Transcript Probability Review 2

Week 4
Continuous Random Variables & Continuous
Distributions
‫‪ ‬المتغيرات العشوائية المستمرة ال يمكن تحديدها برقم محدد بل نستطيع‬
‫حصرها في فترة محددة‬
‫‪ ‬مثال‪:‬‬
‫طول شخص ما يقع بين ‪ a‬و ‪ , b‬وزن ‪ ...‬الخ‬
‫وبالتالي‪:‬‬
‫)‪P(a<=X<=b‬‬
b
P(a<=X<=b)=

f(x)>=0 ,
∞

∫f(x)
dx =1
-∞
∫f(x) dx
a
: ‫ الدالة تحقق الشرطين‬,a<=b ‫حيث‬
-∞<x<∞

‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫دالة كثافة احتمالية لمتغير عشوائي مستمر ‪ X‬تعطى بالعالقة‬
‫‪f(x)=kēˉ³ˣ‬‬
‫‪x>0‬‬
‫اوجد قيمة ‪ k‬وكذلك )‪P(0.5<X<1‬‬
F(x)=P(X<=x)
x
F(x)= ∫-∞f(t) dt



- ∞<x< ∞
-∞<x<∞
:‫خواصها‬
0<=F(x)<=1, -∞<x<∞ ⇔ F(-∞)=0 , F(∞)=1
When a<b  F(a)<=F(b)
When a<b  P(a<X<b)=F(b)-F(a)
‫‪‬‬
‫أوجد دالة التوزيع التراكمي للمتغير العشوائي السابق ثم استخدم دالة‬
‫التوزيع التراكمي إليجاد )‪P(0.5<x<1‬‬
E(X) =
∞
∫f(x) dx
V(X)=E(X)²-[E(X)]²=
-∞
∞
∫x² f(x) dx - [E(X)]²
-∞
‫للدالة التالية‪:‬‬
‫‪0<=x<=3‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪f(x) =2/9 x,‬‬
‫اثبت أنها دالة كثافة احتمالية لمتغير عشائي ْ‬
‫احسب احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة في الفترة )‪(2, 2.5‬‬
‫أوجد التوقع والتباين‬

Normal Distribution
◦ Standard Normal Distribution

Uniform Distribution

Exponential Distribution
‫‪‬‬
‫اذا كان المتغير العشوائي ‪ X‬له توقع وتباين ‪ .‬فان المتغير العشوائي‬
‫)‪Z= X-E(X‬‬
‫‪ơ‬‬
‫‪ ‬له توقع ‪E(Z)=0‬‬
‫‪ ‬وتباين ‪V(Z)= 1‬‬
‫فاذا كان )‪X ̴N(100,100‬‬
‫فان )‪Z ̴N(0,1‬‬
‫‪ ‬وتكون دالة الكثافة االحتمالية للمتغير العشوائي ‪Z‬‬
‫∞<‪- ∞<z‬‬
‫‪‬‬
‫‪-z²‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f(z)= ___1_ e‬‬
‫دالة التوزيع التراكمي‪-∞<z<∞ :‬‬
‫‪√2Pi‬‬
‫‪z‬‬
‫‪∫-∞f(t) dt‬‬
‫=)‪F(z‬‬
‫‪‬‬
‫هو توزيع احتمالي لمتغير عشوائي ‪ X‬يأخذ جميع القيم الممكنة في الفترة‬
‫)‪(a,b‬‬
‫‪‬‬
‫دالة الكثافة االحتمالية‬
‫‪‬‬
‫دالة التوزيع التراكمي‬
‫‪‬‬
‫توقع‬
‫‪‬‬
‫تباين‬
‫)‪f(x)=1/(a-b‬‬
‫)‪F(x)=(x-a)/(b-a‬‬
‫‪E(X)=(a+b)/2‬‬
‫‪V(X)=(b-a)²/12‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫للمتغير العشوائي )‪ X ̴ U(0,6‬أوجد‬
‫دالة الكثافه االحتمالية‬
‫)‪P(2<=X<=4‬‬
‫)‪P(X>5‬‬
‫توقع وتباين المتغير العشوائي‬
‫‪‬‬
‫توزيع مهم لوصف الظواهر العشوائية مثل (الزمن الذي تستغرقه اله كي‬
‫تتعطل‪ ,‬الزمن الذي تستغرقه لمبه كي تحترق‪,‬الزمن بين وصول زبون واخر‪,‬‬
‫الزمن الذي يستغرقه صراف في بنك لخدمة زبون)‬
‫‪‬‬
‫دالة الكثافة االحتمالية‬
‫‪‬‬
‫دالة التوزيع التراكمي‬
‫‪‬‬
‫توقع‬
‫‪‬‬
‫تباين‬
‫‪-ℷx‬‬
‫‪f(x)=ℷe‬‬
‫‪-ℷx‬‬
‫‪F(x)=1-e‬‬
‫‪E(X)=1/ℷ‬‬
‫‪V(X)=1/ℷ²‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مكتوب على علبة للمبة نبون ان متوسط عمرها هو ‪ 8760‬ساعة‬
‫اضاءه ‪ ,‬اذا علم ان عمر لمبة النيون له توزيع اسي اوجد‪:‬‬
‫ان تستمر اللمبة في االضاءه الكثر من ‪ 3‬سنوات قبل ان تحترق‬
‫ماهو احتمال ان تحترق اللمبه قبل شهر من بداية استخدامها‬
‫ماهو احتمال ان تحترق اللمبه خالل ساعة من استخدامها‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫مبادئ اإلحصاء واالحتماالت‬
‫المؤلفين ‪:‬‬
‫◦ د‪ .‬محمود هندي‬
‫◦ د‪ .‬عدنان بري‬