در بدست آوردن عکس تبديل Z
Download
Report
Transcript در بدست آوردن عکس تبديل Z
بسم ا ...الرحمن الرحيم
درس کنترل ديجيتال
مهر 1389
دکتر حسين بلندي -دکتر سید مجید اسما عیل زاده
عکس تبديل z
روشهای عکس تبديل z
-1روش تقسيم مستقيم
-2روش محاسبه ای
-3روش گسترش کسرهای جزيی
-4روش انتگرال معکوس سازی
تذکرمجدد :
در بدست آوردن عکس تبديل ، Zفرض می کنيم که دنباله زمانی ) x(kيا
) x(kTبرای k<0صفر است
-1روش تقسيم مستقيم
عکس تبديل Zبا گسترش ) X(zبه يک سری توانی بی پايان از z 1
اين روش زمانی سودمند است که بدست آوردن صورت بسته برای عکس
تبديل zدشوار باشد يا تنها چند جمله اول ) x(kمورد نظر باشد.
اين روش از تعريف تبديل zحاصل می شود .يعنی :
X ( z ) x(kT ) z k
k 0
...
k
2
1
x(0) x(T ) z x(2T ) z ... x(kT ) z
مثال :عکس تبديل zتابع زير را برای k=0,1,2,3,4محاسبه نماييد
10 z 5
X ( z)
)( z 1)( z 0.2
حل :
10 z 1 5 z 2
X ( z)
1 1.2 z 1 0.2 z 2
از تقسيم صورت بر مخرج داريم :
مثال :عکس تبديل zتابع زير را محاسبه نماييد
3
2
1
X ( z ) 1 2 z 3z 4 z
حل :با مقايسه رابطه فوق با تعريف تبديل zداريم :
X ( z ) x(0) x(T ) z 1 x(2T ) z 2 ... x(kT ) z k ...
x(0) 0
x(1) 2
x(2) 3
x(3) 4
مقادير تمام ) x(kهای ديگر صفر است.
-2روش محاسباتی
-3روش گسترش کسر جزئی
: (z=0) دارای قطبهای ساده و حداقل يک صفر در مبدا باشدX(z) اگر: حالت کلی
Z 1[ X ( z )] x(k ) y (k 1)
=0
X ( z)
a1 a 2 a3 a n
z
(z p ) (z p ) (z p )
(z p )
1
a
[( z
i
p)
i
X ( z)
]
z
2
z pi
3
n
: مثال
10 z
X ( z)
( z 1)( z 0.2)
X ( z)
10
12.5 12.5
z
( z 1)( z 0.2) z 1 z 0.2
X ( z)
10
12.5 12.5
z
( z 1)( z 0.2) z 1 z 0.2
1
1
X ( z ) 12.5(
)
1
1
1 z
1 0.2 z
: می دانيم
1
Z [
] 1
1
1 z
1
x(k ) 12.5[1 (0.2) k ]
1
k
Z [
]
(
0
.
2
)
1 0.2 z 1
1
k 0,1,2,...
2z3 z
X ( z)
( z 2) 2 ( z 1)
)) قطبهای مکرر: مثال
: رابه صورت کسرهای جزئی گسترش می دهيمX(z)/z : روش اول
X ( z)
2z 2 1
9
1
3
2
2
z
( z 2) ( z 1) ( z 2)
z 2 z 1
9 z 1
1
3
X ( z)
1 2
1
(1 2 z ) 1 2 z
1 z 1
: می دانيم
1
z
k 1
Z 1[
]
k
(
2
)
1 2
(1 2 z )
1
k
Z [
]
2
1 2 z 1
1
1
Z [
] 1
1
1 z
1
x(k )
k 0
2
9k (2 k 1 ) 2 k 3
: بنابراين
k 1,2,3,...
: ابتدا صورت را بر مخرج تقسيم می کنيم:روش دوم
10 z 2 15 z 8
X ( z) 2
( z 2) 2 ( z 1)
Xˆ ( z )
2
10
z
15 z 8
ˆ
X ( z)
( z 2) 2 ( z 1)
9z
2
3
2
( z 2)
z 2 z 1
1
1
1
9
z
2
z
3
z
Xˆ ( z )
1 2
1
(1 2 z ) 1 2 z
1 z 1
9 z 1
2 z 1
3 z 1
X ( z) 2
1 2
1
(1 2 z ) 1 2 z
1 z 1
1
Z [2]
k 0
k 1,2,3,...
2
0
k 1
k
(
2
)
z
1
Z [
]
1 2
0
(1 2 z )
1
1
z
Z 1[
]
1
1 2z
1
z
Z 1[
]
1
1 z
x(k )
2 k 1
0
1
0
k 1,2,3,...
k 0
k 1,2,3,...
k 0
k 1,2,3,...
k 0
2
9k (2k 1 ) 2k 3
k 0
k 1,2,3,...
تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی
در اين بخش ،نخست تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی را تعريف کرده ،سپس در مورد اينکه
روش تبديل zدر حل اين معادالت تفاضلی چگونه بکار می رود بحث خواهيم کرد.
تابع تبديل پالس ی و دنباله وزنی :سيستم زمان – گسسته خطی تغيير ناپذير با زمان زير را درنظر
می گيريم :
)x(k ) a1 x(k 1) ... an x(k n
) bou (k ) b1u (k 1) ... anu (k n
تبديل Zمعادله فوق عبارتست از:
) X ( z ) a1 z 1 X ( z ) ... an z n X ( z
) boU ( z ) b1 z 1U ( z ) ... bn z nU ( z
: معادله فوق را به صورت زير بازنويس ی می کنيم
1
n
(1 a1 z ... an z ) X ( z )
1
n
(bo b1 z ... bn z )U ( z )
: معادله فوق را به صورت زير بازنويس ی می کنيم
1
n
bo b1 z ... bn z
X ( z)
U ( z)
1
n
1 a1 z ... an z
: تعريف می کنيم
bo b1 z 1 ... bn z n
G( z)
1 a1 z 1 ... an z n
o (kT )
: تابع دلتای کرونر
k 0
k 0
1
0
U ( z ) Z [ o (kT )] 1
Z [ o (kT )] 1
: پاسخ سيستم به ورودی تابع دلتای کرونر
1
n
bo b1 z ... bn z
X ( z)
G( z)
1
n
1 a1 z ... an z
: دنباله وزنی
1
g (k ) Z [G ( z )]
مثال :معادله تفاضلی زير را درنظر بگيريد و تابع تبديل پالس ی را برای اين سيستم محاسبه نماييد.
) x(k 2) a1 x(k 1) a2 x(k ) bou (k 2) b1u (k 1) b2u (k
تابع تبديل پالس ی را برای اين سيستم محاسبه نماييد .با فرض اينکه سيستم در ابتدا در حالت
استراحت بوده و u (k ) 0برای k . 0
حل :تبديل zمعادله فوق را بدست می آوريم :
) [ z 2 X ( z ) z 2 x(0) zx(1)] a1[ zx( z ) zx(0)] a2 X ( z
) bo [ z 2U ( z ) z 2u (0) zu (1)] b1[ zU ( z ) zu (0)] b2U ( z
اکنون بايد شرايط اوليه ) x(0و ) x(1را از معادله اصلی محاسبه نماييم:
k 2
)x(0) a1 x(1) a2 x(2) bou (0) b1u (1) b2u (2
)x(0) bou (0
k 1
)x(1) a1 x(0) a2 x(1) bou (1) b1u (0) b2u (1
)x(1) a1 x(0) bou (1) b1u (0
با فرض آنکه سيستم در حالت سکون بوده ،معادله فوق را بصورت زير ساده می نماييم :
) ( z 2 a1 z a2 ) X ( z ) (bo z 2 b1 z b2 )U ( z
) (bo z 2 b1 z b2
X ( z) 2
)U ( z
z a1 z a2
(bo z 2 b1 z b2 )
X ( z) 2
U ( z)
z a1 z a2
X ( z ) bo z 2 b1 z b2 bo b1 z 1 b2 z 2
G( z)
2
U ( z)
z a1 z a2
1 a1 z 1 a2 z 2
: دنباله وزنی سيستم زمان – گسسته زير را به دست آوريد:مثال
x(k ) ax(k 1) u (k )
X ( z ) az 1 X ( z ) U ( z )
X ( z)
1
G( z)
U ( z ) 1 az 1
1
X ( z)
U ( z)
1
1 az
g (k ) Z 1[G ( z )]
:حل
ak
k 0,1,2,...
0
k 0