#### Transcript Slide 1

‫دانشگاه صنعتي اميركبير‬
‫دانشكده مهندس ي پزشكي‬
‫‪MPC Stability-1‬‬
‫استاد درس‬
‫دكتر فرزاد توحيدخواه‬
‫بهمن ‪1389‬‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
Discrete-time MPC with Prescribed
Degree of Stability
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Finite Prediction Horizon: Re-visited
Example 4.1.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Condition number of the Hessian matrix increases
as the prediction horizon Np increases.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Origin of the Problem
Using Laguerre functions (for real time):
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
When there is an integrator in the system matrix A, the
norms of the matrix power ||Am|| and the convolution
sum ||φ(m)|| do not decay to zero, as m increases.
Thus, the magnitudes of the elements in Ω increase as
the prediction horizon Np increases. Hence, if the
prediction horizon Np is large, a numerical conditioning
problem occurs. This problem exists in the majority of
the classical predictive controllers formulations,
including GPC and DMC.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Traditional solution (previous chapter):
Use of an inner-loop state feedback stablization that
may compromise the closed-loop performance when
constraints become active, or the use of prediction
horizon Np and control horizon Nc as the tuning
parameters
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Idea basis:
For a large Np, a large number is divided by another
large number. This numerical problem becomes severe
when the plant model itself is unstable, or when the
dimension of the matrix A is large.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Solution:
1- Improving the numerical condition of MPC
algorithms without guaranteeing closed-loop stability.
2- Asymptotic stability
3- Create a prescribed degree of closed-loop stability
for the predictive control algorithm.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Use of Exponential Data Weighting
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Continuous-time (in the LQR design):
eλt
Discrete-time:
{αj, j = 0, 1, 2 . . .},
α = eλt with t being the sampling interval.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Cost Function:
α = 1 the cost function becomes identical to the
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Exponentially Increasing Weight (α < 1):
Exponential weights α−2j , j = 1, 2, . . . ,Np, deemphasizes the state x(ki + j | ki) at the current
time and places emphasis on those at the future
time.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Exponentially Decreasing Weight (α >1):
Exponential weights α−2j , j = 1, 2, . . . ,Np, more
emphasizes the state x(ki + j | ki) at the current
time and less emphasis on those at the future
time.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Optimization of Exponentially Weighted
Cost Function
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
Weighted incremental control:
Weighted state variable:
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Theorem 4.1. The minimum solution of the exponentially
weighted cost function J can be found by minimizing:
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Example 4.2.
Consider the same double-integrator system given in
Example 4.1. Examine how the parameter α used in the
weighting affects the numerical condition and closed-loop
control performance with constraints on the amplitude of the
control signal as (only impose constraints on the first sample
of the control)
α = 1/1.2 (exponentially increasing weight), α = 1 (no
exponential weighting) and α = 1.2 (exponentially
decreasing weighting)
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
1- with exponentially increasing weighting, the Hessian
matrix is poorly conditioned even for short prediction
horizon;
2- without exponential weighting the condition number
increases rapidly as the prediction horizon increases.
3- with exponentially decreasing data weighting, the
condition number converges to a finite value and is
much smaller than the one obtained without using
exponential weighting.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Obviously, it is not feasible to use exponentially
increasing weighting in this context, as the numerical
condition rapidly deteriorates as prediction horizon
increases, when α < 1.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Interpretation of Results from Exponential Weighting
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
The key point is that by transforming the exponentially
weighted cost function to the traditional cost function,
the augmented state-space model:
maximum modulus
of all eigenvalues < 1
If
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
With this simple modification, intuitively we
understand that there is no guarantee on the closedloop stability with an arbitrary choice of α > 1.
However, when α is chosen to be slightly larger than
one for the class of stable plants with embedded
integrator, the closed-loop predictive systems are
often found to be stable with Q = CTC and a diagonal
R matrix with small positive elements.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
For the first time, the prediction horizon Np can be
selected to be sufficiently large to approximate the
infinite prediction horizon case. Thus with Q ≥ 0 and
R > 0, and sufficiently large (Np→∞), minimizing
is equivalent to the discrete-time linear quadratic
regulator (DLQR) problem.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
The traditional DLQR problem is solved using the
algebraic Riccati equation
controllable
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
observable
‫‪closed-loop system:‬‬
‫‪Because‬‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
if
closed-loop system is stable.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Second method:
For stability
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
By choosing α > 1, there is no guarantee that the
closed-loop of the original system will be stable. But, if
α is chosen to be slightly larger than unity, then
the closed-loop system A−BK would often be stable.
Indeed, a large number of simulation tests show that
this simple modification usually produces a stable
closed-loop system, if the unstable modes from the
augmented model come from the embedded
integrators. However, a proper choice of the weight
matrices Q and R is important to create the degree of
stability 1 − ε for the transformed system.
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Asymptotic Closed-loop Stability
with Exponential Weighting
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Modification of Q and R Matrices
Basic idea:
The exponentially decreasing weight α > 1 increased
the magnitudes of the actual closed-loop eigenvalues
by the α factor. If the new Q and R matrices are
selected to decrease the magnitudes of the eigenvalues of the exponentially weighted system by a
factor of α−1, then the magnitudes of the actual
closed-loop eigenvalues become unchanged
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
‫‪Theorem 4.2.‬‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
Interpretation of the Results
The essence of the results lies in the fact that the two
cost functions lead to the same optimal control.
However, the commonly used cost function is limited to
a finite prediction horizon for the class of predictive
control algorithms that have embedded integrators. In
contrast, the exponentially weighted cost function
removes the problem because the model used in the
prediction is modified to be stable using the factor α. As
a result, the prediction horizon Np can be selected to
be sufficiently large without numerical problems.
Hence, asymptotic closed-loop stability is guaranteed
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
Example 4.3.
Consider the simple double-integrator system described in
4.1
Design a MPC with an integrator for disturbance rejection,
Calculate the closed-loop eigenvalues, gain matrix via the
cost function using exponential data weighting with α = 1.6
and compare the results with the case without weighting (α
= 1)
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
With exponential data weighting
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
Without exponential data weighting (α = 1)
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫‪MIMO system‬‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫‪Example 4.4.‬‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫دانشگاه صنعتي اميركبير‬
‫دانشكده مهندس ي پزشكي‬
‫مبحث پايداری‬
‫تنظيم‬
‫سجاد جعفري‬
‫استاد درس‬
‫دكتر فرزاد توحيدخواه‬
‫بهمن ‪1387‬‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫پايداری‬
‫با تغيير افقها (‪ ) ny , nu‬خواص‪ MPC‬متفاوت ميشود‪.‬‬
‫ً‬
‫يعني مثال ميتواند حتي پايدار و ناپايدار شود‬
‫حتي ‪ MPC‬خطي هنوز در حوزه پايداري و مقاوم بودن آن داراي‬
‫مسائل جديد است‬
‫در ‪ MPC‬غيرخطي مسائل فوق حادتر شده و موضوعات‬
‫جديدتري نسبت به ‪ MPC‬خطي وجود دارد‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫روشهای بررس‬
‫ی پايداري ‪GPC‬‬
‫‪-1‬روشهاي كالسيك (پايدار كردن قطبهاي سيستم حلقه بسته (يا مقادير ويژه‬
‫سيستم حلقه بسته)) اگر قطبها يا مقادير ويژه در داخل دايره واحد بود‬
‫سيستم پايدار است‪ .‬در غير اين صورت سيستم ناپايدار است‪ z=1( .‬پايدار‬
‫مرزي)‬
‫‪-2‬حل ‪ MPC‬مقيد با تابع هزينه همراه با محدوديت حالت نهايي صفر‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫اشكاالت‬
‫‪ .1‬پيچيدگي روش ناش ي از محدوديت سخت )‪(Hard Constraints‬‬
‫‪ .2‬خطاي آفست در خروجي‬
‫‪ .3‬اشباع در ورودي )‪(u‬‬
‫‪ .4‬امكان نرسيدن به پاسخ مطلوب‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫روشهای بررس‬
‫ی پايداري ‪GPC‬‬
‫‪ -3‬روش لياپانوف‬
‫‪ -4‬روش شبيه سازي‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫روش لياپانوف‬
‫تعريف ‪ X  0 :‬مربوط به )‪X  f (x‬‬
‫پايدار است اگر براي هر ‪  0‬‬
‫مقدار ) ‪    (‬وجود داشته باشد به طوريكه‪:‬‬
‫‪t  ‬‬
‫‪|| X () ||   || X (t ) ||  ‬‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫روش لياپانوف‬
‫تعريف ‪ X  0 :‬مربوط به )‪X  f (x‬‬
‫ناپايدار است اگر پايدار نباشد‪.‬‬
‫تعريف ‪ X  0 :‬مربوط به )‪ X  f (x‬پايدار مجانبي است اگر پايدار باشد‬
‫و بتوان ‪‬‬
‫را چنان يافت كه ‪x(t )  ‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪|| X () ||  ‬‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫روش لياپانوف‬
‫قضيه لياپانوف‬
‫فرض كنيد ‪ x=0‬يكي از نقاط تعادل )‪ X  f (x‬باشد‪ .‬در اين صورت اگر‪ V‬تابعي‬
‫پيوسته و مشتقپذير باشد و ‪ V(x)>0‬باشد‪ ،‬آنگاه ‪ x=0‬پايدار لياپانوفي است اگر‬
‫‪V ( x)  0‬‬
‫عالوه بر آن پايدار مجانبي است اگر ‪V ( x)  0‬‬
‫کنترل پيشبين‪-‬دکتر توحيدخواه‬
‫روش لياپانوف‬
‫مثال‬
x(k 1)  Ax(k )
V  x(k )T px(k )
P
( xT PX  )
V  V (k  1)  V (k )    xT (k  1) Px(k  1)  xT (k ) Px(k )
xT (k ) AT PAx(k )  xT (k ) Px(k )  xT (k )( AT PA  P) x(k )  Q  

Q
.‫ بايد منفي معين باشد‬Q
‫دکتر توحيدخواه‬-‫کنترل پيشبين‬