآورده ‪‬‬
‫‪( U‬‬
‫می‌کند)‪.‬‬
‫‪.ii‬‬
‫‪ Kx‬‬
‫کنترل‪ u‬می‌شود نامتغیر‬
‫‪ ‬برای سیستم غیر خطی )‪ (1‬که با فیدبک حالت خطی محلی‬
‫است‪.‬‬
‫‪.iii‬‬
‫برای هر ‪x 1 ‬هزینه‌ی افق بی نهایت ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪J  (x 1 ,u )   ( x (t ) Q  u (t ) R )dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t1‬‬
‫بر اساس سیستم غیر خطی )‪ (1‬که از ‪x 1 ‬‬
‫آغاز می‌شود و با فیدبک حالت خطی محلی کنترل ‪u  Kx‬‬
‫‪16‬‬
‫می‌شود از باال به صورت زیر کران دار است ‪:‬‬
‫‪J  (x 1,u )  x 1T Px 1‬‬
‫‪‬‬
‫اثبات ‪:‬‬
‫‪ a‬برقرار است‪.‬‬
‫‪ [0, max (Ak )]:  (AK   I )  0‬‬
‫‪ A K‬پایدار مجانبی است‪.‬‬
‫* ‪(AK   I )T P  P (AK   I )  Q‬‬
‫& ‪Q*  0‬‬
‫‪ (AK   I )  0‬‬
‫پاسخ متقارن و ‪ P.D.‬یکتا دارد‪.‬‬
‫)‪P  0 : 1 [0, ‬‬
‫‪ 0  R m‬نقطه ی داخلی ‪ U‬است‪.‬‬
‫‪ ‬به گونه ای تعیین می کند که‬
‫به طوریکه ناحیه ای به فرم }‪  : {x  R n | x T Px  1‬را‬
‫‪1‬‬
‫مقادیر کنترل فیدبک خطی قیود ورودی را در‬
‫‪‬ناحیه ی‬
‫قرار می دهیم ) ‪  (0, 1‬و‬
‫‪ i‬برقرار است‪.‬‬
‫‪x 1 : Kx U‬‬
‫‪‬آورده می کند‪.‬‬
‫‪‬بر‬
‫‪1‬‬
‫تعریف می کنیم‪:‬‬
‫}‪: {x  R n | x T Px  ‬را‪‬‬
‫قیود ورودی در ‪ ‬برآورده می شوند‪.‬‬
‫‪  1‬‬
‫سیستم می تواند در ‪ ‬بدون قید در نظر گرفته شود‪.‬‬
‫با مشتق گیری از ‪x T Px‬حول مسیر‬
‫‪17‬‬
‫) ‪ f (x , Kx‬دار‪x‬یم ‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫)) ‪x (t )T Px (t )  x (t )T (A KT P  PA K )x (t )  2x (t )T P  (x (t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ (x ) : f (x , Kx )  A K x‬‬
x T P  (x )  x T P .  (x )  P .L . x
2

P .L
min (P )
x
2
: ‫داریم‬
P
L : sup{  (x ) / x | x   , x  0}
L 
: ‫داشته باشیم‬

 .min (P )
‫را چنان انتخاب می کنیم که در‬  (0, 1 )
P
x T P (x )   x T Px
d
x (t )T Px (t )  x (t )T [(A K   I )T P  P (A K   I )]x (t )
dt
d
x (t )T Px (t )  x (t )T Q *x (t )
dt
‫( کنترل شده با فیدبک حالت محلی‬1) ‫ای سیستم‬
‫بر‬
‫باقی‬
.‫مانده و به مبدا همگرا می شود‬

‫نامساوی آخر بیان می کند که‬P  0,Q *  0 ‫چون‬
u .‫است‬
Kx ‫نامتغیر‬

‫آغاز می شود در‬
‫که در‬x  f (x , Kx ) ‫و هر مسیر از‬

d
x (t )T Px (t )  J  (x 1 ,u )
dt
t1
x 1   : 

 J (x 1 ,u )  x Px 1
T
1
18
‫‪‬‬
‫در واقع نتایج موجود در لم ‪ 1‬همان چیزیست که به دنبالش بودیم!‬
‫‪‬‬
‫با قرار دادن ) ‪x 1  x (t T P ; x (t ),t‬داریم ‪:‬‬
‫‪( x ( ; x (t ), t ) Q  u ( ) R )d ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t T P‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P‬‬
‫) ‪x (t T P ; x (t ), t‬‬
‫‪u  Kx , x (t T P ; x (t ), t )  ‬‬
‫‪‬‬
‫پاسخ ‪ P‬از معادله ی * ‪K   I )T P  P (AK   I )  Q‬و‪(A‬ناحیه ی‬
‫تواند به عنوان ماتریس جریمه ی نهایی و ناحیه نهایی به کار گرفته شوند‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪‬‬
‫‪J (x 1,u )  x Px 1 ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪1‬‬
‫می ‪‬‬
‫}‪: {x  R n | x T Px  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪(‬‬
‫بزرگترین مقدار ممکن برای‬
‫اکنون می‌توان یک روند برای تعیین ‪ P‬و‬
‫) به‪‬‬
‫صورت خارج از خط ارائه داد ‪:‬‬
‫گام ‪ )1‬مسئله‌ی کنترل را بر اساس ژاکوبین خطی ساز برای به دست آوردن بهره‌ی فیدبک حالت خطی پایدار ساز‬
‫‪ K‬حل می‌کنیم‪.‬‬
‫گام ‪ )2‬ثابت‬
‫برآورده شود و سپس‬
‫را به گونه‌ای انتخاب می‌کنیم که نامعادله‌ی‬
‫‪ [0,‬‬
‫معادله‌ی )‪‬‬
‫لیاپانوف‬
‫معین ‪ P‬حل می‌کنیم‪.‬‬
‫دن ‪ ‬‬
‫‪max‬ر‪‬‬
‫را برای به ) ‪(A‬‬
‫ماتریس متقارن و مثبت‬
‫دست آو‬
‫* ‪(AK   I )T P  P (AK   I )  Q‬‬
‫گام ‪ )3‬برزگترین مقدار ممکن برای‬
‫داشته باشیم ‪:‬‬
‫را به گونه‌ای می‌یابیم که برای همه‌ی‬
‫‪1‬‬
‫گام ‪ – )4‬بزرگترین مقدار‬
‫‪x 1‬‬
‫را به گونه‌ای می‌یابیم که نامساوی زیر در‬
‫] ‪  (0, 1‬‬
‫برقرار باشد ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ .min (P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪20‬‬
‫‪Kx U‬‬
‫‪L ‬‬
‫‪‬‬
‫نکات ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫در گام ‪ 4‬بر آوردن نامعادله‬
‫‪P‬‬
‫سیستم این نامعادله تنها برای ناحیه ی نهایی کوچکی بر آورده گردد‪ .‬از‬
‫علت مقدار کوچک‬
‫‪ P‬ب‪/‬ر)ای‪(P‬یک‪min‬‬
‫این رو برای دست یافتن به ناحیه‌ی نهایی با محافظه کاری کمتر می‌توان از رویکرد دیگری استفاده نمود‪.‬‬
‫) ‪ .min (P‬‬
‫‪ ‬ب‪L‬رای یک ناحیه ی نهایی به اندازه ی کافی بزرگ ساده نیست ‪ .‬به‬
‫در ابتدا روند فوق را تا گام ‪ 3‬ادامه می‌دهیم‪ .‬سپس تکراری از مسئله‌ی بهینه سازی ساده‌ی زیر را برای انتخاب‬
‫کاهش‬
‫از‬
‫اگر مقدار ‪‬‬
‫مناسب‬
‫تا زمانی که مقدار بهینه‌ی مسئله‌ی بهینه سازی زیر نامثبت گردد انجام می‌دهیم‪:‬‬
‫‪ ‬روش‪1‬‬
‫پیدا شود ناحیه ی‬
‫از این‬
‫به فرم‬
‫را مشخص می‬
‫گرفته‪‬شود‪.‬‬
‫‪max{x T P  (x )   .x T Px | x T Px‬‬
‫کند که می تواند به عنوان ناحیه ی نهایی در نظر } ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪21‬‬
‫‪‬‬
‫}‪ : {x  R n | x T Px  ‬‬
‫‪x‬‬
‫با‬
‫‪‬‬
‫روند فوق ناحیه‌ی نهایی یکتایی برای یک سیستم غیر خطی به دست نمی‌دهد‪.‬‬
‫برای کاهش بار محاسبات رو خط می‌خواهیم بزرگترین مقدار ناحیه‌ی ممکن را بیابیم که کار ساده‌ای نیست‪ .‬برای این‬
‫کار در ابتدا باید بهره‌ی فیدبک پایدار ساز خطی مناسب ‪ K‬انتخاب کنیم‌ که از روش‌های کنترل خطی بسیاری می‌توان‬
‫استفاده نمود‪ ،‬اما به علت «بهینه» بودن ‪ MPC‬تکنیک کنترل بهینه‌ی خطی )‪(LQR‬می‌تواند انتخاب مناسبی‬
‫باشد‪.‬‬
‫مورد دوم اینکه برای یک بهره‌ی داده شده‌ی ‪ ،K‬انتخاب مناسب برای‬
‫‪ ‬است که بعدا بحث خواهد شد‪.‬‬
‫نیاز‬
‫مهم‌تر از همه اینکه اندازه‌ی ناحیه‌ی نهایی بستگی کلی به میزان غیر خطی بودن سیستم تحت کنترل دا ‌رد‪ .‬هر چه یک‬
‫سیستم غیر خطی‌تر باشد ناحیه‌ی نهایی کوچک‌تر خواهد بود‪ .‬برای یک سیستم خطی و یا غیر خطی ساده اندازه‌ی‬
‫ناحیه‌ی نهایی تنها با قیود ورودی محدود می‌شود‪.‬‬
‫‪‬‬
‫اگر هیچ کنترل کنندهی فیدبک خطی پیدا نشود که بتواند سیستم را به صورت محلی پایدار مجانبی کند‪،‬‬
‫به مبدا محدود میشود‪ .‬آنگاه قید نامساوی نهایی به ‪ x (t T P )  0‬کاهش مییابد(روش & ‪Mayne‬‬
‫‪22‬‬
‫)‪.)Michalska(1990) , Rawlings & Muske (1993‬‬
‫‪‬‬
‫اگر سیستم تحت کنترل خطی باشد داریم ‪:‬‬
‫‪x  R n :  (x )  0 & L  0    0  J  (x 1 ,u )  x 1T Px 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ( x ( ) Q  u ( ) R )d ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P‬‬
‫) ‪( x ( ) Q  u ( ) R )d   x (t T P‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪t T P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫پس کنترل پیش‌بین دقیقا یک افق پیش‌بینی بی‌نهایت دارد اما دنباله‌ی ورودی به صورت روی خط در افق محدود‬
‫محاسبه می‌شود‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫‪ - 5‬پایداری مجانبی‬
‫‪‬‬
‫در این بخش ویژگی پایداری سیستم حلقه بسته زیر مورد بحث قرار می گیرد ‪:‬‬
‫)‪(3‬‬
‫)) ‪x (t )  f (x (t ),u * (t‬‬
‫که برای آن داریم ‪:‬‬
‫] ‪ [t ,t  ‬‬
‫‪ : u * ( ) : u * ( ; x (t ),t ,t T P ),‬کنترل حلقه بسته‬
‫‪ : u * (.; x (t ),t ,t T P ) :[t ,t T P ] U‬پاسخ مسئله ی بهینه سا ‌زی‌‬
‫‪‬‬
‫تعریف ‪ )1‬نقطهی تعادل ‪ x=0‬از معادلهی )‪ (3‬پایدار است اگر‬
‫‪  0: ( )  0 | x (0)  ( )  x (t )   for t  0‬‬
‫‪‬‬
‫تعریف ‪ )2‬نقطهی تعادل از معادلهی )‪ (3‬پایدار مجانبی است اگر پایدار بوده و ‪ η‬به گونهای بتواند‬
‫انتخاب شود که ‪ x (0)  ‬نتیجه بدهد ‪. x (t )  0 as t  ‬‬
‫‪24‬‬
‫‪‬‬
‫نماد ‪:‬‬
‫نشان‪x‬دهنده ی مسیر پیش بینی شده از سیستم غیر خطی که از حالت واقعی )‪ x(t‬آغاز شده و‬
‫) ‪(.; x: (t ), t‬‬
‫توسط کنترل حلقه باز‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫امکان پذیری مسئله‌ی بهینه سازی‬
‫به علت تکرار مسئله‌ی بهینه سازی داده شده مسئله باید در زمان‌های‬
‫همچنین مقدار تابعی هدف‬
‫‪25‬‬
‫ممکن باشد‪.‬‬
‫امکان پذیری مسئله‌ی بهینه سازی ‪ :‬حداقل یک پاسخ (نه لزوما بهینه) برای ‪0‬‬
‫دنباله‪‌‬ی ‪t‬ورودی چنان وجود دارد که‬
‫تضمین می‌کند مسیر معادله‌ی‬
‫‪‬‬
‫شود در زمانی که پیش بینی در زمان واقعی ‪ t‬انجام می شود‪.‬‬
‫هدایت می‬
‫)‪u (.‬‬
‫قید نامساوی نهایی‬
‫‪‬ی‪x‬‬
‫) ‪,u‬ک‪x‬ر( ‪f‬‬
‫‌شود‪.‬‬
‫اندار م‬
‫هر ز‪(t ),‬‬
‫در( ‪u‬‬
‫در ادامه لمی روی امکان پذیری مسئله‌ی بهینه سازی)) ‪t‬‬
‫مان ا‪x‬ر(ائه‪ J‬می‌شود‪.‬‬
‫را بر آورده می‌کند‬
‫‪x (t T P ; x (t ),t ) ‬‬
‫‪‬‬
‫لم ‪ - 2‬برای سیستم نامی‌که حالت‌های آن کامال قابل اندازه گیری باشند و هیچ نامعینی در آن وجود نداشته باشد‪،‬‬
‫‪‬ه‌ی بهینه سازی حلقه باز )‪ (2‬در‬
‫‪ ،‬امکان پذیر‪0‬ی‪‬مسئل‬
‫برای یک زمان نمونه برداری به اندازه کافی کوچک‬
‫زمان ‪ ،‌t=0‬امکان پذیری آن برای همه‌ی ‪ t>0‬را نتیجه می‌دهد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫نکته‪ :‬لم ‪ 2‬بیان می‌کند که افق پیش‌بینی ‪( Tp‬پارامتر تنظیم) باید به گونه‌ای انتخاب شود که مسئله‌ی بهینه‬
‫سازی )‪(2‬در زمان ‪ t=0‬امکان پذیر باشد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫پایداری مجانبی‬
‫‪‬‬
‫در ابتدا نشان می‌دهیم که مقدار بهینه‌ی تابع هزینه غیر افزایش ی است ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫لم ‪ - 3‬فرض کنید که مسئله‌ی بهینه سازی در زمان ‪ t=0‬ممکن باشد‪ .‬آن‌گاه برای سیستم نامی بدون اختالل‪،‬‬
‫برای هر‬
‫مقدار‪‬‬
‫و‪(t , t   ] t  0‬‬
‫بهین‪‬ه‌ی تابع هزینه شرط زیر را برآورده می‌کند ‪:‬‬
‫‪J (x ( ), , T P )  J (x (t ), t , t T P )   ( x (s ) Q  u * (s ) )ds‬‬
‫‪2‬‬
‫‪26‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪R‬‬
‫‪t‬‬
‫*‬
‫‪‬‬
‫‪ Q‬لم ‪ 3‬بیان می‌کند که مقدار بهینه‌ی تابع هزینه غیرافزایش ی است‪ .‬اکنون می‌توان نتایج‬
‫چون ‪،  0, R  0‬‬
‫پایداری مجانبی سیستم حلقه بسته‌ی‬
‫‪‬‬
‫بیان( ‪x‬‬
‫)) ‪f (x (t ),u * (t‬را‪t ) ‬‬
‫کرد ‪:‬‬
‫قضیه ‪ - 1‬فرض کنید که ‪:‬‬
‫‪ (a‬مفروضات )‪ (A1)-(A3‬بر آورده می‌شوند‪.‬‬
‫‪ (b‬ژاکوبین خطی ساز سیستم غیر خطی )‪ (1‬پایدار پذیر است‪.‬‬
‫‪ (c‬مسئله‌ی کنترل بهینه‌ی حلقه باز )‪(2‬در زمان ‪ t=0‬امکان پذیر است‪.‬‬
‫آن‌گاه برای یک زمان نمونه برداری به اندازه کافی کوچک‬
‫کنترل کننده‌ی پیش‌بین‬
‫‪ 0‬و‪‬در‪‬غیاب اغتشاش سیستم حلقه بسته با‬
‫نامی پایدار مجانبی است‪.‬‬
‫صورت * ‪u‬‬
‫) ‪* ( ; x (t ),t ,t T P‬به‪( ) : u‬‬
‫اگر ‪ X  R n‬نشان دهنده‌ی مجموعه‌ی همه‌ی حالت‌های اولیه‌ای باشد که فرض )‪ (c‬را بر آورده می‌کند آن‌گاه‬
‫‪ X‬ناحیه‌ی جذبی برای سیستم حلقه بسته معرفی می‌نماید‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫‪‬‬
‫نکات ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫شرط پایداری داده شده تنها یک شرط کافی است و الزم نیست‪ .‬این واقعیت که سیستم خطی شده پایدار پذیر نیست نیز‬
‫بیانگر آن نمی‌باشد که هیچ کنترل کننده‌ی فیدبک خطی وجود ندارد که بتواند سیستم غیر خطی را به صورت محلی‬
‫پایدار کند‪.‬‬
‫‪‬‬
‫وقتی این شماتیک کنترلی به سیستم‌های عملی اعمال می‌شود بهینه سازی عددی که اجرا می‌گردد ممکن است دنباله‌ی‬
‫بهینه‌ی ورودی کلی را در هر گام پیدا نکند‪.‬‬
‫این می‌تواند به علت محدودیت‌های زمانی محاسبات بالدرنگ و یا گیر افتادن در‌یک نقطه‌ی بهینه محلی باشد‪ .‬در‌این‬
‫صورت اگرچه عملکرد بهینه از دست می‌رود ولی پایداری باز هم تضمین است‪ .‬زیرا پایداری به بهینگی پاسخ وابسته نیست‬
‫و صرفا به امکان پذیری وابسته می‌باشد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪28‬‬
‫اگر سیستم غیر خطی به صورت حلقه باز پایدار مجانبی باشد‪ ،‬قید نامساوی نهایی غیر خطی‬
‫حذف شود بدون اینکه پایداری تحت تاثیر قرار گیرد‪.‬‬
‫‌تواند‪x‬‬
‫‪ P ) ‬م‪T‬ی‪(t ‬‬
‫‪ -6‬مثال حل شده‬
‫‪‬‬
‫سیستم زیر را در نظر بگیرید ‪:‬‬
‫‪x 1  x 2  u (  (1   )x 1 ),‬‬
‫‪x 2  x 1  u (  4(1   )x 2 ).‬‬
‫همانطور که مشخص است سیستم فوق ناپایدار است‪.‬‬
‫سیستم خطی شده ی آن عبارت است از ‪:‬‬
‫‪0 1   x 1    ‬‬
‫‪x  Ax  Bu  ‬‬
‫‪  u‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0   x 2    ‬‬
‫‪0 1 ‬‬
‫‪A : (f / x )(0,0)  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪B : (f / u )(0,0)   ‬‬
‫‪ ‬‬
‫این سیستم برای هر )‪  (0,1‬‬
‫پایدار پذیر هست اما کنترل پذیر نیست‪.‬‬
‫قید روی ورودی ‪:‬‬
‫}‪u U  {u  R | 2.0  u  2.0‬‬
‫و ماتریس وزن ها ‪:‬‬
‫‪29‬‬
‫فرض ‪  0.5 :‬‬
‫‪R  1.0‬‬
‫‪ 0.5 0.0 ‬‬
‫‪Q ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0.0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫فرض های )‪ (A1-A3‬را چک می کنیم ‪:‬‬
‫)‪ f : R n  R m  R n (A1‬دو بار مشتق پذیر پیوسته بود و‬
‫‪ 0  R n‬یک نقطه ی تعادل سیستم با ‪u  0‬‬
‫است‪.‬‬
‫‪f (0,. 0)  0‬‬
‫)‪ U  R m (A2‬یک مجموعه‌ی محدب و فشرده است و‌‬
‫‪ U‬است‪.‬‬
‫یک نقطه‌ی داخلی از‬
‫‪0R m‬‬
‫)‪ (A3‬سیستم )‪ (1‬برای هر شرایط اولیه‌ی ‪x 0  R n‬و‬
‫پیوسته و از راست پیوسته باشد ‌یک پاسخ‌ یکتا دارد‪.‬‬
‫‪(.) :[0, ) U‬که‪u‬قطعه‌ای‬
‫برقرار‬
‫برقرار‬
‫برقرار‬
‫برای یافتن ماتریس جریمه ی نهایی ‪ P‬و ناحیه ی نهایی ‪ Ω‬روند گفته شده را طی می کنیم ‪:‬‬
‫‪x 1  x 2  u (0.5  0.5x 1 ),‬‬
‫‪x 2  x 1  u (0.5  2x 2 ).‬‬
‫‪‬‬
‫‪30‬‬
‫گام ‪ )1‬مسئله‌ی کنترل را بر اساس ژاکوبین خطی ساز برای به دست آوردن بهره‌ی فیدبک حالت خطی پایدار ساز ‪K‬‬
‫حل می‌کنیم‪.‬‬
‫‪‬‬
‫در ابتدا مقدمه ای در مورد ‪: LQR‬‬
‫برای سیستم خطی پیوسته زمان‬
‫‪ Ax  Bu‬با‪x‬تابع هزینه ی‬
‫‪‬‬
‫قانو‪J‬ن کنترل‬
‫‪ ، (x T Qx  u T Ru )dt‬‬
‫‪Kx‬در‪‬ان‪u ‬‬
‫است که‬
‫فیدبک که مقدار تابع هزینه ی فوق را کمینه می کند به صورت‬
‫‪0‬‬
‫‪1 T‬‬
‫‪K  R B P‬بوده و ‪ P‬از حل معادله ی ریکاتی زیر به دست می اید ‪:‬‬
‫‪AT P  PA  PBR 1B T P  Q  0‬‬
‫‪‬‬
‫حال با حل معادله ی ریکاتی فوق برای مثال ارائه شده خواهیم داشت ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬ا به گونه‌ای انتخاب می‌کنیم که نامعادله‌ی‬
‫گام ‪ )2‬ثابت )‪ [0, ‬ر‬
‫‪ 2.2430 1.9930 ‬‬
‫‪P ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.9930 2.2430 ‬‬
‫‪K   2.118 2.118 ‬‬
‫) ‪ max (A‬ب‪‬رآور‪‬ده شود و سپس‬
‫معادله‌ی لیاپانوف * ‪K   I )T P  P (AK   I )  Q‬را‪A‬ب(رای به دست آوردن ماتریس متقارن و مثبت معین‬
‫‪ P‬حل می‌کنیم‪: .‬‬
‫‪31‬‬
‫‪ 1.059 0.059 ‬‬
‫‪ 1.118 ‬‬
‫‪A k  A  BK  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(‬
‫‪A‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.059 1.059 ‬‬
‫‪ 1.0 ‬‬
‫‪max (A K )  1.0    0.95‬‬
‫‪16.5926 11.5926 ‬‬
‫‪(AK   I )T P  P (A K   I )  Q *  P  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪11.5926 16.5926 ‬‬
‫‪‬‬
‫گام ‪ )3‬برزگترین مقدار ممکن برای‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪Kx U‬‬
‫}‪1 : {x  R n | x T Px  1‬‬
‫داریم ‪1  12.5 :‬‬
‫‪‬‬
‫را‪‬به گونه‌ای می‌یابیم که برای همه‌ی‬
‫داشته‪ x‬باشیم ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬ا به گونه‌ای می‌یابیم که نامساوی زیر در‬
‫گام ‪ – )4‬بزرگترین مقدار ] ‪  (0, 1‬ر‬
‫‪‬ار باشد ‪:‬‬
‫برقر‬
‫‪‬‬
‫) ‪ .min (P‬‬
‫چون ‪ min (P )  0.1774‬مقدار کوچکی است در گام ‪ 4‬خواهیم داشت‬
‫‪P‬‬
‫‪L ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ 0.025‬که‪‬مقدار کوچکی است‪.‬‬
‫از این رو برای یافتن ناحیه ی نهایی بزرگتر از روش اصالحی گفته شده استفاده می کنیم‪ .‬در این صورت خواهیم‬
‫داشت ‪:‬‬
‫}‪ : {x  R n | x T Px  0.7‬‬
‫‪32‬‬
‫‪‬‬
‫‪33‬‬
‫حال با انتخاب زمان نمونه برداری و افق پیش بینی در واحد زمان به صورت‬
‫‪:‬‬
‫خواهیم داشت‬
‫‪  0.5,T P  1.5‬‬
‫خطوط پر ‪ :‬مسیر های حلقه بسته‬
‫خطوط خط چین ‪ :‬مرز ناحیه ی نهایی محاسبه شده‬
‫خط چین – نقطه ‪ :‬مسیر پیش بینی شده با حل مسئله ی بهسنه سازی در ‪t=0‬‬
‫پروفایل ورودی و حالت ها‬
‫‪34‬‬
‫‪ -7‬بحث های دیگر‬
‫‪‬‬
‫بحثی روی بار محاسباتی ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫یکی از مزایای این روش با توجه مثال‌های پیاده سازی شده آن است که بار محاسباتی آن نسبت به سایر ‌روش‌های‬
‫طراحی کنترل کننده‌ی ‪ MPC‬که در آن‌ها پایداری حلقه بسته نیز تضمین می‌گردد کمتر است!‬
‫‪‬‬
‫بحثی روی ناحیه‌ی نهایی‬
‫‪‬‬
‫اگر غیر ممکن نباشد‪ ،‬بسیار دشوار است که بزرگترین ناحیه‌ی نهایی را برای یک سیستم غیر خطی به دست آوریم‪.‬‬
‫‪‬‬
‫از روی معادله‌ی لیاپانوف‬
‫افزایش با نزدیک شدن‬
‫‪‬‬
‫‌‪ P ،‬با‬
‫‌شود‪(AK .‬‬
‫‪ P‬م‪)T‬ی ‪ I‬‬
‫‪P‬‬
‫‪(AK   I )  Q‬‬
‫سریع‬
‫بسیار‬
‫*به‬
‫‪‬‬
‫‪max‬‬
‫حال ‪K‬ت‪A‬‬
‫‪‬ای )‬
‫پایان افق محدود درنظر می‌گیرد اما ناحیه‌ی نهایی بزرگی ‌را به‬
‫‌ها( در‬
‫‌یک ‪ P‬بزرگ جریمه‌ی سنگینی بر‬
‫طور اتوماتیک به دست نمی‌دهد‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫افزایش پیدا می‌کند و این‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫به نظر می‌رسد یک‬
‫‪‬ثابت نزدیک به قدر مطلق بزرگترین مقدار ویژه‌ی‬
‫متناظر با بزرگترین ناحیه‌ی نهایی‬
‫‪AK‬‬
‫ممکن است‪.‬‬
‫‪‬‬
‫اگر چه با این ‪ ‬مقدار ‪ P‬نیز بزرگ می‌شود‪ .‬از روی ساختار تابع هزینه می‌توان گفت جریمه‌ی بزرگ روی حالت‬
‫نهایی می‌تواند تاثیر مخرب روی عملکرد کنترلی حاصل داشته باشد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫بنابراین یک ‪ trade-off‬بین ناحیه‌ی نهایی بزرگ و عملکرد کنترلی مطلوب وجود دارد‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ضعف‌های روش‬
‫‪‬‬
‫در روش ارائه شده امکان عدم تطابق مدل و سیستم در نظر گرفته نشده است یعنی هیچ اغتشاش ی روی سیستم‬
‫وجود ندارد‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪‬‬
‫فرض شده است که همه‌ی حالت‌ها قابل اندازه گیری هستند‪.‬‬
‫‪‬‬
‫شرایط داده شده برای پایداری تنها شرایط کافی بودند و نه الزم‪.‬‬
‫مراجع‬



Rolf Findeisen, Frank Allgöwer, and L.T. Biegler,
Assessment and Future Directions of Nonlinear
Model Predictive Control. 2007.
Allgower, H.C.a.F., A Quasi-Infinite Horizon
Nonlinear Model Predictive Control Scheme with
Guaranteed Stability. Automatica, 1998. 34(No.
10): p. 1205-1217.
Fontes, F.A.C.C., AGeneral Framework to Design
Stabilizing NonlinearModel Predictive
Controllers. Systems & Control Letters, 2000.
37
THANKS FOR YOUR ATTENTION
38