Transcript تحلیل سیستمهای LTV و حل مساله LURE

‫تحلیل سیستمهای ‪ LTV‬و حل مساله ‪LURE‬‬
‫‪1‬‬
‫حل معادالت حالت سیستم های ‪LTV‬‬
‫در حالت کلی معادالت حالت توصیف کننده یک سیستم ‪ LTV‬را می توان به فرم زیر نشان داد‪:‬‬
‫) ‪ X (t )  A(t ).X (t )  B(t ).u (t‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪Y (t )  C (t ).X (t )  D(t ).u (t‬‬
‫هدف‪ :‬یافتن پاسخ بسته برای سیستم‬
‫با فرض ورودی صفر برای سیستم )‪ ، Ẋ(t)=A(t).X(t‬ماتریس اساس ی آن بصورت زیر تعریف می شود‪:‬‬
‫سیستم یک تحت شرایط اولیه‬
‫پاسخ‪: X1 (t‬‬
‫)‬
‫‪F (t )  X1 (t )   X n (t )‬‬
‫)‪X1 (0‬‬
‫چنانچه ماتریس )‪ F(0‬ناویژه باشد‪ ،‬می توان ماتریس انتقال حالت سیستم را بدست آورد‪.‬‬
‫) ‪ (t , t0 )  F (t ).F 1 (t0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ t ( (t , t0 ))  A(t ). (t , t0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬خواص‬
‫‪ (t , t0 )  I‬‬
‫) ‪  (t , t )   (t , t ). (t , t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪‬‬
:‫پاسخ سیستم را می توان بصورت روبرو بدست آورد‬
t
X (t )   (t , t0 ).X (t0 )    (t , ) B( ) u ( ) d
t0
d
df (t , )
f
(
t
,

)
d


f
(
t
,

)

d


dt t0
dt
t0
t
‫اثبات‬
t
 (t , t0 )
X (t )
 (t , )
 X (t ) 
X (t )   (t , t0 ) .B(t )u (t )  
B( )u ( ) d
t
t
t
t0
t
t
 X (t )  A(t )  (t , t0 ) X (t )  B(t )u (t )   A(t )  (t , ) .B( )u ( ) d
t0
t


 X (t )  A(t )  (t , t0 ) X (t )   A(t )  (t , ) .B( )u ( ) d   B(t )u (t )


t0


X (t )
3
0 0

X (t )  
X (t )

 t 0
 x1  0 0  x1 
 x    t 0  x 
  2
 2 

‫ ماتریس انتقال سیستم روبرو را محاسبه کنید؟‬:‫مثال‬
 (t.t0 )  ?
 x1  0  x1 (t )  x1 (0)

 
t2
x2  t x1 (t )  t x1 (0)  x2 (t )  x1 (0)  x2 (0)

2

.‫ صفر نباشد‬F ‫شرایط اولیه را طوری انتخاب می کنیم که دترمینان ماتریس‬

 x1 (0)  1
X
(
0
)

 1
 x (0)  0
 2   




x (0)
 X 2 (0)   1   0
 x (0) 1

 2   

 1 
 X 1 (t )   2 
t 2
0 
 X 2 (t )   
1

1


F
(
0
)

X
(
0
)
X
(
0
)


1
2
0



 

 1
F (t )  X 1 (t ) X 2 (t )   2

t 2

0
 1 0  1
 (t , t0 )  F (t ).F (t0 )   2
   t 2 2 1
t
2
1

 0

1
0
1
 1 0


t 2 2 1


t0 0
.‫در این مثال سیستم ناپایدار است‬lim
،  (t , t0 )  0
t 
0
1
‫سیستم پایدار است اگر و تنها اگر‬
4
 1

X (t )   3t
 e
 x1    1
 x    e 3t
 2 
0
X (t )

0
0  x1 
0  x2 

 (t.t0 )  ?
‫ ماتریس انتقال سیستم روبرو را محاسبه کنید؟‬:‫مثال‬
 x1   x1  x1 (t )  x1 (0) e t

 
1  4t
 3t
 4t


x


e
x

x


e
x
(
0
)

x
(
t
)

e x1 (0)  x2 (0)
2
1
2
1
2

4

.‫ صفر نباشد‬F ‫شرایط اولیه را طوری انتخاب می کنیم که دترمینان ماتریس‬

 x1 (0)  1
 X 1 (0)  
  0 
x
(
0
)
 2   




x (0)
 X 2 (0)   1   0
 x (0) 1

 2   


 e t 
X 1 (t )    4t 
e 4 

0 
X 2 (t )   
1
 e  ( t t 0 )
0
 (t , t0 )  F (t ).F (t0 )   4(t t0 )

4 1
e
1

1 0


F
(
0
)

X
(
0
)
X
(
0
)


1
2
0 1 



 

 e t
0
 F (t )  X 1 (t ) X 2 (t )    4t


e 4 1 
 e t
0


  4t

e
4
1


t0 0
.‫محدود باشد‬
،  (t, t0 ) 
sup
t 
‫سیستم پایدار است هرگاه‬
5
) absolute stability ( ‫پایداری مطلق‬