Transcript Statistical_Analysis.Lecture6.143420

‫اسم المقرر‬
‫التحليل اإلحصائي‬
‫استاذ المقرر‬
‫المحاضر‪ /‬محمد بن فهد الحنيف‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪1‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪1‬‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫المحاضرة السادسة‬
‫المتغيرات العشوائية المتصلة‬
‫والتوزيعات االحتمالية المتصلة‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪2‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫المتغيرات العشوائية المستمرة ‪Continuous Random Variables‬‬
‫المتغير العشوائي المستمر هو الذي يأخذ قيما متصلة‪ ،‬ويأخذ عدد النهائي من القيم الممكنة‬
‫له داخل مجاله‪ ،‬فإذا كان متغير عشوائي مستمر‪ ،‬ويقع في المدى )‪ ،(a,b‬أي أن‪:‬‬
‫‪ { X  x : a  x  b} ،‬فإن للمتغير ‪ X‬عدد النهائي من القيم تقع بين الحدين‬
‫األدنى واألعلى )‪ ،(a,b‬ومن األمثلة على المتغيرات الكمية المستمرة ما يلي‪:‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪3‬‬
‫كمية األلبان التي تنتجها البقرة في اليوم باللتر‪:‬‬
‫المساحة المزروعة باألعالف في المملكة باأللف هكتار}‪{X  x : 1000 x  15000‬‬
‫فترة صالحية حفظ الدجاج المبرد باأليام‪{X  x : 1  x  5} ،‬‬
‫وزن الجسم بالكيلوجرام لألعمار من )‪{ X  x : 55  x  80} ،(40-30‬‬
‫وهكذا األمثلة على المتغير الكمي المستمر كثيرة‪.‬‬
‫}‪{ X  x : 10  x  40‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫التوزيع االحتمالي للمتغير المستمر ‪Continuous Probability‬‬
‫عند تمثيل بيانات المتغير الكمي المستمر في شكل مدرج تكراري النسبي‪ ،‬نجد أن‬
‫شكل هذا المدرج هو أقرب وصف لمنحنى التوزيع االحتمالي للمتغير المستمر‪ ،‬وكلما‬
‫ضاقت الفترات بين مراكز الفئات‪ ،‬يمكن الحصول على رسم دقيق للمنحنى الخاص بدالة‬
‫احتمال المتغير المستمر‪ ،‬كما هو مبين بالشكل التالي‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫‪.‬‬
‫والمساحة أسفل المنحنى تعبر عن مجموع االحتماالت الكلية‪ ،‬ولذا تساوي هذه المساحة‬
‫الواحد الصحيح‪ ،‬وتسمى الدالة )‪ f(x‬بدالة كثافة االحتمال ‪Probability Distribution‬‬
‫)‪ ،Function(p.d.f‬وبفرض المتغير العشوائي المستمر يقع في المدى‪X  {x : a  x  b} :‬‬
‫وأن منحنى هذه الدالة يأخذ الصورة التالية‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫الوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي المستمر‪:‬‬
‫إذا كانت )‪ f (x‬هي دالة كثافة االحتمال للمتغير العشوائي ‪x‬‬
‫فإن معادلة الوسط والتباين يمكن كتابها كما يلي‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫[‬
‫‪a xb ،‬‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫يعنى التوزيع اإلحصائي الشكل الذي تأخذه مجموعة البيانات‪ ،‬وشكل البيانات مهم جدا في‬
‫تحليلها ووصفها وكخطوة تسبق قرار استخدام أي اسلوب احصائي‪.‬‬
‫ويرتبط التوزيع االحصائي عادة بنوعين من البيانات المتصلة والمنفصلة‪ ،‬ويناسب النوع‬
‫المنفصل المقايييس االسمية والرتبية‪ ،‬وهناك بعض المقياس المنفصلة ثنائية أي انه اليوجد‬
‫بها اال قيميتين‪ ،‬وهي ال تسمي توزيعات طبيعية وانما تسمى توزيعات ثنائية‪ ،‬ومن أهم‬
‫مقاييس التوزيعات المنفصلة مقياس ذو الحدين وذلك عائد الن االجابة على المقياس االسمي‬
‫اما نعم أو ال ‪ ،‬ولذلك غالبا ما يرمز لها في الحاسب بصفر (غياب الصفة) [ذكور – ال] أو‬
‫‪( 1‬وجود الصفة) [اناث – نعم]‪.‬‬
‫أما التوزيعات االحصائية المتصلة فهي ذات أهمية كبيرة في العلوم اإلحصائية وذلك ألن‬
‫اغلب االختبارات االحصائية تتعامل مع هذا النوع من البيانات‪.‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪7‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫التوزيعات اإلحتمالية للمتغيرات المتصلة‪:‬‬
‫هناك بعض التوزيعات االحتمالية المتصلة لها دوال كثافة احتمال محددة ومنها‪:‬‬
‫•التوزيع الطبيعي‬
‫•التوزيع الطبيعي (القياسي) المعياري‬
‫•توزيع ‪t‬‬
‫وسنقوم في هذه المحاضرة بتناول هذه التوزيعات بشئ من التوضيح والتفصيل‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪8‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫وكما أوضحنا أن المتغير العشوائي المتصل ‪ x‬هو ذلك المتغير الذي يمكن أن يأخذ عددا‬
‫ال نهائيا من القيم المعلومة‪ ،‬واحتمال أن تقـع ‪ x‬داخل أى فترة يمثـلها مساحة التوزيع‬
‫االحتمالي (ويسمى أيضا دالة الكثافة) داخل هذه الفترة‪ ،‬والمساحة الكلية تحت المنحنى‬
‫(االحتمال) تساوى ‪1‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪9‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫التوزيع الطبيعي‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪10‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫أ‪ -‬التوزيع الطبيعي‪:‬‬
‫هو أفضل وأكثر التوزيعات االحتمالية المتصلة استخداما في النواحي التطبيقية‪ ،‬ومنها‬
‫االستدالل اإلحصائي شامال التقدير‪ ،‬واختبارات الفروض‪ ،‬كما أن معظم التوزيعات يمكن‬
‫تقريبها إلى هذا التوزيع‪.‬‬
‫والتوزيع الطبيعي هو توزيع احتمالي متصل‪ ،‬وهو جرسي الشكل ومتماثل حول الوسط‬
‫الحسابي‪ ،‬ويمتد إلى ماال نهاية فى االتجاهين‪ ،‬ولكن معظم المساحة (االحتمال) تتركز حول‬
‫الوسط الحسابى‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪11‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫خصائص التوزيع الطبيعي‪:‬‬
‫يعتبر التوزيع الطبيعي من أهم أنواع التوزيعات االحصائية المتصلة ومن خصائصه انه‪:‬‬
‫• توزيع جرسي أي يشبه الجرس‪.‬‬
‫• توزيع متصل‬
‫• توزيع متماثل حول الوسط‬
‫• االلتواء ( االطراف ) والتفلطح ( القمة ) يساوي صفر‪.‬‬
‫• يحوي منوال ووسط ووسيط واحد وذات قيم متساوية بمعنى أن الجزء الذي على‬
‫يمين الوسط مطابق للجزء االيسر‬
‫• الذيلين االيمن وااليسر يقتربان من الخط االفقي ولكن ال تالمسه‬
‫• المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي واحد صحيح‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪12‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫•منحنى دالة االحتمال للتوزيع الطبيعي له خاصية شكل الجرس‪ .‬ويتحدد شكل الجرس تماما‬
‫ألي توزيع طبيعي خاصة إذا علمنا الوسط الحسابي ‪ ‬واالنحراف المعياري ‪ ‬لهذا‬
‫التوزيع‪.‬‬
‫•تدل قيمة ‪ ‬على مكان مركز الجرس‪ ،‬كما تدل ‪ ‬على كيفية االنتشار‪.‬‬
‫•القيمـــــة الصغـــيرة لــ ‪ ‬تعني أن لدينا جرس طويل مدبب‪ ،‬والقيمة الكبيرة لــ ‪‬‬
‫تعني أن الجرس قصير ومفرطح‪.‬‬
‫والشكل التالي يوضح ذلك‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪13‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
Deanship of E-Learning and Distance Education
[
14
]
‫جامعة الملك فيصل‬
King Faisal University
‫والتوزيع الطبيعي وتطبيقاته االحصائية ليس موضوعا جديدا بل عرف منذ القرن السابع‬
‫عشر الميالدي ومن ابرز الدراسات المعروفة تلك الدراسة البريطانية التي اخذت اطوال‬
‫‪ 8585‬من االفراد البريطانيين في القرن التاسع عشر وعمل هذا المنحنى وبالتالي تم اعتبار‬
‫هذه العينة تمثل التوزيع الطبيعي‪.‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪15‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫معالم هذا التوزيع‪:‬‬
‫توجد معلمتين لهذا التوزيع هما ‪:‬‬
‫‪var(x)   2‬‬
‫‪ E (x)  ‬والتباين ‪:‬‬
‫الوسط الحسابي ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫ومن ثم يعبر عن توزيع المتغير بالرموز ‪ x ~ N ( , ) :‬ويعني ذلك أن‬
‫‪ ، ‬وتباين ‪.  2‬‬
‫المتغير العشوائي ‪ x‬يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪16‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫شكل دالة كثافة االحتمال‪:‬‬
‫وانحراف معياري ‪‬‬
‫إذا كان لدينا توزيع طبيعي ذو وسط حسابي ‪‬‬
‫منحنى دالة كثافة االحتمال تكون على الصورة التالية‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪17‬‬
‫[‬
‫فإن معادلة‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫كيفية حساب االحتماالت‪:‬‬
‫بفرض أن االحتمال المطلوب حسابه هو‬
‫بالمساحة التالية‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫) ‪x  x2‬‬
‫‪18‬‬
‫[‬
‫‪p( x1 ‬‬
‫وهذا االحتمال يحدد‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫وحيث أن هذا التوزيع من التوزيعات المستمرة‪ ،‬فإن هذه المساحة ( االحتمال) تحسب‬
‫بإيجاد التكامل التالي‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪ 1  x ‬‬
‫‪2  ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x  x2 )   f ( x)dx  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p( x1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫وهذا التكامل يصعب حسابه‪ ،‬ومن ثم لجأ اإلحصائيين إلى عمل تحويلة رياضية‬
‫‪ ،Transform‬يمكن استخدام توزيعها االحتمالي في حساب مثل هذه االحتماالت‪ ،‬وهذه‬
‫التحويلة هي‪:‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪z ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪19‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫ويعرف المتغير الجديد بـ‬
‫‪ ،Variable‬أو المعياري‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫‪z‬‬
‫وهو المتغير الطبيعي القياسي ‪Standard Normal‬‬
‫]‬
‫‪20‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫التوزيع الطبيعي القياسي (المعياري)‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪21‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫ب‪-‬التوزيع الطبيعي القياسي المعياري)‪:‬‬
‫هو توزيع طبيعي وسطه الحسابي ‪ 0‬وانحرافه المعياري ‪ ) 1‬أي أن‬
‫ويمكن تحويل أي توزيع طبيعي ( بوحدات ‪ )x‬إلى توزيع طبيعي قياسي (بوحدات ‪. )z‬‬
‫وتحت هذه الشروط ‪ ،‬فإن ‪ 68.26%‬من المساحة (االحتمال) تحت المنحنى الطبيعى‬
‫القياسى تقع بين إحداثيين رأسيين يبعدان بمقدار انحراف معيارى واحد عن الوسط الحسابى‬
‫‪ 99.74% ،   2‬تقع بين ‪  3‬‬
‫‪ 95.54% ،)   1‬تقع بين‬
‫( أى داخل‬
‫‪(  1,   0‬‬
‫وإليجاد االحتماالت (المساحات) فى مسائل تحتوى على التوزيع الطبيعى ‪ ،‬فإننا نحول أوال‬
‫قيم ‪ x‬إلى قيم ‪ z‬المناظرة لها ‪ ،‬من خالل المعادلة التالية‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪22‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫‪X ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z ‬‬
‫ثم نكشف عن قيمة ‪ z‬فى الجداول المخصصة لذلك‪ ،‬ويعطي هذا قيمة الجزء من‬
‫المساحة (االحتمال) تحت المنحنى بين قيمة الوسط الحسابى وقيمة ‪z‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪23‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫•احتمال وقوع أية مشاهدة على بعد انحراف معياري واحد من الوسط الحسابي هو ‪0.6827‬‬
‫•احتمال وقوع أي مفردة على بعد إنحرافين معياريين من الوسط الحسابي هو ‪0.9545‬‬
‫•احتمال وقوع أية مفردة على بعد ثالثة انحرافات معيارية من الوسط الحسابي هو ‪0.9973‬‬
‫والشكل التالي يوضح ذلك‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪24‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫العالقة بين التوزيع الطبيعي والتوزيع الطبيعي القياسي‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪25‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫فالمساحة (االحتمال) تحت المنحنى الطبيعى المعيارى ‪ z=0‬و ‪ z=1.96‬نحصل عليها‬
‫مقابلة للقيمة ‪ 1.96‬في جدول التوزيع الطبيعي‪ ،‬ففى عمود ‪ z‬نبدأ بالقيمة ‪ 1.9‬ونتحرك‬
‫في الصف المناظر لها حتى نصل إلى العمود المعنون ‪ ،.06‬وتكون القيمة التي نحصل‬
‫عليها ‪. 0.4750‬‬
‫ويعنى هذا أن ‪ 47.50%‬من المساحة الكلية )‪ 1‬أو ‪ (100%‬تحت المنحنى تقع بين‬
‫‪ z=0, z=1.96‬المساحة المظللة في الشكل فوق الجدول) ‪ .‬وألن التوزيع متماثل ‪ ،‬فإن‬
‫المساحة بين ‪( z=-1.96 , z=0‬ليس مدرجة في الجدول) هي أيضا ‪ 0.4750‬أو‬
‫‪47.50%‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪26‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫مثال‬
‫احتمال أن تكون قيمة ‪ Z‬أكبر من ‪:2‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫حيث أن احتمال أن تكون ‪ Z‬أقل من صفر = ‪ 0.5000‬ومن الجدول احتمال ‪ Z‬في‬
‫(‪ 0.47725 = )2،0‬اذن احتمال أن تكون قيمة ‪ Z‬أكبر من ‪ 2‬هي ‪:‬‬
‫‪0.02275 = 0.47725 - 0.5000‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪27‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
0.0227
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
Deanship of E-Learning and Distance Education
[
28
]
‫جامعة الملك فيصل‬
King Faisal University
‫مثال‬
‫•احتمال أن تقع ‪ Z‬بين صفر و ‪.0.5‬‬
‫•احتمال أن تقع ‪ Z‬بين ‪ 0.5‬و ‪.-0.5‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫من الرسم المساحة المظللة بين ‪ 0‬و ‪ 0.5‬تمثل احتمال أن تقع ‪ Z‬بين (‪ 0‬و ‪،)0.5‬‬
‫والمساحة المظللة إلى شمال (‪ 0‬ويمين ‪ ) - 0.5‬هي احتمال أن تقع ‪ Z‬في الفترة (‪0, -‬‬
‫‪. )0.5‬‬
‫واحتمال أن تقع ‪ Z‬في الفترة (‪ )0, 05‬والمساحة المقابلة لقيمة ‪، 0.19146 = Z‬‬
‫كذلك احتمال أن تقع ‪ Z‬في الفترة )‪0.19146 = (0, -0.5‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪29‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫اذن احتمال أن تقع ‪ Z‬في الفترة‬
‫(‪ 0.5‬و ‪0.38292 = 0.19146 × 2 = )-0.5‬‬
‫وهي تتمثل بالمساحة المظللة في الرسم التالي‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪30‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫مثال‬
‫•قامت إحدى الشركات بإجراء اختبار للمتقدمين لشغل بعض الوظائف الشاغرة بها‪ ،‬فإذا‬
‫علمت أن درجات هذا االختبار تتبع توزيعا معتدال وسطه الحسابي ‪ 500‬وانحرافه‬
‫المعياري ‪ 100‬درجة وأن أحد الممتحنين قد اختير عشوائيا‪،‬‬
‫•ما هو احتمال أن تكون درجة المتقدم أكبر من ‪700‬؟‬
‫الحل‪:‬‬
‫إذا كانت ‪ X‬تمثل أي درجة ألي ممتحن‪ ،‬فإن ‪ X‬تتبع توزيعا معتدال وسطه الحسابي ‪500‬‬
‫درجه وإنحرافه المعياري ‪ 100‬درجه‪ ،‬وباستخدام المعادلة الخاصة بالدرجة المعيارية‬
‫‪X ‬‬
‫‪‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪31‬‬
‫[‬
‫‪Z ‬‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫نجد أن القيمة المعيارية ‪ Z‬للقيمة ‪ 700‬هي ‪:‬‬
‫‪700  500‬‬
‫‪200‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪32‬‬
‫[‬
‫‪X ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z ‬‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫•وبالتالي يمكننا صياغة السؤال السابق كما يلي‪ :‬إذا اختير أحد الممتحنين عشوائيا‪ ،‬فما هو‬
‫احتمال أن تزيد درجته عن الوسط الحسابي بأكثر من انحرافين معياريين؟‬
‫•لإلجابة على هذا السؤال فإننا نستخدم الشكل التالي‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪33‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫والذي يبين أن المساحة تحت المنحنى المحصورة بين انحرافين معياريين من الوسط‬
‫الحسابي ‪ 95.45%‬وبالتالي تكون المساحة المتبقية من المنحنى أي مساحة طرفي‬
‫المنحنى هي (‪ ،)1-0.9545=0.0455‬ونتيجة لتماثل المنحنى حول وسطه الحسابي‪،‬‬
‫فإن مساحة الطرف األيمن للمنحنى تساوي مساحة طرفه األيسر‪ ،‬أي تساوي‬
‫(‪.)0.0455/2=0.02275‬‬
‫لذا فإن المساحة تحت المنحنى على يمين ( ‪ )   2‬من الوســـط الحسابي (أي على‬
‫‪ )  2‬تساوي ‪ 0.02275‬وهي قيمة احتمال أن تكون درجة الشخص الذي‬
‫يمين‬
‫اختير عشوائيا أكبر من ‪700‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪34‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫كيفية استخدام جدول توزيع االحتماالت المتجمعة للمتغير العشوائي ‪Z‬‬
‫وبمعرفة القيمة المعيارية ‪ Z‬يمكننا أن نحصل على احتماالت أي متغير عشوائي معتدل‪،‬‬
‫والتعبير ‪ Z <+2‬يعني أن القيمة المشاهدة تقع على مسافة أقل من ‪  2‬على يمين الوسط‬
‫الحسابي‪ ،‬أيضا فإن التعبير ‪ -1< Z <+3‬يعني أن القيمة المشاهدة تقع بين ‪   1‬و ‪  3‬‬
‫ومن الواضح نه اليمكن استخدام الشكل السابق لتحديد االحتماالت المطلوبة بسهوله كافية‪ ،‬لذا‬
‫يستخدم جدول توزيع االحتماالت المتجمعة للمتغير العشوائي ‪ Z‬إليجاد اإلحتماالت المطلوبة‪،‬‬
‫ويعطي العمود األول بيسار الجدول مع الصف العلوي قيم ‪ Z‬المختلفة إلى رقمين عشريين‬
‫فقط‪ ،‬والرقم األول بالعمود األول على يسار الجدول هو ‪ 0.0‬والرقم األول بالصف العلوي‬
‫من الجدول هو ‪ 0.00‬ومجموع هذين الرقمين يعطينا القيمة المعيارية ‪ Z=0.00‬واالحتمال‬
‫المتجمع المناظر هو ‪ 0.5000‬أي أن ‪ P(Z > 0.000)=0.5000‬وهذه بطبيعة الحال‬
‫نتيجة منطقية ألن توزيع ‪ Z‬متماثل حول وسطه الحسابي وهو الصفر‪ ،‬وبالتالي ال يوجد أي‬
‫احتمال متجمع بالجدول قيمته أقل من ‪0.5000‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪35‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫أوجد احتمال أن ‪ Z‬أقل من (<) ‪1.64‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫الجدول التالي جزء من جدول االحتماالت المتجمعة للتوزيع المعتدل المعياري‬
‫‪.05‬‬
‫‪.04‬‬
‫‪.02‬‬
‫‪.03‬‬
‫‪0.9495‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫‪.01‬‬
‫‪.00‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪1.6‬‬
‫]‬
‫‪36‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫ويتم الحصول على القيمة المعيارية ‪ Z‬بجمع القيمتين المناسبتين الموجودتين بالصف‬
‫العلوي والعمود األول بيسار الجدول‪ ،‬ويحوي العمود األول من جهة اليسار على قيم تصل‬
‫إلى رقم عشري واحد فقط‪ ،‬بينما يحوي الصف العلوي على الرقم المئوي‪.‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪37‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫ويتم الحصول على القيمة المعيارية ‪ Z‬بجمع القيمتين المناسبتين الموجودتين بالصف العلوي‬
‫والعمود األول بيسار الجدول‪ ،‬ويحوي العمود األول من جهة اليسار على قيم تصل إلى رقم‬
‫عشري واحد فقط‪ ،‬بينما يحوي الصف العلوي على الرقم المئوي‪.‬‬
‫فاإلحتمال المتجمع المناظر للقيمة ‪ 1.64‬يوجد أمام الصف ‪ 1.6‬وتحت العمود ‪0.04‬‬
‫(الحظ أن ‪ ) 1.64 = 0.04 + 1.6‬وهي قيمة ‪ Z‬المطلوب إيجاد االحتمال المتجمع عندها‪،‬‬
‫وهذا اإلحتمال هو ‪ ، 0.9495‬أي أن ‪ P(Z<1.64)=0.9495‬وهذا هو اإلحتمال المتجمع‬
‫للمتغير ‪ Z‬من (‪ ) -‬إلى ‪1.64‬‬
‫والجدول التالي يوضح ذلك‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪38‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
Deanship of E-Learning and Distance Education
[
39
]
‫جامعة الملك فيصل‬
King Faisal University
‫مثال‪:‬‬
‫أوجد أن احتمال أن ‪ Z‬أكبر من (>) ‪. 1.64‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫إن مجموع االحتماالت المتجمعة ألي متغير عشوائي يساوي (‪ ،)1‬وحيث أن المساحة الكلية‬
‫تحت منحنى أي متغير عشوائي مستمر تمثل مجموع االحتماالت‪ ،‬لذا فإن هذه المساحة‬
‫تساوي )‪ (1‬لذا فإن ‪:‬‬
‫‪P(Z>1.64)=1-P(Z<1.64)=1-0.9495=0.0505‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪40‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫أوجد المساحة تحت المنحنى المعتدل المعياري على يمين ‪. Z=-1.65‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫المنحنى المعتدل كما أوضحنا منحنى متماثل حول الصفر‪ ،‬وبالتالي فإن المساحة تحت المنحنى‬
‫على يمين ‪ -1.65‬تساوي المساحة تحت المنحنى على يسار ‪ ، 1.65‬أي أن ‪P(Z>-‬‬
‫)‪)1.65)=P(Z<1.65‬‬
‫وباستخدام جدول التوزيع الطبيعي نجد أن ‪ P(Z<1.65)=0.9505‬أي أن اإلحتمال المتجمع‬
‫من ‪ -1.65‬إلى ‪+ ‬‬
‫أي أن‪:‬‬
‫‪P(Z<-1.65)=1-P(Z<1.65)=1-0.9505=0.0495‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪41‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫استخدامات التوزيع الطبيعي القياسي‪:‬‬
‫يستخدم التوزيع الطبيعي القياسي في التعامل مع الكثير من المشاكل العملية وإيجاد القيم‬
‫اإلحتمالية لها وإليك بعض األمثلة على ذلك‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪42‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫مثال‪:‬‬
‫افترض أن إدارة المرور باالحساء وضعت جهازا للرادار على طريق الدمام عند مدخل‬
‫المبرز وذلك لضبط السيارات المسرعة في فترة معينة من اليوم‪ ،‬افترض أن ‪ X‬تمثل‬
‫السرعة في الساعة للسيارات التي تمر بمدخل المبرز في فترة عمل الرادار‪ ،‬إذا كانت ‪X‬‬
‫تتوزع توزيعا معتدال وسطه الحسابي ‪ 60‬ميال وتباينه ‪ 25‬ميال‪ ،‬أوجد التالي‪:‬‬
‫•نسبة السيارات التي تقل سرعتها عن ‪ 50‬ميال في الساعة ‪.‬‬
‫•نسبة السيارات التي تزيد سرعتها عن ‪ 65‬ميال في الساعة‪.‬‬
‫•نسبة السيارات التي تكون سرعتها بين ‪ 60‬ميال و ‪ 77.45‬ميال في الساعة ‪.‬‬
‫•عدد السيارات التي تكون سرعتها بين ‪ 60‬ميال و ‪ 77.45‬ميال من بين ‪ 10000‬سيارة ‪.‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪43‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫‪ -1‬نسبة السيارات التي تقل سرعتها عن ‪ 50‬ميال في الساعة ‪:‬‬
‫‪50  60‬‬
‫‪)  P( Z  2)  1  0.9772 0.0228‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫(‪P( X  50)  P‬‬
‫‪ -2‬نسبة السيارات التي تزيد سرعتها عن ‪ 65‬ميال في الساعة ‪:‬‬
‫‪65  60‬‬
‫‪)  P( Z  1)  1  P( Z  1)  1  0.8413 0.1587‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫(‪P( X  65)  P‬‬
‫‪ -3‬نسبة السيارات التي تكون سرعتها بين ‪ 60‬ميال و ‪ 77.45‬في الساعة ‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪44‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫‪ -3‬نسبة السيارات التي تكون سرعتها بين ‪ 60‬ميال و ‪ 77.45‬في الساعة ‪:‬‬
‫‪60  60‬‬
‫‪77.45  60‬‬
‫(‪P(60  X  77.45)  P‬‬
‫‪Z‬‬
‫)‬
‫‪25‬‬
‫‪25‬‬
‫)‪ P(0  Z  3.49)  P( Z  3.49)  P( Z  0‬‬
‫‪ 0.9998 0.5000 0.4998‬‬
‫‪ -4‬عدد السيارات المتوقع سرعتها بين ‪ 60‬ميال و ‪ 77.45‬ميال من بين ‪10000‬‬
‫سيارة ‪:‬‬
‫‪10000(0.4998)=4998‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪45‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫مسائل من الكتاب المقرر صفحة ‪150‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪46‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫ ستيودنت‬t ‫توزيع‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
Deanship of E-Learning and Distance Education
[
47
]
‫جامعة الملك فيصل‬
King Faisal University
‫ج ‪ -‬توزيع ‪: t‬‬
‫توجد عائلة أخرى من المتغيرات العشوائية المتصلة المستخدمة في اإلحصاء االستداللي‬
‫وهي مجموعة المتغيرات العشوائية ‪ t‬ويعتبر وليم جوست ‪w.s. Gosset‬هو أول من‬
‫درس تلك المتغيرات حيث سجل نتائجه عام ‪ 1908‬تحت اسم مستعار هو ‪student‬‬
‫ولذلك يسمى توزيع ‪ t‬في بعض األحيان بتوزيع ستيودنت‪.‬‬
‫ويرمز لهذه العائلة من التوزيعات بالرموز ( )‪ t1,t2,t3 ……tdf‬كما يرمز لدرجات‬
‫حريتها بالرمز ‪ V‬حرف إغريقي ينطق نيو) وهي تأخذ القيم (‪)df,.…,1,2,3‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪48‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫الفرق بين توزيع ‪ t‬والتوزيع الطبيعي‪:‬‬
‫يختلف المتغير العشوائي ‪ t‬عن المتغير العشوائي االعتدالي ‪,‬حيث يتحدد المتغير‬
‫العشوائي االعتدالي بمعلمين هما االنحراف المعياري والمتوسط‪ ،‬بينما يتحدد المتغير‬
‫العشوائي ‪ t‬بمعلم واحد فقط هو درجة الحرية‪.‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪49‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫الفرق بين توزيع ‪ t‬والتوزيع الطبيعي‪:‬‬
‫وال شتقاق المتغير العشوائي ‪ t‬من المتغير العشوائي (الطبيعي) االعتدالي‪ ،‬فإن ذلك‬
‫يتطلب معرفة قيمة المتوسط ‪ µ‬للمتغير العشوائي االعتدالي‪ ،‬بينما النحتاج إلي معرفة‬
‫انحرافه المعياري‪.‬‬
‫ولنفرض أن قيمة متغير العشوائي االعتدالي التي تم مالحظتها ‪ n‬من المرات )‪(n>=z‬‬
‫وأن هذه المالحظات البالغ عددها ‪ n‬تكون عينة متوسطها ‪ µ‬وانحرافها المعياري‬
‫‪s‬وحسبنا قيم المتغير العشوائي ‪ t‬باستخدام الصيغة التالية ‪:‬‬
‫)‪t= X-µ/(s/n‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪50‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫وتتحدد درجة حرية المتغير العشوائي ‪ t‬بأنها تساوي )‪ )n-1‬كذلك فإنه لكل قيم ‪n‬‬
‫نجد أن توزيع ‪ t‬له قيمة واحدة عند النقطة صفر‪ ،‬وهو توزيع متماثل يقل تدريجيا كلما‬
‫اتجهنا ناحيتي الذيلين األيمن واأليسر‪ ،‬وهذا ما يوضحه الشكل التالي ‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪51‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫ونالحظ من الشكل السابق ان توزيع ‪ t‬يشبه توزيع ‪ z‬فيما عدا أنه أكثر انتشارا ‪diffuse‬‬
‫ألنه أكثر كثافة عند الذيلين وخاصة عندما تكون ‪ n‬صغيرة ‪ ,‬اما إذا كانت ‪ n‬كبيرة فإن‬
‫توزيع ‪ t‬يكون أقل انتشارا وأكثر قربا من شكل توزيع ‪ , z‬وبزيادة درجات الحرية يقترب‬
‫توزيع ‪ t‬من التوزيع االعتدالي ‪ ,‬وهذا ما يوضحه الشكل‪:‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪52‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
Deanship of E-Learning and Distance Education
[
53
]
‫جامعة الملك فيصل‬
King Faisal University
‫خصائص توزيع ‪: t‬‬
‫•متوسط المتغير العشوائي ‪ t‬يساوي صفر لكل درجات الحرية )‪ . (n-1‬وهذا يعني أن ‪0 =µ‬‬
‫•االنحراف المعياري للمتغير العشوائي ‪ t‬لدرجات حرية أكبر من اثنين يساوي ‪:‬‬
‫‪σ= s/s-2‬‬
‫حيث ‪ df‬هي درجة حرية المتغير العشوائي ‪. t‬‬
‫ويتبين من المعادلة السابقة لالنحراف المعياري أنه كلما زادت درجات حرية المتغير العشوائي‬
‫‪ t‬بحيث تصل إلي ‪ 30‬فأكثر‪ ،‬فإن االنحراف المعياري يقترب من الواحد الصحيح‪ ،‬وبصفة‬
‫عامة فإن اإلنحراف المعياريي لتوزيع ‪ t‬يساوي ‪ 1.035‬أو أقل‪.‬‬
‫ولذلك فإن التوزيع االحتمالي للمتغير يكون قريبا جدا من التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي‬
‫‪ z‬وبصفة خاصة عندما تكون ‪ df>30‬وفي هذه الحالة نستخدم جدول ‪ z‬لإلجابة على‬
‫األسئلة االحتمالية حول المتغير العشوائى ‪. t‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪54‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
Deanship of E-Learning and Distance Education
[
55
]
‫جامعة الملك فيصل‬
King Faisal University
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
Deanship of E-Learning and Distance Education
[
56
]
‫جامعة الملك فيصل‬
King Faisal University
‫مثال ‪:‬‬
‫احسب القيمة الحرجة (نقطة القطع) بتوزيع ‪ t‬لدرجات حرية ‪ 8‬ومستوى الداللة ‪. 10‬‬
‫(االحتمال بالذيل األيمن)‬
‫الحل ‪:‬‬
‫بالبحث في الجدول توزيع ‪t‬عند درجات ‪ 8‬والعمود الخاص بمستوى الداللة ‪ .10‬نجد أن‬
‫القيمة عند تقاطع الصف و العمود تساوي ‪1.860‬‬
‫‪P(t8 >=1.397)=.10‬‬
‫‪P(-1.397 <= t8<=1.397)=.90‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪57‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫مسائل من الكتاب المقرر صفحة ‪164‬‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪58‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫أخيرا‬
‫شكرا لحسن متابعتكم‬
‫وتمنياتي لكم بالتوفيق‬
‫جامعة الملك فيصل‬
‫‪King Faisal University‬‬
‫]‬
‫‪59‬‬
‫[‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
‫‪Deanship of E-Learning and Distance Education‬‬
‫بحمد هللا‬
‫عمادة التعلم اإللكتروني والتعليم عن بعد‬
Deanship of E-Learning and Distance Education
[
60
]
‫جامعة الملك فيصل‬
King Faisal University