Transcript 2-1-**** ***** *** LTI ** **** ** ***** ********

‫استاد ‪ :‬دکتر قسوری‬
‫کاری از ‪ :‬وحید عطائی فر‬
‫‪1‬‬
‫‪ -1-2‬خواص سیستم های ‪ LTI‬با توجه به رابطه کانولوشن‬
‫‪-1-1-2‬جابه جایی پذیری‬
‫‪2‬‬
‫‪ -2-1-2‬توزیع پذیری‬
‫‪3‬‬
‫‪-1-3-2‬شرکت پذیری‬
‫‪ -2-2‬رابطه بین پاسخ ضربه )‪ h(t‬و پاسخ پله‬
‫‪4‬‬
‫مثال ‪ ) 1‬پاسخ پله سیستم های ‪ LTI‬زیر را به دست آورید‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ -3-2‬خواص سیستم های ‪ LTI‬با توجه به تابع تبدیل‬
‫‪ -1-3-2‬حافظه‬
‫‪6‬‬
‫شرط بدون حافظه بدون سیستم ‪:‬‬
‫اثبات (سیستم زمان گسسته)‪:‬‬
‫این سیستم به شرطی بدون حافظه است که خروجی در هر لحظه به ورودی در همان لحظه وابسته باشد که برای این‬
‫منظور بایستی ‪:‬‬
‫‪ -2-3-2‬معکوس پذیری‬
‫‪7‬‬
‫‪ -3-3-2‬علیت‬
‫ّ‬
‫در سیستم علی خروجی به آینده ورودی بستگی ندارد‪ .‬با توجه به رابطه‬
‫ّ‬
‫تابع تبدیل (پاسخ ضربه) بیانگر سیستم علی خواهد بود‪.‬‬
‫ّ‬
‫تذکر‪ :‬تابع تبدیل ) ‪(hn  un), h(t )  u(t‬بیانگر سیستم علی است‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫‪ hk  n  k ‬‬
‫‪k  ‬‬
‫‪yn ‬‬
‫شرط زیر را برای‬
‫‪ -4-3-2‬پایداری (‪(BIBO‬‬
‫‪9‬‬
‫مثال ‪ )2‬با استفاده از تابع تبدیل خواص سیستم های ‪ LTI‬را بررس ی کنید‪.‬‬
‫ّ‬
‫الف ) علی بودن‬
‫ب ) سیستم معکوس‬
‫‪10‬‬
‫ج ) پایداری‬
‫مثال ‪) 3‬‬
‫تمرین ‪ )1‬مطلوب است ترسیم ?=)‪y(t‬‬
‫‪11‬‬
‫تمرین ‪ ) 2‬مطلوب است پاسخ ضربه سیستم ذیل ?=)‪h(t‬‬
‫مثال ‪ )3‬رابطه بین ورودی دلخواه‬
‫‪12‬‬
‫‪ xn‬و خروجی ‪ yn‬را برای پاسخ سیستم ‪ LTI‬داده شده بدست آورید‪.‬‬
‫مثال ‪ ) 4‬اگر ‪h2 n  un  un  2‬‬
‫الف) مقدار ‪ h1 n‬را به دست آورید‪ ،‬تابع تبدیل کل سیستم‬
‫‪13‬‬
‫‪ hn‬داده شده است‪.‬‬
‫اولین جایی که ‪ hn‬مقدار دارد ‪ n=0‬است‪.‬پس در نمودارهای باال به ازای ‪ n=0‬داریم‪:‬‬
‫ب ) اگر ‪ xn‬برابر باشد با ‪ xn   n   n 1‬مطلوب است مقدار خروجی‬
‫این قسمت کامال مستقل از قسمت قبل است‪،‬چون‬
‫‪14‬‬
‫‪ xn‬داده شده است‪.‬‬
‫? ‪yn ‬‬
‫‪ -4-2‬کانولوشن (زمان پیوسته)‬
‫‪ -1-4-2‬روش ترسیمی‬
‫توصیه می شود اگر )‪ f(t‬به لحاظ ریاض ی ساده تر است از فرمول ‪ 2‬واگر )‪ g(t‬ساده تراست از فرمول ‪ 1‬استفاده‬
‫می کنیم‪ .‬در این مثال از فرمول ‪ 2‬استفاده می کنیم‪.‬‬
‫) ‪ f ( ) g ( ‬را می سازیم‪.‬‬
‫برای ساخت ) ‪ f (t  ‬اول باید ) ‪ f (t  ‬را ساخت چون نمی دانیم که ‪ t‬مثبت است یا منفی است پس به صورت‬
‫قراردادی ‪ t‬واحد به سمت چپ شیفت می دهیم‪.‬سپس‬
‫) ‪ f (t  ‬را می سازیم از این مرحله به بعد باید در هر مرحله‬
‫معادله خط کنار نمودار را نوشته شود‪.‬‬
‫حال ) ‪ g (‬را ثابت نگه داشته و ) ‪ f (t  ‬را از سمت ∞‪ -‬را به سمت ∞‪ +‬شیفت می دهیم‪.‬بدیهی است در جایی که دو‬
‫تابع همپوشانی نداشته باشند‪ ،‬حاصل ضرب صفر است‪.‬سپس به نقطه ای می رسد که ‪ max‬همپوشانی را دارد و بعد‬
‫‪15‬‬
‫دوباره به جایی می رسد که هیچ همپوشانی نداشته باشند ‪:‬‬
‫‪16‬‬
‫‪ -2-4-2‬استفاده از فرمول‬
‫اگر با استفاده از فرمول بخواهیم کانولوشن دو سیگنال را به دست بیاوریم‪ .‬باید معادله دو سیگنال بر حسب توابع ریاض ی‬
‫داده شده باشند یا اینکه بتوان آنها را برحسب توابع ویژه فرموله نمود‪.‬‬
‫برای مثال قبل )‪f(t) ،g(t‬را باید به فرم زیر نوشت و سپس در معادله کانولوشن جایگذاری کرد‪:‬‬
‫‪17‬‬
18
‫تذکر ‪ :‬وقتی دو تابع پالس ی با هم کانوالو می شوند حاصل یک تابع ذوزنقه می شود و اگر این دو تابع پالس ی هم عرض‬
‫باشد شکل حاصل یک تابع مثلثی خواهد بود‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫تمرین ‪ :‬سیستم ‪ LTI‬با پاسخ ضربه )‪ h(t‬داده شده ‪ ،‬پاسخ سیستم به ورودی )‪ x(t‬را به دست آورید و مقدار خروجی‬
‫را در لحظات ‪   t،  3 ،t  3 ،t   1‬را‪ t‬محاسبه کنید‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ -5-2‬کانولوشن زمان گسسته‬
‫‪ -1-5-2‬روش ترسیمی‬
‫حساب کنیم ‪،‬مراحل انجام عملیات عینا‬
‫‪‬را‪yn‬‬
‫پس از تصمیم گیری راجع به اینکه از رابطه ‪ 1‬یا رابطه ‪ 2‬خروجی‬
‫شبیه زمان پیوسته است‪.‬‬
‫روش ترسیمی را برای تعیین خروجی سیستم زمان گسسته مطرح می کنیم‪:‬‬
‫‪20‬‬
21
‫‪ -2-5-2‬استفاده از فرمول‬
‫ابتدا باید توابع را بر حسب توابع ویژه و یا توابع ریاض ی بیان کرد‪ .‬اگر ورودی و یا پاسخ ضربه بر حسب تابع ضربه‬
‫بیان شده باشند‪ ،‬به دلیل خاصیت تابع ضربه محاسبه کانولوشن بسیار راحت خواهد بود‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫بدیهی است پاسخ محاسبه شده در هر دو حالت یکسان خواهد بود‪:‬‬
‫‪23‬‬
24
‫‪ -6-2‬سیستم های ‪ LTI‬توصیف شده با معادالت دیفرانسیل (زمان پیوسته)‬
‫به طور کلی معادله دیفرانسیل یک سیستم به فرم روبه رو نوشته می شود‪:‬‬
‫برای حل معادله دیفرانسیل باید ‪:‬‬
‫‪)1‬معادله همگن حل شود‬
‫‪)2‬جواب خصوص ی به ازای ورودی خاص تعیین گردد‪.‬‬
‫‪)3‬جواب کلی سیستم عبارت است از‪:‬‬
‫پاسخ عمومی ‪ +‬پاسخ خصوص ی و با توجه به این که پاسخ عومی دارای‬
‫تعدادی ضرایب ثابت است این ضرایب از روی شرایط سکون یا شرایط اولیه به دست می آیند‪.‬‬
‫تذکر ‪ :‬برای به کار گیری شرایط سکون جهت تعیین پاسخ سیستم‬
‫ّ‬
‫‪ LTI‬به ورودی داده شده‪،‬عنوان علی بودن سیستم ضروری است‪.‬‬
‫در غیر این صورت بایستی شرایط اولیه داده شده باشد‬
‫‪25‬‬
26
‫ّ‬
‫مثال ‪ )9‬معادله دیفرانسیل سیستم ‪ LTI‬و علی داده شده است‪ .‬مطلوبست پاسخ سیستم به ازای ورودی داده شده ‪:‬‬
‫‪27‬‬
‫‪ -7-2‬پاسخ به ورودی ضربه ‪:‬‬
‫‪ -1-7-2‬استفاده از رابطه بین پاسخ ضربه و پاسخ پله در سیستم های ‪:LTI‬‬
‫با یک مثال این رابطه را بررس ی می کنیم‪:‬‬
‫ّ‬
‫مثال ‪ )10‬سیستم ‪ LTI‬و علی است‪.‬‬
‫‪28‬‬
29
‫‪ -2-7-2‬محاسبه پاسخ ضربه سیستم به طور مستقیم‬
‫جهت محاسبه پاسخ ضربه سیستم ‪ LTI‬پاسخ معادله همگن را به دست آورده و آن را به عنوان پاسخ کامل سیستم‬
‫در نظر می گیریم‪ .‬پاسخ کامل باید در معادله دیفرانسیل صدق کند که بدین ترتیب ضرایب ثابت محاسبه و پاسخ کامل‬
‫که همان پاسخ ضربه است ‪ LTI‬است تعیین خواهد شد‪.‬‬
‫حال مثال ‪ 10‬را به این روش مجددا حل می کنیم‪:‬‬
‫‪30‬‬
‫‪-8-2‬سیستم های ‪ LTI‬توصیف شده با معادالت تفاضلی (زمان گسسته)‬
‫هدف از تحلیل معادله تفاضلی ‪:‬‬
‫‪)1‬رابطه مستقیمی بین ورودی و خروجی به دست می آوریم‪.‬‬
‫‪)2‬خروجی را به ازای ورودی مشخص می کنیم‪.‬‬
‫‪ -1-8-2‬روش حل معادله تفاضلی‬
‫الف ) روش مستقیم ‪:‬‬
‫با فرض آن که معادله تفاضلی مرتبه دوم است ‪ N=2‬برای به دست آوردن جواب عمومی مراحل زیر را انجام می دهیم‪:‬‬
‫‪31‬‬
‫مثال ‪)1‬مطلوب است خروجی اگر‬
‫پاسخ عمومی ‪:‬‬
‫‪32‬‬
‫‪2‬‬
‫باشد‪.‬‬
‫‪n  n‬و‪y0  1 x‬‬
‫پاسخ خصوص ی ‪:‬‬
‫پاسخ کامل ‪:‬‬
‫ب) روش بازگشتی‬
‫با یک مثال این روش را بررس ی می کنیم ‪:‬‬
‫ّ‬
‫مثال ‪ )2‬سیستم ‪ LTI‬و علی توصیف شده با معادله تفاضلی زیر در نظر بگیرید‪:‬‬
‫‪33‬‬
‫مطلوب است‪:‬‬
‫الف) پاسخ ضربه ‪hn‬‬
‫ب) پاسخ ضربه معکوس‬
‫ج) به ازای ورودی داده شده‬
‫روش بازگشتی ‪:‬‬
‫‪34‬‬
‫‪h1 n‬‬
‫خروجی را به دست آورید‪.‬‬
‫‪xn   n  1‬‬
‫باید فرمول زیر برقرار باشد ‪:‬‬
‫ب) برای به دست آوردن ‪hI n‬‬
‫ّ‬
‫ّ‬
‫سوال ‪ :‬اگر سیستمی ‪ LTI‬و علی باشد‪ ،‬آیا معکوس سیستم نیز ‪ LTI‬و علی خواهد بود؟‬
‫روش بازگشتی‪:‬‬
‫‪35‬‬
‫ج) پاسخ ضربه سیستم ‪hn‬در قسمت الف به دست آورده شد‪،‬با توجه به خاصیت ‪( TI‬نامتغیر با زمان) بودن سیستم‬
‫داریم‪:‬‬
‫ّ‬
‫توصیف شده است‪ .‬با فرض سکون اولیه (علی) پاسخ‬
‫مثال ‪ ) 3‬سیستم ‪ LTI‬با معادله تفاضلی ‪yn  2 yn  1  xn‬‬
‫ضربه را به دست آورید‪.‬‬
‫تذکر‪:‬اگر ورودی ضربه واحد بود پیشنهاد می شود از روش بازگشتی معادله را حل کنید‪.‬‬
‫روش اول ‪ :‬به کارگیری روابط بازگشتی و تعین پاسخ به ازاء ورودی خاص با توجه به شرط سکون اولیه‬
‫‪36‬‬
‫روش دوم ‪:‬به دست آوردن خروجی بر حسب ورودی به طور کلی با استفاده از روابط بازگشتی‬
‫برای به دست آوردن رابطه صریح خروجی بر حسب ورودی (‪ (FIR‬به طریق ذیل عمل می کنیم‪:‬‬
‫‪37‬‬
38
‫روش سوم ‪ :‬استفاده از رابطه بین پاسخ ضربه و پاسخ پله در سیستم های ‪LTI‬‬
‫پاسخ پله ‪:‬‬
‫پاسخ همگن ‪:‬‬
‫پاسخ خصوص ی ‪:‬‬
‫پاسخ کامل ‪:‬‬
‫‪39‬‬
‫محاسبه پاسخ ضربه با استفاده از پاسخ پله ‪:‬‬
‫‪ -9-2‬نمایش سیستم ‪ LTI‬با استفاده از بلوک دیاگرام (مشتق گیر و انتگرال گیر)‬
‫زمان پیوسته‬
‫‪40‬‬
‫زمان گسسته‬
‫هم ارز با مشتق در پیوسته ‪:‬‬
‫هم ارز با انتگرال در پیوسته‪:‬‬
‫‪41‬‬
‫مثال ‪) 4‬‬
‫الف) نمایش سیستم با استفاده از بلوک های مشتق گیر‬
‫‪42‬‬
‫ب) نمایش سیستم با استفاده از بلوک های انتگرال گیر‬
‫‪43‬‬
‫مثال ‪) 5‬‬
‫تمرین) رسم بلوک دیاگرام؟‬
‫سیستم زمان پیوسته‬
‫سیستم زمان گسسته‬
‫‪44‬‬
‫‪ -10-2‬خالصه‬
‫با توجه به رابطه کانولوشن می توان خواص جابه جایی پذیری‪ ،‬توزیع پذیری و شرکت پذیری را برای سیستم های‬
‫‪ LTI‬تعریف کرد‪.‬‬
‫با معرفی تابع تبدیل می توان خواص جدیدی برای سیستم های ‪ LTI‬بیان کرد‪.‬‬
‫کانولوشن به دو روش ترسیمی و فرمول قابل محاسبه است‪.‬‬
‫در معادالت دیفرانسیل‪ ،‬با حل معادله همگن و یافتن جواب خصوص ی به ازای ورودی خاص ‪،‬جواب کلی سیستم از‬
‫جمع پاسخ عمومی و پاسخ خصوص ی به دست می آید‪.‬‬
‫ّ‬
‫برای به کارگیری شرایط سکون جهت تعیین پاسخ سیستم ‪ LTI‬به ورودی داده شده‪،‬عنوان علی بودن سیستم ضروری‬
‫است‪.‬‬
‫با استفاده از رابطه بین پاسخ ضربه و پاسخ پله در سیستم های ‪ LTI‬ویا محاسبه پاسخ ضربه سیستم به طور مستقیم‬
‫می توان پاسخ به ورودی ضربه را یافت‪.‬‬
‫سیستم ‪ LTI‬را با استفاده از بلوک دیاگرام نیز می توان نشان داد‪.‬‬
‫‪45‬‬