Transcript معادلات فضاي حالت
ميحرلا نمحرلا ...
ا مسب
لاتيجيد لرتنک سرد 1391 رهم
یعقاو ینابرق نمهب رت کد / هداز لیعامسا دیجم دیس رت کد / يدنلب نيسح رت کد
مجنپ لصف
“ تلاح ياضف ليلحت ”
همدقم
ياه متسيس متسيس يارب يحارط طق ف و ليلحت يسناكرف يارب خساپ و Conventional اه هشير يسدنه ناكم ديق ليبق يور زا رب زكرمت يلرتنك مراهچ ياه شور و موس ياه هنوگنيا .
لصف دوب رد لرتنك اما دن شاب يم يكدنا تابساحم ياراد و هداس رايسب اهدتم هنوگنيا هچرگا .
دنراد ي ي اراك SISO ياه طاب ترا يارب اه يور شور رب زكرمت هنوگنيا اه متسيس .
د شاب يم هنوگنيا متسيس رد .
دشاب يسلاپ يم ليدبت SISO عبات اي نامز ليدبت زا عبات لقتسم ياه ينعي متسيس متسيس يارب ناشيئ اراك يدورو و يجورخ نيب رد هك ي ئ اه متسيس و Optimal ياه متسيس يارب نينچمه و هداس رايسب رگم يطخريغ ياه متسيس .
دنتشادن ي ي اراك دنتسه يطخريغ اي Time-Varying ينعي نامز هب هتسباو عقاوم يرايسب
هديچيپ تر وصب يهاگ هك دنتسه لودع يضاير هد ننك هتسخ طباور يجورخ و يدورو يدادعت ياراد اه متسيس ،نردم لرتنك ياه متسيس رد زا دياب اه متسيس هنوگنيا يحارط و ليلحت يارب اذل .
دنشاب يم طوبرم مهب .
دومن تابثا ار
كيتامتسيس تلاح
كي و هدومن
ياضف ياهدتم
هجيت ن رد .
دنوش يم ليدبت لاتيجيد لرتنك ياه متسيس هب نردم لرتنك ياه متسيس رتشيب .
تساه متسيس هنوگنيا يحارط و ليلحت ،يسررب يارب اه شور نيرتهب
،تلاح
دروم دركلمع تيفيك ياه صخاش هب هجوت اب ار متسيس هك دهد يم ار تصرف نيا حارط هب تلاح ياضف عقاو رد .
دريذ پ يم ماجنا صاخ يدورو كي ياجب اه يدورو زا سلاك كي يارب يحارط اهدتم نيا رد نينچمه .
دهد رارق يحارط
فيراعت
ار و ياهري يكيزيف ، غتم متسيس ( راتفر ياه اهريغتم دنناوت متسيس زا هعومجم يم يارب
t Economical
مه اب
t t
0 نيرت كچوك
t
0 تلاح ، موهفم ،
Biological
زا تسا ترابع كيمانيد متسيس كي تلاح
: تلاح State
هك يارب تشاد ياه يدورو هجوت متسيس نتشاد دياب دننام .
و دنيامن متسيس نيعم ره رد اهريغتم و يارب نيا صخشم هكلب ، دوش نتشاد يمن هك ) تلاح نامز ره
t
0 يارب هتفرگ راكب .
دوش يم هتفرگ راكب زين يعامتجا هك راتفر اهريغتم ات ميراد زا زاين يا هعومجم دروم ار نيرت كچوك ريغتم n لقادح زا دنترابع رگا .
دنهد
:
يم
State Variables
ليكشت ار كيمانيد متسيس
=
كي
تلاح ياهريغتم
State = تلاح .
ميمان يم تلاح ياهريغتم ار ريغتم n نيا مينك فيرعت ار متسيس
زا ين دروم متسيس .
ميمان كي راتفر لماك فيرعت يارب تلاح رادرب ار رادرب نيا .
تسناد تلاح ريغتم n رگا :
State Vector تلاح رادرب
رادرب ءزج n ،ناوت يم ار تلاح ريغتم n هاگن ا ،تسا ار : زا .
دنترابع داد ن ا شيامن تاصتخم ياهروحم تلاح ياضف رد هك هطقن يدعب كي n ياضف طسوت ناوت
: ) State Space (
يم ار تلاح
x n
, ره , .
ميمان
x
2 ,
x
1 يم
تلاح ياضف
تلاح ياضف : ميتسه ور بور متسيس كي ندرك لدم يارب ريغتم هس اب تلاح ياضف تلاداعم رد
: تلاح ياضف تلاداعم
.
تلاح ياهريغتم و يجورخ ياهريغتم ،يدورو ياهريغتم
تلاح ياضف تلاداعم تلاح ياضف تلاداعم ) يطخريغ اي يطخ ( هتسسگ ،
Time-Varying
،نامز هب هتسباو متسيس : زا كي يارب دنترابع
x
k
1
f
x
, ,
k
: زا تسا ترابع يجورخ هلداعم و
y
g
x
,
k
: زا تس ا ترابع يجورخ هلداعم و تلاح تلاداعم ،نامز هب هتسباو يطخ نامز هتسسگ ياه متسيس يارب
y x
k
1
G
C
D
H
y x
k
1
G
C G H C u y x D
n
m
r Vector Vector Vector
n
n
n
r
m
n
m
r
ندوب
Time-Varying
رگنايامن
D
D
H
و
C
تلاح رادرب
يجورخ رادرب يدورو رادرب تلاح سيرتام يدورو سيرتام يجورخ سيرتام ميقتسم لاقتنا سيرتام رد
k
روضح .
تسا متسيس
y x
k
1
Gx
: دشاب تباث اي
Time-Invariant
متسيس رگا
Hu
Cx
Du
State Space Representation of Discrete-Time Systems
y G
a
1
y
k
1
b
0
u a
2
y
k
b
1
u
k
2
.
ديريگب
a n
رظن رد
y
k
1
ار
ريز
Discrete
n
b n u
k
n
لرتنك
( )
متسيس
: زا تسا ترابع )*( يسلاپ ليدبت عبات
u y
b
0 1
b a
1 1
z z
1 1
a b
2 2
z z
2 2
n a b n z z
n n
G
b
0
z z n n
n
1
b
1
z n
1
a
1
z
b a
2 2
z z n
2
n
2
b a n n
اي يسلاپ ليدبت عبات نيا تلاح ياضف تلاداعم ندرو ا تسدب يارب شور نيدنچ : دنراد دوجو ميقتسم يزاس همانرب ) 1
Controllable Canonical 1- Direct Programming Method
وت رد وت يزاس همانرب ) 2
Observable Canonical 2- Nested Programming Method
يئزج ياهرسك شرتسگ ) 3
Jordan Canonical 3- Partial Fraction Expansion Method
Direct Programming Method Or Controllable Canonical Form
G
Y U
b
0 1
b a
1 1
z z
1 1
a b
2 2
z z
2 2
a n
n b n z z
n
b
0
b
1
a
1
b
0
z
1 1
b
2
a
1 1
z
a
2
b
0
z
2
a
z
2
a n z
b n
n
a n b
0
z
n
Y
b
0
U
~
Y
Y
b
0
U
Y
~
Y
~
b
1
a
1
b
0
z
1 1
a
1
z b
2 1
a
2
a
2
b
0 2
z
z
2
a n
z b
n n
a n b
0
z
n U
b
1
a
1
b
0
z
1
b
2
a
2
Y
~
b
0
z
2
b n
a n b
0
z
n
1
a
1
z
1
U a
2
z
2
a n z
n
b
1
a
1
b
0
z
1
b
2
a
2
Y
~
b
0
z
2
b n
a n b
0
z
n
1
a
1
z
1
U a
2
z
2
a n z
n
: درو ا تسدب ار ريز هلداعم ود ناوت يم هلداعم نيا زا
~
Y z
a
1
z
1
a
2
z
2
b
1
a
1
b
0
z
1
a n z
n
b n
a n b
0
z
n
( ) ( )
Let’s define state variables as:
X X
X X X
3
n n
1 2 1
z z z z
n n n
1 2
z
1 2
zX
zX zX zX
3 1 2
n
1
X X X
2 3 4
X n
( )
x
x x
3
x
1 2
n
1
k k k
k
1 1 1 1
x
2
x
3
x
4
x
n
( )
zX x n n
k
1
a
1
a X n n x
1
a
2
X a n
1
n
1
x
2
a a
1
n X x n
1
Y
~
b
1
a
1
b
0
n
b
2
a
2
b
0
X
: تشون هنوگنيا ناوت يم ار
( )
n
1
b n
a n b
0
هلداعم
1
y
b n
a n b
0
x
1
b
2
a
2
b
0
n
1
: نياربانب
b
1
a
1
b
0
n
b
0
U
تلاح یاضف لدم
x x
2
x n
1
k
k
k
1 1 1 0 0 0
a n
1 0 0
a n
1 0 1 0
a n
2 0 0 1
a
1
x x
2
x n
1 0 0 1
u y
b n
a n b
0
b n
1
a n
1
b
0
b
1
a
1
b
0
x
1
x n
b
0
u
Controllable Canonical Form
: دومن فيرعت ريز حرشب ار تلاح ياهريغتم ناوت يم
X X
ˆ
X
ˆ
X
ˆ ˆ 1 2 3
n
z
1
z
2
z
3
z
n
Controllable Canonical Form
x
ˆ
k
1
1 0 0
a
1
y
b
1
a
1
b
0
a
2 0 1 0
b
2
a
2
b
0 0 0 0
a n
x
ˆ 1 0 0
u
b n
a n b
0
x
ˆ
b
0
u
: دنوش يم طبترم مهب ريز تروصب اهريغتم نيا
X
x
1
x
2
x
ˆ
n x
ˆ
n
1
x n
x
ˆ 1 0 0 0 0 0 0 0
T
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0
X
ˆ
Nested Programming Method Or Observable Canonical Form
Given
:
.
تسين سلاپ ليدبت عبات جرخم ندرك روت كاف هب يزاين مه دتم نيا رد
G
Y U
b
0 1
a b
1
z z
1 1 1
b a n n z z
n n Y
a
1
z
1
Y
a n z
n Y
b
0
U
b
1
z
1
U
b n z
n U
0
Y
b
0
U
z
1
a
1
Y
b
1
U
z
2
a
2
Y
b
2
U
z
n
a n Y
b n U
0
Y
z b
0
U
1
b
2
U
z
1
b
1
U a
2
Y
a
1
Y z
1
z
1
b n
1
U
a n
1
Y
z
1
b n U
a n Y
Now let’s define state variables:
X X X X
1
n n
1 2
z z
1
b
1
U
1
b
2
U
z z
1
b n
1
U
1
b n U
a
1
Y
a
2
Y
a n
1
Y a n Y
X n
1
X n
2
X
1
Y
: تشاد ميهاوخ
z
b
0
U
: تشون هنوگنيا ناوت يم ار
X n
هلداعم ساسا نيا رب رد نيفرط برض و رد
هلداعم نداد رارق اب
zX zX zX zX
1
n n
1 2
X n
1
X n
2
a
1
X n
a
2
X n b
1
a
1
b
0
b
2
a
2
b
0
X
1
a n X n
a n
1
X
b n n
a n b
0
b n
1
a n
1
b
0
: تشاد ميهاوخ سوكعم تهج رد قوف تلاداعم زا
z
ليدبت سكع اب
x
1
x
2
k k
1
1
a n x n x
1
k
a n
1
x n b n
a n b
0
b n
1
a n
1
b
0
x x y n n
1
k k
k
1
1
x
x n n x n
1 2
k
b
0
u
a
1
a x
2
n x n k
b
1
b
2
a
2
a
1
b
0
b
0
u
: ميراد يسيرتام مرف رد نياربانب
x
k
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
a a n
1
a a n
2 1
x x x x
1
n
2 1
n
k
b n b
1
b
2
b n
1
a a a n
2 1
b b b
0 0
a n
1
b
0 0
u y
0 0 1
x
b
0
u
: دومن فيرعت ريز حرشب ار تلاح ياهريغتم ناوت يم
x
ˆ 1
x
ˆ 2
x
ˆ
n y
x x
x
1
x n n n
1
x
ˆ 1
k x
ˆ 2
k
1 1
x n
k x n
1
k
1 1
a
1
x
ˆ 1
a
2
x
ˆ 1
b
0
u x
ˆ
n
k
x
ˆ 1 1
x
1
k
b
0
u
1
a n x
ˆ 1
x
ˆ 2
x
ˆ 3
b
1
a
1
b
0
b
2
a
2
b
0
b n
a n b
0
: ميراد يسيرتام مرف رد نياربانب
x
ˆ
k
1
a
a
1
a a
2
n
1
n
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
x
ˆ
b n b
1
b
2 1
b n
a a a
1 2
n b b b
0 0
a n
1
b
0 0
u
Partial-Fraction-Expansion
.
ميرو ا يم رد يروت كاف تروصب ار يسلاپ ليدبت عبات جرخم شور نيا رد
G
Y U
b
0
z n z n
n
1
b
1
z n
1
a
1
z
b a n n
b
0
b
1
a
1
b
0
z n
z
1
p
1
b
2
z
a
2
p b
0 2
z n
2
z
p n
b n
a n b
0
: دنتسه زيامتم اهبطق مامت لوا تلاح
Y U
b
0
z C
1
p
1
z C
2
p
2
z C n
p n C i
z
lim
p i
Y U
z
p i
Y
b
0
U
Let’s define:
z C
1
p
1
U
X
X X
1 2
n
z C
2
p
2
z z
1 1
p
1
p
2
U U
z
1
p n U U
z C n
p n U
Can be written as:
zX
1
zX
2
zX n
p
1
X
1
p
2
X
2
p n X n
U U U
Y
From
z
1
b
0
U
C
1
X
1
C
2
X
2
C n X n x x
1 2
k k
1 1
p
1
p
2
x
1
x
2
y x n
k k
1
C
1
x
1
p n
x
n k C
2
x
2
u k
C n x n
y x
k
1
p
1 0 0
C
1
x
1 0
p
2 0
C
2
x
2
p
0 0
n
x
C n x n
1 1 1
u
اه بطق هيقب و هدش راركت هبترم : يرارکت ي اهبطق دوجو مود تلاح
m
،
z
p
1
بطق هك دينك ضرف
•
: دنشاب زيامتم يگمه
G
Y U
z
p
1
z b
0
z n p m
1
b
1
z z n
1
p
m
2
b n
z
p n
b
0
b
1
a
1
b
0
z z n
1
p
1
b
2
z
a
2
p b
0
m
1
z n
2
z
p n
b n
a n b
0
G
b
0
z
C
1
p
1
m
z
C
2
p
1
m
1
z C m
p
1
z C m
1
p m
1
z C m
2
p m
2
z C n
p n
Y
b
0
U
z
C
1
p
1
m U z C m
1
p m
1
U
z
C
2
p
1
m
1
U
z C n
p n U
z C m
p
1
U
: نياربانب
Let’s define:
X
X X
1 2
m
z z
1
p
1 1
m p
1
m
1
U U
z
1
p
1
U
و
X
X X m
1
m
2
n
z z
1
p m
1 1
U U p m
2
z
1
p n U
X
1
X
2
z
1
p
1
: دنتسه ريز طابترا ياراد دوخ يدعب تلاح اب لوا تلاح هلداعم
zX
1
p
1
X
1
X
2
X X
2 3
z
1
p
1
X X m
1
z
m
z
1
p
1
zX
2
zX m
1
p
1
X
2
X
3
p
1
X m
1
X m X m
z
1
p
1
U
zX m
p
1
X m
U
: هاگن ا ميريگب
z
ليدبت سكع
هلداعم زا رگا اذل
x x
x x
1
x x
2
m m m n
k
k
1 1
k
1 1
p
1
p
1
n p x x
p
1
m m p
1
n
1
x
1
x p
1
x
2
x m m
1 1
x
2
x
3
x m
From
y
C
1
x
1
C
2
x
2
C m x m
C n x n
b
0
u
x x
x x m x
1 2
m n
1
k
k
k
k
k
1 1 1 1 1
p
1 0 0 0 1
p
1 0 0 0 1
p
1 0 0
n
m
m
0 0 0 1 0 0 0 0
p
1
y
C
1
C
2
p m
1 0 0 0 0 0
m
n
m
0 0
p n C n
x
1
x
2
b
0
u
x x x
1
x m
x n
2
m
1 0 0 1 1 1
u
Non-Uniqueness of State-Space Representation
زا يفلتخم هب هجوت اب يا ه مرف هدش ،يسلاپ هئارا ليدبت ياه مرف عبات كي هيلك هب لاح هجوت ره اب هب ناوت .
دومن يم ،دش فيرعت هظحلام ار هك تلاح هنوگنامه تلاداعم : دنطوبرم مه هب Similarity Transformation Consider:
x
k
1
Gx y
Cx
Hu
Du
Let’s define:
x
P x
ˆ Where
P
is a non-singular matrix
P
1 Exists
P
1
P x
ˆ
k x
ˆ
k
1 1
GP x
ˆ
P
1
GP x
ˆ
Hu
P
1
Hu y
CP x
ˆ
Du
if
ˆ ˆ
P P D
1
GP
CP
1
H we define
:
y x
ˆ
k
1 ˆ
x
ˆ ˆ
x
ˆ
H
ˆ
u
ˆ
u
.
دنتسه Similar مه اب و
: رگا دنرگيدكي هباشم سيرتام ود
S
1
AS
B
: .
دنشاب هبترم كي ياراد B و A ) 1 هك دشاب هتشاد دوجو يوحنب
S
سيرتام ) 2 .
دنتسه يواسم نانيمرتد ياراد ) 1 : صاوخ .
دنتسه ربارب هصخشم هلداعم ياراد ) 2 .
دنشاب يم يواسم هژيو ريداقم ياراد ) 3
P
1
GP
diagonal P
1
GP
Jordan form
: هك تشاد هجوت دياب : دنشاب زيامتم
G
ياه بطق رگا ) 1 : دنشاب يراركت
G
ياه بطق رگا ) 2