إحص ” :122 إحصاء تطبيقي“ ” “Applied Statistics شعبة 17130 د . كمال الدين علي بشير محاضرات الفصل الثاني 1427/1428
Download ReportTranscript إحص ” :122 إحصاء تطبيقي“ ” “Applied Statistics شعبة 17130 د . كمال الدين علي بشير محاضرات الفصل الثاني 1427/1428
إحص ” :122إحصاء تطبيقي“
”“Applied Statistics
شعبة 17130
د .كمال الدين علي بشير
محاضرات
الفصل الثاني 1427/1428
الفصل األول :مقدمة
علم اإلحصاء
“Statistics”
مالفرق؟؟؟
“Statistics” “statistics”
“statistic”
النظري/اإلحصاء التطبيقي
تعريف علم اإلحصاء
هل هو مجموعة من األرقام والبيانات؟ :أعداد
السيارات بالرياض /تعداد السكان/عدد
المواليد/الوفيات...إلخ
هل هو مجرد حصر األشياء ومعرفة أعدادها؟
ال و نعم
ماهو علم اإلحصاء؟
تعريف علم اإلحصاء
يمكن تعريف علم اإلحصاء كاآلتي:
”علم اإلحصاء علم رياضي يعني بـ :جمع البيانات ,تنظيمها,
تلخيصها ,تحليلها ,تفسيرها ,وعرضها للوصول لنتائج
سليمة وقرارات مقبولة في ظل ظروف غير مؤكدة“
Data collection, Organization,
Analysis, Interpretation, and
Presentation-uncertainty
تطبيقات علم اإلحصاء
كافة ضروب العلوم :الطبيعية/اإلجتماعية/اإلنسانية:
الزراعة ,الفيزياء ,الكيمياء ,علم اإلجتماع ,الفلسفة ...إلخ
هل يمكنك التفكير في علم ال يحتاج لإلحصاء؟؟
وظائف علم اإلحصاء
من التعريف :أهم وظائف علم اإلحصاء هى:
.1وصف البيانات Data Description
.2االستدالل اإلحصائي Statistical Inference
.3التنبؤ Forecasting
( )1وصف البيانات
عند جمع البيانات تكون ”خام“Raw Data :
وصف البيانات يشمل:
– تلخيص ,تبويب وعرض في صورة جداول” ”Tablesأو رسوم
بيانية””Graphs
– حساب بعض المؤشرات اإلحصائية (متوسطات ,تشتت)...,
الوصف يعطينا معلومات أولية مفيدة عن البيانات
( )2االستدالل اإلحصائي
اختيار عينة ( )sampleبطريقة علمية من
مجتمع( )populationالدراسة
جمع البيانات المطلوبة علي هذه العينة
التقدير(:)Estimationحساب مؤشرات إحصائية -
إحصاء )statistics( -علي العينة
االستدالل ( )inferenceعلي معلمات
( )parametersالمجتمع
يتم اإلستدالل اإلحصائي عبر موضوعين/مرحلتين:
خطوات االستدالل اإلحصائي
.1
.2
التقدير Estimationكما سبق
اختبارات الفروض ( Tests of Hypotheses
) :استخدام بيانات العينة للوصول إلى قرار علمي سليم
بخصوص الفروض المحددة حول معالم المجتمع.
نوعين من التقدير:
– التقدير بنقطة (.)Point Estimate
– التقدير بفترة (.)Interval Estimate
( )3التنبؤ
تستخدم نتائج االستدالل اإلحصائي ،الدالة على الماضي في
معرفة ما يمكن أن يحدث في الحاضر والمستقبل.
توجد أساليب إحصائية عديدة للتنبؤ ،مثل استخدام معادالت
رياضية يتم تقدير معامالتها من بيانات العينة ،ثم بعد ذلك
استخدام المعادالت المقدرة في التنبؤ بما يمكن أن يحدث في
المستقبل .
أنواع البيانات وطرق قياسها
نوع البيانات ،وطريقة قياسها من أهم األشياء التي تحدد
التحليل اإلحصائي المستخدم
يمكن تقسيم البيانات إلى مجموعتين هما:
.1البيانات الوصفية Qualitative Data
.2البيانات الكمية Quantitative Data
( )1البيانات الوصفية
(a
(b
قد تكون غير رقمية ،أو رقمية مرتبة في شكل مستويات
أو في شكل فئات رقمية.
تقاس البيانات الوصفية بمعيارين هما:
بيانات وصفية مقاسة بمعيار اسمي Nominal
:Scaleوهي بيانات غير رقمية ,من مجموعات
متنافية ،ال يمكن المفاضلة بينها أو ترتيبها.
بيانات وصفية مقاسة بمعيار ترتيبي Ordinal
:Scalesوتتكون من مستويات ،أو فئات يمكن
ترتيبها تصاعديا أو تنازليا
أمثلة للبيانات الوصفية ذات المعيار االسمي
.1
النوع :متغير وصفي تقاس بياناته بمعيار اسمي " ذكر – أنثى " .
الحالة االجتماعية :متغير وصفي تقاس بياناته بمعيار اسمي "
متزوج ـ أعزب ـ أرمل ـ مطلق ".
أصناف التمور :متغير وصفي يقاس بياناته بمعيار اسمي " برحي ـ
خالص ـ سكري ـ ."....
الجنسية :متغير وصفي يقاس بياناته بمعيار اسمي " سعودي ـ غير
سعودي”
وهذا النوع من البيانات يمكن ”تكويد“ مجموعاته بأرقام ،فمثال
الجنسية يمكن إعطاء الجنسية "سعودي" الكود ( ،)1والجنسية
"غير سعودي" الكود ()2
.2
.3
.4
أمثلة للبيانات الوصفية ذات المعيار الترتيبي
.1
.2
.3
.4
تقدير الطالب :متغير وصفي تقاس بياناته بمعيار ترتيبي ""D-D+-C-
C+-B-B+-A-A+
المستوى التعليمي :متغير وصفي تقاس بياناته بمعيار ترتيبي "أمي –
يقرأ ويكتب ـ ابتدائية ـ متوسطة ـ ثانوية ـ جامعية ـ أعلى من جامعية "
تركيز خالت الصوديوم المستخدم في حفظ لحوم الدجاج من البكتريا:
متغير وصفي ترتيبي يقاس بياناته بمعيار ترتيبي " 0%ـ 5%ـ
10%ـ "15%
فئات الدخل العائلي في الشهر باللاير " 5000-10000 ، <5000
." >20000 ،15000-20000 ، 10000-15000 ،
( )2البيانات الكمية
.a
.b
هي بيانات يعبر عنها بأرقام عددية تمثل القيمة الفعلية
للظاهرة ،وتنقسم إلى قسمين هما:
بيانات فترة Interval Data
بيانات نسبية Ratio Data
بيانات فترة Interval Data
بيانات رقمية،تقاس بمقدار بعدها عن الصفر ،ومن أمثلة
ذلك :
• درجة الحرارة :متغير كمي تقاس بياناته بمعيار بعدي ،حيث أن
درجة الحرارة " "0oليس معناه انعدام الظاهرة ،ولكنه يدل على
وجود الظاهرة.
• درجة الطالب في االختبار :متغير كمي تقاس بياناته بمعيار
بعدي ،حيث حصول الطالب على الدرجة " "0ال يعني انعدم
مستوى الطالب.
بيانات نسبية Ratio Data
متغيرات كمية ،تدل القيمة " "0على عدم وجود الظاهرة
ومن األمثلة على ذلك:
– إنتاجية الفدان بالطن/هكتار.
– كمية األلبان التي تنتجها البقرة في اليوم.
طرق جمع البيانات
طريقة جمع البيانات من أهم مراحل البحث اإلحصائي
نتائج دقيقة
جمع البيانات بأسلوب علمي صحيح
طرق جمع البيانات تتلخص في:
.1مصادر البيانات.
.2أسلوب جمع البيانات
.3أنواع العينات
.4وسائل جمع البيانات.
( )1مصادر البيانات
هناك مصدرين للبيانات:
.1المصادر األولية :يجمع الباحث البيانات من المصدر
مباشرة .مثال؟؟
المحاسن :الدقة (نسبيا)-الثقة بالمصدر
وقت ,جهد ,مال ,الذاكرة
المساوئ :تكلفة عالية
تابع مصادر البيانات
.2المصادر الثانوية :تجمع البيانات بصورة غير مباشرة.
مثال؟؟
المحاسن :توفير الوقت والجهد والمال
المساوئ :درجة ثقة أقل (نسبيا)
( )2أسلوب جمع البيانات
بالنظر إلي :هدف البحث و حجم المجتمع هناك أسلوبين
لجمع البيانات:
أسلوب الحصر الشامل لمجتمع الدراسة :يتم جمع بيانات
عن كل مفردة من مفردات المجتمع بال استثناء
أسلوب المعاينة :يتم اختيار عينة بطريقة علمية سليمة،
ودراستها ثم تعميم نتائج العينة على المجتمع
المجتمع /العينة
المجتمع
العينه
المجتمع
العينة
(أ) أسلوب الحصر الشامل لمجتمع الدراسة
تجمع المعلومات عن كل مفردة في المجتمع
محاسنه:
– الشمول وعدم التحيز
– دقة النتائج
مساوئه:
– الوقت والمجهود،
– التكلفة العالية.
(ب) أسلوب المعاينة
نختار عينة بطريقة علمية وتطبق عليها الدراسة
محاسنه:
–
–
–
تقليل الوقت والجهد.
تقليل التكلفة.
الحصول على بيانات أكثر تفصيال ،وخاصة إذا جمعت البيانات من خالل
استمارة استبيان
مساوئه:
–
–
–
النتائج قد تكون أقل دقة ،وخاصة (إذا)
العينة المختارة ال تمثل المجتمع تمثيال جيدا
عدم وجود تنوع كاف (تمثيل العينة).
عوامل نجاح اسلوب المعاينة
يعتمد نجاح استخدام أسلوب المعاينة على عدة عوامل هي:
– كيفية تحديد حجم العينة
– طريقة اختيار مفردات العينة
– نوع العينة المختارة
( )3أنواع العينات
بحسب أسلوب اختيارها يمكن تقسيم العينات إلي:
– (أ) العينات االحتمالية
– (ب) العينات غير االحتمالية
(أ) العينات االحتمالية
يتم اختيار مفرداتها وفقا لقواعد االحتماالت ,أي:
يتم اختيار مفرداتها من مجتمع الدراسة بطريقة عشوائية
الهدف :تجنب التحيز الناتج عن اختيار المفردات
ما هي مخاطر التحيز؟؟
أنواع العينات االحتمالية
من أهم أنواع العينات االحتمالية :
–
–
–
–
العينة العشوائية البسيطة Simple Random
.Sample
العينة العشوائية الطبقية Stratified Random
.Sample
العينة العشوائية المنتظمة Systematic Random
.Sample
العينة العنقودية أو المتعددة المراحل Cluster
.Sample
العينة العشوائية البسيطة
Simple Random Sample
في مجتمع حجمه ( )Nكم عينة حجمها ( )nيمكن اختيارها؟
تعريف العينة العشوائية البسيطة” :هي العينة التي يتم
اختيارها بحيث أن كل مفردة/عينة ذات حجم ( )nلها نفس
الفرصة (االحتمال) في االختيار“
مثال :مجتمع يتكون من المفردات ( ,)a,b,c,d,eكم
عينة حجمها 3يمكن اختيارها من هذا المجتمع؟
العينة العشوائية البسيطة (تطبيق)
يسلم هذا التطبيق يوم 13/3/2007
مجتمع يتكون من سبع كرات ذات ألوان مختلفة (سوداء,
بيضاء ,زرقاء ,حمراء ,صفراء ,خضراء ,بنية):
السؤال:
كم عينة بحجم 4يمكن اختيارها من هذا المجتمع؟
العينة العشوائية الطبقية
Stratified Random Sample
يتم تقسيم المجتمع إلي مجتمعات صغيرة (مستقلة/مستنفذة)؟
من كل مجتمع صغير تؤخذ (عينة عشوائية بسيطة)
هذه العينة أنسب عند وجود فوارق كبيرة بين المجتمعات
الصغيرة :العينة أكثر تمثيال للمجتمع.
العينة العشوائية المنتظمة
Systematic Random Sample
3 خطوات (المجتمع/حجم العينة)—جدول األرقام العشوائية
(ب) العينات غير االحتمالية
يتم اختيار مفرداتها بطريقة غير عشوائية
يقوم الباحث باختيار مفردات العينة بالصورة التي تحقق
الهدف من المعاينة:
قد يركز الباحث علي مفردات ذات مواصفات محددة
أهم أنواع العينات غير االحتمالية:
– العينة العمدية Judgmental Sample
– العينة الحصصية Quota Sample
الفصل الثاني :طرق عرض البيانات
بعد تحديد العينة وجمع البيانات ياتي تبويب البيانات
وعرضها بصورة يمكن االستفادة منها في وصف الظاهرة
محل الدراسة ،من حيث تمركز/توزيع البيانات ،ودرجة
تجانسها .وهناك طريقتين لعرض البيانات هما:
– عرض البيانات جدوليا.
– عرض البيانات بيانيا.
عرض البيانات جدوليا
الفكرة هنا عرض البيانات آخذين في اإلعتبار
التشابه/اإلختالف بين المفردات
عرض البيانات في شكل جدول وصفي مبسط
يمكننا إجراء حسابات بسيطة لتلخيص خصائص
العينة/المتغير
دعنا ننظر إاي مثالين:
– مثال ( :)1جدول تكراري بسيط لمتغير وصفي
– مثال ( :)2جدول تكراري بسيط لمتغير كمي
مثال ( :)1جدول تكراري بسيط لمتغير وصفي
بيانات عينة من 40مزرعة عن نوع التمر الذي تنتجه المزرعة:
سكري
خالص
برحي
خالص
برحي
خالص
صقعي
خالص
برحي
سكري
برحي
صقعي
خالص
برحي
نبوت
سيف
برحي
صقعي
برحي
سكري
خالص
برحي
برحي
صقعي
خالص
برحي
خالص
برحي
سكري
نبوت
سيف
صقعي
نبوت
سيف
صقعي
خالص
برحي
صقعي
نبوت
سيف
سكري
برحي
صقعي
خالص
تابع مثال (:)1
المطلوب:
– ما هو نوع المتغير؟ ،وما هو المعيار المستخدم في قياس
البيانات؟.
– اعرض البيانات في شكل جدول تكراري.
– كون التوزيع التكراري النسبي.
– مالذي يمكن قوله من هذه النتائج؟
مناقشة المثال
جدول أولي (تفريغ البيانات)
عدد المزارع
(التكرارات)
5
سكري
10
خالص
13
برحي
8
صقعي
4
نبوت سيف
40
Sum
العالمات اإلحصائية
نوع التمر
الجدول التكراري
نوع التمر
عدد المزارع
)((fالتكرارات)
5
خالص
10
10
0.25
40
برحي
13
13
0.325
40
صقعي
8
8
0.20
40
نبوت سيف
4
4
0.10
40
Sum
40
سكري
التوزيع التكراري
النسبي*
5
0.125
40
1.00
التوزيع التكراري النسبي*
الحظ من الجدول السابق حساب التوزيع التكراري النسبي
من :قسمة تكرار المجموعة على مجموع التكرارات أي:
تعليقات علي الجدول التكراري
؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
مالحظات على الجداول/الرسوم البيانية
عند تكوين جدول ما لعرض البيانات ،يجب مراعاة اآلتي:
– كتابة رقم/عنوان للجدول.
– لكل عمود من أعمدة الجدول عنوان يدل على محتواه.
– يجب كتابة مصدر البيانات في الجدول.
– يسر قراءة/فهم المعلومات من الجدول/الرسم
مثال ( :)2جدول تكراري بسيط لمتغير كمي
نود اآلن تكوين جدول تكراري/التوزيع التكراري النسبي ومن ثم
إبداء مالحظات في حالة :متغير كمي
لدينا درجات 70طالبا في مقرر ”إحص :“122
–
–
–
–
–
كون التوزيع التكراري /التوزيع التكراري النسبي لدرجات الطالب.
ما هي نسبة الطالب الحاصلين على درجة ما بين 70إلى أقل من 80؟
ما هي نسبة الطالب الحاصلين على درجة أقل من 70درجة؟
ما هي نسبة الطالب الحاصلين على درجة 80أو أكثر ؟
أية تعليقات أخري من واقع الجداول؟؟
مثال لمتغير كمي
درجات ”إحص – “122افتراضي:
56 65 70 65 55 60 66 70 75 56
60 70 61 67 61 71 67 62 71 66
68 72 57 68 72 69 57 71 69 75
72 62 67 73 58 63 66 73 63 65
58 73 74 76 74 80 81 60 74 58
76 82 77 83 77 80 91 78 94 72
79 64 57 79 55 87 64 88 78 62
مثال لمتغير كمي-تابع
خطوات تكوين الجدول التكراري:
– حدد أعلي وأدني مفردة
– احسب المدي)( :”Range”) Rالفرق بين أعلي وأدني مفردة)
– حدد عدد الفئات) / # of Classes(Cطول الفئة
)( :Length(Lحسب :رأي الباحث/حجم البيانات/أهداف
البحث)
– كون الجدول من :الفئة/التكرار/التكرار النسبي
مثال لمتغير كمي-تابع
المدي( :)Range-R
=أعلي درجة -أدني درجة =39 = 55-94
افرض أن عدد الفئات ( )Cالمناسب هو 8
طول الفئة R/C=39/8=4.875≈5 :
اآلن نحدد كل فئة من الفئات الـ 8
تحديد الفئات-تابع
كل فئة عبارة قيمتين المسافة بينهما هي طول الفئة ( :)5
القيمة األولي تسمي (الحد األدني)؛ والثانية (الحد األعلى).
كل فئة تبدأ عند انتهاء الفئة التي قبلها بحيث:
كل مفردة من المفردات تقع داخل فئة واحدة فقط؛ مثال:
الفئة األولي :
– الحد األدني = أقل درجة ()=55
– الحد األعلي= الحد األدني +طول الفئة=60=5+55
– اذا الفئة األولي تكون " من 55إلى أقل من " 60
– الحظ إن الدرجة ( )60ال تقع داخل الفئة األولي
تحديد الفئات-تابع
الفئة الثانية:
الحد األدنى= 60
الحد األعلى=65=5+60
– اذا الفئة األولي تكون " من 60إلى أقل من ” 65
وهكذا (أنظر الجدول لكل الفئات)
جدول أولي (تفريغ البيانات)-مثال كمي
الفئات (معبر عنها بطرق مختلفة)
)(التكرارات عدد الطالب
10
12
13
16
10
4
3
2
70
العالمات اإلحصائية
55-
55 - 60
55 - > 60
60-
60 - 65
60 - > 65
65-
65 - 70
65 - > 70
70-
70 - 75
70 - > 75
75-
75 - 80
75 - > 80
80-
80 - 85
80 - > 85
85-
85 - 90
85 - > 90
90 - 95
90 - 95
90 - > 95
Sum
الجدول التكراري-مثال كمي
الفئات
عدد الطالب (التكرارات)
)(f
التكرار النسبي
55 - 60
10
12
13
16
10
4
3
2
70
*0.143
60 - 65
65 - 70
70 - 75
75 - 80
80 - 85
85 - 90
90 - 95
المجموع
0.171
0.186
0.229
0.143
0.057
0.043
0.028
1.00
العرض البياني للبيانات الكمية
هو أحد طرق وصف البيانات
يوضح شكل التوزيع ومدى تمركز البيانات
مزايا العرض البياني؟؟؟
بعض األشكال البيانية المختلفة
( )1المدرج التكراري Histogram
تمثيل بياني للجدول التكراري البسيط الخاص بالبيانات
الكمية
عبارة عن أعمدة بيانية متالصقة
التكرارات على المحور الرأسي ،بينما قيم المتغير ( حدود
الفئات) على المحور األفقي
تمثل كل فئة بعمود ،ارتفاعه هو تكرار الفئة ،وطول قاعدته
هو طول الفئة.
مثال:
المدرج التكراري-مثال
لدينا التوزيع التكراري التالي ألوزان عينة من الدواجن
بالجرام ،حجمها ( 100دجاجة):
– ارسم المدرج التكراري.
– ارسم المدرج التكراري النسبي ،أية تعليقات؟؟؟.
الوزن
عدد الدجاج
Sum 700- 680- 660- 640- 620- 600720
10
15
20
25
20
10
100
المدرج التكراري لعينة الدجاج
رسم المدرج التكراري النسبي
لرسم المدرج التكراري النسبي ,أوال نحسب التكرار النسبي:
الوزن
عدد الدجاج
التكرار
النسبي
700- 680- 660- 640- 620- 600720
Sum
10
15
20
25
20
10
100
0.10
0.15
0.20
0.25
0.20
0.10
1.0
المدرج التكراري النسبي لعينة الدجاج
المدرج التكراري /التكراري النسبي :مقارنة
البيانات المستخدمة في رسم كل منهما
المساحة تحت كل منهما
مالحظات على شكل المدرج التكراري
المساحة أسفل المدرج التكراري/التكراري النسبي
القيم الشائعة/المنوال :موقعها؟؟؟
أشكال توزيع البيانات في المدرج:
( )2المضلع التكراري
)(RF-Polygon
تمثيل بياني أيضا للجدول التكراري البسيط
تمثل التكرارات على المحور الرأسي ومراكز الفئات على
المحور األفقي
توصل اإلحداثيات بخطوط مستقيمة ،وبعد ذلك يتم توصيل
طرفي المضلع بالمحور األفقي.
يحسب مركز الفئة كما يلي:
تكوين/رسم المضلع التكراري
مركز الفئة )(x
(600+620)/2= 610
(620+640)/2=630
650
670
690
(700+720)/2=710
الوزن
)التكرار(عدد الدجاج
)(f
10
15
20
600620640-
25
20
10
660680700-720
100
Sum
المضلع التكراري لعينة الدجاج
( )3المنحني التكراري
مثل المضلع التكراري مع استبدال الخط الواصل بين النقاط
بمنحني
المنحني التكراري النسبي
يمكن رسم المنحني التكراري النسبي-شبيه بالمضلع
التكراري النسبي مع استبدال اخط بمنحني
أشكال المنحنيات
Multi-modal
Triangle/uniformm
Bi-modal
موجب اإللتواء
متماثل
سالب اإللتواء
( )4التوزيعات التكرارية (النسبية) المتجمعة
Cumulative Frequency Distributions
تستخلص من التوزيعات التكرارية (النسبية)
يوجد منها نوعين :صاعد و هابط
تعطينا مباشرة عدد (نسبة) البيانات التي تقل أو تزيد عن
قيمة معينة
التوزيع التكراري المتجمع الصاعد
الجدول التكراري أدناه يبين توزيع 40بقرة في مزرعة حسب كمية
األلبان التي تنتجها البقرة في اليوم باللتر ,المطلوب:
– كون جدول التوزيع التكراري المتجمع الصاعد.
– كون جدول التوزيع التكراري المتجمع الصاعد النسبي.
– ارسم المنحنى التكراري المتجمع الصاعد النسبي
كمية األلبان
18-
22-
26-
30-
34-38
Sum
عدد األبقار
4
9
15
8
4
40
التوزيع التكراري المتجمع الصاعد والنسبي
يمكن تكوين هذين التكرارين كاآلتي:
تكرار متجمع صاعد نسبي
تكرار متجمع صاعد
0.00
0.10
0.325
0.70
0.90
1.00
0
4
13
28
36
40
أقل من
أقل من 18
أقل من 22
أقل من 26
أقل من 30
أقل من 34
أقل من 38
رسم المنحنى التكراري المتجمع الصاعد النسبي
قراءة المنحنى التكراري المتجمع الصاعد النسبي
تحديد نسبة المفردات األقل من قيمة محددة
تحديد نسبة المفردات الواقعة بين قيم محددة
تحديد قيم معينة—مثل الوسيط
التوزيع التكراري المتجمع الهابط
يمكن تكوين التوزيع المتجمع الهابط والنسبي للمثال السابق
كما يلي:
تكرار متجمع صاعد
نسبي
تكرار متجمع صاعد
أكثر من أو يساوي
1.00
40
18أو أكثر
0.90
36
22أو أكثر
0.70
28
26أو أكثر
0.325
13
30أو أكثر
0.10
4
34أو أكثر
0.00
0
38أو أكثر
رسم المنحنى التكراري المتجمع النسبي النازل
قراءة التوزيع التكراري المتجمع الهابط
مالذي يمكننا قراءته من مثل هذا التوزيع؟؟؟؟؟؟
ملحوظة:
يمكن رسم المنحنيان في شكل بياني واحد ،ويالحظ أنهما يتقاطعان عند نقطة
تسمى الوسيط
العرض البياني للبيانات الوصفية:
( -Pie Chartالدائرة البيانية )
لعرض بيانات المتغير الوصفي في شكل دائرة ،توزع الـ
360oحسب التكرار النسبي لمجموعات المتغير
يمكن تحديد مقدار الزاوية الخاصة بأية مجموعة بتطبيق
المعادلة التالية:
مقدار الزاوية = ×360oالتكرار النسبي للمجموعة
العديد من البرامج اإلحصائية ( Excelمثال) تقوم بهذه
العملية بيسر
مثال
( -Pie Chartالدائرة البيانية )
الجدول التكراري التالي يبين توزيع عينة حجمها 500
أسرة حسب المنطقة.
المنطقة
الرياض
الشرقية
القصيم
الغربية
sum
عدد األسر
150
130
50
170
500
0.3
0.26
0.10
0.34
1.00
التكرار النسبي
تابع مثال الدائرة البيانية
توزيع األسر حسب المنطقة
30%
34%
الرياض
الشرقية
القصيم
الغربية
26%
10%
طرق أخري لعرض البيانات؟؟
توجد العديد من الطرق األخري نذكر منها:
– الرسم البياني النقطي ()dotplot
– الجذع/الصفقة ()stem-leaf
– الرسم المصور () pictograms
قراءة البيانات(:جداول/رسوم بيانية/إحصائيات)
الفصـــل الثالث
مقاييس النزعة المركزية
Measures of Central Tendency
الوسط الحسابي
الوسيط Median
المنوال Mode
مقاييس النزعة المركزية و شكل توزيع البيانات
الرباعيات Quartiles
مقاييس النزعة المركزية
تسمى أيضا بمقاييس الموضع أو المتوسطات
هى القيم التى تتركز القيم حولها
x
الوسط الحسابي (
Arithmetic Mean
)
من أهم مقاييس النزعة المركزية
وأكثرها استخداما في النواحي التطبيقية
ويمكن حسابه للبيانات المبوبة وغير المبوبة
خصائص الوسط الحسابي
مزايا وعيوب الوسط الحسابي
الوسط الحسابي للبيانات غير المبوبة
بشكل عام الوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوما على
عددها
لدينا nمن القيم ،ويرمز لها بالرمز :
x1 , x ,..., x
n
الوسط الحسابي لهذه القيم ،
x
2
يحسب بالمعادلة التالية:
الوسط الحسابي :مثـال ()1
فيما يلي درجات 8طالب في مقرر 122إحصاء تطبيقي .
34 32 42 37 35
40 36
40
ماهو الوسط الحسابي لدرجة الطالب في االمتحان؟
تمرين :يسلم السبت 24/3/2007
إفرض لدينا :عينة من خمسة طالب ,أطوال أربعة منهم
بالمتر()1.8( ,)1.5( ,)1.72( ,)1.62؛ متوسط أطوال
الخمس طالب ( ,)1.7ما طول الطالب الخامس؟
الوسط الحسابي للبيانات المبوبة
يمكننا حساب الوسط الحسابي من الجدول التكراري
إذا كان لدينا ( )kفئة ومراكز هذه الفئات هي:
x1 , x2 ,..., xk
تكرارات هذه الفئات هي
f1 , f 2 ,..., f k
فإن الوسط الحسابي يحسب بالمعادلة التالية:
الوسط الحسابي :مثـال ()2
الجدول التالي يعرض توزيع 40تلميذ حسب أوزانهم:
فئات
الوزن
عدد
التالميذ
34-36 32-34
4
7
أحسب الوسط الحسابي؟
36-38
38-40
40-42
42-44
13
10
5
1
حل مثال ()2
x f
4 33=132
7 35=245
13 37=481
10 39=390
5 41=205
1 43=43
1496
مر
لا
x
(32+34) 2=33
35
37
39
41
43
لتكر
f
4
7
13
10
5
1
40
ا ل
) (C
32-34
34-36
36-38
38-40
40-42
42-44
تابع حل مثال ()2
من الجدول السابق الوسط الحسابي ألوزان التالميذ هو:
6
1496
37 .4 k.g
40
xi f i
i 1
6
fi
i 1
x
خصائص الوسط الحسابي
.1
الوسط الحسابي للمقدار الثابت يساوى الثابت نفسه ،أي
أنه إذا كانت قيم ( )xهي ، (a, a, a,…,a) :فإن
الوسط الحسابي هو:
خصائص الوسط الحسابي
.2
مجموع “انحرافات” القيم عن وسطها الحسابي يساوى صفرا ،
ويعبر عن هذه الخاصية بالمعادلة:
x) 0
n
(x
i
i 1
خصائص الوسط الحسابي
.3
إذا أضيف مقدار ثابت ) (aإلى كل قيمة من القيم ،فإن الوسط
الحسابي الجديد ( ) yيساوى الوسط الحسابي القديم ( ) x
مضافا إليه هذا المقدار الثابت:
خصائص الوسط الحسابي-هنا
.4
إذا ضرب مقدار ثابت ) (aفي كل قيمة من القيم ،فإن
) يساوى الوسط الحسابي
الوسط الحسابي الجديد (
القديم ( ) مضروبا في هذا المقدار الثابت:
خصائص الوسط الحسابي
.5
مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي أقل
ما يمكن ،أي أن:
الوسط الحسابي المرجح
weighted arithmetic mean
بعض األحيان يكون لكل قيمة من قيم المتغير) (xiأهمية نسبية تسمى
وزن )”(weight “wi
أخذ هذه األوزان في االعتبار يجعل الوسط الحسابي دقيقا ومعبرا
يحسب الوسط المرجح من المعادلة:
w x
w
i
i
i
xw
الوسط الحسابي المرجح :مثال
الجدول ادناه يوضح درجات الطالب في مقرر اإلحصاء
التطبيقي وعدد ساعات االستذكار (األوزان) في األسبوع
يمكننا حساب الوسط الحسابي المرجح بساعات األستذكار
sum
5
4
3
2
1
173
46
28
36
40
23
13
4
2
3
3
1
مس س
( لد ة)
x
( wعد
اعا
ت ا)
الوسط الحسابي المرجح :مثال
يحسب الوسط الحسابي المرجح كاآلتي( :أحسب الوسط الحسابي
للمقارنة)
w x 1 23 3 40 3 63 2 28 4 46
37.769
13
w
i i
i
xw
مزايا وعيوب الوسط الحسابي
يتميز الوسط الحسابي بالمزايا التالية :
– أنه سهل الحساب .
– يأخذ في االعتبار كل القيم .
– أنه أكثر المقاييس استخداما وفهما .
ومن عيوبه .
– أنه يتأثر بالقيم الشاذة والمتطرفة .
– يصعب حسابه في حالة البيانات الوصفية .
– قد يكون خادعا مالم يصاحبه مقياس للتشتت .
الوسيط
Median
هو أحد مقاييس النزعة المركزية
يأخذ في االعتبار رتب القيم
ويعرف الوسيط بأنه القيمة التي تقع وسط القيم بعد ترتيبها
إما تصاعديا أو تنازليا :إذا نصف القيم تكون أقل من
الوسيط ونصفها اآلخر أكبر منه.
الوسيط للبيانات غير المبوبة
رتب القيم تصاعديا .
إذا كان عدد القيم ) (nفردي فإن الوسيط هو:
إذا كان عدد القيم زوجي ،فإن الوسيط يقع بين القيمة رقم
،والقيمة رقم ،ومن ثم يحسب الوسيط بتطبيق المعادلة
التالي:
الوسيط للبيانات غير المبوبة-مثال
تم تقسيم قطعة أرض زراعية إلى 17وحدة تجريبية
متشابهة ،وتم زراعتها بمحصول القمح ،وتم استخدام
نوعين من التسميد هما :النوع ) (aوجرب على 7
وحدات تجريبية ،والنوع )(bوجرب على 10وحدات
تجريبية ،وبعد انتهاء الموسم الزراعي ،تم تسجيل إنتاجية
الوحدة بالطن /هكتار ،وكانت على النحو التالي :
3
2.5
4
2
1.2 2.75 3.25
لن )(a
4.5 1.8
لن )(b
2.3 1.5
3
2.5 1.5
3.5 3.75 2
تابع المثال
.1
احسب الوسيط لكل نوع من التسميد.
الوسيط للنوع األول ) :(aبعد ترتيب القيم
عدد القيم فردى ((n=7
إذا رتبة الوسيط هي:
(n 1) / 2 (7 1) / 2 4
ويكون الوسيط هو القيمة رقم ، 4أي أن وسيط اإلنتاج للنوع a
هو )2.3( :طن /هكتار
تابع المثال
.2
حساب وسيط اإلنتاج للنوع الثاني ):(b
عدد القيم زوجي ): (n=10
الوسيط هو متوسط القيمتين ((n/2 +1و ):(n/2
الوسيط للبيانات المبوبة
من جدول توزيع تكراري ،يتم إتباع الخطوات التالية:
تكوين الجدول التكراري المتجمع الصاعد
:
الوسيط
رتبة
تحديد
f
n
2
2
تحديد فئة الوسيط كما في الشكل التالي :
اعد ا
كر مت
بة ل ي
كر مت
f1
ل ي
)(n 2
اعد ح
د
ل ة ل ي
f2
Med
د ع ل ة ل ي
)( A
تابع
يحسب الوسيط ،بتطبيق المعادلة:
حيث أن :
Lهي طول فئة الوسيط ،وتحسب بالمعادلة التالية:
طول الفئة = الحد األعلى – الحد األدنى
L = Upper - Lower
مثال
فيما يلي توزيع 50عجل متوسط الحجم ،حسب االحتياجات
اليومية من الغذاء بالكيلوجرام:
13.5 – 16.5
5
10.510
7.519
4.512
1.54
والمطلوب :حساب الوسيط :أ -حسابيا
ا
حتيا ا لي مية
عد لع
f
ب -بيانيا
حل المثال
حساب الوسيط حسابيا :
رتبة الوسيط :
50
n f
25
2
2
2
الجدول التكراري المتجمع الصاعد :
أقل من
1.5
4.5
تكرار
متجمع
صاعد
0
4
7.5الوسيط 13.5 10.5
A
16
45
35
25
f2
f1
16.5
50
تابع
: من معادلة الوسيط نجد أن
A 7.5 , f1 16 , f 2 35 , L 10.5 7.5 3
: إذا الوسيط قيمته هي
n
f1
25 16
Med A 2
L 7.5
3
f 2 f1
35 16
7.5
9
27
3 7.5
7.5 1.421 8.921 k.g
19
19
الوسيط-بيانيا
تمثيل جدول التوزيع التكراري المتجمع الصاعد بيانيا
تحديد رتبة الوسيط ) (25على المنحنى التكراري المتجمع
الصاعد .ثم رسم خط مستقيم أفقي حتى يلقى المنحنى في
النقطة ). (a
إسقاط عمود رأسي من النقطة ) (aعلى المحور األفقي .
نقطة تقاطع الخط الرأسي مع المحور األفقي تعطى قيمة
الوسيط .
الوسيط كما هو مبين في الشكل Med = 8.6
الوسيط-بيانيا
مزايا وعيوب الوسيط
من مزاياه:
– ال يتأثر بالقيم الشاذة أو المتطرفة .
– كما أنه سهل في الحساب .
– مجموع قيم االنحرافات المطلقة عن الوسيط أقل من مجموع
االنحرافات المطلقة عن أي قيم أخرى:
a Med
| x Med | | x a | ,
مزايا وعيوب الوسيط
ومن عيوبه:
– أنه ال يأخذ عند حسابه كل القيم في االعتبار ،فهو يعتمد على
قيمة أو قيمتين فقط .
– يصعب حسابه في حالة البيانات الوصفية المقاسة بمعيار
اسمي ()nominal
المنوال Mode -
المنوال هو القيمة األكثر شيوعا أو تكرارا
يكثر استخدامه في حالة البيانات الوصفية ،لمعرفة النمط (
المستوى ) الشائع
بالنسبه للبيانات المبوبة – القيمة ذات أكثر تكرار
المنوال:مثال (بيانات غير مبوبة)
فيما يلي درجات الطالب في مقرر إحص ( )122لخمس
( )5عينات عشوائية من أقسام كلية علوم األغذية
والزراعة( :أحسب المنوال لكل قسم؟؟)
67
90
80
85
58
95
86
72
70
85
65
73
65
77
76
69
77
65
88
69
77
93
65
73
77
75
80
85
75
60
69
69
77
68
65
73
80
88
80
85
س ا ة لنبا ا
ة
س ع
س تصا
س إل تا ي
المنوال للبيانات المبوبة
( طريقة الفروق) :يحسب المنوال من القانون:
حيث:
: A الحد األدنى لفئة المنوال (الفئة ذات أكبر تكرار) .
– : D1الفرق األول = (تكرار فئة المنوال – التكرار سابق)
– : D2الفرق الثاني = ( تكرار فئة المنوال – التكرار الحق)
– : Lطول فئة المنوال .
المنوال للبيانات المبوبة-مثال
فيما يلي توزيع 30أسرة حسب اإلنفاق االستهالكي
الشهري (ألف لاير)
14 - 17
11 -
8-
5-
2-
4
5
10
7
4
ا إل ا
عد
ر )(f
والمطلوب حساب المنوال ،باستخدام طريقة الفروق
تابع
من الشكل التالي نجد كل مكونات القانون:
وبتطبيق القانون نحسب المنوال كالتالي:
d1
L
d1 d 2
Mode A
3 3 8 1.125 9.125
35
8
الفصلي األول_حتي هنا
1st Test upto here
المنوال
الوسيـــط
الوسط
استخدام مقاييس النزعة المركزية في تحديد شكل
توزيع البيانات
يمكن استخدام الوسط الحسابي والوسيط والمنوال في
وصف المنحنى التكراري ،والذي يعبر عن شكل توزيع
البيانات:
تابع
الوسط يتأثر بالقيم المتطرفة لذا يكون اقرب الي ”ذيل“
منحني التوزيع—الوسيـط أقل تأثرا (حساسية) لتلك القيم.
مثال
قام مدير مراقبة اإلنتاج إلحدى شركات تعبئة المياه بسحب عينة من
10عبوات من المياه المعبأة للشرب ،ذات الحجم 5لتر ،لفحص
كمية األمالح الذائبة ،وكانت البيانات كالتالي:
121 123 121
124 119 123
115 123 119 123
والمطلوب :حساب الوسط الحسابي ،الوسيط ،والمنوال ،ثم حدد شكل
التوزيع لهذه البيانات ؟؟
الحل
الوسط = ؟؟؟؟؟؟؟
الوسيط=؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
المنوال=؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
اذا شكل هذا التوزيع:
الرباعيات Quartiles -
عند تقسيم القيم المرتبة إلى أربع أجزاء متساوية ،يوجد
ثالث إحصاءات تسمى بالرباعيات ،وهي:
– الربيع األول :وهو القيمة التي يقل عنها ربع عدد القيم ،أي يقل
عنها 25%من القيم ،ويرمز له بالرمز( . )Q1
– الربيع الثاني :وهو القيمة التي يقل عنها نصف عدد القيم ،أي
يقل عنها 50%من القيم ،ويرمز له بالرمز( ، )Q2هل تذكر
اسم آخر لهذا الربيع.
– الربيع الثالث :وهو القيمة التي يقل عنها ثالث أرباع عدد القيم،
أي يقل عنها 75%من القيم ،ويرمز له بالرمز( . )Q3
تابع
الشكل التالي يوضح الرباعيات الثالث:
كيفية تحديد الرباعيات
لحساب أي من الرباعيات الثالث ،ألية مجموعة مرتبة من
القيم عددها (: )n
)X (n
n
<
…….
)X (3
…….
3
<
)X (2
2
<
)X (1
:
1
:
نحدد الرتبة ( )Riللرباعي رقم ( )i=1,2,3من
القانون:
i
Ri (n 1)
4
تابع
إذا كانت ) ( Riعددا صحيحا فإن قيمة الربيع هو:
) Qi X ( Ri
إذا كانت ) ( Riعددا كسريا فإن قيمة الربيع( )Qiيقع في المدي :
)X(l) < Qi < X(uويحسب من القانون:
حيث أن ( ) lهي رتبة القيمة السابقة للرباعي
تحديد الرباعي _ مثال
احسب الرباعيات الثالث للمفردات التالية:
32 34 29 20
18 27 30
25 23
29
نكون الجدول التالي لحساب الربيعات الثالث:
30 .5
22.25
28
34
32
30
29
29
27
25
23
20
18
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
8.25
5.5
2.75
تابع
: الربيع األول
i
1
R (n 1) (10 1) 2.75
4
4
l 2, R 2.75 , x(l )
:– رتبة الربيع األول
:– إذا
20 .x 23
– بالتالي
(u )
Q1 x(l ) ( R l ) ( x(u ) x(l ) ) 20 0.75(23 20) 22.25
: الربيع الثاني
i
2
R (n 1) (10 1) 5.5
:– رتبة الربيع الثاني
4
4
:– إذا
l 5, R 5.5 , x 27 .x 29
:– بالتالي
(l )
(u )
Q2 x(l ) ( R l ) ( x(u ) x(l ) ) 27 0.5(29 27) 28
تابع
اذا حسبنا الربيع الثالث بنفس الطريقة ,يمكن تكوين الجدول:
ماتعليقكم؟
الفصــــــل الرابـــع
مقاييس التشتت-
Measures of Dispersion
مقدمة
المدي واالنحرافات
التباين
االنحراف المعياري
مقدمة
نحتاج كثيرا الي مقارنة مجموعتين أو اكثر من البيانات
يمكن استخدام شكل التوزيع التكراري ،المنحنى التكراري ،
وكذلك بعض مقاييس النزعة المركزية (؟؟؟؟(—كاف؟؟؟ال
10
10
المدي-
Range
هو أبسط مقاييس التشتت ,وأيسرها حسابا (وحدة القياس؟)
في حالة البيانات غير المبوبة:
في حالة البيانات المبوبة-عدة طرق منها:
المدي-أمثلة
احسب المدى للبيانات التالية:
4.8 6.21 5.4 5.18 5.29 5.18 5.08 4.63 5.03
احسب المدى للبيانات التالية:
40-45
35-40
30-35
25-30
20-25
15-20
ال ساحة
3
12
18
15
9
3
عدد ال ارع
مزايا وعيوب المدى
من مزايا المدى:
– أنه بسيط وسهل الحساب
– يكثر استخدامه عند اإلعالن عن حاالت الطقس ،مثل درجات
الحرارة ،والرطوبة ،والضغط الجوي.
ومن عيوبه:
– أنه يعتمد على قيمتين فقط ،وال يأخذ جميع القيم في الحسبان
– يتأثر بالقيم الشاذة؟؟
االنحراف الربيعي
)Quartile Deviation (Q
مقياس للتشتت يعتمد على نصف عدد القيم الوسطى ،وبهمل نصف عدد القيم
المتطرفة
ال يتأثر بوجود قيم شاذة،
ويحسب االنحراف الربيعي بتطبيق المعادلة التالية :
حيث ( (Q3 – Q1هو المدى الربيعي :إذا :
االنحراف الربيعي = نصف المدى الربيعي
االنحراف الربيعي-تمرين ()3
احسب االنحراف الربيعي وكذلك نصف المدي الربيعي
للبيانات :
6.21
5.4
5.29
5.18
5.18
5.08
5.03
4.8
4.63
إل تا
9
8
7
6
5
4
3
2
1
لر بة
االنحراف الربيعي
مزاياه:
– يفضل استخدامه كمقياس للتشتت في حالة وجود قيم شاذة
– بسيط وسهل في الحساب
عيوبه
– ال يأخذ كل القيم في االعتبار
االنحراف المطلق المتوسط
)Mean Absolute Deviation (MAD
أحد مقاييس التشتت ،ويعبر عنه بمتوسط االنحرافات المطلقة للقيم
عن وسطها الحسابي
للمفردات ( )x1,x2,x3,…,xnوالتي وسطها الحسابي ( ) x
يحسب االنحراف المطلق المتوسط ) (MADبتطبيق المعادلة
التالية ) للبيانات غير المبوبة ):
| | x x
i
i
n
MAD
تابع
يحسب االنحراف المطلق المتوسط للبيانات المبوبة من:
f
xx
i
n
حيث:
– ( ) xهو مركز الفئة
– ( ) xهو الوسط الحسابي
– ( ) fهو تكرار الفئة
MAD
االنحراف المطلق المتوسط -أمثلة
)1( الطاقة التصديرية لخمس محطات لتحلية المياه
بالمليون متر مكعب كما يلي5 2 10 7( :
احسب االنحراف المطلق المتوسط؟
)6؛
)2( يبين الجدول التكراري التالي توزيع 40أسرة حسب
اإلنفاق الشهري باأللف لاير :أوجد االنحراف المتوسط ؟
14 – 17
11 – 14
8 - 11
5-8
2-5
8
10
13
8
1
ل ة
لتكر
حل المثال (:)2
لحساب االنحراف المطلق المتوسط نكون الجدول:
ل
xx f
xx
7.2
33.6
15.6
18
38.4
112.8
7.2
4.2
1.2
1.8
4.8
سا
مر
x
xf
x
n
10.7
428
x f
ل ة
x
لتكر
f
ل ة
40
10.7
10.7
10.7
10.7
10.7
10.7
3.5
52
123.5
125
124
428
3.5
6.5
9.5
12.5
15.5
-
1
8
13
10
8
40
2-5
5-8
8-11
11-14
14-17
sum
تابع
من الجدول االنحراف المطلق المتوسط هو:
x x f 112.8
MAD
) 2.82(000 SR
n
40
مزايا وعيوب االنحراف المطلق المتوسط
المزايا:
– سهل الحساب
– يأخذ كل القيم في االعتبار
العيوب:
– يتأثر بالقيم الشاذة
التباين
Variance
أكثر مقاييس التشتت استخداما في النواحي التطبيقية.
يعبر عن متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها
الحسابي
يمكن حساب:
– التباين في المجتمع ()σ2
– التباين في العينة () s2
التباين في المجتمع )(σ2
افرض لدينا كل مفردات المجتمع:
))x1 ,x2,x3,…,xn
التباين في هذا المجتمع ،ويرمز له بالرمز ( )σ2يحسب
باستخدام المعادلة التالية:
حيث ( )µهو الوسط الحسابي في المجتمع ويحسب من:
x N
التباين في المجتمع-مثال
المفردات تبين عدد سنوات الخبرة لمصنع لتعبئة المواد
الغذائية ،يعمل به 15عامل .بفرض أن هذه البيانات تم
جمعها عن كل مفردات المجتمع أوجد التباين؟
10
12
11
6
14
13
10
8
6
9
12
14
7
13
5
تابع
أوال نحسب الوسط الحسابي في المجتمع كاآلتي:
1
x
N
(150) 10
1
15
(5 13 7 ... 12 10)
1
15
نكون الجدول التالي لحساب مربعات االنحرافات:
ن
x
5
13
7
14
12
9
6
8
10
13
14
6
11
12
10
Sum 150
تابع
(x )
(x )2
5-10 = -5
3
-3
4
2
-1
-4
-2
0
3
4
-4
1
2
0
0
25
9
9
16
4
1
16
4
0
9
16
16
1
4
0
130
تابع
ثم نحسب تباين سنوات الخبرة للعمال في المصنع :
2
x
u
130
2
2
) 8.67( year
15
طريقة أخري لحل المثال:
N
تابع
يمكن فك المجموع
( x ) 2كالتالي:
2
2
( x ) 2 x 2 x
x 2 2 x 2
x 2 2 N 2 N 2
x 2 N 2
إذا التباين في المجتمع يمكن صياغته كالتالي:
تابع
ن
وبالتطبيق على المثال السابق:
x2
x 150 , x 2 1630
لتبا
1
1
x (150) 10
N
15
1
2
2
x
N
1
1630 102 108.67 100 8.67
15
. )6 -4
ص ع ي ا ا ت د لصي ة (
لنتي ة ل
2
ي
x
25
169
49
196
144
81
36
64
100
169
196
36
121
144
100
1630
5
13
7
14
12
9
6
8
10
13
14
6
11
12
10
150
التباين في العينة-
( ) s2
غالبا يكون تباين المجتمع ( )σ2غير معلوم
وعندئذ يتم سحب عينة من هذا المجتمع ،ويحسب التباين
من:
مثال
عينة حجمها 5عمال ،عدد سنوات خبرتهم كالتالي ,احسب التباين.
9
10
5
8
13
نحسب الوسط الحسابي9= x :
لحساب التباين تكون الجدول:
sum
ن
x
45
9
5
10
13
8
0
0
-4
1
4
-1
x x
34
0
16
1
16
1
x x 2
تابع
بالتالي:
34
34
8. 5
(5 1) 4
2
x
x
2
s
كما يمكن حساب تباين العينة من:
n 1
التمرين ()4
استخدم القانون أدناه لحساب التباين للمفردات التالية (اعمار
عينة من طالب احص 122بالسنوات)
القانون:
العينة:
19 18
21 17 22
23 17 22 20
االنحراف المعياري
Standard Deviation
من مقاييس التشتت
يقاس بوحدات قياس المتغير محل الدراسة
هو الجذر التربيعي الموجب للتباين أي:
تابع
من مثال سابق االنحراف المعياري لسنوات الخبرة لعمال
المصنع (المجتمع):
1
2
2
x
N
1
) سنة (1630 102 8.67 2.94
15
االنحراف المعياري للبيانات المبوبة
االنحراف المعياري يحسب بتطبيق المعادلة التالية :
حيث كل مكونات القانون كما بينا سابقا.
االنحراف المعياري للبيانات المبوبة
مثال
من مثال سابق نحسب االنحراف المعياري كما يلي:
n f 40
xf 428
x 2 f 5008
x2 f
xf
مر
ل ة
عد
x
ر
إل ا
f
12.25
3.5
3.5
1
2-5
338
52
6.5
8
5-8
9.5
13
8-11
1562.5
125
12.5
10
11-14
1922
124
15.5
8
14-17
5008
428
40
sum
123.5 1173.25
تابع
وبتطبيق المعادلة ،نجد أن االنحراف المعياري قيمته هي:
2
xf
2
x f
n
n 1
s
( 428) 2
5008
40
)10.984615 3.314(000SR
5008 4579.6
39
40 1
خصائص االنحراف المعياري
االنحراف المعياري للمقدار الثابت يساوي صفرا
إذا أضيف مقدار ثابت إلى كل قيمة ال يتأثر االنحراف
االنحراف المعياري بذلك
إذا ضرب كل قيمة من قيم المفردات في مقدار ثابت فإن
االنحراف المعياري للقيم الجديدة ،يساوي االنحراف
المعياري للقيم األصلية مضروبا في الثابت
: إذا كان لدينا التوليفة الخطية y ax b :
فإن االنحراف المعياري للمتغير ( ) yيكون as :
x
sy
مزايا وعيوب االنحراف المعياري
المزايا:
– أنه أكثر مقاييس التشتت استخداما .
– يسهل التعامل معه رياضيا .
– يأخذ كل القيم في االعتبار .
العيوب:
– يتأثر بالقيم الشاذة
بعض المقاييس األخرى لوصف البيانات
مقاييس االلتواء Skewness
التفرطح Kurtosis
معامل االختالف Variation Coefficient
تقدير مدى االنحراف المعياري
الدرجة المعيارية Standardized degree
مقاييس االلتواء Skewness
.1
.2
مما سبق :قد توجد قيم شاذة كبيرة (صغيرة) تجذب اليها
الوسط الحسابي :في هذه الحال فإن منحني التوزيع
التكراري يكون له ذنب ناحية اليمين (اليسار) ويوصف
التوزيع بأنه موجب (سالب) االلتواء.
يمكن قياس االلتواء عن طريق:
طريقة "بيرسون "Pearson
طريقة "المئين "Percentile
( )1طريقة "بيرسون
"Pearson
مبنية علي العالقة بين الوسط والوسيط والمنوال ،عندما يكون التوزيع قريب من التماثل وليس
شديد االلتواء
ومن ثم يحسب ”معامل االلتواء“ (- αالفا ) بالمعادلة التالية:
ويمكن تحديد عالمة ( ) αمن العالقة بين الوسط والوسيط كما يلي:
تابع
إذا كان (الوسط الحسابي = الوسيط ) ، 0=α :ويدل ذلك
على أن منحنى التوزيع التكراري متماثل.
إذا كان (الوسط الحسابي > الوسيط ) ، 0>αويدل ذلك
على أن منحنى التوزيع التكراري ملتوي جهة اليمين .
إذا كان (الوسط الحسابي < الوسيط ) ، 0<αويدل ذلك
على أن منحنى التوزيع التكراري ملتوي جهة اليسار.
αوشكل التوزيع
( )2طريقة "المئين“ لقياس االلتواء
المئين ينتج من ترتيب البيانات تصاعديا و تقسيمها إلى
100جزء متساو يفصل بينها قيم تسمى المئين ( )vi
مثال :المئين 15ويرمز له بالرمز ( )v15هو القيمة التي
يقل عنها %15من القيم.
كيف نحسب مثال المئين ( )vp؟؟
يتبع نفس الفكرة المستخدمة في حساب الربيع .
حساب المئين
نرتب القيم تصاعديا ونحدد رتبة المئين من:
p
R (n 1)
100
إذا كانت الرتبة ( ) Rعدد صحيح فإنVp=x(R) :
إذا كانت الرتبة عدد كسري فإن قيمة المئين تحسب من:
المئين و شكل االلتواء
لتحديد شكل االلتواء نفحص موقع المئين ( ،)vpوالمئين
) ،v(100-pمن المئين () v50؛ مثال يمكن استخدام المئين
، 20والمئين 80ومن ثم نتوقع:
تابع
يمكن الحكم على شكل التوزيع باستخدام معامل االلتواء
المئيني ،من المعادلة التالية:
الحظ في حالة المئين ،)Q1 (25المئين )Q3 ( 75
نحصل على معامل االلتواء الربيعي ،وهو :
مثال
أدناه درجات 8طالب في االختبار النهائي في مقرر 122
إحص :احسب:
– معامل االلتواء بطريقة " بيرسون "
– معامل االلتواء الربيعي .
ومن ثم حدد شكل التوزيع
58
74
91
80
78
52
85
66
تابع
.1
لحساب معامل االلتواء بطريقة "بيرسون" نحتاج للوسط,
الوسيط ,واالنحراف المعياري
2 43890
x
584
,
x
ك :
x 584
x
73
n
8
x 2 x2 n
43890 (584) 2 8
s
8 1
n 1
1258 179.71428 13.406
7
x2
لد ة
x
4356
66
7225
85
2704
52
6084
78
6400
80
8281
91
5476
74
3364
58
43890
584
تابع
حساب الوسيط (انظر الجدول)
موقع الوسيط (n+1)/2=(8+1)/2=4.5 :
91
8
80 85
6
7
6.75
74 78
4
5
4.5
58 66
2
3
2.25
52
1
الوسيط =76
معامل االلتواء "بيرسون”:
0.67
)3(73 76
13.406
3( x Med)
S
تابع
حساب معامل االلتواء :نحتاج لـQ1,Q2,Q3:
موقع : Q1
(n+1)/4=(8+1)(1/4)=2.25
Q1 58 (2.25 2)(66 58) 60
بالمثل Q2=76,Q3 =83.75
إذا معامل االلتواء الربيعي هو :
)(Q3 Q2 ) (Q2 Q1) (83.75 76) (76 60
q
)(83.75 60
)(Q3 Q1
8.25
0.35
23.75
??التفرطح
Kurtosis
قد يكون المنحنى التكراري منبسط ،أو مدبب كما بالشكل
مدبب
مفرطح
قياس التفرطح
يمكن قياس التفرطح باستخدام عدد من الطرق ،ومنها طريقة
العزوم ،حيث يحسب معامل التفرطح ) (Kبتطبيق المعادلة التالية :
معامل التفرطح في التوزيع الطبيعي يساوي 3وعليه:
– إذا كان k=3كان منحنى التوزيع معتدال .
– إذا كان k>3كان منحنى التوزيع مدببا .
– إذا كان k<3كان منحنى التوزيع منبسطا (مفرطحا) .
مثال
: من المثال السابق
x
(x x)
(x x) 2
(x x)4
66
85
52
78
80
91
74
58
58
-7
12
-21
5
7
18
1
-15
0
49
144
441
25
49
324
1
225
1258
2401
20736
194481
625
2401
104976
1
50625
376246
: كذلك
( x x ) 2
1258
s
13.406
n 1
7
1
1
2
(
x
x
)
(376246) 47030.75
n
8
تابع
إذا معامل التفرطح هو:
47030.75
47030.75
K
1.456
4
)(32299.58
)(13.406
: k<3إذا منحنى التوزيع منبسط (مفرطح)
معامل االختالف
Coefficient of Variation
أحد مقاييس المستخدمة لقياس درجة التشتت
يحسب قيمة التشتت كنسبة مئوية من قيمة مقياس النزعة المركزية
مفيد في مقارنة درجة تشتت بيانات مجموعتين أو أكثر مختلفة لها
وحدات قياس مختلفة
ويحسب معامل االختالف (النسبي) بتطبيق المعادلة التالية:
s
cv
100
x
معامل االختالف الربيعي )(vcq
يحسب هذا المعامل بتطبيق المعادلة التالية:
مثال
مجموعتين من األغنام ،تم استخدام عليقة معينة لتسمين
المجموعة األولى ،بينما تم استخدام عليقة أخرى لتسمين
المجموعة الثانية وبعد فترة تم جمع بيانات عن أوزان
المجموعتين بالكيلوجرام ،وتم الحصول على المقاييس
أدناه:المطلوب مقارنة درجة تشتت المجموعتين .
عة ل ا ية
عة
198
173
25
23
اي
x
s
تابع
معامل االختالف النسبي للمجموعة األولى:
23 100 13.3%
s 100 173
x
CV1
معامل االختالف النسبي للمجموعة الثانية:
25 100 12.8%
s 100 195
x
CV2
درجة تشتت أوزان المجموعة الثانية أقل قليال من درجة
تشتت أوزان المجموعة األولى
الدرجة المعيارية
)Standardized degree(z-score
تقيس الدرجة المعيارية لقيمة معينة عدد وحدات االنحراف
المعياري التي تزيد أو تقل بها هذه القيمة عن الوسط الحسابي
الدرجة المعيارية للقيمة ( )xiويرمز لها بالرمز( ) zتحسب
باستخدام المعادلة التالية:
xi x
z
s
مثال
في المثال السابق اختير أحد األغنام من المجموعة األولى
بعد تطبيق البرنامج ،ووجد أن وزنه 178كيلوجرام،
وبالمثل أحد األغنام من المجموعة الثانية ،ووجد أن وزنه
180كيلوجرام ،قارن بين هذين القيمتين من حيث أهمية
كل منها في المجموعة التي تنتمي إليها:
عة ل ا ية
عة
198
173
25
23
180
178
x
s
ل ي ة.
تابع
للمقارنة بين الوحدتين يتم حساب الدرجة المعيارية لوزن
كل منها ،بتطبيق المعادلة:
– الدرجة المعيارية لوزن الوحدة المسحوبة من المجموعة األولى
( )178 Kg.هي :
178 173
0.22
23
xx
s
z
– الدرجة المعيارية لوزن الوحدة المسحوبة من المجموعة الثانية
( )180 Kg.هي
180 198
0.75
25
xx
s
z
تابع
من النتائج نجد أن الوزن 178كيلوجرام يزيد عن الوسط
الحسابي بـ 0.22انحراف معياري ،بينما نجد أن الوزن
180كيلوجرام يقل عن الوسط الحسابي بـ 0.75
انحراف معياري .ومن ثم في هذه الحالة الوزن األول
أهميته النسبية أعلى من الوزن الثاني.
القاعدة العملية-التوزيع الطبيعي
للعينة ( ، )x1,x2,x3,…,xnذات الوسط الحسابي ( ،) xو
االنحراف المعياري ( ، ) sيكون منحنى توزيع هذه العينة متماثل،
إذا تحقق اآلتي:
– 68%تقريبا من قيم هذه المشاهدات تتراوح بين:
xs
– 95%تقريبا من قيم هذه المشاهدات تتراوح بين:
x 2s
– 99%تقريبا من قيم هذه المشاهدات تتراوح بين:
x 3s
التوزيع الطبيعي
التوزيع الطبيعي-تفاصيل أكثر
قاعدة تشيبشيف النظرية
Chebyshev’s Theorem
وفكرة هذه القاعدة :في أى توزيع من التوزيعات النظرية
”تقريبا“ كل القيم تكون ”قريبة“ من الوسط الحسابي.
وطبقا لهذه القاعدة ،فإنه على األقل 75%من قيم
المشاهدات تقع في المدى ، x 2sعلى األقل 89%من
قيم المشاهدات تقع في المدى.
x 3s
شكل بوكس
Box Plot
صندوق مستطيل ،بداية حافته اليسرى هو الربيع األول Q1
ونهاية حافته اليمنى هو الربيع الثالث Q3
يقسم الربيع الثاني (الوسيط) Medالمستطيل إلى جزأين
ويمكن استخدام شكل بوكس في وصف البيانات من حيث:
التماثل ,تركز البيانات ,وجود قيم شاذة (الشكل أدناه).
شكل بوكس وااللتواء
من موقع الوسيط بالنسبة للربيع األول والثالث:
نهاية الفصل الخامس
( )6االرتباط واالنحدار الخطي البسيط
Correlation & Simple Regression
حتي اآلن :بعض المقاييس الوصفية( :النزعة المركزية،
والتشتت ،ومقاييس االلتواء والتفرطح ،وغيرها) لمتغير
واحد
ننتقل إلي :دراسة وتحليل العالقة بين متغيرين:
– تحليل االرتباط --دراسة العالقة بين متغيرين
– واالنحدار الخطي البسيط – أثر أحد المتغيرين على اآلخر
أمثلة لمتغيرين تعتقد وجود عالقة (سلبا أو إيجابا)
بينهما؟؟؟
أشكال العالقة بين متغيرين
تأخذ العالقةبين المتغيرين ( )x,yأشكاال مختلفة منها:
هل ثمة أشكال أخري؟؟؟؟؟
االرتباط الخطى البسيط
Simple Linear Correlation
يستخدم لتحديد نوع وقوة العالقة بين متغيرين ()x,y
نفترض أن العالقة بين المتغيرين تأخذ الشكل الخطي
يمكننن حسننابه للبيانننات الكميننة ،والبيانننات الوصننفية المقاسننة
بمعيار ترتيبي.
ويرمننز لننه فنني حالننة المجتمننع بننالرمز ( رو) ،وفنني حالننة
العينة بالرمز ، r
نوع العالقة
يمكن تصنيف نوع العالقة (حسب أشارة ” )” rكاآلتي:
اشارة ” ” r
سالبة ) (r < 0
موجبة
) (r > 0
)(r=0
نوع العالقة
عكسية
طردية
ال توجد عالقة
قوة العالقة
قيمة معامل االرتباط تقع في المدى ) ( -1 ≤ r ≤ 1
قوة العالقة تعتمد علي قرب/بعد ” ” rعن 1±
يمكن تصنيف قوة العالقة حسب الجدول:
“ بيانياr”
y
r= +1
y
r= 0
y
r= -1
450
450
x
x
x
هل االرتباط يعني السببية؟
.1
.2
.3
اذا كان لدينا متغيرين( :س) و (ص) وكان االرتباط بينهما
وثيقا (حوالي :)0.99+هل هذا يعني:
(س) يسبب (ص) ؟؟
(ص) يسبب (س)؟؟
أم :؟؟؟؟؟؟
أمثلة
دراسة :ترك األنوارمضيئة
قصر النظر ()myopia
– دراسة أخري :ال ,الجينات (اآلباء)
لوحظ ارتفاع نسبة ( ) CO2في الجو و )معدالت
الجريمة(؟
في الصيف( :عدد المسافرين) و (مبيعات اآليسكريم)
لكي نتأكد من السببية( :س) (ص) يشترط:
– يجب حدوث (س) قبل (ص)
– يجب اال تحدث (ص) عندما ال تحدث (س)
– يجب حدوث (ص) متي ما حدثت (س)
"معامل االرتباط الخطى البسيط " لبيرسون
Pearson
يمكن قياس االرتباط بين متغيرين كميين ( )x,yبطريقة
"بيرسون" Pearson
ولحساب معامل االرتباط في العينة ،نستخدم القانون:
أو:
تابع
حيث :
)S xy ( x x)(y y) (n 1
بين (.)x,y
2
(
x
x
)
(n 1)
Sx
هو التغاير ” ”Covariannce
هو االنحراف المعياري لقيم ()x
(n 1)
2
) ( y y
Sy
هو االنحراف المعياري لقيم ()y
مثال
فيما يلي مساحة األعالف الخضراء باأللف هكتار ،وإجمالي
إنتاج اللحوم باأللف طن ،خالل الفترة من 1995حتى عام
.2002والمطلوب :حساب معامل االرتباط بين المساحة
والكمية ،والتعليق.
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
لسنة
217
240
214
233
289
297
313
305
ساحة ))x
747
719
699
635
607
662
603
592
لك ية ( ) y
تابع
حساب الوسط الحسابي لكل من المساحة ،والكمية:
x
y
x 2108 263.5 , y 5264 658
n
8
n
8
نحسب المجاميع كما في الجدول:
تابع
x
y
305 592
313 603
297 662
289 607
233 635
214 699
240 719
217 747
2108 5264
x x ( x x ) 2 y y ( y y ) 2 (x x)( y y)
41.5
49.5
33.5
25.5
-30.5
-49.5
-23.5
-46.5
0
1722.25
2450.25
1122.25
650.25
930.25
2450.25
552.25
2162.25
12040
-66
-55
4
-51
-23
41
61
89
0
4356
3025
16
2601
529
1681
3721
7921
23850
-2739
-2722.5
134
-1300.5
701.5
-2029.5
-1433.5
-4138.5
-13528
تابع
نطبيق المعادلة ( )2-6ونحسب ” ” rكما يلي:
) ( x x )( y y
13528
r
12040 23850
2
2
(
x
x
)
(
y
y
)
13528
13528
0.798
(109.727)(154.434) 16945 .619
ما تعليقك؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
“r” صيغة أخري ”مبسطة“ لحساب
x
y
xy
x2
y2
305 592 180560 93025 350464
313 603 188739 97969 363609
297 662 196614 88209 438244
289 607 175423 83521 368449
233 635 147955 54289 403225
214 699 149586 45796 488601
240 719 172560 57600 516961
217 747 162099 47089 558009
2108 5264 1373536 567498 3487562
امي ط ة
x 2108 , y 5264
xy 1373536
x 2 567498
2 3487562
y
تابع
: بتطبيق الصيغة البسيطة
r
x y
xy
n
( x) 2
( y ) 2
2
2
y
x
n
n
(2108)(5264 )
1373536
8
2
567498 (2108)
8
2
3487562 (5264 )
8
13528
13528
0.798
12040 23850 16945 .619
)معامل ارتباط الرتب (اسبيرمان)
Spearman
مقياس للعالقة بين متغيرين وصفيين ترتيبين (مثال؟؟؟)
يعبر عنه بالمعادلة التالية :
حيث أن ” ” dهي الفرق بين رتب مستويات المتغير
األول ” ،” xورتب مستويات المتغير الثاني ” ،” yأي
أن :
d Rx Ry
مثـــال
.1
.2
أدناه تقديرات 10طالب في مادتي اإلحصاء ،واالقتصاد:
والمطلوب:
احسب معامل االرتباط بين تقديرات الطلبة في المقررين.
وما هو مدلوله ؟
+
+
+
+
+
+
+
+
+
حصا “ “x
تصا “ “y
تابع
أوال نرتب التقديرات كاآلتي:
ثم نحسب مجموع ” ”d2ونطبق القانون.
تابع
d 2 44.5
معام
با
:
)n(n 2 1
r 1
)6(44.5
267
1
990
)10(10 2 1
1 0.2697 0.7303
1
1
1
2.5
2
1
2
2.5
-2
1
-4
-1
6.25
6 d 2
d2
d
4
1
1
6.25
4
1
16
1
44.5
y
x
1
2
10
7.5
8
8
2
5
3
5
8
5
10
9
4
7.5
1
6
4
4
y
x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
مدلول معامل االرتباط :
بما أن ”:“r=0.73يدل ذلك على وجود ارتباط طردي قوي
بين تقديرات الطالب في مادة اإلحصاء ،ومادة االقتصاد .
ملحوظة
يمكن استخدام صيغة معامل ارتباط "اسبيرمان" في حساب
االرتباط بين متغيرين كميين ،حيث يتم استخدام رتب القيم
التي يأخذها المتغير،
االنحدار الخطى البسيط
Simple Regression
يستخدم في دراسة وتحليل أثر متغير كمي على متغير كمي
آخر.
المتغير المؤثـّر“ ” xيسمي (المستقل)
المتغير المؤثـّر عليه ” ”yيسمي (التابع),
أمثلة:
– أثر الدخل ” ”xعلى اإلنفاق االستهالكي ” ”y
– دراسة أثر سوق األسهم ” ” xعلي العقارات بالمملكة ” ” y
– أخري؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
نموذج االنحدار الخطي
The Linear Regression Model
يمكن عرض نموذج االنحدار الخطي في شكل معادلة خطية من
الدرجة األولى.
المعادلة تعبر عن المتغير التابع كدالة في المتغير المستقل:
الصورة العامة لهذه المعادلة هي ”y “:دالة في ” ” x
)y f ( x
معاني رموز نموذج االنحدار الخطي
:y
ت
لتا ( ل
:x
ت
ست ( ل
ر)
لر ي y
حالة x 0
ط م
: 0
ت
: 1مي
:e
ت ر)
ست x
ست ي )( 0 1 x
ط لع ئي ل
yˆ 0 1 x
ل ك لتا لن
ت ا.
ية ت
عك م د لت
ع ع لر
:
عك
لتا
xحد حد .
y
ل ي ة ل ع ية
)e y (0 1 x
حالة عد ي ة
ك
y
لي ة د
ي
طع
نموذج االنحدار الخطي بيانيا
النموذج المفترض/النموذج المقدّ ر-مالفرق؟؟
النموذج المفترض :نموذج نظري نفترض أنه يحكم العالقة بين
المتغيرين ( )x,yوهو الوارد في المعادلة (:)6-5
y 1 x e
النموذج المقدر :نموذج فعلي يقدره الباحث بجمع (عينة) بيانات
عن المتغيرين ( )x,yومن ثم تقدير/حساب معامالت االنحدار
(( )Β0 ,Β1الثابت والميل) ويعبر عن هذا النموذج بالمعادلة:
y 1 x
تابع
بعد تقدير النموذج يمكن حساب الخطأ العشوائي من:
)e y y y ( 1x
الحظ أن المعادلة أعاله لكل العينة ,بالنسبة للمفردة ( :) n
) ei yi yi yi ( 1xi
تقدير نموذج االنحدار الخطي البسيط
تقدير النموذج يعني حساب قيم معامالت االنحدار
( )Β0 ,Β1في المعادلة ()5-6
يمكن استخدام طريقة ”أقل المربعات“ –( Least
.) Squares Method
هذا التقدير يجعل مجموع مربعات األخطاء العشوائية أقل ما
يمكن أي:
2
2
) e y ( 0 1 x
قوانين تقدير المعامالت ( )Β1 ,Β0
طبقا لقاعدة ”أقل المربعات“ تقدر المعامالت من القوانين
التالية:
مثـال
فيما يلي بيانات عن كمية البروتين اليومي بالجرام التي يتناولها العجل
الرضيع ،ومقدار الزيادة في وزن العجل بالكجم ،وذلك لعينة من العجول
الرضيعة حجمها .10
والمطلوب :
.1ارسم نقط االنتشار ،وما هو توقعاتك لشكل العالقة ؟
.2قدر معادلة انحدار الوزن على كمية البروتين.
.3فسر معادلة االنحدار.
.4ما هو مقدار الزيادة في الوزن عند إعطاء العجل 50جرام من البروتين
؟ وما هو مقدار الخطأ العشوائي؟
.5ارسم معادلة االنحدار على نقط االنتشار في المطلوب ()1
70
59
50
46
25
20
15
14
11
10
20
16
15
19
13
13
12
12
10
10
ية ل
x
ل ا
ل
y
تابع
.1
رسم نقط االنتشار :
ما شكل العالقة بين xو yمن هذا االنتشار؟؟؟؟
تابع
.2
تقدير معادلة االنحدار :بتطبيق المعادلتين في (:)6-6
امي
ط ة
x 320
y 140
xy 5111
x 2 14664
ل
سا :
x
x 320 32
n
10
x
y 140 14
n
10
x2
100
121
196
225
400
625
2116
2500
3481
4900
x y
ل ا
10
100
10
110
12
168
12
180
13
260
13
325
19
874
15
750
16
944
20 1400
140 5111 14664
y
ية ل
ل
x
10
11
14
15
20
25
46
50
59
70
320
تابع
يمكن حساب
ˆ1
كما يلي:
)n xy x y (10)(5111) (320)(140
2
2
2
)n x ( x
)(10)(14664 ) (320
6310
0.1426
44240
ˆ
1
ويمكن حساب ˆ0كما يلي:
y ˆ1 x 14 (0.1426)(32) 9.4368
بالتالي المعادلة أو النموذج المقدر هو:
yˆ 9.44 0.143 x
ˆ0
تابع
.3
تفسير المعادلة:
الثابت : ˆ 9.44يدل على أنه في حالة عدم استخدام
البروتين قي التغذية ( ،) x=0فإن الوزن يزيد 9.44
كجم.
معامل االنحدار : ˆ 0.143يدل على أنه كلما زادت كمية
البروتين جرام واحد ،حدث زيادة في وزن العجل بمقدار
0.143كجم ) 143جرام(.
0
1
تابع
.4
مقدار الزيادة في الوزن عند ( )x=50هو:
yˆ 9.44 0.143(50) 16.59
ومقدار الخطأ العشوائي:
eˆx50 yx50 yˆ x50 15 16.59 1.59
تابع
.5رسم معادلة االنحدار على نقط االنتشار:
تذكر أنه يمكن رسم أي خط مستقيم إذا علم أي نقطتين على
ذلك الخط.
50
10
x
10.87
16.59
ˆy
y
x
تمرين
تقدير معادلة إنحدار باستعمال ()Excel
ارسم انتشار هذه البيانات
ما مقدار معاملي االنتشار
فسر معني معاملي االنتشار في هذه المسألة؟
اكتب معادلة االنحدار
.
أوجد قيمة عند =
نهاية الباب السادس
الباب السابع:االحتمـاالت وتطبيقاتها
Probabilities and its Applications
معني واستعماالت االحتماالت
طرق حساب االحتماالت
بعض قوانين االحتماالت Probability Laws
معني واستعماالت االحتماالت
يقصد باالحتماالت فرصة حدوث أو وقوع حادثة معينة
استعماالت االحتماالت ؟؟؟؟؟؟؟؟
بعض المفاهيم الخاصة باالحتمال
التجربة العشوائية :Randomized Experiment
– هي أي عملية تتم يمكن تحديد كل النتائج الممكنة لها ولكن ال
يمكن مسبقا تحديد النتيجة التي ستظهر أو تحدث .مثال:
رمي قطعة معدنية () H,T
رمي زهرة نرد ()1,2,3,4,5,6
أمثلة أخري؟؟؟؟؟؟؟؟؟
تابع
فراغ العينة ( Sample Space ) S
فراغ العينة هو مجموعة النتائج الممكنة للتجربة وعددها (n)s
أمثلة:
.1
.2
.3
عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرة واحدة؛ فراغ العينة هوS:{H , T } :؛ و
n(s)=2
عند رمي زهرة نرد غير متحيزة مرة واحدة كل النتائج الممكنة (فراغ العينة) هو
()1,2,3,4,5,6؛ n(s)=6
عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرتين (أو قطعتين مرة واحدة ):
فراغ العينة هوn(s)=4 .S:{HH ,HT,TH,TT} :
تابع
.4
عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة عدد من المرات حتى
نحصل على الصورة مرة واحدة ،نجد أن التجربة هي عدد
من المحاوالت يتم إيقافها عندما نحصل على الصورة مرة
واحدة ،إذا فراغ العينة هو :
}n(s)=∞ ،S:{H, TH, TTH, TTTH,…….
ما هو فراغ العينة عند سحب ورقة لعب من حزمة عشوائيا؟
تابع
الحادث (…Event )A, B,C,
الحادث هو فئة جزئية من النتائج المكونة لفراغ العينة .نوعين:
.1حادث بسيط :Simple Eventوهو الذي يحتوي
على نتيجة واحدة من النتائج المكونة لفراغ العينة.
.2حادث مركب :Composite Eventويشمل
نتيجتين أو أكثر من النتائج المكونة لفراغ العينة،
يرمز لعدد النتائج المكونة للحادث بالرمز n(A),
…n(B),وهكذا
تابع
أمثلة:
عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرتين فراغ العينة في
هذه الحالة هوS:{HH, HT, TH,TT} , :
.1الحادث ) Aظهور الصورة مرتين(يشمل نتيجة واحدة
هي } .A:{HHإذا A :حادث بسيط.
.2والحادث ( Bظهور الصورة مرة واحدة على األقل )
يشمل ثالث نتائج هي }.B:{HT, TH, HH
إذا Bحادث مركب يمكن تقسيمه إلى أحداث بسيطة
تابع
االتحاد ( :Union )
يعبر اتحاد الحادثان B , Aعن وقوع أحدها على األقل،
وبمعنى آخر وقوع األول أو الثاني أو كالهما ،ويعبر عن
ذلك رياضيا -- A Bوتقرأ ( )A union Bأو
( .) A or Bويمكن االستعانة بشكل "فن" Ven.
Diagramكما يلي:
تابع
مثال االتحاد:
عند إلقاء زهرة نرد متزنة مرة واحدة ،وعرف الحادث A
بأنه ظهور وجه يقبل القسمة على ، 3والحادث Bبأنه
ظهور عدد فردي ،يالحظ أن:
}، B:{1,3,5}, A:{3,6}, S:{1,2,3,4,5,6
ويكون اتحاد الحادثان B , AهوA B: 1,3,5,6 :
،ويعبر عن ذلك في شكل Venكما يلي:
تابع
التقاطع ( Intersection )
يعبر تقاطع الحادثان B , Aعن وقوع االثنان في آن واحد
،ويشمل كل النتائج المشتركة بين الحادثين ،ويعبر عن ذلك
رياضيا A B أو ( ، )A and Bويظهر ذلك
في شكل "فن" كما يلي :
من المثال السابقB:{1,3,5}, A:{3,6},:
}A B:{3
تابع
األحداث المتنافية Mutually Exclusive events
الحادثان B, Aمتنافيان ،إذا كان وقوع أحدهما ينفي وقوع
اآلخر ،بمعنى استحالة وقوعهما في آن واحد .ومن ثم يكون
نتيجة تقاطع الحادثان المتنافيان هي الفئة الخالية ويرمز
لها بالرمز أي أن ، A B ويمكن تمثيلها بشكل
" فن " كما يلي:
تابع
الحادث المكمل :Compliment Event
الحادث المكمل للحادث Aهو الحادث الذي يشمل كل نتائج
التجربة باستثناء النتائج المكونة للحادث ،Aويرمز للحادث
المكمل بالرمز ، Aومن ثم نستنتج أن :
A A
A A S ,
كما هو مبين بالشكل التالي:
مثــال
ألقيت قطعة عملة غير متحيزة ثالث مرات ،وعرفت األحداث
التالية:
– الحادث Aظهور الصورة مرتين.
– الحادث Bظهور الصورة مرة واحدة.
– الحادث Cظهور الصورة في الرمية األولى.
والمطلوب:
A B , AC , B C , A B C
.1إيجاد األحداث الخاصة باالتحاد:
.2إيجاد األحداث الخاصة بالتقاطعاتA B , A C , B C , A B C :
.3أوجد الحادث B
حل المثال
: فراغ العينة لهذه التجربة هو
: األحداث هي
A:{HHT,HTH,THH}, B:{HTT,THT,TTH},
C:{HHH,HHT,HTH,HTT}
n(C ) 4
n( B) 3
n( A) 3
تابع
: األحداث الخاصة باالتحاد
A B : HHT, HTH , THH , HTT , THT , TTH , n( A B) 6
A C : HHT, HTH , THH, HHH, HTT , n( A C ) 5
B C : HHH, HHT, HTH , HTT , THT , TTH , n( B C ) 6
A B C : HHH, HHT, HTH, HTT , THT , TTH , THH, n( A B C) 7
تابع
: األحداث الخاصة بالتقاطع
A B :
,
n( A B) 0
A C : HHT, HTH , n( A C ) 2
B C : HTT
,
n( B C ) 1
A B C : , n( A B C) 0
B : HHH, HHT, HTH,THH, TTT n(B ) 5
,
B إيجاد
طرق حساب االحتماالت
توجد عدة مفاهيم لتفسير وحساب االحتماالت منها:
.1االحتمال التجريبي Empirical probability
ويعبر عنه بالتكرار النسبي ،ويحسب بتطبيق المعادلة:
nهو مجموع التكرارات( العدد الكلي للمشاهدات) :f(A) ،هو تكرار الحادث ،A
مثال بعد إلقاء قطعة عملة غير متحيزة 500مرة ،وتسجيل عدد مرات ظهور كل
وجه كالتالي:
SUM
T
H
ل
500
240
260
عد مر
)(Face
ل
تابع
يمكن حساب احتمال ظهور الصورة ،Hمن المعادلة رقم (،)1-7
والتي تعتمد على التكرار النسبي ،أي أن :
f (H ) 260
0.52
n
500
P(H )
.2االحتمال النظري Theoretical Probability
يتم تحديد عدد النتائج الممكنة للتجربة ،وعدد النتائج الممكنة لوقوع
الحادث ،ومن ثم نستخدم قواعد الرياضيات لحساب هذا النوع من
االحتمال ،بتطبيق المعادلة التالية:
تابع
حيث أنn(S) :هو عدد النتائج الممكنة للتجربةn(A) ،
هو عدد النتائج الممكنة لوقوع الحادث ،Aمثال:
أذا ألقيت قطعة عملة مرة واحدة :فراغ العينة هو:
} S:{H, T؛عدد النتائج الممكنة ،n(S)=(2) :
بالنسبة للحادث ( Aظهور صورة) ،نجد أن }، A:{H
أي أن عدد النتائج المكونة للحادث Aهي،n(A)=1 :
ويكون احتمال وقوع الحادث Aهو :
n( A) 1
0.5
n( S ) 2
P( A)
العالقة بين االحتمال التجريبي و االحتمال
النظري
عند زيادة عدد محاوالت إجراء التجربة nإلي ما النهاية
يقترب االحتمال التجريبي من االحتمال النظري ،أي أن:
** يوجد مفهوم ”حديث“ لالحتماالت يعرف بالذاتي أو
الشخصى
بعض قوانين االحتماالت
Probability Laws
هذه القوانين لحساب االحتماالت المختلفة:
قانون جمع االحتماالت :Addition Law
إذا كان لدينا الحادثان ،B , Aفإن االحتمال )، P( A B
يمكن استنتاج معادلته كما يلي
) n( A B
) n( S
)n( A) n( B) n( A B
) n( S
)n( A) n( B ) n( A B
) n( S ) n( S
) n( S
) P ( A) P ( B ) P ( A B
P( A B)
تابع
إذا:
وعندما تكون األحداث متنافية ،فإن احتماالت التقاطعات تساوي أصفار،
ويكون القانون أعاله كما يلي:
)P( A B) P( A) P( B
مثال
.1
.2
.3
.4
عند إلقاء زهرة نرد غير متحيزة مرتين ،فأوجد ما يلي:
احتمال ظهور وجهين متشابهين.
احتمال ظهور وجهين مجموع نقاطهما .10
احتمال ظهور وجهين متشابهين أو مجموع نقاطهما .10
احتمال ظهور وجهين مجموع نقاطهما 7أو .10
تابع
نحدد فراغ العينة كما يلي:
6
)(1,6
)(2,6
)(3,6
)(4,6
)(5,6
)(6,6
5
)(1,5
)(2,5
)(3,5
)(4,5
)(5,5
)(6,5
S
2
3
4
)(1,2) (1,3) (1,4
)(2,2) (2,3) (2,4
)(3,2) (3,3) (3,4
)(4,2) (4,3) (4,4
)(5,2) (5,3) (5,4
)(6,2) (6,3) (6,4
n (S) =36
1
)(1,1
)(2,1
)(3,1
)(4,1
)(5,1
)(6,1
1
2
3
4
5
6
.1الحادث ( Aظهور وجهين متشابهين):
A:{(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6.6)},
n(A)=6
)n( A
6
1
P( A)
احتمال ظهور وجهين متشابهين هوn( S ) 36 6 :
تابع
.2الحادث ( Bظهور وجهين مجموع نقاطهما : )10
)B:{(4,6
)(5,5
(6,4)},
n(B)=3
) n( B
3
1
P( B)
احتمال ظهور وجهين متشابهين هو:
n( S ) 36 12
.3لحساب احتمال ظهور وجهين متشابهين أو ) (orمجموع
نقاطهما ،10تستخدم المعادلة ( ،)3-7حيث أن:
P( B) 1
12
,
P( A) 1
6
التقاطع ) ( A Bيعبر عن ظهور وجهين متشابهين و مجموعهما
10يمكن حسابه كما يلي:
A B : (5,5) , n A B 1
n A B
1
P A B
36
) n( S
تابع
بالتالي:
)P( A B) P( A) P( B) P( A B
1 1 1
8 2
6 12 36 36 9
.4الحادث Cهو حادث ظهور وجهين مجموع نقاطهما ،7
والحادث Bهو حادث ظهور وجهين مجموع نقاطهما
،10نجد أن:
)B:{(4,6) (5,5) (6,4)} , C:{(1,6) (2,5
})(3,4) (4,3) (5,2) (6,1
n(C)=6
n(B)=3
P(C ) 6 36
P( B) 3 36
تابع
الحظ أن الحادثين ( ) Cو ( ) Bمتنافيان (لماذا؟) وبالتالي:
3
6
P ( B C ) P ( B ) P (C )
36 36
9
1
36 4
قانون االحتمال الشرطي
Conditional probability
احتمال فرصة وقوع حادث ،إذا توافرت معلومات عن وقوع
حادث آخر له عالقة بالحادث األول.
مثال؛ احتمال:
نجاح الطالب في مادة اإلحصاء إذا علم أنه من الناجحين في
مادة االقتصاد
استخدام المزارع لنوع معين من السماد ،إذا علم أنه يقوم
بزراعة محصول معين
أن الخريج يعمل بالقطاع الخاص ،إذا علم أنه ممن تخرجوا
من قسم معين من أقسام كلية الزراعة
تابع
إذا كان الحادث ( ) Bحادث معلوم ،والحادث ) (Aحادث آخر يراد حساب
احتمال وقوعه ،بمعلومية الحادث ( ، ) Bفإن هذا االحتمال يحسب بتطبيق
المعادلة التالية:
ويعرف االحتمال ) P(A/Bبقانون االحتمال الشرطي ،ويقرأ "احتمال
وقوع الحادث ) (Aبمعلومية الحادث ) ،(Bأو يقرأ "احتمال وقوع
الحادث بشرط وقوع الحادث)، (B
تابع
كما يمكن حساب احتمال وقوع الحادث ) (Bبمعلومية
الحادث) ، (Aوذلك بتطبيق المعادلة التالية:
ويمكن االستعانة بالشكل التالي لتيسير الفهم:
مثــال
فيما يلي توزيع تكراري لعينة عشوائية حجمها 100من خريجي الكلية في العامين الماضيين،
حسب التخصص ،ونوع المهنة:
Sum
30
35
35
100
ع حر
10
10
13
33
طا
5
17
10
32
ا
نة
ع حك مي
15
8
12
35
ع
ع
تصا
رة
عي
ة
لت ص
Sum
فإذا اختير أحد الخريجين بطريقة عشوائية ،احسب االحتماالت التالية:
–
–
–
–
ما احتمال أن يكون من خريجي قسم االقتصاد و يعمل بالقطاع الخاص.
ما احتمال أن يكون ممن يعملون بالحكومة أو من خريجي قسم علوم األغذية.
ما احتمال أن يكون من خريجي قسم علوم األغذية أو من قسم علوم التربة.
إذا علم أن الفرد من خريجي قسم عوم األغذية ،ما احتمال أن يكون ممن يعملون عمال حرا.
تابع
نرمز لنوع المهنة بالرموز ،Aولنوع التخصص بالرمز ، Bكما هو
مبين بالجدول التالي:
Sum
ع حر
ا
طا
نة
ع حك مي
A3
A2
A1
لت ص
30
10
5
15
B1
تصا
عي
35
10
17
8
35
13
10
12
B2
B3
ع
ة
ع
رة
100
33
32
35
Sum
التكرار في كل خلية يعبر عن عدد الخريجين الذين ينتمون لقسم
معين و يعملون في مهنة معينة ،أي يعبر عن عدد تكرارات
حوادث التقاطع الممكنة A B
تابع
احتمال أن يكون من خريجي االقتصاد و يعمل بالقطاع الخاص
f ( B1 A2 ) 5
0.05
n
100
P( B1 A2 )
احتمال أن العمل بالحكومة أو من خريجي علوم األغذية:
) P( A1 B2 ) p ( A1 ) P ( B2 ) P ( A1 B2
35
35
8
62
0.62
100 100 100 100
احتمال أن يكون من خريجي علوم األغذية أو من علوم
التربة.
) P( B B ) p( B ) P( B
3
2
35
35
70
0.70
100 100
100
3
2
تابع
إذا علم أن الفرد من خريجي علوم األغذية ،ما احتمال أن
يكون ممن يعملون عمال حرا؟ هذا احتمال شرطي،
المطلوب هنا " حساب احتمال أن الفرد ممن يعملون عمال
حرا بشرط أنه من خريجي قسم علوم أغذية ،أي أن
االحتمال المطلوب هو:
10
p( A3 B2 ) 100 10
p( A3 | B2 )
) p ( B2
35 35
100
تمارين
الجدول التالي يبين عدد الوحدات السليمة ،والتالفة من
الخبز العربي بعد ثالث أيام من تاريخ اإلنتاج في أحد مراكز
التموين التي تتعامل مع ثالث مخابز هي (C , B , :
). A
A
B
C
36
60
54
150
24
63
33
120
60
123
87
270
تابع
إذا اختيرت وحدة من الخبز بطريقة عشوائية ،فأوجد اآلتي:
.1ما احتمال أن تكون من إنتاج المخبز B؟
.2ما احتمال أن تكون تالفة ؟
.3إذا كانت الوحدة سليمة ،ما احتمال أن تكون من إنتاج
المخبز C؟
.4ما احتمال أن تكون الوحدة من إنتاج المخبز Aأو تكون
تالفة ؟
.5إذا كانت الوحدة من إنتاج المخبز ،Aما احتمال أن تكون
تالفة ؟
قانون ضرب االحتماالت
Probability Multiplication Law
ويعكس هذا القانون احتمال وقوع األحداث معا ،أي احتمال
التقاطعات ،فإذا كان ،B , Aحادثان يمكن وقوعهما معا،
فإن االحتمال ) P( A Bيمكن حسابه كحاصل ضرب
احتمالين ،هما
مثــال
إذا كانت نسبة مزارع الخضروات التي تستخدم أسلوب معين للتسميد
،60%وإذا كان نسبة المبيعات من إنتاج الخضروات المسمد ،70%بينما
نسبة المبيعات من الخضروات غير المسمدة ،80%إذا اختيرت أحد المزارع
التي تنتج الخضروات عشوائيا ،فأوجد اآلتي:
.1
ما احتمال أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد؟
إذا علم أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد ،ما احتمال أن تبيع إنتاجها؟
ما احتمال أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد وتبيع إنتاجها؟
ما احتمال أن هذه المزرعة ممن ال يستخدمون أسلوب التسميد و تبيع إنتاجها؟
.2
.3
.4
تابع
إذا فحصنا حال المزرعة المسحوبة ،نجد أننا نتعامل مع
نتيجتين متعاقبتين هما:
النتيجة األولي ولها حالتان} :المزرعة تستخدم طريقة
التسميد ) (A1أو المزرعة ال تستخدم { )(A2
النتيجة الثانية ولها حالتان} :المزرعة تبيع اإلنتاج
) ،(B1أو المزرعة ال تبيع اإلنتاج { )(B2
لذا يمكن استنتاج شجرة االحتماالت للحصول على النتائج الكلية
كالتالي:
تابع
شجرة االحتماالت:
.1
احتمال أن المزرعة تستخدم أسلوب التسميد:
P(A1)=0.6
تابع
إذا علم أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد ،فإن
احتمال أن تبيع إنتاجها هوP(B1 /A1)=0.7 :
احتمال أن المزرعة تستخدم أسلوب التسميد وتبيع إنتاجها
عبارة عن احتمال وقوع حادثتان معا ) ،(B1 and A1
لذا يحسب هذا االحتمال بتطبيق المعادلة ( )8-7كما يلي :
P ( A1 B1 ) P ( A1 ) P B1 A1
0.6 0.7 0.42
تابع
احتمال أن المزرعة ال تستخدم أسلوب التسميد وتبيع
إنتاجها هو
P( A2 B1 ) P( A2 ) PB1 A2
0.40.8 0.32
األحداث المستقلة
Independent Events
إذا كانت الحادثتان B , Aيمكن وقوعهما معا ،ولكن
وقوع أحدهما ليس له عالقة بوقوع أو عدم وقوع الحادث
اآلخر ،فإن االحتمال يمكن التعبير عنه كالتالي:
وفي هذه الحالة يقال أن الحاثتان B , Aمستقلتان
مثـــال()5-7
.1
.2
.3
إذا كان نسبة المزارع التي تنتج خضروات ، 60%
ونسبة المزارع التي تنتج فاكهه ،75%ونسبة
المزارع التي تنتج الخضروات و الفاكهة ،50%أوجد
اآلتي:
ما احتمال أن مزرعة ما تنتج فاكهة أو خضروات؟
ما احتمال أال تنتج المزرعة الفاكهة ؟
هل انتاج المزرعة للفاكهة مستقل عن إنتاجها
للخضروات؟
تابع
بفرض أن Aحادث يعبر عن "المزرعة تنتج خضروات
" B ،هو حادث يعبر عن " المزرعة تنتج فاكهة"،
فإن:
P( A) 0.6 , P( B) 0.75 , P( A B) 0.5
احتمال أن مزرعة ما تنتج فاكهة أو خضروات هو :
P( A B) P( A) P( B) P A B
0.6 0.75 0.5 0.85
احتمال أال تنتج المزرعة الفاكهة هو:
P( B ) 1 P( B) 1 0.75 0.25
تابع
لمعرفة ما إذا كان إنتاج المزرعة للفاكهة مستقل عن
إنتاجها للخضروات يمكن تطبيق المعادلة (:)9-7
P( A B) 0.5 , P( A) P(B) (0.6)(0.75) 0.45
وحيث أن :
)P( A B) P( A) P(B
فإن إنتاج المزرعة للفاكهة ) ،(Aغير مستقل عن إنتاجها
للخضروات ).(B
مثـــال()6-7
إذا كان الحادثان B , Aحادثان مستقالن ،وكان ،
P(B) 0.5 , P( A) 0.6
فأوجد االحتمال.
بما أن الحادثان B, Aمستقالن ،إذا:
)P( A B
) P ( A B ) P ( A) P ( B
ويكون احتمال
(0.6)( 0.5) 0.3
)P( A B
هو:
)P( A B) P( A) P( B) P( A B
0.6 0.5 0.3 0.8
مسألة تمرين
زهرة نرد غير محايدة بحيث أن الحصول علي أي رقم
فردي له ضعف احتمال الحصول علي رقم زوجي .عند
رمي هذه الزهرة مرة ,أحسب احتمال الحصول علي رقم
أكبر من ثالثة (.)3
الفصـــل الثامن
المتغيرات العشوائية والتوزيعات االحتمالية
Random Variables and Probability
Distributions
•المتغيرات العشوائية المنفصلة ( ) Discrete Random Variables
•التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل
•التوزيعات االحتمالية المنفصلة الخاصة
•التوزيع ثنائي الحدين The Binomial Distribution
•التوزيع البواسوني Poisson Distribution
•المتغيرات العشوائية المستمرة Continuous Random Variables
•التوزيعات االحتمالية المستمرة الخاصة
•التوزيع المنتظم Uniform distribution
•التوزيع األسي السالب Negative Exponential distribution
•التوزيع الطبيعي The Normal Distribution
المتغير العشوائي
Random Variable
المتغير العشوائي هو الذي يأخذ قيما حقيقية مختلفة
باحتماالت معينة تعبر عن نتائج فراغ العينة
مجال هذا المتغير ،يشمل كل القيم الممكنة له
وينقسم المتغير العشوائي إلى قسمين هما:
– المتغيرات العشوائية المنفصلة Discrete Random
Variables
– المتغيرات العشوائية المتصلة(المستمرة) Continuous
Random Variables
المتغيرات العشوائية المنفصلة
المتغير العشوائي المنفصل هو الذي يأخذ قيم بينية ،ومتباعدة –عادة أعداد
صحيحة -محدودة أو غير محدودة يمكن حصرها
ويرمز له بشكل عام بحرف من الحروف األبجدية الكبيرةX, Y, Z,….
ويرمز للقيم التي يأخذها بالحروف األبجدية الصغيرة،x, y, z, … ،
أمثلة:
–
–
–
–
عدد األوالد الذكور في األسرة المكونة من أربعة أوالد X:{x=0,1,2,3,4} ،X
عدد العمالء الذين يتم إنهاء خدمتهم البنكية كل 10دقائق ،Y
}.Y:{y=0,1,2,3,….
عدد مرات استخدام نوع معين من األسمدة خالل الدورة الزراعية.
عدد الوحدات التالفة من إنتاج مزرعة معينة تنتج 200وحدة كل موسم.
أخري؟؟؟؟
التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل
probability Distribution of
Discrete Random Variables
التوزيع االحتمالي ،يبين احتماالت حدوث القيم التي يمكن أن
يأخذها المتغير وبمعنى آخر هو الجدول التكراري النسبي للقيم
التي يمكن أن يأخذها المتغير.
فإذا كان المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ القيمX : {x x , x ,...,x }،
وكان ) P( X x ) f (xهو احتمال أن المتغير العشوائي يأخذ
القيمة x ،فـيمكن تكوين جدول التوزيع االحتمالي للمتغير
العشوائي X
n
i
i
i
2
1
تابع
التوزيع االحتمالي جدول مكون من عمودين ،األول به القيم
الممكنة للمتغير } ، X : {x x , x ,...,xوالثاني به القيم
) P( X x ) f ( x
االحتمالية لهذا المتغير
جدول التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل:
n
2
1
i
i
تابع
وتسمى الدالة
الدالة ما يلي:
) f ( xi
بدالة االحتمال ،ومن خصائص هذه
مثــال
إذا كانت نسبة مبيعات أحد المراكز التجارية من التفاح األمريكي
،0.60و نسبة مبيعاته من األنواع األخرى للتفاح ،0.40فإذا
اشترى أحد العمالء عبوتين:
–
–
كون فراغ العينة ( .)S
إذا عرف المتغير العشوائي ) (Xبأنه عدد العبوات المشتراة من التفاح
األمريكي ،فأوجد اآلتي
.1
.2
.3
.4
.5
التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي .
ارسم دالة االحتمال لهذا المتغير.
كون التوزيع االحتمالي التجميعي.
)P( X 1
ما هو احتمالP( X 1) :
)P( X 1.5
حدد قيمة الوسيط ،والمنوال لعدد العبوات المشتراة.
)P( X 1.5
تابع
التجربة هنا هو شراء وحدتين من عبوات التفاح ،ومن ثم
فراغ العينة ( )Sيتكون من أربع نتائج ،هي:
تابع
التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي Xهو جدول يبين قيم
المتغير } X:{x=0,1,2واحتماالتها أي:
) f ( xi
0.16
0.48
0.36
1
رسم دالة االحتمال ):f(x
النقط ))) x,f(x
xi
0
1
2
تابع
Cumulative
تكوين التوزيع االحتمالي التجميعي(
: )Distribution
التوزيع التجميعي ،هو جدول يشمل االحتماالت الناتجة من حساب
االحتمال ) ، P( X xويرمز له بالرمز ( ) ،) F(xأي أن دالة
التوزيع االحتمالي التجميعي تأخذ الصورة التالية:
جدول التوزيع التجميعي للعبوات المشتراه من التفاح األمريكي :
) F ( xi
) f ( xi
xi
F (0) P( X 0) 0.16
0.16
0
F (1) P( X 1) 0.16 0.48 0.64
0.48
1
F (2) P( X 2) 0.64 0.36 1.00
0.36
2
1
تابع
حساب االحتماالت
تحديد قيمة الوسيط ،والمنوال:
الوسيط -:رتبة الوسيط هو ، 0.50إذا الوسيط ( ) Mهو القيمة التي تحقق
P( X M ) F ( M ) 0.50
االحتمال:
،وهذا االحتمال يقع بين القيمتين ) (1,0كما هو مبين بالرسم التالي:
)P( X 1
)P( X 1
)P( X 1.5
)P( X 1.5
P( X 1) f (1) 0.48
P( X 1) F (1) 0.64
P( X 1.5) f (1.5) 0
P( X 1.5) F (1.5) F (1) 0.64
تابع
) F ( xi
xi
0.16
0
F (M ) 0.50
إذا الوسيط قيمته هي
M
0.64
1
1.00
2
0.5 0.16
M 0
(1 0) 0.71
0.64 0.16
حساب المنوال:
المنوال = Modeالقيمة المناظرة ألكبر قيمة احتمالية.
إذا المنوال هو Mode = 1 :حيث أنه يناظر أكبر قيمة احتمالية
هي:
f (1) 0.48
الوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي
المنفصل
يرمز للوسط الحسابي للمتغير العشوائي بالرمز
ويحسب بتطبيق المعادلة التالية :
التباين ويرمز له
المعادلة التالية:
بالرمز 2
(ميو)،
(سيجما) ،فيحسب بتطبيق
مثـال
.1
.2
.3
في المثال السابق احسب ما يلي:
الوسط الحسابي لعدد العبوات المشتراة من النوع األمريكي
احسب االنحراف المعياري لعدد العبوات المشتراة من النوع
األمريكي.
أوجد معامل االختالف النسبي
لحساب الوسط الحسابي واالنحراف المعياري نستخدم المعادلة
( )4-8( ،)3-8وهذا يتطلب تكوين جدول يشمل المجاميع
وذلك كما يلي:
التالية:
) xi2 f ( xi
xi f ( xi ) ,
تابع
) xi2 f ( xi
0
0.48
1.44
1.92
) xi f ( xi
0
0.48
0.72
1.20
) f ( xi
0.16
0.48
0.36
1
xi
0
1
2
إذا الوسط الحسابي هو
ولحساب االنحراف المعياري (نحسب التباين أوال)
x f ( x ) 1.20
i
i
2 xi2 f ( xi ) 2 1.92 (1.20) 2 0.48
2 0.48 0.693
معامل االختالف النسبي هو:
0.693
100
100 57.7%
1.2
C.V
التوزيعات االحتمالية المنفصلة الخاصة
تتبع بعض الظواهر توزيعات احتمالية خاصة ،حيث يمكن
حساب احتماالت قيم المتغير عن طريق معادلة رياضية،
تسمى بدالة االحتمال )،f(x
هذه المعادلة لها معالم معينة ،تسمى بمعالم المجتمع الذي
ينسب له هذا التوزيع.
ومن أهم التوزيعات التي سيتم دراستها هنا،
– التوزيع ثنائي الحدين ،و
– توزيع بواسون
التوزيع ثنائي الحدين
The Binomial Distribution
يستخدم هذا التوزيع في الحاالت التي يكون للظاهرة محل
الدراسة نتيجتان فقط متنافيتان
النتيجة محل االهتمام وتسمى بحالة النجاح ،واألخرى
تسمى بحالة الفشل ،ومن أمثلة ذلك:
– عند فحص عبوة بداخلها نوع معين من الفاكهة ،لها نتيجتان (
الوحدة إما أن تكون سليمة ،أو تكون معيبة)
– عند إلقاء قطعة عملة ،لها نتيجتان.
– نتيجة الطالب في االختبار ( نجاح ،رسوب)
شكل التوزيع االحتمالي ثنائي الحدين
إذا كررت محاولة ما ( )nمن المرات ،بحيث أن كل محاولة لها
نتيجتان فقط متنافيتان هما:
– النتيجة محل االهتمام " حالة نجاح " وتتم باحتمال ثابت في كل محاولة
هوp :
– النتيجة األخرى " حالة فشل " وتتم باحتمال ثابت أيضا هوq=1-p :
وبافتراض أن هذه المحاوالت مستقلة ،وإذا كان المتغير
العشوائي Xيعبر عن عدد حاالت النجاح في الـ nمحاولة ،فإن
مدي المتغير العشوائي والذي يعبر عن عدد حاالت النجاح هو
}X : {x 0,1,2,...,n
ومن ثم يحسب االحتمال
) P( X x) f ( x
بتطبيق المعادلة التالية:
تابع
وتحسب كما، مع إهمال الترتيبn منx هي عدد طرق اختيار nx حيث أن
:يلي
n
n!
x (n x)!x!
7 7 6 5 35 7
3 3 2 1
4
7 7 1
0 7
أو
:مثال
مثـــال
إذا كانت نسبة الشفاء من مرض معين باستخدام نوع معين من العقاقير الطبية
هو ( ،)0.6إذا تناول هذا العقار 5مصابين بهذا المرض .إذا عرف المتغير
العشوائي بأنه عدد المستجيبين (حاالت الشفاء) لهذا العقار.
المطلوب:
– ما هو نوع المتغير؟
– اكتب شكل دالة االحتمال ) f (xلهذا المتغير.
– احسب االحتماالت التالية:
ما احتمال استجابة 3مرضى لهذا العقار؟
ما هو احتمال استجابة مريض واحد على األقل؟
ما هو احتمال استجابة 2مرضى على األكثر؟
– احسب الوسط الحسابي ،واالنحراف المعياري لعدد حاالت االستجابة.
الحل
إذا:
عدد حاالت االستجابة ) (Xمتغير كمي منفصل ،ومدى
هذا المتغير في هذه الحالة هو:
}X:{x=0,1,2,3,4,5
شكل دالة االحتمالn=5, p=0.6, q=(1-p)-=0.4 :
f ( x) nx ( p) x (q) n x
5x (0.6) x (0.4) 5 x , x 0,1,2,3,4,5
تابع
حساب احتمال استجابة 3مرضى لهذا الدواء )P( x 3) f (3
:
5 4 3
f (3) 53 (0.6) 3 (0.4) 53
0.216 0.16 10 0.03456
3 2 1
0.3456
حساب احتمال استجابة مريض واحد على األقل:
)P( x 1
)P ( x 1) f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) 1 f (0
1 50 (0.6) 0 (0.4) 5 1 1 1 0.01024 0.98976
حساب احتمال استجابة 2مرضى على األكثر:
)P( x 2
)P( x 2) f (2) f (1) f (0
تابع
2
3
5
1
4
5
0
5
5
)2 (0.6) (0.4) 1 (0.6) (0.4) 0 (0.6) (0.4
5 4
5
(0.36)(0.064) (0.6)(0.0256) 1(1)(0.01024
2 1
1
0.2304 0.0768 0.01024 0.31744
الوسط الحسابي في حالة التوزيع ثنائي الحدين يحسب
بتطبيق المعادلة ( ،)3-8وباستخدام العمليات الرياضية
يمكن الوصول إلى النتيجة التالية:
والوسط الحسابي:
np 5(0.60) 3
ولحساب التباين في التوزيع ثنائي الحدين يتم تطبيق
المعادلة ( ،)4-8ومنها يمكن التوصل إلى الصورة التالية:
ومنها:
npq
5(0.60)(0.40) 1.2 1.095
توزيع بواسون
Poisson Distribution
يكثر استخدام هذا التوزيع في الحاالت التي تقع فيها
األحداث وفقا لمعدالت زمنية ،وكذلك في حالة األحداث نادرة
}X : {x 0,1,2,...
الوقوع ،ومن أمثلة ذلك:
استهالك األسرة من سلعة معينة خالل الشهر .
عدد مرات ري نوع معين من المحاصيل الزراعية خالل
الموسم.
عدد مرات زيارة المريض للطبيب كل سنة.
عدد مرات تناول األسرة للحوم الحمراء خالل األسبوع.
عدد أخطاء الطباعة لكل صفحة من صفحات الكتاب.
شكل التوزيع االحتمالي البواسوني
إذا كان:
متوسط عدد مرات وقوع حادث وفقا لمعدل زمني معين هو
المتغير العشوائي ) (Xيعبر عن عدد مرات وقوع الحادث
}X : {x 0,1,2,...
وفقا لهذا المعدل
مدي المتغير العشوائي ) (Xهو:
) P( X x) f ( x
فإن االحتمال
(احتمال وقوع الحادث عدد من المرات وفقا لهذا المعدل ) يعبر
عنه بـ:
مثــال
فرضا أن عدد الوحدات التي تستهلكها األسرة من سلعة معينة خالل الشهر
تتبع توزيع بواسون بمتوسط 3وحدات شهريا ،إذا عرف المتغير العشوائي
( ) Xبأنه عدد الوحدات التي تستهلكها األسرة خالل الشهر من هذه
السلعة .المطلوب:
ما هو نوع المتغير العشوائي؟
اكتب شكل دالة االحتمال لهذا المتغير.
احسب االحتماالت التالية:
احتمال أن األسرة تستهلك وحدتين خالل الشهر؟
احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدة واحد على األقل خالل الشهر؟
احتمال أن أسرة ما تستهلك 3وحدات على األكثر خالل الشهر؟
احسب الوسط الحسابي ،واالنحراف المعياري لعدد الوحدات المستهلكة.
حدد شكل التوزيع.
تابع
عدد الوحدات التي تستهلكها األسرة متغير كمي منفصل ،
ومدى هذا المتغير في هذه الحالة هوX : {x 0,1,2,3,...} :
e x
دالة االحتمال هي:
f ( x)
!x
e 3 3 x
, x 0,1,2,...
!x
احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدتين خالل الشهرf(2) ،
e332 0.04989
f (2)
0.22404
!2
2 1
تابع
احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدة واحد على األقل خالل
P( X 1) f (1) f (2) ....
:
هو
الشهر
3 0
3
0.0498
1 0.0498 0.9502
!0
1
e
1 f (0) 1
احتمال أن أسرة ما تستهلك 3وحدات على األكثر خالل
الشهر هو
)P ( X 3) f (3) f ( 2) f (1) f (0
e 3 33
e 3 32
e 3 31 e 3 30 0.0498
!3
!2
!1
!0
1
3 1
27 9
0.0498
0.049813 0.6474
2 1 1
6
الوسط الحسابي معطي
3
تابع
الحسابي 2 3:
في هذا التوزيع ،فإن التباين يساوي الوسط
ومن ثم يكون االنحراف المعياري هو 3 1.732 :
1.732
V .C 100
100 57.7%
معامل االختالف النسبي هو:
3
تحديد شكل التوزيع:
دائما التوزيع البواسون موجب االلتواء.
المتغيرات العشوائية المستمرة
Continuous Random Variables
هو الذي يأخذ قيما متصلة
ويأخذ عدد النهائي من القيم الممكنة له داخل مجاله
فإذا كان ( ) Xمتغير عشوائي مستمر ،ويقع في المدى
،
) ،(a,bأي أن:
}{ X x : a x b
فإن للمتغير Xعدد النهائي من القيم تقع بين الحدين األدنى
واألعلى ) ،(a,bومن األمثلة على المتغيرات الكمية المستمرة
ما يلي:
– كمية األلبان التي تنتجها البقرة في اليوم باللتر{ X x : 10 x 40} :
– أخري؟
التوزيع االحتمالي للمتغير المستمر
من الشكل (المدرج التكراري النسبي) ،للمتغير المتصل ()X
نالحظ أنه كلما ضاقت الفترات بين مراكز الفئات ،يمكن
الحصول على رسم دقيق للمنحنى الخاص بدالة احتمال المتغير
المستمر
شك منحن الت ز ا حت الي ل ت ير الع ائي ال ست ر
منحنى التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المستمر
تابع
المساحة أسفل المنحنى تعبر عن مجموع كل االحتماالت،
ولذا تساوي الواحد الصحيح،
الدالة ) f(xتسمي دالة كثافة االحتمال Probability
)Density Function(p.d.f
،
اذا وقعت ( )Xفي المدىX={x:a<x<b} :
فأن منحنى هذه الدالة يأخذ الصورة التالية:
خصائص دالة كثافة االحتمال
)f(x
.1
الدالة موجبة داخل المدى ) (a,bأي أن :
.2
تكامل ( f )xعلى حدود المتغير من الحد األدنى aحتى الحد األعلى bيعبر
عن مجموع كل االحتماالت ،لذا يساوي الواحد الصحيح:
)f ( x) 0, for x (a, b
حيث أن التكامل المحدد أعاله يعطي المساحة أسفل المنحني بين ). (a,b
.3لحساب احتمال أن المتغير العشوائي المستمر يقع في المدى ) (c,dأي حساب
االحتمال ) ، p(c<x<dيجب حساب المساحة أسفل المنحني من d
حتى cكما هي مبينة في الشكل البياني التالي:
تابع
ويتم حساب التكامل المحدد في هذا المدى ،كما يلي:
تابع
p(x=value)=0 يكون االحتمال،للمتغير المستمر
بعض قوانين التكامل لحساب االحتماالت
(1)
(2)
(3)
xn 1
x dx
e dx e
1
x dx log ( x)
n
n 1
x
x
e
and
and
and
(a bx)n 1
(a bx) dx
e dx e
1
(abx) dx log
n
( a bx )
b ( n 1)
( a bx )
1
b
1
b
e ( a bx )
مثـال
إذا كان اإلنفاق الشهري لألسرة باأللف لاير على المواد
الغذائية له دالة كثافة احتمال تأخذ الصورة التالية:
cx(10 x) , 0 x 10
0 otherwise
f ( x)
والمطلوب:
حساب قيمة الثابت احسب احتمال أن إنفاق األسرة يتراوح
ما بين ) (8-5ألف لاير خالل الشهر.
إذا كان لدينا 600أسرة ،فما هو عدد األسر المتوقع أن
يقل إنفاقها عن 3آالف خالل الشهر؟
تابع
: ) من خصائص دالة كثافة االحتمالc ( لحساب قيمة
x b
f ( x)
x a
dx 1
:من دالة المثال
10
x 2 x3
cx(10 x ) dx c (10x x ) dx c 10
2
3 0
x 0
x 0
x 10
x 10
2
10
2
x3
(1000)
c 5 x
c (5(100)
) 0
3 0
3
500
c 1
3
c 3 500 0.006
تابع
( ألف8,5) حساب احتمال أن إنفاق األسرة يتراوح بين
: لاير خال الشهر
8
x 8
2 x3
p (5 x 8) 0.006x (10 x ) dx 0.0065 x
3 5
x 5
83
53
2
2
0.006 5(8) 5(5) 0.006149.3333 83.3333
3
3
0.006(66) 0.396
آالف خالل3 فإن عدد األسر المتوقع أن يقل إنفاقها عن
: أسرة ) هو600 (الشهر
num berof fam ily 600 p ( x 3)
3
600 0.006x(10 x)dx
0
3
2 x3
3.65 x 3.645 9 0 129.6 130
3 0
المتوسط والتباين في التوزيع االحتمالي المستمر
إذا كانت )f(xهي دالة كثافة االحتمال للمتغير العشوائي ، x
فإن التوقع الرياضي للدالة ) h(xتأخذ الصورة التالية:
b
h( x). f ( x)dx
E[h( x)]
a
ومن ثم يمكن كتابة معادلة الوسط والتباين للمتغير ( ) xكما
يلي :
مثال
في المثال السابق أوجد المتوسط واالنحراف المعياري
cx(10 x) 0 x 10
الشهري
لإلنفاق
النسبي
االختالف
ومعامل
f ( x)
0 otherwise
)(c=0.006
.1المتوسط الحسابي E ( x) xf ( x)dx x0.006x(10 x) 0.006 (10x x )dx:
,
10
3
10
2
b
a
0
0
10
x3 x 4
10000 10000
0.00610
0
.
006
0
3
4 0
4
3
1
) 60 5 (000 SR
12
تابع
:(cv)االنحراف المعياري و
2 E( x 2 ) u 2 E( x 2 ) (5) 2
b
10
E ( x ) x f ( x) dx 0.006 (10x 3 x 4 )dx
2
2
a
0
x4
0.00610
4
x5
5
10
100000 100000
0.006
0
4
5
0
1
600
30
20
2
30 25 5
5 2.236
cv
2.236
100 44.72%
5
.2
دالة التوزيع التجميعي
Cumulative Distribution Function
)(C.D.F
يرمز لهذه الدالة بالرمز ) (C.D.F)=F(xوتحسب
بإيجاد االحتمال:
ويمكن توضيحها بيانيا بالرسم التالي:
مثال
.1
في المثال السابق أوجد دالة التوزيع التجميعي ،C.D.F
ثم استخدم هذه الدالة لحساب احتمال أن إنفاق األسرة يقل
عن 5آالف جنيه.
إيجاد دالة التوزيع التجميعي :C.D.F
x
dx
) f ( x
F ( x)
0
x
0
x3
3
x2
0.006x10 x dx 0.00610
2
0
x
2 x 3
0.0065 x
3
تابع
.2
حساب االحتمال المطلوب
بالرسم التالي:
)F (5) p( x 5
،كما هو مبين
بالتعويض عن في الدالة ) F(xالتي تم التوصل إليها:
F (5) P ( x 5)
2
x3
125
0.0065 x
0
.
006
125
3
3
250
0.006
0.5
3
خصائص دالة التوزيع التجميعي
(1) F ( x) 0; (2) F (a) 0; (3) F (b) 1
dF ( x)
(4) P( X x) 1 F ( x); (5) f ( x)
dx
التوزيعات االحتمالية المستمرة الخاصة
.1
.2
.3
توزيعات احتمالية مستمرة خاصة ،ولها دوال كثافة
احتمال محددة.
يوجد العديد منها :نتناول:
التوزيع المنتظم Uniform distribution
2التوزيع األسي السالب Negative
Exponential distribution
التوزيع الطبيعي The Normal Distribution
التوزيع المنتظم
Uniform distribution
شكل دالة كثافة االحتمال p.d.fلهذا التوزيع:
إذا كان المتغير ( )xمتغير عشوائي له توزيع منتظم
،Uniformمداه هو a<x<b:فإن دالة كثافة
احتماله هي:
ويمكن تمثيل هذه الدالة بيانيا كما يلي:
خصائص التوزيع المنتظم
الوسط الحسابي ،والتباين لهذا التوزيع هما:
(b a)2
12
2
ab
E ( x)
,
2
تأخذ دالة التوزيع التجميعي C.D.Fالشكل اآلتي
مثـال
.1
.2
استورد أحد المراكز التجارية 1500طن بطاطس،
ووضعها في مخزن ،وقام ببيعها بكميات متساوية على
مدار شهور السنة .إذا كانت الفترة الزمنية للبيع تتبع
توزيع منتظم ،فأوجد اآلتي:
دالة كثافة االحتمال المعبرة عن الفترة الزمنية للبيع.
بعد مرور سبعة أشهر من بداية البيع ،ما هي الكمية
الموجودة بالمخزن؟
تابع
تأخذ دالة كثافة االحتمال المعبرة عن الزمن الصورة التالية:
1
1
, 0 x 12
12 0 12
f ( x)
حساب الكمية الموجودة بالمخزن بعد سبعة أشهر من بداية
البيع.
70
) 625 Ton
12 0
Q p( x 7) Q (1 F (7)) 1500 (1
التوزيع األسي السالب
Negative Exponential distribution
شكل دالة كثافة االحتمال p.d.f
إذا كان المتغير ) (xمتغير عشوائي له توزيع أسي سالب
،ومداه هو 0 x فإن دالة كثافة احتماله هي:
ويمكن تمثيل هذه الدالة بيانيا كما يلي
خصائص التوزيع األسى السالب
الوسط الحسابي ،والتباين لهذا المتغير هما:
1
2
2
E ( x) 1 ,
دالة التوزيع التجميعي C.D.F
تأخذ دالة التوزيع التجميعي الشكل اآلتي:
x
f ( x)dx 1 e
x
0
F ( x) p( X x)
مثــال
إذا كانت الفترة الزمنية إلنهاء خدمة العميل في البنك تتبع توزيع
أسي بمتوسط 2دقيقة ،فأوجد ما يلي.
– دالة كثافة االحتمال المعبرة عن الفترة الزمنية إلنهاء خدمة العميل.
– ما احتمال إنهاء خدمة العميل في أقل من دقيقة.
دالة كثافة االحتمال المعبرة عن الزمن:
بفرض أن المتغير يعبر عن الفترة الزمنية إلنهاء خدمة العميل
بالدقيقة ،أي أن ، 0 x فإن المتوسط ، 1 2ومن ثم تصبح
قيمة ) (هي ، ( 0.5):وتكتب دالة كثافة االحتمال المعبرة عن الزمن
على الصورة التالية:
e0.5 x , 0 x
f ( x) 0.5
تابع
حساب احتمال إنهاء خدمة العميل في أقل من دقيقة.
) 0.3935
)0.5(1
p( x 1) (1 e0.5 x ) (1 e
التوزيع الطبيعي
The Normal Distribution
يعتبر هذا التوزيع من أكثر التوزيعات االحتمالية استخداما
في النواحي التطبيقية ،ومنها:
– االستدالل اإلحصائي شامال التقدير،
– واختبارات الفروض،
– كما أن معظم التوزيعات يمكن تقريبها إلى هذا التوزيع،
شكل دالة كثافة االحتمال :إذا كان المتغير متغير عشوائي
له توزيع طبيعي ،مداه هو x
فإن دالة كثافة
احتماله هي:
تابع
وهذا التوزيع له منحنى متماثل يأخذ الصورة التالية:
معالم التوزيع الطبيعى
Parameters
توجد معلمتين لهذا التوزيع هما :
الوسط الحسابي E(x) :والتباين var(x) 2 :
ومن ثم يعبر عن توزيع المتغير ) (xبالرموز:
) x ~ N ( , 2
ويقرأ هذا التعبير كاآلتي“ :المتغير العشوائي ( )xيتبع التوزيع
الطبيعي بمتوسط ، وتباين “ 2
)e.g., x~N(3,1.5
كيفية حساب االحتماالت للتوزيع الطبيعي
االحتمال المطلوب حسابه هو
) p( x1 x x2
(الشكل أدناه)
االحتمال المطلوب (المساحة) تحسب بإيجاد التكامل
التالي:
2
dx
1 x
2
e
1
2
x2
x2
x x2 ) f ( x)dx
x
x
1
1
p( x1
و لتعقيد حساب هذا التكامل يلجأ لتحويلة رياضية
،Transformationكاآلتي:
x
z
ويعرف المتغير الجديد ) (zبالمتغير الطبيعي القياسي
،Standard Normal Variableوهذا المتغير له
دالة كثافة احتمال تأخذ الصورة التالية:
تابع
ومن خصائص التوزيع الطبيعي القياسي ما يلي:
var(z ) 1
المتوسط E ( z) 0والتباين:
ومن ثم يعبر عن توزيع ( ) zالمتغير بالرموز:
)z ~ N (0,1
يأخذ المنحنى شكل الناقوس ( )Bellالمتماثل على جانبي
الصفر كما بالشكل
تابع
صمم اإلحصائييون جداول إحصائية لحساب دالة التوزيع
التجميعي ) ، F (z) P(Z z:كما هو مبين بالرسم التالي:
خطوات حساب االحتمال
يتم تحويل القيم الطبيعية ( )x1, x2إلى قيم طبيعية
z (x ) , z (x )
قياسية:
ومن ثم يكون االحتمال : p(x x x ) p(z z z ) :كما بالشكل:
.1
) p( x1 x x2
2
.2
1
2
2
1
1
2
1
تابع
.3
تستخدم جداول التوزيع الطبيعي القياسي ،والذي يعطي
المساحة الخاصة باالحتمال )F ( z) P(Z z
طريقة استخدام جدول التوزيع الطبيعي القياسي
في حساب االحتماالت
.1
أوجد االحتماالت التالية:
أ P( z 1.57) -ب P( z 2.33) -جP( z 1.96) -
دP(2.01 z 1.28) -
تحدد المساحة المعبرة عن االحتمال )P( z 1.57) F (1.57
(الشكل أدناه) من الجدول
)P( z 1.57) F (1.57
0.9418
تابع
ب -المساحة أسفل المنحنى المعبرة عن االحتمال
موضحة كالتالي:
)P( z 2.33) F (2.33
علي عمود ( )zأقرب رقم لـ )2.30( 2.33والرقم المكمل
( )0.03ونقطة التقاطع عند ()0.0099
ومن ثم يكون :
P( z 2.33) 0.0099
تابع
ج -تحدد المساحة المعبرة عن االحتمال
)P( z 1.96
)P( z 1.96) 1 p( z 1.96) 1 F (1.96
في الجدول بنفس الطريقة السابقة نجد أن
P( z 1.96) 1 0.9750 0.0250
كالتالي:
تابع
د -المساحة أسفل المنحنى المعبرة عن االحتمال
هي:
ومن خصائص دالة التوزيع التجميعي
)P(2.01 z 1.28) F (1.28) F (2.01
ومن الجدول نجد أن:
P(2.01 z 1.28) 0.8997 0.0222 0.8775
)P(2.01 z 1.28
مثـــال
.1
.2
.3
.4
إذا كان الدخل السنوي لألسرة في أحد مناطق المملكة
يتبع توزيع طبيعي متوسطه 80ألف لاير ،وتباينه
.900والمطلوب:
كتابة قيمة معالم التوزيع االحتمالي للدخل السنوي.
كتابة شكل دالة كثافة االحتمال.
ما هي نسبة األسر التي يقل دخلها عن 60ألف لاير ؟
ما هو الدخل الذي أقل منه 0.975من الدخول؟
تابع
.1كتابة قيمة معالم التوزيع االحتمالي للدخل السنوي:
بفرض أن ( )xمتغير عشوائي يعبر عن الدخل السنوي
باأللف لاير ،وهو يتبع التوزيع الطبيعي ،ومعالمه هي:
E ( x) 80
أي:
.2
Var( x) 2 900
)x ~ N (80,900
شكل دالة كثافة االحتمال:
22 / 7
2
1 x80
2 30
, x ,
e
1
30 2
f ( x)
نسبة األسر التي يقل دخلها عن 60ألف لاير هي:
ونجري عملية التحويل السابقة:
x
P( x 60) p z
60 80
P z
) Pz 0.67 F (0.67
30
:
الجدول
ومن
P( x 60) Pz 0.67 0.2514
)P( x 60
تابع
الدخل الذي أقل منه 0.975من الدخول :في هذه الحالة يبحث
عن قيمة المتغير ( ) xالذي أقل منه ، 0.975بفرض أن هذا
المتغير هو ( ، )x1فإن :
x 80
P( x x ) p z
0.975
1
30
1
بالكشف بطريقة عكسية ،حيث نبحث عن المساحة نجدها تقع
عند تقاطع الصف ( ،)1.9والعمود ( ) 0.06أي أن قيمة z 1.96
ويكون :
x1 80
, Then x1 30(1.96) 80 138.8
30
1.96
إذا الدخل هو 138.8ألف لاير في السنة.