Transcript مشاهده
سال م طراحی الگوریتم ارائه دهنده :میالد صفری [email protected] اسفندماه ۱۳۹۱ اعمال محاسبات ی روی اعداد صحیح بزرگ • • • • منظور از اعداد صحیح بزرگ اعدادی هستند که سخت افزار کامپیوتر قادر به نمایش انها نیست. تغییر حالت به ممیز شناور نیز در صورتی که بخواهیم تمام ارقام معنی دار در نتیجه کار حفظ شود ارزشی ندارد. تنها راه باقی مانده برای نمایش این اعداد و در نتیجه انجام محاسبات روی انها استفاده از نرم افزار و دستکاری این اعداد است. الگوریتم استفاده شده برای انجام محاسبات روی این اعداد،برای اعداد در پایه ی 10است ولی این روش را برای هر پایه ی دیگری نیز می توان به کار بست. • راه صریح برای نشان دادن یک عدد صحیح ،استفاده •••••••••••••••••••••••••••••••••• یک ارایه از اعداد صحیح است که هر محل از آن یک یک از رقم را نگهداری می کند. Exp: 543127 S[1]=7, s[2]=2, s[3]=1, s[4]=3, s[5]=4, s[6]=5 • • برای نگهداری اعداد مثبت یا منفی کافیست باالترین محل ارایه را برای عالمت عدد رزرو کنیم،که اگر 1در آن محل قرار گیرد عدد منفی و اگر 0قرار گیرد عدد مثبت است. از نوع داده ی large_integerاستفاده می کنیم تا آرایه ای را که نشان می دهیم به قدر کافی بزرگ باشد که اعداد مورد نظر ما را در آن بگنجد. برخی از دستورهای استفاده شده در الگوریتم 𝑚1) u*10 𝑚2) u divide 10 𝑚3) u rem 10 ضرب اعداد صحیح بزرگ • الگوریتمی که در اینجا ارائه می شود مبتنی بر روش تقسیم و حل است. بدین صورت که یک عدد صحیح nرقمی را به دو عدد صحیح با حدود n/2رقم تقسیم می کنیم. Exp: 567832=567*103 +832 3 3 6 • • • به طور کلی اگر nتعداد ارقام صحیح uباشد،آن را به دو عدد صحیح که یکی دارای 𝑛/2رقم است و دیگری دارای 𝑛/2رقم است تبدیل می کنیم: u=x*10𝑚 + y 𝑛/2 • به این ترتیب،نمای mعبارت است از: m= 𝑛/2 n 𝑛/2 • اگر دو عدد صحیح nرقمی داشته باشیم: • v=w*10𝑚 + z حاصل ضرب آنها طبق رابطه ی زیر بدست می آید: 𝑦 u=x*10𝑚 + • uv=(x*10𝑚 + 𝑦)*(w*10𝑚 + z)=xw*102𝑚 +(xz+wy)*10𝑚 +yz در اینصورت می توانیم uو vرا با چهار عمل ضرب روی اعداد صحیح و با حدود نیمی از ارقام در هم ضرب کنیم.مثال زیر مفهوم را بهتر نشان می دهد: =)567832*9423723=(567*103 +832)(9423*103 +723 • • 567*9423*106 +(567*723+9423*832)*103 +832*723 سپس این اعداد کوچک را می توان با تقسیم آنها به اعداد کوچکتر ،در هم ضرب کرد. این فرایند انقدر ادامه می یابد تا به یک مقدار استانه برسیم که در ان زمان عمل ضرب به طریق • • • اگر چه متد بعد را با استفاده از اعداد صحیحی نشان می دهیم که تعداد ارقام انها تقریبا یکی است اما در غیر اینصورت نیز قابل استفاده است (.به این نکته به دقت توجه کنید) کافیست از m= 𝑛/2برای تبدیل هر دو عدد استفاده کنیم،که در آن mتعداد ارقام موجود در عدد بزرگتر است. الگوریتمی که ارائه می دهیم تا زمانی ادامه می یابد که یکی از اعداد صحیح صفر شود یا به یک مقدار استانه برای عدد صحیح بزرگتر برسیم که در آن عمل ضرب با استفاده از سخت افزار کامپیوتر(روش معمول) انجام شود. larg_integer prod(larg_integer u, larg_integer v) { الگوریتم ضرب اعداد صحیح بزرگ larg_integer x,y,w,z; vوu اعداد صحیح بزرگ:ورودی ها int n,m; vوu حاصل ضرب،prod : خروجی ها n=maximum(number of digits in u,number of digits v) if(u==0 ∥ v==0) return 0; else if(n<=threshold) return u*v obtained in the usual way; else{ m= 𝑛/2 ; x=u divide 10𝑚 ; y=u rem 10𝑚 ; w=v divide 10𝑚 ; z=v rem 10𝑚 ; return prod(x,w)*102𝑚 +(prod(x,z)+prod(w,y))*10𝑚 +prod(y,z); } } تحلیل پیچیدگی زمانی در بدترین حالت برای الگوریتم • • زمان الزم برای ضرب دو عدد صحیح nرقمی را تحلیل می کنیم. عمل اصلی :دستکاری یک رقم دهدهی در یک عدد صحیح بزرگ • • 𝑚1) u*10 𝑚2) u divide 10 𝑚3) u rem 10 هر یک از سه دستور باال ،عمل اصلی را mبار انجام می دهد. اندازه ورودی n:تعداد ارقام ورودی هر یک از دو عدد صحیح • • بدترین حالت زمانی است که هر دو عدد صحیح هیچ رقم مساوی صفر نداشته باشند ،زیرا بازگشتی فقط زمانی پایان می یابد که به مقدار استانه ای برسیم. تحلیل این حالت: فرض کنید nتوانی از دو باشد .در این صورت x,y,z,wهمگی دقیقا n/2رقم دارند،یعنی اندازه ورودی هر یک از چهار فراخوانی بازگشتی به تابع n/2 ، prodاست. چون m=n/2است ،دستورات: 𝑚1) u*10 𝑚2) u divide 10 𝑚3) u rem 10 همگی دارای پیچیدگی زمانی خطی نسبت به nهستند.حداکثر اندازه ورودی برای دستورات باال یکسان نیست بنابراین تعیین زمان پیچیدگی برای الگوریتم براحتی امکان پذیر نیست. • راه حل: راه بسیار ساده این است که همه ی عملیات زمانی خطی را در یک جمله ی cnدسته بندی کنیم که cیک عدد ثابت است. نک ته اگر به الگوریتم کمی دقت کنیم می بینیم که عالوه بر ،prod 𝑚102و 𝑚 10داریم که باید در تحلیل پیچیدگی در نظر گرفته شوند. • در این صورت دستور بازگشتی چنین خواهد بود: n>s W(n)=4w(n/2)+cn W(s)=0 مقدار واقعی sکه در آن نمونه دیگر تقسیم نمی شود ،کوچکتر یا مساوی مقدار استانه و توانی از 2است. انگاه با توجه به قضیه ب 5-از پیوست دوم کتاب: 𝑘𝑛T(n)=at(n/b)+c T(s)=d ) 𝑎 𝑏 log 𝑛(t(n) € Θ 𝑘 𝑏>If a • بنابراین: ) W(n) € Θ(𝑛𝑙𝑜𝑔4 )=Θ(𝑛2 •••••••••••••••••••••••••••••••••• • الگوریتم ارائه شده هنوز هم از درجه ی 2است. مشکل اینجاست که این الگوریتم عمل ضرب را روی اعداد صحیح با نیمی از ارقام اولیه انجام می دهد. را ه حل اگر بتوانیم الگوریتمی ارائه دهیم که تعداد ضرب ها را کاهش دهد الگوریتمی بهتر از حالت درجه دوم بدست می آوریم. • تابع prodباید موارد زیر را تعیین کند: Xw,xz+yw,yz • واین کار را با چهار بار فراخوانی تابع prod برای محاسبه ی موارد زیر انجام می دهد: Xw,xz,yw,yz اگر به جای ان قرار دهیم : r=(x+y)(w+z)=xw+(xz+yw)+yz در اینصورت خواهیم داشت: xz+yw=r-xw-yz • در نتیجه داریم: r=(x+y)(w+z),xw,yz • یعنی سه عمل ضرب و چند عمل جمع و تفریق اضافه که که زمان انها خطی است. Large_integer prod2(Large_integer u, Large_integer v) { Large_integer x,y,w,z,r,p,q; int n,m; n=maximum(number of digits in u,number of digits v) if(u==0 ∥ v==0) return 0; else if(n<=threshold) return u*v obtained in the usual way; else{ m= 𝑛/2 ; x=u divide 10𝑚 ; y=u rem 10𝑚 ; w=v divide 10𝑚 ; z=v rem 10𝑚 ; r=prod2(x+y,w+z); p=prod2(x,w); q=prod2(y,z); return p*102𝑚 +(r-p-q)*10𝑚 +q; } 2 بزرگ اعداد صحیح بزرگ:ورودی ها vوu حاصل ضرب،prod:خروجی ها vوu تحلیل پیچیدگی زمانی در بدترین حالت برای الگوریتم • • تمامی توضیحات داده شده در الگوریتم قبل در اینجا نیز صادق است به جز دو مورد: <=n/2اندازه ورودی <=(n/2)+1 • • پس تعداد دفعات فراخوانی تابع prod2نیز 3بار است. بنابراین: 3w(n/2)+cn <= w(n) <= 3w((n/2)+1)+cn w(s)=0 • باز هم مانند الگوریتم قبل با این تفاوت که تابع بازگشتی سه با فراخوانی شده : ) W(n) € Θ(𝑛𝑙𝑜𝑔3 )=Θ(𝑛1.58 • که از الگوریتم قبل بهتر است. در آخر از استاد بیدکی و همة ي دوستان که وقتشان را در اختیار من قرار دادند تشکر می نمایم. سوا ل؟؟