(4) كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال
Download
Report
Transcript (4) كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال
كاربرد روش تبديل
ديفرانسيل
براي معادالت انتگرال
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
مقـدمـه
روش تبديل ديفرانسيل ) (DTMروش ي عددي براي حل معادالت با مشتقات
جزيي است .اين روش اولين بار توسط ژو در سال 1986براي
كاربردهاي مهندس ي معرفي گرديد و از آن براي حل مسائل مقدار
اوليه خطي و غير خطي در مدارهاي الكتريكي استفاده كرد.
3
1
2
• تبديل
ديفرانسيل
یک بعدي
• تبديل
ديفرانسيل دو
بعدي
4
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
- 1روش تبديل ديفرانسيل يك بعدي:
در اين بخش روش تبديل ديفرانسيل يك بعدي را معرفي كرده و
آن را براي حل معادالت انتگرال به كار مي بريم .
فرض
كنيدw ( x
)
باشد و
در دامنه kتحليلي x
0
در اين دامنه
قرار داشته باشد در اين صورت تعاريف زير را داريم:
5
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
تعريف:1-1
تبديل ديفرانسيل تابع ) w(xبرابر است با:
()1
k
) W ( k ) 1 d w (k x
k ! dx
که ) w(xتابع اصلی و ) W(kتبدیل دیفرانسیل تابع ) w(xاست.
6
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
تعريف:2-1
تبديل ديفرانسيل معكوس
برابر است با:
دنباله ي
}) { W (K
k =0
()2
k
) W ( k )( x - x 0
w( x)
k 0
كه وقتي x 0
0
،رابطه فوق بصورت زير تبديل مي شود:
()3
k
W (k ) x
w(x)
k 0
در كاربردهاي حقيقي w(x) ،به صورت سري متناهي در نظر گرفته مي شود.
n
()4
k
W (k )x
w (x )
k 0
7
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
قضاياي تبديل ديفرانسيل يك بعدي
در تمام قضاياي زير فرض می کنیم که ) G(k) ،F(kو ) H(kتبدیل دیفرانسیل
توابع ) g(x) ،f(xو ) h(xهستند.
قضيه :1.1اگر ) f(x)=g(x) ± h(xآنگاه )F(k)=G(k) ± H(k
قضيه :1.2اگر ) f(x)= ag(xآنگاه )F(k)= aG(k
قضيه :1.3اگر
) g( x
m
m
d
f(x)
dx
آنگاه
) G(k m
) (k m
F(k )
! k
قضيه :1.4اگر ) f(x)=g(x)h(xآنگاه
k
) G ( i )H ( k i
F(k )
i 0
8
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
قضيه :1.5اگر
n
قضيه :1.6اگر
x
f(x)x
آنگاه ) n
كه
F ( k ) ( k
k n
otherw ise
f ( x ) e
آنگاه
k
1
( k n )
0
F( k )
! k
قضيه :1.7اگر ) f(x)=sin(wt +αآنگاه
)
k
k
( sin
2
قضيه :1.8اگر ) f(x)=cos(wt +αآنگاه
)
k
2
w
F(k )
! k
k
(co s
w
F(k )
! k
9
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
قضيه : 1.9
)1اگر
)2اگر
آنگاه:
آنگاه:
9
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت با مشتقات جزيي
مثال :معادله دیفرانسیل ريكاتي درجه دوم
()1
2
y ( t ) 1
dy
dt
با شرط اوليه
()2
y(0 ) 0
تبديل ديفرانسيل رابطه ( )1و شرط اوليه داده شده با استفاده از قضاياي بيان شده بصورت
زير است:
()3
k
) s ) ( k
Y ( s )Y ( k
( k 1 )Y ( k 1 )
s 0
()4
Y (0 ) 0
10
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت با مشتقات جزيي
در رابطه ( )3بجاي (k-1) ،kقرار مي دهيم و به رابطه بازگشتي زيرمي رسيم
1 k 1
Y (k )
Y
(
s
)
Y
(
k
1
s
)
(
k
1
)
k
s 0
()5
با كمك رابطه بازگشتي و استفاده از شرط اوليه ( )4نتايج بصورت زيربدست مي آيند.
()6
2
, ...
, Y ( 4 ) 0, Y ( 3)
15
1
Y ( 1 ) 1, Y ( 2 ) 0 , Y ( 3 )
3
حال مقادير ) Y( kبدست آمده را در رابطه زير قرار مي دهيم و داريم:
()7
1
2t
e
1
2t
e
...
7
t
17
315
5
t
2
15
3
t
1
3
t
k
( k )t
Y
y(t )
k 0
كه جواب دقيق مسئله است.
11
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت با مشتقات جزيي
مثال :معادله دیفرانسیل
را با شرایط اولیه زیر در نظر گرفته و حل کنید:
حل :با توجه به قضیه های گفته شده و گرفتن تبدیل دیفرانسیل از معادله باال
داریم:
وبا گرفتن تبدیل دیفرانسیل از شرایط باال داریم:
26
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت با مشتقات جزيي
اکنون با جایگذاری شرایط باال در معادله باال جواب باال جواب به صورت سری زیر به دست
می آید:
27
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
مثال :1.1معادله انتگرال ولترا زیر را با استفاده از DTMحل کردیم:
حل :طبق قضایای تبدیل دیفرانسیل گفته شده در اسالید های قبلی داریم :
9
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
سپس پیدا می کنیم:
U(2)=0
U(4)=0
U(6)=0
… U(8)=0 ,
U(1)=-1,
U(3)=-1/3!,
U(5)=-1/5!,
U(7)=-1/7!,
با استفاده از فرمول ( )1جواب را بدست می آوریم
9
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
مثال : 1.2
حل :با استفاده از قضایای گفته شده در اسالید های قبل داریم:
سپس پیدا می کنیم:
!U(2)=1/2
!U(4)=1/4
… U(6)=1/6!,
U(1)=-1,
U(3)=-1/3!,
U(5)=-1/5!,
با استفاده از فرمول ( )1جواب را بدست می آوریم
9
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
نمودار مثال1.2
9
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
مثال : 1.2
حال این مثال را با استفاده از تجزیه ادومیان حل نمودیم:
حل :چند جمله ای های ادومیان برای قسمت غير خطی:
9
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
حال با حل قسمت خطی وغير خطی داريم:
9
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
9
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
9
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
نمودار :
9
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
-2روش تبديل ديفرانسيل دو بعدي:
روش تبديل ديفرانسيل دو بعدي اولين بار توسط چن و هو در سال
1999معرفي شد و براي حل معادالت با مشتقات جزيي خطي و
غير خطي به كار گرفته شد.
فرض كنيد ) w(x,yدر دامنه Kتحليلي
باشد ,و(x 0
) y0
در اين
دامنه قرار داشته باشد .در اين صورت تعاريف زير را داريم:
12
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
تعريف:1-2
تبديل ديفرانسيل تابع ) w(x,yبرابر است با:
()1
k h
) w ( x ,y
1
!k ! h
x k y h
W ( k ,h )
که ) w(x,yتابع اصلی و ) W(k,hتبدیل دیفرانسیل تابع ) w(x,yاست.
13
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
تعريف:2.2
ي
تبديل ديفرانسيل معكوس دنباله }) { W (k ,h
k ,h =0
برابر است با:
h
()2
k
) ) (y - y 0
0
W
w (x , y )
r 0 s 0
تعريف:3.2
وقتي
( k , h )( x - x
تعريف 2.2به صورت زير تبديل مي شود.
) ( x 0 , y 0 ) ( 0 ,0
()3
h
y
k
W (k , h )x
w (x , y )
r 0 s 0
دركاربردهاي حقيقي )w(x,yبه صورت سري متناهي زير درنظر گرفته مي شود.
m
()4
h
y
k
W (k , h )x
n
r 0 s 0
w (x , y )
14
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
قضاياي تبديل ديفرانسيل دو بعدي
درتمام قضاياي زير فرض مي كنيم ) V(k,h) ،U(k,hو )W(k,hتبدیل دیفرانسیل
توابع ) v(x,y) ،u(x,yو ) w(x,yهستند.
) ( k 0 ,h 0
قضيه :1.2اگر ) w(x,y)=u(x,y)±v(x,yآنگاه )W(k,h)=U(k,h)±V(k,h
قضيه :2.2اگر ) w(x,y)=au(x,yآنگاه ) a) W(k,h)=aU(k,hعددي ثابت است)
قضيه :3.2اگر
) u ( x , y
x
w ( x,y )
آنگاه
) W ( k , h ) ( k 1 )U ( k 1 , h
15
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
آنگاه
w ( x,y )
u ( x , y )
y
اگر:4.2 قضيه
W ( k , h ) ( h 1 )U ( k , h 1 )
آنگاه
w ( x,y )
r s
u( x , y )
r
x y
s
اگر:5.2 قضيه
W ( k , h ) ( k 1 )...( k r )( h 1 )...( h s )U ( k r , h s )
آنگاه
w( x , y ) x
1
W ( k , h ) ( k m , h n ) ( k m ) ( h n )
0
16
m n
y
اگر:6.2 قضيه
k m ,h n
other w ise
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
آنگاهw(x,y) =u(x,y)v(x,y) اگر:7.2 قضيه
k
W ( k ,h )
h
U ( r , h s )V ( k
r 0
r ,s )
s 0
آنگاهw(x,y) =u(x,y)v(x,y) h(x,y) اگر:8.2 قضيه
W ( k ,h )
k
k r
h
h s
r 0
t 0
s 0
p 0
U ( r , h s p )V ( t , s )H ( k r t , p )
آنگاه
W ( k ,h )
a
k
b
h
k ! h!
17
w( x , y ) e
ax by
اگر:9.2 قضيه
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
قضيه :10.2
)1اگر,
آنگاه:
G (m,0)=G (0,n )=0
m,n=0,1,...
17
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
)2اگر
G (m,0)=G (0,n )=0
m,n=0,1,...
آنگاه:
17
كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادالت انتگرال
لم : 1.2اگر ) F (m,n), U(m,nتبديالت ديفرانسيل ) f(x,t), u(x,tباشند سپس برای معادله
انتگرال
داریم:
17
تبدیل دیفرانسیل کاهشی
تعریف :1
تبديل ديفرانسيل کاهش ی تابع
که
برابر است با:
تابع اصلی ،تحلیلی و به طور پیوسته مشتق پذیر می
باشد و
تابع انتقال یافته می باشد .
26
تبدیل دیفرانسیل کاهشی
تعریف :2
تبديل ديفرانسيل معکوس تابع
برابر است با:
از ترکیب معادله 1و 2داریم:
26
تبدیل دیفرانسیل کاهشی
27
تبدیل دیفرانسیل کاهشی
مثال:1
حل:
9
تبدیل دیفرانسیل کاهشی
مثال:2
حل:
9
تبدیل دیفرانسیل کاهشی
9