Transcript p(X)= 1 - WordPress.com

‫الفصل الرابع‬
‫المتغيرات العشوائية‬
‫و التوزيعات االحتمالية‬
‫و توزيعات المعاينة‬
‫أ‪.‬سارة السديري‬
‫عند رمي قطعة النقود ثالث مرات متتالية‬
‫عدد عناصر فضاء العينة =‪8= 2³‬‬
‫فضاء العينة في هذه التجربة هو ‪:‬‬
‫فضاء العينة في هذه التجربة هو ‪:‬‬
‫} ‪, THT , TTH , HTT‬‬
‫اذا كان ‪ = X‬ظهور ‪ H‬في كل نقطة‬
‫فضاء العينة في هذه التجربة هو ‪:‬‬
‫} ‪, THT , TTH , HTT‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪, TTT‬‬
‫‪, THH‬‬
‫‪HTH‬‬
‫‪, TTT‬‬
‫‪, THH‬‬
‫‪HTH‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S = { HHH , HHT ,‬‬
‫‪S = { HHH , HHT ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ X‬يربط بين عناصر فضاء العينة و مجموعة األعداد الحقيقية {‪}0,1,2.3‬‬
‫‪ X‬دالة حقيقية تسمى بـــ متفير عشوائي‬
‫‪3‬‬
‫‪ 1-4‬المتغيرات العشوائية ‪Random Variable‬‬
‫•تعريف المتغير العشوائي‪:‬‬
‫المتغير العشوائي ‪ X‬هو اقتران حقيقي (دالة حقيقية ) يعرف على فضاء العينة ‪ , S‬أي أن المتغير‬
‫العشوائي هو اقتران تعريفه فضاء العينة و مداه مجموعة جزئية من األعداد الحقيقية‪.‬‬
‫•المتغير العشوائي يعطي قيمة حقيقية وحيدة لكل عنصر من عناصر فضاء العينة ‪S‬‬
‫•المتغير العشوائي ‪ X‬هو طبيق مجالة فضاء العينة ‪ S‬ومجاله المقابل مجموعة االعداد الحقيقية‬
‫‪X: S‬‬
‫‪R . R‬‬
‫هناك عدة أنواع للمتغيرات العشوائية نذكر منها نوعين هما‪:‬‬
‫•متغيرات عشوائية منفصلة أو متقطعة ‪Discrete Random Variables‬‬
‫•متغيرات عشوائية متصلة أو مستمرة ‪Continuous Random Variables‬‬
‫‪ 2-4‬التوزيعات االحتمالية المنفصلة‬
‫•تعريف المتغير العشوائي المنفصل ‪:‬‬
‫يكون المتغير العشوائي‪ X‬متغيرعشوائي متقطع إذا كانت مجموعة القيم الممكنة له (المدى)‬
‫)‪X(S‬هي مجموعة متقطعة ( قابلة للعد)‪ ,‬ومنتهية‪.‬‬
‫عدد األوالد الذكور في األسرة المكونة من أربع أوالد ‪X:{x=0,1,2,3,4 ،X‬‬
‫•تعريف التوزيع االحتمالي ( االقتران االحتمالي ) المنفصل ‪:‬‬
‫هو كل جدول أو معادلة تعطي جميع القيم التي يمكن أن يأخذها متغير عشوائي مع احتمال كل قيمة منها‬
‫•شروط التوزيع ( االقتران )االحتمالي ‪:‬‬
‫• مجموع االحتماالت =‪1‬‬
‫• ‪P(x) >= 0‬‬
‫مثال (‪: )1‬‬
‫اذا رميت قطعة نقود متزنة ‪ , 3‬و عرف المتغير العشوائي ‪ = X‬عدد الظهور ‪H‬‬
‫أوجد فضاء العينة ‪ ,‬أوجد القيم الممكنة للمتغير ‪ ,X‬اوجد احتمال جميع نقاط الفضاء التي ارتبطت بكل قيمة من قيم المتغير ‪X‬‬
‫‪ )1‬نوجد فضاء العينة‬
‫}‪S= {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT‬‬
‫‪ )2‬نوجد القيم الممكنة للمتغير ‪X‬‬
‫}‪X={0,1,2,3‬‬
‫‪ )3‬نوجد احتمال جميع نقاط الفضاء التي ارتبطت بكل قيمة من قيم المتغير ‪X‬‬
‫‪P(X=0 )= 1/8‬‬
‫‪P(X=1)= 3/8‬‬
‫‪P(x=2)= 3/8‬‬
‫‪P(x=3)= 1/8‬‬
‫‪P(HHH)=1/8‬‬
‫‪P(X<1)=1/8‬‬
‫مثال ‪:‬‬
‫من فضاء العينة لرمي قطعة نقود متزنة ‪ 3‬مرات ‪ ,‬أوجد ‪ =Y‬القيمة المطلقة للفرق بين عدد ‪ H‬و عدد ‪T‬‬
‫‪ )1‬نوجد فضاء العينة‬
‫}‪S= {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT‬‬
‫‪ )2‬نوجد القيم الممكنة للمتغير ‪Y‬‬
‫}‪Y={1,3‬‬
‫باستخدام الجدول ‪:‬‬
‫القيمة‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪P(Y=y‬‬
‫‪6/8=3/4‬‬
‫‪2/8=1/4‬‬
‫مثال (‪ )1‬باستخدام المعادلة ‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪P(x)= P(X=x)= 3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪2‬‬
‫( (( (‬
‫)‪P(X‬‬
‫باستخدام المدرج التكراري‬
‫‪3/8‬‬
‫‪2/8‬‬
‫‪1/8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫مثال‬
‫عند رمي حجر النرد مرتين متتاليتين ‪ ,‬نعرف ‪ X‬على أنه مجموع الرقمين‬
‫الظاهرين‬
‫فضاء العينة في هذه التجربة هو ‪:‬‬
‫عدد عناصر فضاء العينة =‪36=6²‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(6,1‬‬
‫)‪(5,1‬‬
‫)‪(4,1‬‬
‫)‪(3,1‬‬
‫)‪(2,1‬‬
‫)‪(1,1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(6,2‬‬
‫)‪(5,2‬‬
‫)‪(4,2‬‬
‫)‪(3,2‬‬
‫)‪(2,2‬‬
‫)‪(1,2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(6,3‬‬
‫)‪(5,3‬‬
‫)‪(4,3‬‬
‫)‪(3,3‬‬
‫)‪(2,3‬‬
‫)‪(1,3‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪(6,4‬‬
‫)‪(5,4‬‬
‫)‪(4,4‬‬
‫)‪(3,4‬‬
‫)‪(2,4‬‬
‫)‪(1,4‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(6,5‬‬
‫)‪(5,5‬‬
‫)‪(4,5‬‬
‫)‪(3,5‬‬
‫)‪(2,5‬‬
‫)‪(1,5‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪(6,6‬‬
‫)‪(5,6‬‬
‫)‪(4,6‬‬
‫)‪(3,6‬‬
‫)‪(2,6‬‬
‫)‪(1,6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ X‬متغير عشوائي معرف على ‪ , S‬مداه }‪{2,3,4,……….,11,12‬‬
‫ماهو احتمال ‪ X=4‬؟ أي احتمال ان يكون مجموع العددين بالنقطة = ‪4‬‬
‫‪ X= 4‬عند النقاط })‪{(3,1), (2,2), (1,3‬‬
‫‪P(X=4) = 3/36 =0.0833‬‬
‫مثال(‪: )3‬‬
‫هل االقتران ‪P(x)= X/10 ; X= 1,2,3,4‬‬
‫غير ذلك ‪ , P(X)=0‬يمثل توزيعا ً احتماليا ً ؟‬
‫الشرط ‪∑p(X)= 1 :1‬‬
‫‪∑p(X)= ∑x/10=1/10+2/10+3/10+4/10 = 1‬‬
‫الشرط ‪P(X)>=0 : 2‬‬
‫الواضح أنه لهذه القيم‪, x=1,2,3,4‬لغير هذه القيم ‪p(x)=0‬‬
‫إذن يحقق الشرط‬
‫‪ 3-4‬التوقع الرياضي ‪Mathematical Expectation‬‬
‫•تعريف التوقع الرياضي ‪:‬‬
‫اذا كان ‪ X‬متغيرا عشوائيا منفصالً و كان توزيعه االحتمالي )‪ P(X‬فإن توقعه الرياضي (وسطه (‬
‫يكون ‪:‬‬
‫أو‬
‫عدد النتيجة الممكنة * التكرار النسبي= )‪E(X‬‬
‫مثال ‪:‬‬
‫التوقع الرياضي لرمي ثالثة قطع نقود ‪ 10‬مرات‬
‫بداللة التكرار النسبي‬
‫التكرارات النسبيه ‪2/10,3/10,3/10,2/10‬‬
‫النتائج الممكنه )‪(0,1,2,3‬‬
‫‪(0*2 + 1*3 + 2*3 + 3*2) /10 = 1.5‬‬
‫مثال (‪ )4‬صفحة ‪: 133‬‬
‫مثال‬
‫أوجد معدل عدد االعطال في االسبوع لجهاز الحاسوب اذا كان االقتران االحتمالي لالعطال‬
‫االسبوعية كما في الجدول‬
‫)‪X P(X‬‬
‫)‪P(X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪0.00‬‬
‫‪0.60‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.20‬‬
‫‪0.20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.20‬‬
‫‪0.10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.21‬‬
‫‪0.07‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.12‬‬
‫‪0.03‬‬
‫‪4‬‬
‫‪∑Xp(x)= 0.73‬‬
‫المجموع‬
‫•تعريف التوقع الرياضي القتران متغير عشوائي منفصل )‪: H(X‬‬
‫)‪E( H(X) )= ∑H(x) p(x‬‬
‫حيث)‪ P(X‬هو توزيع ‪ X‬االحتمالي‬
‫و اذا كان ‪H(X)= Xᵏ‬فيسمى )‪ , E( H(X) ) =E(Xᵏ‬العزم‬
‫‪K‬حول نقطة األصل للمتغير العشوائي ‪X‬‬
‫مثال‬
‫من جدول المثال السابق اذا كانت تكلفة اصالح ‪ X‬من اعطال الحاسوب تعطى بالمعادلة‬
‫‪ , Y=H(X)= X²+7X‬فما هو توقع ‪Y‬؟‬
‫)‪H(X) P(X‬‬
‫‪H(X)=X²+7X‬‬
‫)‪P(X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪0.00‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.60‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1.60‬‬
‫‪8‬‬
‫‪0.20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.80‬‬
‫‪18‬‬
‫‪0.10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.10‬‬
‫‪30‬‬
‫‪0.07‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1.32‬‬
‫‪44‬‬
‫‪0.03‬‬
‫‪4‬‬
‫‪∑(x)p(x)= 6.82‬‬
‫المجموع‬
‫•خواص التوقع الرياضي‬
‫•‪E(a) =a‬‬
‫•‪E(X±b) = E(X) ±b‬‬
‫•)‪E(aX) =a E(X‬‬
‫• ‪E(aX±b) = aE(X) ±b‬‬
‫•‪A=0‬‬
‫‪E(aX±b) = E(b) =b‬‬
‫•‪B=0‬‬
‫)‪E(aX±b )= a E(x‬‬
‫•التوقع الرياضي لمجموع اقترانين لمتغير عشوائي = مجموع التوقعين الرياضين لالقتران أي‪:‬‬
‫) )‪E( f(X) +g(X) ) = E(f(X) ) + E (g(X‬‬
‫•تعريف التباين ‪:Variance‬‬
‫تباين المتغير العشوائي ‪ X‬الذي معدلة ‪ µ‬هو‪:‬‬
‫)‪= ∑(X-µ)2 p(X‬‬
‫حيث )‪ P(X‬هو توزيع ‪ X‬االحتمالي و بفرض أن التوزيع منفصل ‪,‬‬
‫و يعرف االنحراف المعياري‬
‫بالجذر التربيعي الموجب للتباين أي أن ‪:‬‬
‫• خواص التباين‬
‫•‪Var(a) =0‬‬
‫•)‪Var (X±b) = Var (X‬‬
‫مثال(‪)6‬‬
‫أوجد تباين ‪ X‬و االنحراف المعياري االعطال في االسبوع لجهاز الحاسوب اذا كان االقتران‬
‫االحتمالي لالعطال االسبوعية كما في الجدول‬
‫)‪P(X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪0.60‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.07‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.03‬‬
‫‪4‬‬
‫)‪(X-µ²)P(x‬‬
‫‪X-µ²‬‬
‫‪X-µ‬‬
‫)‪X P(X‬‬
‫)‪P(X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪0.31974‬‬
‫‪0.5329‬‬
‫‪-0.073‬‬
‫‪0.00‬‬
‫‪0.60‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.01458‬‬
‫‪0.0729‬‬
‫‪0.27‬‬
‫‪0.20‬‬
‫‪0.20‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.16129‬‬
‫‪1.6129‬‬
‫‪1.27‬‬
‫‪0.20‬‬
‫‪0.10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.36070‬‬
‫‪5.1529‬‬
‫‪2.27‬‬
‫‪0.21‬‬
‫‪0.07‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0.32079‬‬
‫‪0.1210.6929‬‬
‫‪3.27‬‬
‫‪0.12‬‬
‫‪0.03‬‬
‫‪4‬‬
‫المجموع‬
‫‪1.177‬‬
‫‪=∑((X-µ)²) P(X)=1.177‬‬
‫√=‬
‫‪= 1.08‬‬
‫‪=√1.177‬‬
‫التباين‬
‫االنحراف‬
‫المعياري‬
‫• نظرية‬
‫لكل متغير عشوائي ‪ X‬اذا كان ‪ b,a‬ثابتين و وضعنا‬
‫‪2‬‬
‫‪ Y= aX+b‬فإن‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫تباين ‪x‬‬
‫حيث‬
‫تباين ‪Y‬‬
‫مثال (‪ )7‬صفحة ‪:137‬‬
‫مثال (‪ )8‬صفحة ‪:138‬‬
‫•نظرية ‪:‬‬
‫إذا كان ‪ X‬متغيرا عشوائيا معدله ‪µ‬و تباينه‬
‫‪2‬‬
‫‪= E(x ) - µ 2‬‬
‫مثال (‪ )9‬صفحة ‪:138‬‬
‫فإن‬
‫احتمال جواب الطالب على‬
‫سؤال اختياري من اربع‬
‫خيارت ¼ عند طرح ‪7‬‬
‫فقرات‬
‫صح‬
‫خطا‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫اذا كان احتمال حضور‬
‫طالبة للمحاضرة ¼ ‪ ,‬و‬
‫تابعت حضورها في ‪5‬‬
‫محاضارات‬
‫اذا كان احتمال حضور‬
‫ظهور رقم ‪ 6‬في النرد‬
‫‪ ,1/6‬و رميت النرد ‪5‬‬
‫مرات‬
‫حاضرة‬
‫غائبة‬
‫جميع هذه‬
‫التجارب‬
‫تحقق لي‬
‫الشروط‬
‫التالية‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫نتيجة كل محاولة هي احد ناتجين إما‬
‫نجاح أو فشل‬
‫نتيجة كل محاولة مستقلة عن أي محاولة‬
‫اخرى‬
‫احتمال النجاح في كل محاولة ثابت ‪p‬‬
‫و احتمال الفشل ثابت ‪q=P-1‬‬
‫تجري التجربة عدد من المرات أي ‪n‬‬
‫من المحاوالت المستقله ( اختار من‬
‫متعدد ‪ ,‬وفيه ‪ 7‬فقرات اذان جربت‬
‫االجابة على االختياري سبع مرات )‬
‫يظهر‬
‫ال يظهر‬
‫تسمى هذه التجربة تجربة‬
‫ذات الحدين‬
‫إذا افترضنا ‪ x‬تمثل عدد نجاح في محاوالت ‪ n‬فإن ‪ x‬يسمى متغير ذات الحدين ‪ ,‬و التوزيع‬
‫االحتمالي لـ ‪ x‬يسمى توزيع ذات الحدين ‪ ,‬حيث ……‪x= 0,1,2,3,‬‬
‫•‬
‫•‬
‫إذا كان ‪ n=1‬فالتجربة تسمى تجربة بيرنوللي‬
‫اليجاد هذا التوزيع نجد احتمال وجود ‪ X‬من النجاحات في المحاوالت ‪ n‬أي نجد )‪P(X)=P(X=x‬‬
‫مثال )‪: (12‬‬
‫رميت قطعة نقود متزنة ‪ 4‬مرات ‪ ,‬أوجدي االقتران االحتمالي لعدد ‪ H‬الظاهر فيها‪.‬‬
‫مثال‬
‫عند رمي حجر النرد ‪ 5‬مرات‪ ,‬ما احتمال عدم ظهور الوجه‪6‬؟ ما احتمال‬
‫ظهور ‪ 6‬مرتين ؟‬
‫عند اجراء تجربة ذات الحدين ‪ 5‬مرات ‪ ,‬نفترض أن ‪ X‬متغير ذات الحدين‪.‬‬
‫احتمال النجاح = ‪ , p‬احتمال الفشل = ‪q=1-p‬‬
‫نستخدم الرموز التالية لتوضيح طريقة ايجاد احتماالت النجاح من التجربة المكرره‬
‫يمثل النجاح ‪P‬‬
‫يمثل الفشل ‪q‬‬
‫لو طلب مني أوجد احتمال )‪P(x=3‬‬
‫ما يعني أن عدد نجاحات ‪ 3‬من عدد المحاوالت ‪5‬‬
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
: ‫إذن‬
‫إذا كان ‪ X‬متغير ذات الحدين ‪ n, P‬فإن ‪:‬‬
‫التوقع‬
‫الرياضي‬
‫‪E(x) = µ = np‬‬
‫التباين‬
‫‪= E( [x- µ ]²)= npq‬‬
‫مثال‬
‫عند رمي حجر النرد ‪ 5‬مرات‪ = X ,‬عدد مرات ظهور ‪ . 3‬أوجدي معدل و تباين‬
‫‪.X‬‬
‫عددالطالبات في قاعة رقم‬
‫‪ 405‬الساعه ‪45: 12‬‬
‫‪.1‬‬
‫عدد الكلمات على اللوح‬
‫عدد األخطاء المطبعية في‬
‫صفحة‬
‫عدد السيارات التي تمر في‬
‫طريق الملك فهد يوم‬
‫السبت‬
‫عدد‬
‫النجاحات في‬
‫فترة زمنية‬
‫معينة أو‬
‫منطقة محددة‬
‫جميع‬
‫التجارب‬
‫السابقة‬
‫تحقق‬
‫الشروط‬
‫التالية‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫معدل عدد النجاحات التي تحدث في‬
‫فترة زمنية معينة أو منطقة محددة‬
‫معلوم‬
‫احتمال حدوث نجاح واحد في فترة‬
‫زمنية قصيرة او منطقة صغيرة تتناسب‬
‫مع طول تلك الفترة او مساحة تلك‬
‫المنطقة‬
‫احتمال حدوث نجاحين أو اكثر في‬
‫الفترة الزمنية القصيرة او المنطقة‬
‫الصغيرة مهمل‬
‫اذا اعتبرنا عدد فترات زمنية منفصلة‬
‫عن بعضها البعض فان حدوث‬
‫النجاحات في أي فترة مستقل عن‬
‫حدوث النجاحات في أي فترة اخرى‬
‫تسمى هذه التجربة تجربة‬
‫بواسون‬
‫يعتبر عدد النجاحات ‪ x‬في تجربة بواسون متغير عشوائي بواسون ‪ ,‬ونمثل اقترانه االحتمالي‬
‫باالقتران ) ‪P( x:‬‬
‫التوزيع االحتمالي لمتغير عشوائي بواسون ‪ X‬الذي يمثل عدد النجاحات في فترة زمنية معينة أو‬
‫منطقة محددة هو ‪:‬‬
‫‪e=2.7182 ,‬‬
‫مثال‬
‫إذا كان معدل حدوث عدد حوادث السيارات عند اشارة ضوءية ‪ 3‬في االسبوع ‪.‬‬
‫ما احتمال عدم حدوث أي حادث عند تلك االشارة في اسبوع معين ؟ ما احتمال‬
‫حدوث حادثين أو أقل في أسبوع معين ؟‬
‫افترض ‪ =X‬عدد الحوادث في اسبوع‬
‫معدل الحوادث = ‪= 3‬‬
‫احتمال عدم حدوث أي حادث‪:‬‬
‫=)‪P(X=0‬‬
‫احتمال حدوث حادثين أو أقل يعني‪:‬‬
‫)‪P(x<=2)= p(X=0)+ p(X=1) + p(X=2‬‬
‫=‬
‫* ‪[ 1+ 3 + 9/2 ] = 8.5‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪0.423‬‬
‫إذا كان ‪ X‬متغير عشوائي بواسون و اقترانه االحتمالي‬
‫معدل عدد الحوادث في الفترة الزمنية المعينة فإن‬
‫حيث‬
‫التوقع‬
‫الرياضي‬
‫= )‪E(X‬‬
‫التباين‬
‫=‬
‫‪ 5-4‬التوزيعات االحتمالية المتصلة ‪:‬‬
‫•هناك بعض المتغيرات العشوائية التي تأخذ جميع القيم في فترة ما ‪ ,‬و تسمى متغير متصل‬
‫• كون المتغير المتصل يأخذ كل القيم في فنرة محدده فإنه ال يمكن عد تلك القيم ‪ ,‬لكنها تقاس بشكل تقريبي‬
‫•طول الطالب في عمر ‪ 16‬سنة‬
‫لو افترضنا اخذ الفتره من ‪ 150.5‬الى ‪ 170.2‬فإنه احتمال ان يكون طول احد الطالب قيمة محددة واحدة‬
‫‪ = 160.9‬صفر‬
‫ألان االحتمال هنا عبارة عن المساحة تحت المنحنى )‪ F(X‬و فوق المحور االفقي المحصورة بين نقطتين‬
‫معينتين ‪a,b‬‬
‫•من صفات المتغير العشوائي المتصل احتمال مساواته ألي قيمة معينة = صفر‬
‫‪b‬‬
‫•تعريف‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫•اذا كان ‪ X‬متغيراً عشوائيا ً متصالً ‪ ,‬وكان )‪ F(X‬دالة حقيقية غير سالبة بحيث تكون المساحة تحته = ‪ 1‬فان‬
‫)‪ F(x‬يسمى ”الكثافة االحتمالية ” أي التوزيع االحتمالي المتصل للمتغير ‪. X‬‬
‫•أما احتمال وقوع ‪ X‬بين قيميتن ‪ X=a, X=b‬فيساوي المساحة تحت المنحى )‪ f(X‬و فوق المحور األفقي و‬
‫المحصورة بين ‪a,b‬‬
‫•و اليجاد هذا االحتمال نوجد المساحة عن طريق النظريات الهندسية أو التكامل أو باستعمال جداول خاصة‬
‫لبعض الدوال الخاصة ‪.‬‬
‫•يمكن الحصول على منحنى التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتصل عمليا ً بطريقة الحصول على‬
‫منحنى التوزيع التكراري النسبي ذي الفئات‬
‫‪‬إذا كان ‪X‬متغيرا عشوائيا مستمرا دالة كثافته‬
‫االحتمالية هي ‪،‬فإن )‪:Fx(X‬‬
‫)‪•fX(x) ≠ P(X=x‬‬
‫‪•P(X=x) = 0 , ∀ x ∈R‬‬
‫)‪•P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b‬‬
‫)‪= P(a < X < b‬‬
‫‪•fX(x) ≥ 0 , ∀ x ∈R‬‬
‫المساحة الكلية تحتى المنحنى =‪1‬‬
‫•‬
‫‪ 1-5-4‬التوزيع الطبيعي ‪:The Normal Distribution‬‬
‫•يعتبر من أهم التوزيعات االحتمالية المتصلة نظريا ً و تطبيقيا ً‬
‫•يوصف التوزيع الطبيعي بمعادلة رياضية تحدد منحناه ‪ ,‬وهي تتعين تماما ً بمعرفة كل من ” التوقع ” و ” التباين ”‬
‫•رمزه‬
‫‪Z:N(µ,‬‬
‫)‪)=>Z:N(0,1‬‬
‫حول الخط المستقسم ‪X=µ‬‬
‫•له منحنى يشبه شكل الجرس ‪ ,‬متماثل‬
‫•و يتقارب الصفر على الجهتين عندما ∞>‪ x-‬و عندما ∞‪X-> -‬‬
‫•عند تغيير ‪ µ‬يمينا او يسارا فان مركز التوزيع ينتقل معها و اليتغير شكل المنحنى‬
‫• تشتت التوزيع ” تباعد المنحنى يقل كلما صغرت ‪ ,‬و يكبر كلما كبرت‬
‫•خواص التوزيع الطبيعي ‪:‬‬
‫‪ .1‬التوزيع الطبيعي متماثل حول العمود المقام على الوسط ‪ µ‬و شكله يشبه شكل الجرس‬
‫‪ .2‬للتوزيع الطبيعي فإن‪ :‬المتوسط = الوسيط = المنوال = ‪µ‬‬
‫‪ .3‬المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي = ‪1‬‬
‫‪ .4‬يتقارب طرفا منحنى التوزيع الطبيعي من الصفر عندما ∞>‪X-> -∞ , x-‬‬
‫‪ .5‬هناك نسب معينة من المساحة الواقعة ضمن أي عدد من االنحرافات المعيارية عن الوسط كما يلي ‪:‬‬
‫‪(µ+ , µ‬‬‫• المساحة ضمن انحراف معياري واحد عن الوسط = المساحة الواقعة على الفتره)‬
‫و تساوي ‪%86.26‬‬
‫• المساحة ضمن انحراف معياري واحد ونص ‪ 1.5‬انحراف معياري عن الوسط = المساحة الواقعة على‬
‫‪) µ+1.5‬‬
‫‪, µ- 1.5‬‬
‫الفترة )‬
‫و تساوي ‪%86.64‬‬
‫• المساحة ضمن انحراف معياري انحراف معياري عن الوسط = المساحة الواقعة على الفترة‬
‫‪) µ+2‬‬
‫‪, µ-2‬‬
‫)‬
‫و تساوي ‪ 95.44‬من المساحة الكلية‬
‫‪ 2-5-4‬التوزيع الطبيعي المعياري ‪:Standard Normal Distribution‬‬
‫•تعريف التوزيع الطبيعي المعياري ‪:‬‬
‫‪Z:N(µ,‬‬
‫هو التوزيع الطبيعي الذي معدله ( وسطه ) صفر و تباينه ‪ 1‬و رمزه‬
‫)‪)=>Z:N(0,1‬‬
‫الطبيعي الذي‬
‫فإذا كان المتغير العشوائي ‪ Z‬يخضع للتوزيع الطبيعي المعياري فإن ذلك يعني أن توزيع ‪ Z‬هو التوزيع‬
‫معدله ‪ µ=0‬و تباينه ‪=1‬‬
‫• نظرية ‪:‬‬
‫اذا كان التوزيع االحتمالي للمتغيرالعشوائي ‪ X‬هو التوزيع الطبيغي ذو المعدل ‪ µ‬و التباين فإن توزيع المتغير‬
‫العشوائي‬
‫‪Z = x-µ‬‬
‫هو التوزيع الطبيعي المعياري‬
‫•” كل قيمة من ‪ X‬يقابلها بالطبع قيمة من قيم ‪ Z‬حسب التحويل السبق ‪ ,‬وتسمى قيم ‪ Z‬القيم المعيارية المقابلة لقيم ‪X‬‬
‫•مالحظات‬
‫من الجدول مباشرة = )‪1. P(Z < z) = Φ(z‬‬
‫)‪2. P(Z > z) = 1 − P(Z < z) = 1 − Φ(z‬‬
‫)‪3. P(z1 < Z < z2) = P(Z < z2) − P(Z < z1‬‬
‫)‪= Φ(z2) − Φ(z1‬‬
‫‪4. P(Z < 0 ) = P(Z > 0) = Φ(0) = 0.5‬‬
‫‪5. P(Z = z) = 0‬‬
‫•طريقة ايجاد )‪ P(Z<z‬من الجدول ‪ 3‬صفحة ‪ 464,465‬بافتراض ان قيمة ‪ z‬مقربة الى قيمتين عشريتين ‪a.bc‬‬
‫من الجدول كل ماهو بعد ‪ , 3.4‬او قبل‬
‫‪ 3.4 -‬هو تقريبا ً = صفر‬
‫•مثال (‪ )16‬صفحة‬
‫•مثال (‪ )17‬صفحة‬
‫•مثال (‪ )18‬صفحة‬
‫•مثال (‪ )19‬صفحة‬
‫•مثال (‪ )20‬صفحة‬
‫•مثال (‪ )21‬صفحة‬
‫•مثال (‪ )22‬صفحة‬
‫‪150‬‬
‫‪151‬‬
‫‪152‬‬
‫‪153‬‬
‫‪154‬‬
‫‪155‬‬
‫‪155‬‬
‫فقرة اضافية‬
‫(د) )‪P(6.5<Z<1‬‬
‫)‪=P(Z<1) – p(Z<6.5‬‬
‫‪=0.8413 – 0‬‬
‫‪=0. 8413‬‬
‫‪ 7-4‬تطبيقات التوزيع الطبيعي ‪:Application on the Normal Distribution‬‬
‫الوسط=المتوسط‬
‫= التوقع =المعدل‬
‫)‬
‫=‪Z‬‬
‫‪Z:N(µ,‬‬
‫‪x-µ‬‬
‫=‪Z‬‬
Z:N(µ,
)
‫‪ 8-4‬توزيعات متصلة غير التوزيع الطبيعي‪:‬‬
‫‪ 1-8-4‬توزيع ‪:t-Distribution t‬‬
‫•تعريف ‪:‬‬
‫إذاكان توزيع الكثافة االحتمالي للمتغير العشوائي ‪ t‬معطى بالمعادلة‬
‫فإن هذا التوزيع يسمى توزيع ‪ t‬حيث‪:‬‬
‫‪ Ʋ‬درجات الحرية‬
‫‪ C‬قيمة ثابتة يعتمد على ‪ Ʋ‬ليجعل المساحة تحت المنحنى =‪1‬‬
‫•خصائص توزيع ‪:t‬‬
‫‪ .1‬يشبه منحناه شكل الجرس‬
‫‪ .2‬احادي المنوال ‪ ,‬له قيمة تقابل ‪t=0‬‬
‫‪ .3‬متماثل حول العمود المقام على ‪t =0‬‬
‫‪ .4‬يشبه شكله الجرس‬
‫‪ .5‬يتقارب طرفيه من الصفر عندما ∞ >‪ t-‬و ∞ >‪t-‬‬
‫‪ .6‬يشبه شكل التوزيع الطبيعي المعياري اال انه أكثر انخفاضا ً منه‬
‫‪ .7‬يعتمد منحنى التوزيع ‪ t‬على معلمة درجات الحرية ‪ Ʋ‬لتحديد شكل‬
‫المنحنى‬
‫‪ .8‬كلما زادت درجات الحرية ‪ Ʋ‬يقترب توزيع ‪ t‬من التوزيع الطبيعي‬
‫المعياري ‪ ,‬وفي هذه الحالة يزداد ارتفاع المنحنى ويصبح أكثر مدب ًبا أي‬
‫أقل تشتتا ً وفي النهاية ينطبق على منحنى التوزيع الطبيعي المعياري‪.‬‬
‫•نحسب االحتماالت تحت توزيع ‪ t‬بحساب المساحات تحت منحنى ذلك‬
‫التوزيع مع معرفة درجات الحرية ‪Ʋ‬‬
‫•هناك جداول خاصة لهذه المساحات‬
‫المساحة‬
‫الواقعة‬
‫على اليسار‬
‫قيم ‪t‬‬
‫درجات‬
‫الحرية‬
‫القيمة ‪ 0.90‬على الخط االفقي ” المساحة يسار قيمة ‪t‬‬
‫و درجات الحرية ‪ 5‬في العمود االيسر‬
‫فإن قيمة ‪t= 1.476‬‬
‫•القيمة ‪ 0.95‬على الخط االفقي ” المساحة يسار قيمة ‪” t‬‬
‫•و درجات الحرية ‪ 7‬في العمود االيسر‬
‫فإن قيمة ‪t= 1.895‬‬
‫مما يعني أن ‪ t =1.895‬هي قيمة ‪ t‬ذي درجات الحرية ‪ 7‬التي يقع يسارها‬
‫‪ 0.95‬من المساحة‬
‫‪ 4.541‬قيمة ‪ t‬ذي ‪ 3‬درجات حرية ‪Ʋ‬‬
‫اليجاد المساحة الى يسار‬
‫‪ .1‬نبحث افقيا داخل الجدول عن القيمة ‪ , t=4.541‬بداية من ‪Ʋ=3‬‬
‫التي تقاطعها‬
‫‪ .2‬اطلع عموديا للبحث عن قيمة‬
‫هنا المساحة الى يسار القيمة ‪ t=4.541‬هي ‪0.99‬‬
‫•نعبر عن قيمة ‪ t‬التي يكون يسارها مساحة معينة قيمتها‬
‫توزيع ‪ t‬ذي درجات حرية ‪ m‬بالرمز ‪:‬‬
‫[‪t‬‬
‫]‪; m‬‬
‫قريبة من ‪1‬‬
‫ومن الجدول نجد أن قيم‬
‫•أما عندما تكون‬
‫تحت منحنى‬
‫صغيرة جداً‪0.05 ,0.01‬‬
‫بسبب ‪T‬حول العمود المقام على الصفر فإن ) ‪t (α ;m ) = −t (1−α ;m‬‬
‫تماثل منحنى توزيع‬
‫•أما قيمة ‪t‬الجدولية التي يكون يمينها مساحة معينة‬
‫]‪t (m)= t[1- ;m‬‬
‫نعبر عنها بالرمز ‪:‬‬
‫•‪ 2-8-4‬توزيع كاي ‪: Chi-Square Distribution‬‬
‫•تعريف ‪:‬‬
‫تقع الى يمينها مساحة‬
‫من الجدول ‪6‬‬
‫•خصائص توزيع كاي‪:‬‬
‫الن الجدول يعطي قيم يمين‬
‫‪ x‬وهنا طلب يسار‬
‫اذن اعمل ‪:‬‬
‫‪1-0.99=0.01‬‬
‫و اجيب القيمة من الجدول‬
‫بالتقاطع مع درجة الحرية‬
‫‪1-0.975=0.025‬‬
‫‪20.483‬‬
‫‪1-0.025=0.975‬‬
: The F-Distribution F ‫ توزيع‬3-8-4•
:F ‫•خصائص توزيع‬
(V1,V2)
F(V1,V2)
(V1,V2)
(V1,V2)
(V1,V2)
‫‪=0.238‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪= 1‬‬
‫‪F[1-.975;7,9] 4.20‬‬
‫]‪F[0.025;10,11‬‬
‫‪=3.53‬‬
‫من الجدول مباشرة‬
‫‪3.64‬‬
‫من الجدول مباشرة‬
‫‪5.64‬‬
Sampling Distribution ‫ توزيعات المعاينة‬9-4
‫‪ 2-9-4‬طرق اختيار العينات االحتمالية ‪:‬‬
‫‪ -1‬طريقة العينة العشوائية البسيطة‬
‫تتصف هذه الطريقة بأن أية مجموعة جزئية من المجتمع االحصائي ‪ ,‬وبحجم معين ‪ ,‬لها نفس الفرصة ( االحتمال‬
‫) لتختار كعينة من ذلك المجتمع االحصائي ‪.‬‬
‫طريقة اختيار العينة ‪:‬‬
‫•‬
‫‪ .1‬نعطي كل عنصر من عناصر المجتمع االحصائي رقم متسلسل (‪-0‬م‪, )1-‬‬
‫حيث م ‪ :‬حجم المجتمع االحصائي‬
‫مثال ‪ :‬م= ‪ )000-799( ,800‬م = ‪(58-00) , 59‬‬
‫‪ .2‬نستعمل جدول االرقام العشوائية‬
‫‪ .1‬نختار أي صفحة من صفحات الجداول‬
‫‪ .2‬نختاررقمين عشوائية (واحد يمثل العمود ‪ ,‬الثاني يمثل الصف ) ثم نقف عند‬
‫تقاطعهم‬
‫‪.3‬نختار ( البحث عموديا ً ” بالتحرك الى أسفل ”‪ ,‬أو افقيا ً“بالتحرك الى اليمين“)‬
‫انطالقا من نقطة التقاطع نختار عدد االعمده او االسطر اللي نبحث فيها‬
‫بحسب عدد خانات حجم المجتمع ( لوكان م=‪800‬اذن ‪ 3‬خانات )‬
‫‪.4‬االرقام التي نمر بها و تكون خارج حجم المجتمع استبعدها ‪ ,‬حتى يكتمل لي‬
‫حجم العينة العشوائية‬
‫مثال ‪ :‬إذا كان حجم المجتمع ‪ 4500‬أسررة ‪ ،‬ونريرد تقردير متوسرط عردد أفرراد األسررة ‪،‬مرن‬
‫خالل سحب عينة عشوائية بسيطة حجمها ‪ 50‬أسرة ‪ ،‬نقروم باختيرار وحردات العينرة علرى النحرو‬
‫التالي ‪:‬‬
‫‪ ‬يالحظ أن عدد منازل حجم المجتمع ‪ 4‬خانات ‪ ،‬لذلك نحتاج إلرى ‪ 4‬أعمردة مرن جردول‬
‫‪.‬‬
‫األرقام العشوائية‬
‫‪‬نختار أحد األرقام عشوائيا من دون النظر إلى الجدول ‪.‬‬
‫‪ ‬نفترض أن نقطة البداية كانت نقطة تقاطع السطر الرابع مرع العمرود الثراني أي الررقم ‪4‬‬
‫نأخذ عن يمينه ‪ 3‬خانات ونقرا من األعلى إلى األسفل‪.‬‬
‫‪‬نحصل على األرقام التالية والتي تمثل أرقاما لألسر المختارة ‪:‬‬
‫‪152 , 1678 , 1027 , 994 , 1144 , 4168 , 652 , 4.............‬‬
‫‪‬ونستمر بذلك حترى نحصرل علرى ‪ 50‬رقمرا عشروائيا مرع إهمرال أي أرقرام تتجراوز حجرم‬
‫المجتمع (‪ ) 4500‬أو تتكرر مرة أخرى ‪.‬‬
‫وبرذلك نحصررل علررى أرقررام ‪ 50‬وحرردة مررن وحرردات المجتمررع والترري شرركلت عينررة عشرروائية‬
‫بسيطة ‪ ،‬ثم نقوم بطرح السؤال المتعلق بعدد أفراد األسرة على الوحدات المختارة ‪.‬‬
‫•العينات العشوائية البسيطة ممكن اختيارا بطريقتين ‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫حجم المجتمع‬
‫‪C‬‬
‫السحب بدون ارجاع ” رفض أي عدد اخذناه بقراءة سابقة ”‬
‫السحب مع االرجاع ” نسمح بامكانية اختيار عنصر اختير في مرة سابق ”‬
‫حجم العينة‬
‫حجم العينة‬
‫حجم المجتمع‬
‫‪ -2‬طريقة العينة الطبقية‪:‬‬
‫•احدى البدائل لطريقة العينة العشوائية‬
‫•تستخدم لزيادة دقة النتائج‬
‫•مثال لوكانت الدراسة تعتمد على العمر ‪ ,,‬فإنه يقوم بتقسيم المجتمع االحصائي‬
‫الى مجموعات جزئية تعتمد على هذه الصفات ‪ ,‬و تسمى كل مجموعة ”طبقة ” ‪,‬‬
‫ثم نختار عينة عشوائية بسيطة من كل طبقة‬
‫‪ -3‬طريقة العينة العنقودية ‪:‬‬
‫•في الطريقتين السابقة كانت تتطلب توفر قائمة بعناصر المجتمع االحصائي ‪ ,‬وقد نواجه حاالت ال تتوفر‬
‫فيها مثل هذه القوائم‪ ,‬بالتالي يتعذر اختيار عينة من تلك المجتمعات ‪.‬‬
‫و البديل لهذه الطريقة ‪...‬هو محاولة تشكيل قائمة باالسماء ‪ ,‬و بالتالي عمل مسح شامل ‪ ,‬و الن المسح‬
‫الشامل قد يكون صعبا ً‬
‫و البديل لهذه الطريقة ‪ ...‬هو ( طريقة العينة العنقودية )‬
‫•في هذه الطريقة نقوم بتقسيم المجتمع االحصائي الى مجموعات جزئية واضحة ‪ ,‬تسمى كل منها ” عنقود‬
‫”‬
‫• مثالً ‪:‬‬
‫اذا اردنا القيام بدراسة حول حجم العائلة في عمان ‪ ,‬محتمل ان ال تتوفر لدينا قوائم باسماء العائالت في‬
‫عمان ‪ ,‬لذلك نقوم بتكوين قائمة كما يلي ‪:‬‬
‫‪ .1‬نقسم عمان الى مناطق سكينة بناء على قاعدة معينة ”جبل عمان ‪ ,‬جبل الحسين ‪ ,‬المحطة ‪“..‬‬
‫‪ .2‬نقسم كل منطقة سكنية الى احياء سكنية ” الحي الشرقي ‪ ,‬الحي الغربي ‪ ,‬الحي الشمالي‪ ,‬الحي‬
‫الجنوبي“‬
‫‪ .3‬سيتكون لدي قائمة بمجموعة المباني التي تغطي عمان ‪ ,‬وتعتبر هذه المجموعات هي عناصر‬
‫المجتمع االحصائي ‪ ,‬و كل وحده من هذه المجموعات تسمى ” عنقود ” ‪.‬‬
‫‪ .4‬نختار عينة من كل عنقود‬
‫‪ -4‬طريقة العينة المنتظمة ‪:‬‬
‫•تستخدم في حالة عدم توفر قائمة بعناصر المجتمع االحصائي‬
‫مثالً ‪:‬‬
‫اذا اردنا اخذ عينة من طالبات جامعة االميرة نورة الذين يرتادون المطعم الجامعي ‪,‬‬
‫•فإننا نطلب من شخص الوقوف على باب المطعم ‪ ,‬وكل خامس شخص يدخل يسأله‬
‫•هنا العينة ليست عشوائية تماما بل منتظمة ‪ ,‬الننا ناخذ كل خامس شخص‬
‫‪ -5‬طريقة العينة المعيارية ‪:‬‬
‫•عند اختيار أي عينة يجب ان تكون ممثلة للمجتمع ‪ ,‬أي يعني أن تتفق مقايسها االحصائية مع‬
‫مقاييس المجتمع االحصائي ” يتفقان بالوسط ‪ ,‬االنحراف المعياري ‪ )...,‬وذلك بسبب ثبات‬
‫المقياس بازدياد حجم العينة تدريجيا ً‬
‫•يتم اختيار مثل هذه العينة بطريقة تتابعية ‪.‬‬
‫مثالً ‪:‬‬
‫اذا اردنا تقدير نسبة نجاح عملية جراحية معينة ‪ ,‬فال نستطيع‬
‫في هذه الحاله نختار عينة من الناس (اصحاء او مرضى ) و نجري عليهم العملية ‪ ,‬ثم نقدر نسبة‬
‫نجاح العملية‪.‬‬
‫في الواقع يتم اختيار هذه العينة بشكل متتابع حيث يحضر المرضى للمستشفى تباعا ً كل ماشعر‬
‫أحد باأللم ‪ ,‬ويقرر المريض بنفسه قبول او رفض العملية ‪ ,‬ثم يقوم المستشفى بعمل سجالت‬
‫للمرضى و نتيجة العملية ‪ ,‬فنحدد نسبة النجاح الو ‪ , 20‬ثم الول ‪ 40‬شخصالى أن نصل الى‬
‫ثبات نسبة النجاح‬
‫‪ 8-9-4‬توزيع المعاينة للنسبة ‪:Sampling Distribution of Propoation‬‬
‫اذا كانت قيمة كل عنصر في مجتمع (‪ (0,1‬أي (نعم ‪ ,‬ال ) أي ( فشل ‪,‬نجاح ) ‪ ,‬فانها تسمى مشاهدات هذه‬
‫المجتمع ” تجربة بيرنوللي“‬
‫•عند أخذ عينة عشوائية من هذا المجتمع ‪ ,‬تكون المعاينة من مجتمع بيرنوللي ‪.‬‬
‫=‪P‬‬
‫•نسبة النجاح تختلف من عينة الخرى ‪X ,‬‬
‫‪n‬‬
‫•‬
‫‪ 9-9-4‬توزيع المعاينة لتباين العينة ‪:Sampling Distribution of S²‬‬
‫نحتاج في كثير من االحيان في تطبيقات االحصاء االستقرائي لمعرفة توزيع تباين العينة ‪ ,‬وسنعطي هذا‬
‫التوزيع في حالة المعاينة من توزيع طبيعي‪.‬‬
‫‪ 10-9-4‬توزيع الفرق بين طرفين‪: Distribution of the difference between two samples means‬‬
‫عند اخذ عينات عشوائية من توزيعات طبيعية مستقلة عن بعضها فإن توزيع الفرق بين وسطين يعطي النظرية‬
‫التالية‪:‬‬
‫‪ 12-9-4‬توزيع المعاينة للنسبة بين تبايني عينتين ‪:‬‬
‫للمقارنة بين تبايني مجتمعين ‪ ,‬فاننا نحتاج النسبة بين تبايني عينتين مأخوذتين من هذين المجتمعين‬