Transcript گرافها و زیرگرافها

‫‪ ‬به هر گراف ‪ G‬ماتریس ‪ υ×ε‬متناظر است که آن را ماتریس وقوع ‪ G‬می‬
‫نامند‪.‬ماتریس وقوع ‪ G‬ماتریس ]‪ M(G)=[mij‬که در آن ‪ mij‬تعداد دفعات (‪ 0‬یا‬
‫‪ 1‬یا ‪ )2‬است که ‪ υi‬بر ‪ εj‬واقع می شود‪.‬‬
‫‪ ‬ماتریس مجاورت ]‪ ،A(G)=[aij‬ماتریس ‪ υ × υ‬است که در آن ‪ aij‬تعداد یالهایی‬
‫است که ‪ υi‬و ‪ υj‬را به هم متصل می کنند‬
v1
v2
v3
v4
e1
1
1
0
0
e2
1
1
0
0
e 3 e4
0
0
1
0
1
1
0
1
v1
v2
v3
v4
v1
0
2
1
1
v2
2
0
1
0
v3
1
1
0
1
v4
1
0
1
1
e5
1
0
0
1
e6
0
0
0
2
A(G)
e7
1
0
1
0
M(G)
‫تمرین‬
‫‪ ‬فرض کنید ‪ M‬ماتریس وقوع و ‪ A‬ماتریس مجاورت گراف ‪ G‬باشند‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫نشان دهید که هر مجموع ستونی ‪ M‬برابر ‪ 2‬است‪.‬‬
‫مجموعهای ستونی ‪ A‬چقدرند؟‬
‫‪ ‬فرض کنید ‪ G‬دوبخش ی باشد‪ .‬نشان دهید که راسهای ‪ G‬را میتوان به قسمی شماره‬
‫گذاری کرد که ماتریس مجاورت ‪ G‬به صورت‬
‫‪0 A12‬‬
‫‪A21‬‬
‫‪0‬‬
‫باشد‪ A21 .‬ترانهاده ‪ A12‬است‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫گراف ‪ H‬زیرگراف ‪( G‬بنویسید ‪ H‬زیر مجموعه ‪ )G‬است اگر )‪ V(H‬زیرمجموعه‬
‫)‪ V(G‬و )‪ E(H‬زیرمجموعه ای از )‪ E(G‬بوده و ‪ ψH‬تحدید ‪ ψG‬به )‪E(H‬‬
‫باشد‪.‬‬
‫وقتی که ‪ H‬زیرمجموعه ‪ G‬است و ‪ G≠H‬در این حالت ‪ H‬را زیرگراف سره ‪ G‬می‬
‫نامیم‪.‬‬
‫اگر ‪ H‬زیرگراف ‪ G‬باشد‪ G ،‬زبر گراف ‪ H‬است‪.‬‬
‫زیرگراف فراگیر (یا زبر گراف فراگیر) ‪ G‬زیرگراف (یا زبرگراف) ‪ H‬با‬
‫)‪ V(H)=V(G‬است‪.‬‬
‫‪ ‬با حذف همه طوقه ها از ‪ ،G‬و برای هر جفت راس مجاور‪ ،‬با حذف همه پیوندها‬
‫بجز یک پیوند که آنها را به هم وصل میکند‪ ،‬زیرگراف ساده ‪ G‬را به دست می‬
‫آوریم که آن را گراف ساده زمینه ‪ G‬نامیده اند‪.‬‬
‫فرض کنید که '‪ V‬زیرمجموعه ناتهی ‪ V‬باشد‪ .‬زیرگراف ‪ G‬را که مجموعه راسهایش '‪V‬‬
‫است‪ ،‬و مجموعه یالهایش مجموعه ای از آن یالهای ‪ G‬است که هر دو انتهایشان در‬
‫'‪ V‬است‪ ،‬یزرگراف ‪ ،G‬القا شده به وسیله '‪ V‬مینامند و به وسیله ]'‪ G[V‬نشان‬
‫میدهند‪ :‬میگوییم که ]'‪ G[V‬یک زیر گراف القایی ‪ G‬است‪ .‬یزر گراف القایی‬
‫]'‪G[V\V‬را که به صورت '‪ G-V‬نمایش میدهند‪ ،‬زیرگرافی از ‪ G‬است که با‬
‫حذف راسهای '‪ V‬همراه با یالهایی که راسهای '‪ V‬بر آنها واقعند‪ ،‬به دست می آید‪.‬‬
‫اگر }‪ V'={v‬به جای }‪ G-{v‬مینویسیم ‪.G-v‬‬
u
f
y
u
e
g
e
v
a
f
y
g
v
y
g
v
d
d
b
d
h
b
w
x
c
w
x
x
c
G-{u,w} ‫ و گراف‬G ‫ و زیر گراف فراگیر‬G ‫گراف‬
‫‪ ‬فرض کنید که '‪ E‬زیرمجموعه ناتهی ‪ E‬است‪ .‬زیرگراف ‪ G‬را که مجموعه راسهایش‬
‫مجموعه ای از دو انتهای یالها در '‪ E‬و مجموعه یالهایش '‪ E‬است‪ ،‬زیرگراف ‪G‬ی‬
‫القایی به وسیله '‪ E‬مینامند و آن را با ]'‪ G[E‬نمایش میدهند‪ G[E'] :‬زیرگراف‬
‫یال – القایی ‪ G‬است‪ .‬زیرگراف فراگیر با مجموعه یالی '‪ E\E‬را به صورت ساده‬
‫'‪ G-E‬مینویسند‪ .‬این زیرگرافی از ‪ G‬است که به وسیله حذف یالهای '‪ E‬به دست‬
‫می آید‪ .‬همچنین گرافی از ‪ G‬را که به وسیله اضافه کردن مجموعه یالهای '‪ E‬به‬
‫دست می آید با '‪ G+E‬نمایش میدهند‪ .‬اگر ‪E'=e‬به جای }‪ G-{e‬و }‪G+{e‬‬
‫مینویسیم ‪ G-e‬و ‪G+e‬‬
u
u
u
e
e
a
y
x
g
c
v
w
a
f
e
y
y
g
d
h
x
c
g
v
v
d
h
b
x
c
w
w
G[{a,c,e,g}] ‫ و زیرگراف یال القایی‬G-{a,b,f} ‫ و گراف‬G ‫گراف‬
‫‪ ‬فرض کنید ‪ G1‬و ‪ G2‬زیرگرافهای ‪ G‬باشند‪ .‬میگوییم که ‪ G1‬و ‪ G2‬مجزا هستند‬
‫اگر هیچ راس مشترکی نداشته باشند‪ .‬و مجزا یالند اگر هیچ یال مشترکی نداشته‬
‫باشند‪ .‬اجنماع ‪ G1‬و ‪ G2‬زیرگرافی با مجموعه راسهای )‪ V(G1‬اجتماع )‪ V(G2‬و‬
‫مجموعه یالهای )‪ E(G1‬اجتماع )‪ E(G2‬است‪ .‬اگر ‪ G1‬و ‪ G2‬مجزا باشند‪ ،‬غالبا‬
‫اجتماع آنها را به صورت ‪ G1+G2‬نماش ی میدهیم‪.‬‬
‫‪ ‬تمرین‬
‫‪ ‬نشان دهید که‬
‫(الف) هر زیرگراف القایی گراف کامل‪ ،‬گرافی کامل است‪.‬‬
‫(ب) هر زیرگراف یک گراف دوبخش ی‪ ،‬دوبخش ی است‪.‬‬