Fundamentals of GA

Part 10

S. M. Vahidipour

Degree-Constrained MST

• • If we assume that there is a degree constraint on each vertex d j : the degree of V j

Heuristic Algorithm

• • – 1. Finding a MST without a degree constraint – 2. Modifying the MST combined with a degree constraint it is difficult to operate large scale problem paper: – – Narula and Ho, Degree-constrained MST,.., 1980 Savelsberg, Local search for routing problem with time windowing, 1985.

– Volgenant, A Lagrangean approach to the degree-constrained MST problem,…, 1989.

GA Implementation

• • • a specific representation: Degree-based

Permutation:

It has two parts – The connectivity among vertices – The degree value of each vertex A 2˟n matrix is needed to represent a chromosome for a n-vertex tree.

– the vertex dimension: take the integers from 1 to n – the degree dimension: take the integer from 1 to b Paper: A New Tree Encoding for the Degree-Constrained Spanning Tree Problem Zhou, et. al., Computational Intelligence and Security, 2007.

Degree-Based Permutation Encoding

س أر هب طوبرم دعب رد مقر نیلوأ نأونع هب أر ن أ یم رظن ر .

مینک یم باختنأ T مان هب رأد بسچرب تخرد کی رد أر د یراج س أر نأونع هب أر س أر نیأ و میهد یم رأرق هجرد هب طوبرم دعب رد مقر نیلوأ نأونع هب أر ن أ ی ) هشیر س أر ( س أر کی

: لوا ماگ

هجرد و میهد یم رأرق ،تشگیاج .

میریگ یم 2 د عب رد أر ن أ ی هجرد و س أر هب طوبرم دعب رد أر ن ماگ هب و میریگ یم رظن رد یراج س أ ،تشأد دوجو یدنزرف رگأ أر نأونع هب أر ردپ س .

مینک یم کچ تس أر هب پچ زأ أر یراج س أر نأدنزرف :

مود ماگ

أر ،تشأدن دوجو یس أر نینچ رگأ .

میور یم 3 ماگ هب و میهد یم رأرق هجرد هب طوبرم .

میور .

میور یم 4 ماگ هب و هدرک فذح أر ن أ دشاب گرب رگأ و میور یم 2 ماگ هب و میهد یم رأرق یراج س أر أر ن أ دشابن گرب ،دنزرف س أر رگأ :

موس ماگ

.

میور یم 2 ماگ هب هنرگو .

میوش یم فقوتم دنأ هدش کچ اه س أر ی همه رگأ :

مراهچ ماگ

• • • •

Degree-Based Permutation decoding

Degree-Based Permutation coding

• • • • • any spanning tree can be encoded by the representation any encoding represents a spanning tree The relation between them may not be 1-to-1 different encoding may present the same tree small changes in the genotype make small changes in the phenotype: Locality

Initial population

• the gene in this problem need to satisfy the following conditions: – For an n-vertex tree, the degree value for any vertex is at least 1 – total degree value for all vertices is 2(n-1)

X-over

• Order X-over: it is operated only on the vertex dimension

Swap Mutation on Vertices

Insertion Mutation

This operator can maintain a good heritage from generation to generation

Numerical Examples

• • • • Popsize=100, X-rate=0.4, M-rate(exchange=0.2 Insertion=0.6), Max-Gen=500 five randomly generated instance.

The weights are generated randomly over [10,100] The Lower bounds (LBs) are calculated using Prim’s by relaxing the degree constrained.

Results

Some Spanning Tree Coding

• • • • • • • • • • RPM (Randomized Primal Method) Encoding Prüfer Edge-Set (Direct Tree Encoding) LNB (Link & Node Biased) Determinant Encoding NetKey (Network Random Key) S/D Binary (Splicing/Decomposable) Characteristic Vector Predecessor Coding CB-TCR (Cycle-Breaking Tree-Construction-Routine)

Edge Set

• .

دوش یم صخشم فأرگ رد شس أر ود اب زین لای ره و دوش یم هدأد شیامن شیاه لای ی هعومجم اب امیقتسم اشوپ تخرد Hash Table ای و یدعبود ای یدعب کی هیأر أ دننام ینوگانوگ یاه هدأد نامتخاس رد نأوت یم أر گنیدک نیأ .

درک یزاس هدایپ Paper: G. R. Raidl, B. A. Julstrom: Edge-Sets, An Effective Evolutionary Coding of Spanning Trees,…,2003 • •

Link and Node Biased

.

C:V × V → R + ی هنیزه عبات کی و س أر n اب لماک فأرگ :G(V , E) .

دشاب یم اه Node bias و اه Link bias ی هدنهد ناشن هک تسأ [0-255] ی هزاب رد حیحص دأدعأ زأ هتشر کی تسد هب فأرگ یأرب دیدج ی هنیزه عبات کی ریز هطبأر زأ هدافتسأ اب أدتبأ ،گنیدک نیأ اب رظانتم یاشوپ تخرد ندرو أ تسد هب یأرب .

میرو أ یم • • • ،ه دم أ تسد هب تخرد .

مینک یم أرجأ هنیمک یاشوپ تخرد نتفای یأرب أر j تسأ هیلوأ فأرگ رد تلااصتأ ی و i یاه سأر نیب لای هب طوبرم هنیزه ممیزکام

Link bias

:

C max

:

b

i,j i دون هب طوبرم

Node bias

: b i یلرتنک یاهرتماراپ : p 2 و p 1 Prim متیروگلأ ،فأرگ یاه .

دشاب یم LNB ی لای دیدج یاه نزو هب هجوت اب هلیسو هب هدشدک موزمورک اب رظانتم • • • • • • Paper: Sang-Moon Soak, A New Evolutionary Approach for the Optimal Communication Spanning Tree Problem,.., 2006.

CB-TCR (Cycle-Breaking Tree-Construction-Routine) • .

درأد ی یلااب ی ی أراک ،یگداس نیع رد هک ی یاه گنیدک نیرتدیدج زأ ره هک دوش .

دهد یم هدافتسأ

2(n-1)

لوط هب یموزمورک زأ اشوپ تخرد شیامن یأرب یم ناشن أر فأرگ یاه س أر زأ یکی و تسأ

n

ات 1 نیب یحیحص ددع ن أ نژ .

دوش رهاظ گنیدک رد راب کی لقأدح دیاب س أر ره .

دهد یم ناشن أر لای کی ،موزمورک رد مه رانک نژ تفج ره Paper: Sang-Moon Soak, A New Evolutionary Approach for the Optimal Communication Spanning Tree Problem,.., 2006 • • • •

CB-TCR-coding .

مینک یم هفاضأ تخردریز هب بیترت هب أر اه لای و هدرک عورش نژ نیلوأ زأ .

دوش یم فذح ،درأد فأرگ رد أر هنیزه نیرتشیب هک هخرچ زأ یلای ،هخرچ ندم أ دوجو هب تروص رد • •

Encoding comparison

.

دننک لاغشأ أر هظفاح یاضف زأ یدایز رأدقم دیابن اه موزمورک :

اضف

،دنهد یم ناشن أ ر اشوپ تخرد کی اه .

موزمورک هک یماگنه .

دشاب مک دیاب اه موزمورک شهج و بیکرت ،یبایزرأ ینامز یگدیچیپ :

نامز

دشاب ن أ اب رظانتم تخرد نییعت یأرب موزمورک ی یاشگزمر هب زاین تسأ نکمم ،بأوج کی یبایزرأ رد دنهد ناشن أ ر ی یاه بأوج دیاب ،دنوش یم دیلوت شهج ای بیکرت لمع زأ دعب هک ی یاهن أ اصوصخ اه موزمورک ی همه :

Feasibility

.

دشاب یندش و نکمم هک .

دشاب هتشأد أر نکمم یاه بأوج ی همه شیامن تیلباق دیاب گنیدک :

Coverage

دهد ناشن أر یتخ رد دیاب اجنیأ رد .

دهد ناشن دشاب شدلأو هب هیبش هک أر یبأوج دیاب لاومعم هتفای .

شهج موزمورک کی دشاب ردپ تخرد رد دوجوم یاه :

Locality

لای نیرتشیب یأرأد هک اجنیأ ر د .

دشاب شنیدلأو رد دوجوم یاه .

تخاسریز زأ یبیکرت یواح دیاب بیکرت لمع زأ هدم دشاب دلأو یاه تخرد رد دوجوم یاه أ دوجو هب دنزرف :

Heritability

لای نیرتشیب یواح هک دهد ناشن أر یتخرد دیاب دنزرف یاه تیدو دحم هک دنشاب هتشأد أر نیأ تیلباق دیاب شهج و بیکرت یاهرگلمع زین و اه موزمورک ی یاشگزمر دز لاثم أر تخرد رد س أر ره ی هجرد تیدودحم نأوت یم اجنیأ رد .

دننک لامعأ أر هل :

Constraints

اسم رد هدش صخشم • • • • • • •

Encoding comparison

Space Time Feasibility Coverage Locality Heritability Constraints

Prufer

O(n) O(nlgn)

طسوتم دراد مک فیعض فیعض Edge-Set

O(n) O(n)

بوخ دراد دایز بوخ بوخ LNB

O(n+m) O(m+nlgn)

بوخ دراد طسوتم طسوتم بوخ CB-TCR

O(n) O(n)

بوخ دراد دایز بوخ بوخ