Transcript الثانية - النزعة المركزية

‫مبادئ االحصاء‪102‬كمى‬
‫الوحدة الثانية‪ :‬مقاييس النزعة املركزية‬
‫مقاييس النزعة المركزية‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫تعريف النزعة المركزية‬
‫يقصد بالنزعة المركزية ميل البيانات إلى التمركز حول قيمة معينة في منتصف هذه‬
‫البيانات‪.‬‬
‫قياس النزعة المركزية‪:‬‬
‫يمكن قياس النزعة المركزية للبيانات (أي التمركز حول القيمة الوسطى للبيانات) بعدد من‬
‫المقاييس هي‪:‬‬
‫‪ -1‬الوسط الحسابي ‪Arithmetic Mean‬‬
‫‪ -2‬الوسط الهندسي ‪Geometric Mean‬‬
‫‪ -3‬الوسط التوافقي ‪Harmonic Mean‬‬
‫‪ -4‬الوسيط ‪Median‬‬
‫‪ -4‬المنوال ‪Mod‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫مقاييس النزعة المركزية‬
‫‪-1‬الوسط الحسابي‬
‫‪Arithmetic Mean‬‬
‫تعريفة‪:‬‬
‫يعرف الوسط الحسابي لمجموعة من القيم بأنه عبارة عن مجموع هذه القيم على عددها‪.‬‬
‫طرق حسابه الوسط الحسابي‪:‬‬
‫أوال‪ :‬في حالة البيانات غير المبوبة‪:‬‬
‫يتم حساب الوسط الحسابي بالمعادلة‬
‫الوسط الحسابي = (مجموع القيم ÷ عدد القيم)‬
‫=‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسط الحسابي‬
‫مثال )‪:(1-2‬البيانات التالية تمثل المسافة بالكيلو متر بين الجامعة والمنزل لسبع طالب ‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪46 57 77‬‬
‫‪18 37 25‬‬
‫والمطلوب ‪ :‬حساب الوسط الحسابي للمسافة بين الجامعة والمنزل‪.‬‬
‫الحل‬
‫=‬
‫كم ‪= 40‬‬
‫أي أن متوسط المسافة بين الجامعة والمنزل كم ‪= 40‬‬
‫‪.‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسط الحسابي‬
‫ثانيا‪ :‬في حالة البيانات المبوبة‪:‬‬
‫يمكن حساب الوسط الحسابي في حالة البيانات المبوبة بالخطوات اآلتية‪:‬‬
‫‪ -1‬إضافة عمود ثالث للجدول التكراري يمثل مراكز الفئات ويتم حساب مركز الفئة كما يلي‪.‬‬
‫مركز الفئة =( بداية الفئة ‪ +‬نهاية الفئة) ÷‪2‬‬
‫‪ -2‬إضافة عمود رابع هو عبارة عن حاصل ضرب مركز الفئة ‪ x‬في التكرار ‪ f‬للحصول على‬
‫التعويض في المعادلة التالية‪:‬‬
‫حيث‬
‫‪،‬‬
‫‪:‬عبارة عن مجموع حاصل ضرب مركز الفئة ‪ x‬في التكرار ‪.f‬‬
‫هو عبارة عن مجموع التكرارات‪.‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسط الحسابي‬
‫مثال )‪:(2-2‬البيانات التالية تمثل توزيع ‪ 100‬عامل حسب فئات األجر اليومي باللاير ‪:‬‬
‫‪90-100‬‬
‫‪80-‬‬
‫‪70-‬‬
‫‪60-‬‬
‫‪50-‬‬
‫فئات األجر‬
‫‪5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪15‬‬
‫‪12‬‬
‫‪8‬‬
‫عدد العمال‬
‫والمطلوب‪ :‬حساب الوسط الحسابي ألجر العامل اليومي‪.‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسط الحسابي‬
‫الحل‪:‬‬
‫لحساب الوسط الحسابي ألجر العامل اليومي نتبع الخطوات اآلتية‪:‬‬
‫‪ -1‬حساب مركز الفئة ‪: x‬‬
‫مركز الفئة األولى=‬
‫( بداية الفئة األولى ‪ +‬نهاية الفئة األولى) ÷‪55 = 2 ÷ )60 + 50 ( = 2‬‬
‫مركز الفئة الثانية = مركز الفئة األولى ‪ +‬طول الفئة = ‪65 = 10 + 55‬‬
‫مركز الفئة الثالثة = مركز الفئة الثانية ‪ +‬طول الفئة = ‪75 = 10 + 65‬‬
‫مركز الفئة الرابعة = مركز الفئة الثالثة ‪ +‬طول الفئة = ‪85 = 10 + 75‬‬
‫مركز الفئة الخامسة = مركز الفئة الرابعة ‪ +‬طول الفئة = ‪95 = 10 + 85‬‬
‫‪ -2‬إيجاد‬
‫التالي ‪.‬‬
‫مجموع حاصل ضرب مركز الفئة ‪ x‬في التكرار ‪ f‬من خالل الجدول‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسط الحسابي‬
‫‪X .f‬‬
‫‪440‬‬
‫مركز الفئة( ‪(x‬‬
‫‪55‬‬
‫عدد العمال ( ‪)f‬‬
‫‪8‬‬
‫‪780‬‬
‫‪1125‬‬
‫‪850‬‬
‫‪475‬‬
‫‪3670‬‬
‫‪65‬‬
‫‪75‬‬
‫‪85‬‬
‫‪95‬‬
‫‪-‬‬
‫‪12‬‬
‫‪15‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫‪50‬‬
‫فئات األجر‬
‫‪50 -‬‬
‫ ‪60‬‬‫ ‪70‬‬‫ ‪80‬‬‫‪90 -100‬‬
‫المجموع‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسط الحسابي‬
‫‪ -3‬التعويض في المعادلة التالية لحساب الوسط الحسابي ألجر‬
‫العامل‪:‬‬
‫لاير ‪73.4‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسط الحسابي‬
‫مزايا وعيوب الوسط الحسابي‬
‫المزايــا‬
‫‪ -1‬سهولة حسابه والتعامل معه جبريا‪.‬‬
‫‪ -2‬دخول جميع القيم في حسابه ( أي ال يمكن‬
‫إهمال أي مفردة عند حسابه)‬
‫‪ -3‬يعتبر األساس في معظم عمليات االستدالل‬
‫اإلحصائي‪.‬‬
‫العيوب‬
‫‪-1‬يتأثر في حسابه بالقيم المتطرفة أو‬
‫الشاذة‪.‬‬
‫‪ -2‬ال يمكن حسابه من البيانات الوصفية‪.‬‬
‫‪-3‬ال يمكن حسابه من الجداول التكرارية‬
‫المفتوحة من أحد الطرفين أو من كليهما‪.‬‬
‫‪ -4‬ال يمكن إيجاده بيانيا بالرسم‪.‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسط الهندسي‬
‫‪ -2‬الوسط الهندسي‬
‫‪Geometric Mean‬‬
‫تعريف الوسط الهندسي‪:‬‬
‫يعرف الوسط الهندسي لمجموعة من القيم بأنه الجذر النوني لحاصل ضرب هذه القيم‬
‫ويرمز له بالرمز (‪)GM‬‬
‫حيث‪:‬‬
‫‪‬يستخدم الوسط الهندسي عند حساب القيمة المتوسطة لعدد من النسب المئوية‪.‬‬
‫‪‬يتميز الوسط الهندسي عن الوسط الحسابي باألتي‪:‬‬
‫‪ -1‬انه أقل تأثرا من الوسط الحسابي بالقيم المتطرفة أو الشاذة ‪.‬‬
‫‪ -2‬ال يمكن حسابه إذا كانت القيم تحتوى على أصفار أو قيم سالبة‪.‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسط الهندسي‬
‫مثال )‪(3-2‬‬
‫أحسب الوسط الهندسي للقيم اآلتية‪:‬‬
‫‪20 30 37 28 17 32‬‬
‫الحل‬
‫‪=26.39‬‬
‫الوسط التوافقي‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫‪ -3‬الوسط التوافقي ‪Harmonic Mean‬‬
‫تعريف الوسط التوافقي‪:‬‬
‫يعرف الوسط التوافقي لمجموعة من القيم بأنه مقلوب الوسط الحسابي لمقلوب القيم‬
‫ويرمز له بالرمز (‪.)HM‬‬
‫حيث‪:‬‬
‫‪ ‬يستخدم الوسط التوافقي في الحاالت التي ال يصلح فيها استخدام الوسط الحسابي أو‬
‫الوسط الهندسي‪.‬‬
‫‪ ‬والوسط التوافقي يعتمد في حسابه على جميع القيم مثل الوسط الحسابي والوسط‬
‫الهندسي‪.‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسط التوافقي‬
‫مثال )‪(4-2‬‬
‫أحسب الوسط التوافقي للقيم األتية‪:‬‬
‫‪18 37 25 46 57 77 20‬‬
‫الحل‬
‫الوسيط‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫‪ -4‬الوسيط ‪Median‬‬
‫تعريف الوسيط‪:‬‬
‫يعرف الوسيط بأنه عبارة عن القيمة التي تقع في منتصف القيم‪ ،‬أي القيمة التي عدد القيم قبلها‬
‫يكون مساوي لعدد القيم بعدها بعد ترتيب القيم تصاعديا أو تنازليا ‪ .‬ويرمز له بالرمز ‪.M‬‬
‫طرق حساب الوسيط‪:‬‬
‫أوال ‪ :‬حساب الوسيط في حالة البيانات غير المبوبة‪.‬‬
‫لحساب الوسيط من البيانات الغير مبوبة نتبع األتي ‪.‬‬
‫‪ -1‬ترتيب القيم تصاعديا أو تنازليا حسب قيمها‪.‬‬
‫‪ -2‬حساب الوسيط (تحديد موقع الوسيط)‪.‬‬
‫‪ ‬إذا كان عدد المفردات ) ‪( n‬عدد فردى فان ‪:‬‬
‫قيمة الوسيط = القيمة الوسطى‬
‫‪ ‬إذا كان عدد المفردات ) ‪( n‬عدد زوجي فان‬
‫قيمة الوسيط =( مجموع القيمتين الوسيطتين) ÷ ‪2‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسيط‬
‫مثال )‪ :(5-2‬البيانات التالية تمثل األجور اليومية باللاير لعينتين من العاملين‬
‫القطاعات‪.‬‬
‫‪80 60 100 70‬‬
‫العينة (‪90 )1‬‬
‫‪50 80 60 100 70‬‬
‫العينة (‪90 )2‬‬
‫والمطلوب ‪:‬‬
‫بإحدى‬
‫حساب وسيط األجر لكل عينة من العينتين السابقتين ‪.‬‬
‫الحل‬
‫أ) العينة (‪ )1‬لحساب الوسيط نتبع األتي ‪:‬‬
‫ترتيب القيم تصاعديا ‪60 70 80 90 100‬‬
‫عدد القيم = ‪ 5‬عدد فردى وبالتالي فان قيمة الوسيط= ‪ 80‬لاير‬
‫ب) العينة (‪ )2‬لحساب الوسيط نتبع األتي ‪:‬‬
‫ترتيب القيم تصاعديا ‪50 60 70 80 90 100‬‬
‫عدد القيم = ‪ 6‬عدد زوجي وبالتالي فان قيمة‬
‫‪2÷150‬لاير‬
‫الوسيط= (‪75 = = 2 ÷(70+ 80‬‬
‫الوسيط‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫ثانيا‪ :‬في حالة البيانات المبوبة‪.‬‬
‫لحساب الوسيط من البيانات المبوبة نتبع األتي‪:‬‬
‫‪ -1‬تكوين جدول تكراري متجمع صاعد أو هابط ‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪-2‬تحديد ترتيب الوسيط ‪.‬حيث ترتيب الوسيط= (مجموع التكرارات) ‪÷ 2‬‬
‫‪ -3‬تحديد فئة الوسيط عن طريق ترتيب الوسيط ثم تحديد التكرار السابق لفئة الوسيط ‪،‬‬
‫والتكرار الالحق ثم تحديد طول فئة الوسيط ‪.‬‬
‫‪ -4‬التعويض في المعادلة التالية‪.‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسيط‬
‫حيث ‪ L‬بداية فئة الوسيط وهى الفئة التي يقع فيها الوسيط وتحدد بترتيب الوسيط‪.‬‬
‫و‬
‫هي ترتيب الوسيط حيث‬
‫‪.‬‬
‫هي التكرار المتجمع السابق لموقع الوسيط‪.‬‬
‫هي التكرار المتجمع الالحق لموقع الوسيط‪.‬‬
‫طول فئة الوسيط = الحد األعلى لفة الوسيط‪ -‬الحد األدنى لفئة الوسيط‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسيط‬
‫مثال )‪:(6-2‬‬
‫فيما يلي التوزيع التكراري للدخول اليومية باللاير لعينة حجمها ‪ 50‬عامل من العاملين بأحد‬
‫القطاعات‪.‬‬
‫‪90-100‬‬
‫‪3‬‬
‫‪80-‬‬
‫‪70-‬‬
‫‪60-‬‬
‫‪50-‬‬
‫‪40-‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪15‬‬
‫‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫والمطلوب ‪ :‬حساب وسيط األجر‪.‬‬
‫الحل‬
‫لحساب وسيط األجر نتبع اآلتى‪:‬‬
‫‪ -1‬تكوين جدول تكراري متجمع صاعد‪.‬‬
‫‪30‬‬‫‪4‬‬
‫فئات األجر‬
‫عدد العمال‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسيط‬
‫موقع الوسيط‬
‫تكرار متجمع صاعد‬
‫‪0‬‬
‫الحدود العليا للفئات‬
‫أقل من ‪30‬‬
‫‪4‬‬
‫أقل من ‪40‬‬
‫‪9‬‬
‫أقل من ‪50‬‬
‫التكرار السابق ‪18‬‬
‫أقل من ‪60‬‬
‫التكرار الالحق ‪33‬‬
‫أقل من ‪70‬‬
‫‪41‬‬
‫أقل من ‪80‬‬
‫‪47‬‬
‫أقل من ‪90‬‬
‫‪50‬‬
‫أقل من ‪90‬‬
‫فئة‬
‫الوسيط‬
‫الوسيط‬
‫‪ - 2‬تحديد ترتيب الوسيط ‪= 25‬‬
‫‪ -3‬حساب الوسيط ‪.‬‬
‫‪64.67‬‬
‫وسيط األجر= ‪ 64.67‬لاير‪.‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫الوسيط‬
‫مزايا وعيوب الوسيط‬
‫المزايا‬
‫‪ -1‬ال يتأثر في حسابه بالقيم المتطرفة أو الشاذة‪.‬‬
‫‪ -2‬سهولة حسابه أو إيجاده‪.‬‬
‫‪-3‬يمكن حسابه من الجداول التكرارية المفتوحة من‬
‫أحد الطرفين أو من كليهما‪.‬‬
‫‪-4‬يمكن إيجاده بالرسم‪.‬‬
‫العيوب‬
‫‪ -1‬ال يمكن حسابه من البيانات الوصفية‪.‬‬
‫‪-2‬عدم دخول جميع القيم في حسابه ( يتم التركيز على‬
‫قيمة واحدة أو قيمتين في حسابه)‪.‬‬
‫‪ -3‬من الصعب استخدامه في اإلحصاء االستداللي وذلك‬
‫لصعوبة معالجته بالطرق الجبرية‪.‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫المنوال‬
‫‪-5‬المنوال ‪Mod‬‬
‫المنوال هو عبارة عن قيمة المفردة األكثر تكرارا أو شيوعا و يرمز له بالرمز ‪.Mod‬‬
‫طرق حساب المنوال‪:‬‬
‫أوال‪ :‬في حالة البيانات غير المبوبة ‪:‬‬
‫نستخدم التعريف مباشرة أي أن قيمة المنوال = القيمة التي تتكرر أكثر من غيرها ( أي‬
‫المفردة األكثر تكرارا أو شيوعا )‪.‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫المنوال‬
‫مثال )‪: (7-2‬إذا كان لدينا بيانات ألجر ثالث عينات من العاملين بأحد القطاعات‪.‬‬
‫العينة (‪)1‬‬
‫العينة (‪)2‬‬
‫‪10‬‬
‫العينة (‪)3‬‬
‫‪90‬‬
‫‪70‬‬
‫‪50‬‬
‫‪60 100‬‬
‫‪80‬‬
‫‪60‬‬
‫‪100 60‬‬
‫‪30‬‬
‫‪50‬‬
‫‪60 100‬‬
‫‪80 100 50‬‬
‫‪80‬‬
‫‪70‬‬
‫والمطلوب‪ :‬إيجاد المنوال لكل عينة من العينات السابقة‬
‫‪90‬‬
‫‪90 100 70‬‬
‫‪40‬‬
‫‪50‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫المنوال‬
‫الحل‬
‫العينة (‪ )1‬من تعريف المنوال نجد أن المنوال ‪60 = Mod‬لاير‬
‫العينة (‪ )2‬من تعريف المنوال نجد أن المنوال األول ‪50 = Mod‬لاير‬
‫المنوال الثاني ‪ 100 = Mod‬ألن كليهما تكرر ثالث مرات ‪ ( .‬الحظ في هذه العينة وجد منوالن )‬
‫‪.‬‬
‫العينة (‪ )3‬من تعريف المنوال نجد أن المنوال ‪(Mod‬ال يوجد منوال لهذه القيم لعدم‬
‫وجود قيم مكررة)‬
‫الحظ األتي ( عند إيجاد المنوال لمجموعة من البيانات إذا لم يوجد تكرار في البيانات‬
‫( ال يوجد منوال) ‪ ،‬إذا وجدت في البيانات قيمة واحدة مكررة أكثر من غيرها (يوجد‬
‫منوال وحيد) ‪ ،‬إذا وجدت أكثر من قيمة واحدة مكررة أكثر من غيرها في البيانات (يوجد‬
‫أكثر من منوال)‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫المنوال‬
‫مثال )‪ :(8-2‬البيانات التالية تمثل تقديرات ‪ 10‬طالب في مادة االقتصاد‪.‬‬
‫‪A B D B C F D C B F‬‬
‫المطلوب ‪:‬حساب المنوال لهذه التقديرات‪.‬‬
‫الحل‬
‫هذه البيانات بيانات وصفية وبالتالي فان المنوال هو التقدير األكثر تكرارا‪.‬‬
‫المنوال= ‪B‬‬
‫المنوال‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫ثانيا ‪ :‬في حالة البيانات المبوبة‪:‬‬
‫لحساب المنوال فى حالة البيانات المبوبة نتبع الخطوات اآلتية‪:‬‬
‫‪ -1‬تحديد فئة المنوال ( وهى الفئة المناظرة ألكبر تكرار في الجدول التكراري)‬
‫‪ -2‬حساب المنوال بالمعادلة ‪:‬‬
‫حيث‪:‬‬
‫‪:L‬بداية فئة المنوال‬
‫= أكبر تكرار ‪ -‬التكرار السابق له‪.‬‬
‫= أكبر تكرار ‪ -‬التكرار الالحق له‪.‬‬
‫طول فئة المنوال‪.‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫المنوال‬
‫مثال )‪ :(9-2‬فيما يلي التوزيع التكراري ألعمار ‪100‬سلعة تم إنتاجها بواسطة أحد المصانع‪.‬‬
‫‪11-13‬‬
‫‪9-‬‬
‫‪7-‬‬
‫‪5-‬‬
‫‪3-‬‬
‫‪1-‬‬
‫‪8‬‬
‫‪13‬‬
‫‪23‬‬
‫‪28‬‬
‫‪14‬‬
‫‪10‬‬
‫والمطلوب‪ :‬إيجاد المنوال لعمر السلعة ‪.‬‬
‫الحل‬
‫لحساب المنوال نتبع األتي‪.‬‬
‫‪ -1‬تحديد فئة المنوال( هي الفئة المناظرة ألكبر تكرار في الجدول )‬
‫حيث أكبر تكرار= ‪28‬‬
‫أعمار السلع‬
‫(بالسنوات)‬
‫عدد السلع‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫المنوال‬
‫‪ -2‬فئة المنوال هي (‪ )5 - 7‬وبالتالي ‪.L=5‬‬
‫‪ -3‬إيجاد ‪:‬‬
‫‪=23=5‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪،‬‬
‫‪=28-14=14‬‬
‫‪،‬‬
‫‪28-‬‬
‫المنوال لعمر السلعة= ‪ 6.47‬لاير‬
‫ويمكن إيجاد المنوال بيانيا من المدرج التكراري كما يلي‪:‬‬
‫يتم تحديد المستطيل الذي يمثل فئة المنوال (الفئة المناظرة ألكبر تكرار) والمستطيل الذي‬
‫يمثل الفئة السابقة والمستطيل الذي يمثل الفئة الالحقة أيضا‪.‬‬
‫نصل رؤوس المستطيالت ببضعها فتتقابل في نقطة نسقط منها عمود على المحور األفقي‬
‫‪ ،‬فتكون هي قيمة المنوال‪.‬‬
‫مبادئ اإلحصاء ‪ 102‬كمي‬
‫المنوال‬
‫مزايا وعيوب المنوال‬
‫المزايا‬
‫‪ -1‬ال يتأثر في حسابه كثيرا بالقيم المتطرفة أو الشاذة‪.‬‬
‫‪ -2‬سهولة حسابه أو إيجاده‪.‬‬
‫‪ -3‬يمكن حسابه من الجداول التكرارية المفتوحة من‬
‫أحد الطرفين أو من كليهما‪.‬‬
‫‪ -4‬يمكن إيجاده بالرسم‪.‬‬
‫‪ -5‬يمكن حسابه فى حالة البيانات الوصفية‬
‫العيوب‬
‫‪-1‬عدم دخول جميع القيم في حسابه‬
‫‪ -2‬أقل مقاييس النزعة المركزية استخداما‪.‬‬
‫‪ -3‬يعاب على المنوال عدم وجوده في بعض‬
‫البيانات ‪ ،‬كما يمكن وجود أكثر من منوال في‬
‫بعض البيانات‪.‬‬
‫‪ -4‬عديم الفائدة في البيانات قليلة العدد‪.‬‬