Transcript Lecture 1
ADVANCED
CONTROL
Ali Karimpour
Associate Professor
Ferdowsi University of Mashhad
Reference:
Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.
lecture 1
Lecture 1
Mathematical Descriptions of
Systems
Topics to be covered include:
Introduction.
Linear Systems.
Linear Time Invariant Systems.
Op-Amp Circuit Implementation
Linearization.
Concluding Remarks
2
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید
• Causal, lumped and lumpedness Systems
• Linear Systems and Its Property
• State Idea
فشرده و گسترده،• سیستم علی
• سیستم خطی و خواص آن
• مفهوم حالت
خروجی و مفهوم آن- ورودی-• زوج حالت
• State-Input-Output Pair Idea
رابطه ورودی خروجی در سیستمهای خطی با شرایط گوناگون
• Input-Output Relation
LTV معادالت فضای حالت سیستمهای
• State Space Representation for LTV Systems
سیستمهای غیر متغیر با زمان و تابع انتقال
• Time Invariant Systems and Transfer Function
LTI معادالت فضای حالت سیستمهای
• LTI State Space Representation
پیاده سازی توسط آپ امپ
• Op-Amp Circuit Implementation
خطی سازی سیستمهای غیر متغیر با زمان
• Linearization of LTI Systems
•
•
•
•
•
•
3
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Introduction
مقدمه
Continues System
:سیستم پیوسته
Discrete System
:سیستم گسسته
4
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Introduction
مقدمه
:سیستم تک ورودی تک خروجی
SISO System
y
System
u
:سیستم چند ورودی چند خروجی
MIMO System
u1
um
y1
System
ym
5
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
مقدمه
سیستم بدون حافظه
Introduction
Memory less System
یک سیستم بدون حافظه نامیده می شود اگر خروجی در هر لحظه تنها به ورودی همان لحظه مرتبط
بوده و به ورودی های قبل و بعد ربطی نداشته باشد.
سیستم علی
) y(t ) 12.3u(t
Causal system
یک سیستم علی نامیده می شود اگر خروجی در لحظه t0تنها به ورودی لحظه t0و ورودی های ماقبل
آن مرتبط بوده و به ورودی های بعد از لحظه t0ربطی نداشته باشد.
)y(t ) u(t 1
? )y(t ) u(t 1
6
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Introduction
مقدمه
ارتباط ورودی و خروجی
Input-Output Relation
) u(t ), t (,) y(t
ارتباط ورودی و خروجی برای سیستم علی
) u(t ), t (, t ) y(t
تعریف (1-1حالت) :حالت ) x(t0در زمان t0مجموعه اطالعاتی است که با معلوم بودن ) u(tبرای y(t) ، t≥t0
را بصورت منحصربفرد برای t≥t0تعیین می کند.
زوج حالت-ورودی -خروجی
State-Input-Output Pair
y (t ), t t0
u (t ), t t0
) x(t0
7
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
مقدمه
Introduction
سیستم فشرده
Lumped System
یک سیستم فشرده نامیده می شود اگر تعداد حاالت آن محدود باشد.
سیستم گسترده
Distributed System
یک سیستم گسترده نامیده می شود اگر تعداد حاالت آن نامحدود باشد.
مثال (1-1سیستم گسترده):
)y(t ) u(t 1
8
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Linear Systems
سیستمهای خطی
سیستم خطی
Linear System
یک سیستم خطی نامیده می شود اگر برای هر t0و هر دو زوج حالت -ورودی -خروجی زیر
y2 (t ), t t0
u2 (t ), t t0
) x2 (t0
y1 (t ), t t0
u1 (t ), t t0
) x1 (t0
شرایط زیر برقرار باشد:
-1خاصیت جمع پذیری
-2خاصیت همگنی
) x1 (t0 ) x2 (t0
y1 (t ) y2 (t ), t t0
u1 (t ) u2 (t ), t t0
) x1 (t0
y1 (t ), t t0
u1 (t ), t t0
دو خاصیت می تواند ترکیب شده و خاصیت جمع آثار را نتیجه دهد.
9
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
) 1 x1 (t0 ) 2 x2 (t0
1 y1 (t ) 2 y2 (t ), t t0
1u1 (t ) 2u2 (t ), t t0
lecture 1
Linear Systems
سیستمهای خطی
خاصیت سیستم خطی
Linear System property
پاسخ حالت صفر یک سیستم را در نظر بگیرید:
x(t0 ) 0
y zs (t ), t t0
u (t ), t t0
پاسخ ورودی صفر سیستم را در نظر بگیرید:
y zi (t ), t t0
u (t ) 0, t t0
) x(t0
حال با فرض خطی بودن سیستم داریم:
y zs (t ) y zi (t ), t t0
u (t ), t t0
) x(t0
پس در سیستمهای خطی داریم:
10
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
) ytotal (t ) yzs (t ) yzi (t
پاسخ ورودی صفر +پاسخ حالت صفر = پاسخ کامل
lecture 1
Linear Systems
سیستمهای خطی
Input-Output Description
خروجی-توصیف ورودی
:ورودی زیر را در نظر بگیرید
u(t ) u(ti ) (t ti )
i
(t ti ) g (t, ti )
(t ti )u(ti ) g (t, ti )u(ti )
:فرض کنید
:با توجه به خاصیت همگنی
:با توجه به خاصیت جمع پذیری
(t ti )u(ti ) g (t, ti )u(ti )
i
i
u(t )
y(t )
:پس داریم
g (t , )u( )d
11
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Linear Systems
سیستمهای خطی
Input-Output Description for Linear System
y(t )
خروجی یک سیستم خطی-توصیف ورودی
g (t , )u( )d
خروجی یک سیستم خطی و علی-توصیف ورودی
Input-Output Description for Causal Linear System
y(t )
g (t , ) 0 if t
t
g (t , )u( )d
t0 خروجی یک سیستم خطی و علی و آرام در-توصیف ورودی
Input-Output Description for Causal and relaxed Linear System at t0
y(t )
t
t0
g (t , )u( )d
In a MIMO
case
y(t )
t
t0
G(t , )u( )d
12
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Linear Systems
سیستمهای خطی
State Space Description
توصیف فضای حالت
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t )
y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
13
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Linear Time Invariant Systems سیستمهای خطی غیر متغیر با
زمان
Linear Time Invariant Systems
سیستمهای خطی غیر متغیر با زمان
خروجی- ورودی-یک سیستم خطی غیر متغیر با زمان نامیده می شود اگر برای هر زوج حالت
y (t ), t t0
u (t ), t t0
x(t0 )
: داشته باشیمT و برای هر
x(t0 T )
y(t T ), t t0 T
u (t T ), t t0 T
خروجی سیستم غیر متغیر با زمان-توصیف ورودی
Input-Output Description for LTI
:برای سیستم خطی غیرمتغیر با زمان داریم
g (t , ) g (t T , T )
g (t , ) g (t , ) g (t ,0) g (t )
Very important g (t , ) g (t ) impulse response
14
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Linear Time Invariant Systems سیستمهای خطی غیر متغیر با
زمان
مطلوبست پاسخ ضربه سیستم تاخیر واحد:2-1 مثال
g (t ) (t 1)
مطلوبست پاسخ ضربه سیستم مقابل:3-1 مثال
g (t ) a (t 1) a (t 2) a (t 3) ...... a i (t i)
2
3
i 1
. برابر صفر استt<0 که برایr(t) مطلوبست پاسخ سیستم مثال قبل به ورودی دلخواه:4-1 مثال
y(t ) g (t )r ( )d a
t
0
i 1
i
t
(t i )r ( )d
0
y(t ) a r ( ) t i a i r (t i)
i
i 1
i 1
15
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Linear Time Invariant Systems سیستمهای خطی غیر متغیر با
زمان
خروجی یک سیستم خطی غیر متغیر با زمان-توصیف ورودی
Input-Output Description for Linear Time Invariant System
y(t )
y(t )
g (t , )u( )d
g (t )u( )d
u(t ) g ( )d
خروجی یک سیستم خطی علی غیر متغیر با زمان-توصیف ورودی
Input-Output Description for Causal Linear Time Invariant System
y(t )
t
g (t )u( )d
خروجی یک سیستم خطی علی غیر متغیر با زمان آرام-توصیف ورودی
Input-Output Description for Causal and Relaxed Linear Time Invariant System
y(t )
t
0
g (t )u ( )d
16
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Transfer Function Matrix ماتریس تابع
انتقال
نمایش خروجی یک سیستم در حوزه الپالس
y ( s)
0
y(t )e st dt
خروجی-با استفاده از رابطه ورودی
y( s)
y( s)
y(s)
t 0
0
0
y( s)
0
g (t )u ( )d e st dt
0
y( s)
t 0
g (t )u ( )d e s (t ) e s dt
0
g (t )e s (t ) dt u ( )e s d
t 0
g (v)e s ( v ) dv u ( )e s d
v
g (s)u( )es d
y( s) g ( s)u ( s)
17
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Transfer Function Matrix ماتریس تابع
انتقال
خروجی یک سیستم در حوزه الپالس-تابع انتقال = نمایش ورودی
y( s) g ( s)u ( s)
Proper tranfer function(tf):
g (s) deg D(s) deg N (s) g () cte
اکیدا مناسب استg (s) deg D(s) deg N (s) g () 0
Strictly proper tf:
نامناسب استg (s) deg D(s) deg N (s) g ()
Improper tf:
Biproper tf:
مناسب است
مناسب دو طرفه استg ( s ) deg D( s ) deg N ( s ) g () cte 0
.خروجی تابع انتقال به ماتریس انتقال تبدیل می شود-q ، –ورودیp برای یک سیستم
y1 ( s ) g11 ( s )
y (s) g (s)
2 21
y
(
s
)
q g q1 ( s )
g12 ( s ) g1 p ( s ) u1 ( s )
g 22 ( s ) g 2 p ( s ) u2 ( s )
g q 2 ( s ) g qp ( s ) u p ( s )
y ( s) G( s)u( s)
18
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
ماتریس تابع Transfer Function Matrix
انتقال
مثال :5-1مطلوبست تابع انتقال سیستم تاخیر واحد
)g (t ) (t 1
g ( s) e s
مثال :6-1مطلوبست تابع انتقال سیستم مقابل
ae s
g ( s)
1 ae s
19
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
State Space Description for Linear Systems
State Space Description for LTI systems
توصیف فضای حالت سیستمهای خطی
توصیف فضای حالت سیستم غیرمتغیر با
زمان
x (t ) Ax(t ) Bu(t )
y(t ) Cx(t ) Du(t )
:برای محاسبه تابع انتقال کافیست از معادالت حالت تبدیل الپالس بگیریم
x( s) ( sI A) 1 x(0) ( sI A) 1 Bu( s)
y( s) C ( sI A) 1 x(0) C ( sI A) 1 Bu( s) Du( s)
:پس تابع انتقال (با فرض شرط اولیه صفر) عبارتست از
g (s) C(sI A)1 B D
20
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Op-Amp Circuit Implementation -پیاده سازی مداری توسط آپ
امپ
Z f ( s)
Vo (s)
G( s)
Vi (s)
Z i ( s)
21
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Op-Amp Circuit Implementation -پیاده سازی مداری توسط آپ
امپ
22
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Op-Amp Circuit Implementation -پیاده سازی مداری توسط آپ
امپ
x1 2 0.3 x1 2
x 1 8 x 0 u
2
2
x
y 2 3 1 5u
x2
مطلوبست پیاده سازی آپ امپی سیستم مقابل:7-1 مثال
23
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Linearization
خطی سازی
Although almost every real system includes
nonlinear features, many systems can be reasonably
described, at least within certain operating ranges, by
linear models.
،گرچه تقریبا تمام سیستمهای واقعی دارای رفتار غیر خطی هستند
بسیاری از سیستمها را می توان حداقل در یک رنج کاری خاص خطی
.نمود
24
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Linearization
خطی سازی
Say that {xQ(t), uQ(t), yQ(t)} is a given set of trajectories that satisfy the
above equations, so we have
25
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Linearization
خطی سازی
26
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Linearization
خطی سازی
: سیستم مقابل را در نظر بگیرید:8-1 مثال
. سیستم را حول نقطه داده شده خطی کنید، تغییر جزئی دارد2 فرض کنید ورودی حول
uQ 2
22
0 xQ
3
16
xQ
9
Operating point : uQ 2, xQ
16
9
A
f
1
3
|x xQ ,u uQ
x
8
2 xQ
B
f
2
4
| x xQ ,u uQ uQ
u
3
3
3
4
x x u
8
3
27
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Linearization
خطی سازی
شبیه سازی
28
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Linearization
خطی سازی
. سیستم مقابل را حول نقطه تعادلش خطی کنید:9-1 مثال
θ l
u
d 2
J 2 ul m glsin , J m l2
dt
d 2
u g
sin
x1 , x2
2
dt
ml l
x1 x2
mg
x 2
x1Q x2Q uQ 0
u g
sin x1
ml l
is operatingpoint
0
x1
x g
2
l
1
0
x1 1 u
0 x2
m l
29
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Concluding Remarks نکات
خالصه
System Type
Distributed, linear
Lumped, linear
Internal Description
-----------
External Description
y(t )
t
G(t , )u( )d
t0
x (t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t )
y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
y(t )
t
G(t , )u( )d
t0
t
Distributed, linear
time-invariant
Lumped, linear
time-invariant
-----------
y(t ) G(t )u( )d
0
y(s) G(s)u(s), G s) irrational
x (t ) Ax(t ) Bu(t )
y(t ) Cx(t ) Du(t )
t
y(t ) G(t )u( )d
0
y(s) G(s)u(s),G s) rational
30
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
تمرینها
Exercises
تمرین :1-1سیستمهای زیر دارای شرط اولیه صفر و رابطه ورودی -خروجی آنها در شکل دیده می
شود .کدام سیستم خطی است؟ چرا؟
تمرین :2-1اپراتور برش بصورت رابطه زیر دیده می شود .آیا سیستم خطی است؟ آیا سیستم غیر متغیر
بازمان است؟ آیا سیستم علی است؟
برای هر مورد دلیل بیاورید.
31
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
تمرینها
Exercises
تمرین :3-1به یک سیستم خطی ورودی ) u2(t) ، u1(tو ) u3(tاعمال میشود .در هر حالت شرط
اولیه برابر ) x(0می باشد .اگر فرض کنیم x(0)≠0است کدام یک از موارد زیر درست است؟ چرا؟
اگر فرض کنیم x(0)=0است کدام یک از موارد زیر درست است؟ چرا؟
تمرین :4-1سیستم زیر دارای شرط اولیه صفر و رابطه ورودی -خروجی آن در شکل دیده می شود.
شرط جمع پذیری و همگنی را بررسی کنید.
32
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
تمرینها
Exercises
تمرین :5-1پاسخ ضربه یک سیستم خطی و ورودی در شکل زیر دیده میشود مطلوبست پاسخ
حالت صفر سیستم.
تمرین :6-1مطلوبست تابع انتقال و پاسخ ضربه سیستم زیر.
تمرین :7-1مطلوبست پاسخ پله سیستم مقابل برای a=1و a=0.5
33
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
تمرینها
تمرین :8-1مطلوبست پاسخ پله سیستم مقابل برای a=1و a=0.5
تمرین :9-1دیاگرام آپ امپی سیستم زیر را بدست آورید.
تمرین :10-1معادالت فضای حالت و تابع انتقال سیستم
زیر را بدست آورید.
34
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
Exercises
lecture 1
تمرینها
تمرین :11-1مطلوبست معادالت فضای حالت سیستم زیر:
35
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
Exercises
Example 1-10 Suppose electromagnetic force is
and find linearzed model around y=y0
d2y
i 2 (t )
M 2 Mg
dt
y
di
e(t ) R1i L
dt
y
lecture 1
i2/y
x1 y , x2 y , x3 i
M
2
x1 x2
1 x3
x2 g
M x1
R1
e(t )
x3 x3
L
L
Equilibrium point:
x1Q y0
x2Q 0
x3Q i Q Mgy0
eQ R1 Mgy0
36
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
Example 1-10 Suppose electromagnetic force is
and find linearzed model around y=y0
2
x1 x2
y
Equilibrium point:
x
1Q
1 x3
x2 g
M x1
i2/y
lecture 1
R1
e(t )
x3 x3
L
L
, x2Q , x3Q , eQ y0 , 0 , Mgy0 , R1 Mgy0
M
x1 x2
g
g
x2 x1 2
x3
y0
My0
x3
R1
e(t )
x3
L
L
0
x1
x g
2 y
x3 0
0
1
0
0
0
x1 0
g
2
x2 0e(t )
My0
x3 1
37
R1
L
Dr.
Ali
Karimpour Oct 2013
L
lecture 1
Example 1-11 Consider the following nonlinear system. Suppose
u(t)=0 and initial condition is x10=x20=1. Find the linearized system
around response of system.
1
x1 (t )
x2 (t ) 2
x2 (t ) u (t ) x1 (t )
x2 (t ) 0.x1 (t ) 0
x1 (t ) 1
x2 (t ) a 1
x1 (t ) t b t 1
x1 0
x 0
2
2 x1 0
u (t )
0 x2 1 t
38
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Example 1-12 (Inverted pendulum) پاندول معکوس12-1 مثال
Figure : Inverted pendulum
y(t)
(t)
M
m
l
f(t)
-
distance from some reference point
angle of pendulum
mass of cart
mass of pendulum (assumed concentrated at tip)
length of pendulum
forces applied to pendulum
39
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Inverted Pendulum
40
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Inverted Pendulum
Application of Newtonian physics to this system
leads to the following model:
where m = (M/m)
This is a linear state space model in which A, B and C are:
41
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
lecture 1
Answers to selected problems
جواب :1-1خطی ،غیر خطی و غیر خطی
جواب :2-1خطی ،متغیر با زمان و علی
جواب :3-1برای شرط اولیه غیر صفر خیر ،بلی و خیر
و برای شرط اولیه صفر بلی ،بلی و بلی
جواب :5-1برای t<0و t>4مقدار yبرابر صفر و
for 0 t 1
for 1 t 2
for 2 t 4
0.5t
y (t ) 1.5t 4t 2
) t (4 t
2
2
جواب :6-1
for t 0
42
Dr. Ali Karimpour Oct 2013
3 t
1
, g (t ) e
s3
g ( s)