p(X)= 1 - WordPress.com
Download
Report
Transcript p(X)= 1 - WordPress.com
الفصل الرابع
المتغيرات العشوائية
و التوزيعات االحتمالية
و توزيعات المعاينة
أ.سارة السديري
عند رمي قطعة النقود ثالث مرات متتالية
عدد عناصر فضاء العينة =8= 2³
فضاء العينة في هذه التجربة هو :
فضاء العينة في هذه التجربة هو :
} , THT , TTH , HTT
اذا كان = Xظهور Hفي كل نقطة
فضاء العينة في هذه التجربة هو :
} , THT , TTH , HTT
1
1
1
, TTT
, THH
HTH
, TTT
, THH
HTH
0
2
2
S = { HHH , HHT ,
S = { HHH , HHT ,
2
Xيربط بين عناصر فضاء العينة و مجموعة األعداد الحقيقية {}0,1,2.3
Xدالة حقيقية تسمى بـــ متفير عشوائي
3
1-4المتغيرات العشوائية Random Variable
•تعريف المتغير العشوائي:
المتغير العشوائي Xهو اقتران حقيقي (دالة حقيقية ) يعرف على فضاء العينة , Sأي أن المتغير
العشوائي هو اقتران تعريفه فضاء العينة و مداه مجموعة جزئية من األعداد الحقيقية.
•المتغير العشوائي يعطي قيمة حقيقية وحيدة لكل عنصر من عناصر فضاء العينة S
•المتغير العشوائي Xهو طبيق مجالة فضاء العينة Sومجاله المقابل مجموعة االعداد الحقيقية
X: S
R . R
هناك عدة أنواع للمتغيرات العشوائية نذكر منها نوعين هما:
•متغيرات عشوائية منفصلة أو متقطعة Discrete Random Variables
•متغيرات عشوائية متصلة أو مستمرة Continuous Random Variables
2-4التوزيعات االحتمالية المنفصلة
•تعريف المتغير العشوائي المنفصل :
يكون المتغير العشوائي Xمتغيرعشوائي متقطع إذا كانت مجموعة القيم الممكنة له (المدى)
)X(Sهي مجموعة متقطعة ( قابلة للعد) ,ومنتهية.
عدد األوالد الذكور في األسرة المكونة من أربع أوالد X:{x=0,1,2,3,4 ،X
•تعريف التوزيع االحتمالي ( االقتران االحتمالي ) المنفصل :
هو كل جدول أو معادلة تعطي جميع القيم التي يمكن أن يأخذها متغير عشوائي مع احتمال كل قيمة منها
•شروط التوزيع ( االقتران )االحتمالي :
• مجموع االحتماالت =1
• P(x) >= 0
مثال (: )1
اذا رميت قطعة نقود متزنة , 3و عرف المتغير العشوائي = Xعدد الظهور H
أوجد فضاء العينة ,أوجد القيم الممكنة للمتغير ,Xاوجد احتمال جميع نقاط الفضاء التي ارتبطت بكل قيمة من قيم المتغير X
)1نوجد فضاء العينة
}S= {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT
)2نوجد القيم الممكنة للمتغير X
}X={0,1,2,3
)3نوجد احتمال جميع نقاط الفضاء التي ارتبطت بكل قيمة من قيم المتغير X
P(X=0 )= 1/8
P(X=1)= 3/8
P(x=2)= 3/8
P(x=3)= 1/8
P(HHH)=1/8
P(X<1)=1/8
مثال :
من فضاء العينة لرمي قطعة نقود متزنة 3مرات ,أوجد =Yالقيمة المطلقة للفرق بين عدد Hو عدد T
)1نوجد فضاء العينة
}S= {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT
)2نوجد القيم الممكنة للمتغير Y
}Y={1,3
باستخدام الجدول :
القيمة
1
3
)P(Y=y
6/8=3/4
2/8=1/4
مثال ( )1باستخدام المعادلة :
3
P(x)= P(X=x)= 3
1
X
2
( (( (
)P(X
باستخدام المدرج التكراري
3/8
2/8
1/8
3
2
1
0
مثال
عند رمي حجر النرد مرتين متتاليتين ,نعرف Xعلى أنه مجموع الرقمين
الظاهرين
فضاء العينة في هذه التجربة هو :
عدد عناصر فضاء العينة =36=6²
6
5
4
3
2
1
)(6,1
)(5,1
)(4,1
)(3,1
)(2,1
)(1,1
1
)(6,2
)(5,2
)(4,2
)(3,2
)(2,2
)(1,2
2
)(6,3
)(5,3
)(4,3
)(3,3
)(2,3
)(1,3
3
)(6,4
)(5,4
)(4,4
)(3,4
)(2,4
)(1,4
4
)(6,5
)(5,5
)(4,5
)(3,5
)(2,5
)(1,5
5
)(6,6
)(5,6
)(4,6
)(3,6
)(2,6
)(1,6
6
Xمتغير عشوائي معرف على , Sمداه }{2,3,4,……….,11,12
ماهو احتمال X=4؟ أي احتمال ان يكون مجموع العددين بالنقطة = 4
X= 4عند النقاط }){(3,1), (2,2), (1,3
P(X=4) = 3/36 =0.0833
مثال(: )3
هل االقتران P(x)= X/10 ; X= 1,2,3,4
غير ذلك , P(X)=0يمثل توزيعا ً احتماليا ً ؟
الشرط ∑p(X)= 1 :1
∑p(X)= ∑x/10=1/10+2/10+3/10+4/10 = 1
الشرط P(X)>=0 : 2
الواضح أنه لهذه القيم, x=1,2,3,4لغير هذه القيم p(x)=0
إذن يحقق الشرط
3-4التوقع الرياضي Mathematical Expectation
•تعريف التوقع الرياضي :
اذا كان Xمتغيرا عشوائيا منفصالً و كان توزيعه االحتمالي ) P(Xفإن توقعه الرياضي (وسطه (
يكون :
أو
عدد النتيجة الممكنة * التكرار النسبي= )E(X
مثال :
التوقع الرياضي لرمي ثالثة قطع نقود 10مرات
بداللة التكرار النسبي
التكرارات النسبيه 2/10,3/10,3/10,2/10
النتائج الممكنه )(0,1,2,3
(0*2 + 1*3 + 2*3 + 3*2) /10 = 1.5
مثال ( )4صفحة : 133
مثال
أوجد معدل عدد االعطال في االسبوع لجهاز الحاسوب اذا كان االقتران االحتمالي لالعطال
االسبوعية كما في الجدول
)X P(X
)P(X
X
0.00
0.60
0
0.20
0.20
1
0.20
0.10
2
0.21
0.07
3
0.12
0.03
4
∑Xp(x)= 0.73
المجموع
•تعريف التوقع الرياضي القتران متغير عشوائي منفصل ): H(X
)E( H(X) )= ∑H(x) p(x
حيث) P(Xهو توزيع Xاالحتمالي
و اذا كان H(X)= Xᵏفيسمى ) , E( H(X) ) =E(Xᵏالعزم
Kحول نقطة األصل للمتغير العشوائي X
مثال
من جدول المثال السابق اذا كانت تكلفة اصالح Xمن اعطال الحاسوب تعطى بالمعادلة
, Y=H(X)= X²+7Xفما هو توقع Y؟
)H(X) P(X
H(X)=X²+7X
)P(X
X
0.00
0
0.60
0
1.60
8
0.20
1
1.80
18
0.10
2
2.10
30
0.07
3
1.32
44
0.03
4
∑(x)p(x)= 6.82
المجموع
•خواص التوقع الرياضي
•E(a) =a
•E(X±b) = E(X) ±b
•)E(aX) =a E(X
• E(aX±b) = aE(X) ±b
•A=0
E(aX±b) = E(b) =b
•B=0
)E(aX±b )= a E(x
•التوقع الرياضي لمجموع اقترانين لمتغير عشوائي = مجموع التوقعين الرياضين لالقتران أي:
) )E( f(X) +g(X) ) = E(f(X) ) + E (g(X
•تعريف التباين :Variance
تباين المتغير العشوائي Xالذي معدلة µهو:
)= ∑(X-µ)2 p(X
حيث ) P(Xهو توزيع Xاالحتمالي و بفرض أن التوزيع منفصل ,
و يعرف االنحراف المعياري
بالجذر التربيعي الموجب للتباين أي أن :
• خواص التباين
•Var(a) =0
•)Var (X±b) = Var (X
مثال()6
أوجد تباين Xو االنحراف المعياري االعطال في االسبوع لجهاز الحاسوب اذا كان االقتران
االحتمالي لالعطال االسبوعية كما في الجدول
)P(X
X
0.60
0
0.20
1
0.10
2
0.07
3
0.03
4
)(X-µ²)P(x
X-µ²
X-µ
)X P(X
)P(X
X
0.31974
0.5329
-0.073
0.00
0.60
0
0.01458
0.0729
0.27
0.20
0.20
1
0.16129
1.6129
1.27
0.20
0.10
2
0.36070
5.1529
2.27
0.21
0.07
3
0.32079
0.1210.6929
3.27
0.12
0.03
4
المجموع
1.177
=∑((X-µ)²) P(X)=1.177
√=
= 1.08
=√1.177
التباين
االنحراف
المعياري
• نظرية
لكل متغير عشوائي Xاذا كان b,aثابتين و وضعنا
2
Y= aX+bفإن
=
a
تباين x
حيث
تباين Y
مثال ( )7صفحة :137
مثال ( )8صفحة :138
•نظرية :
إذا كان Xمتغيرا عشوائيا معدله µو تباينه
2
= E(x ) - µ 2
مثال ( )9صفحة :138
فإن
احتمال جواب الطالب على
سؤال اختياري من اربع
خيارت ¼ عند طرح 7
فقرات
صح
خطا
.1
.2
اذا كان احتمال حضور
طالبة للمحاضرة ¼ ,و
تابعت حضورها في 5
محاضارات
اذا كان احتمال حضور
ظهور رقم 6في النرد
,1/6و رميت النرد 5
مرات
حاضرة
غائبة
جميع هذه
التجارب
تحقق لي
الشروط
التالية
.3
.4
نتيجة كل محاولة هي احد ناتجين إما
نجاح أو فشل
نتيجة كل محاولة مستقلة عن أي محاولة
اخرى
احتمال النجاح في كل محاولة ثابت p
و احتمال الفشل ثابت q=P-1
تجري التجربة عدد من المرات أي n
من المحاوالت المستقله ( اختار من
متعدد ,وفيه 7فقرات اذان جربت
االجابة على االختياري سبع مرات )
يظهر
ال يظهر
تسمى هذه التجربة تجربة
ذات الحدين
إذا افترضنا xتمثل عدد نجاح في محاوالت nفإن xيسمى متغير ذات الحدين ,و التوزيع
االحتمالي لـ xيسمى توزيع ذات الحدين ,حيث ……x= 0,1,2,3,
•
•
إذا كان n=1فالتجربة تسمى تجربة بيرنوللي
اليجاد هذا التوزيع نجد احتمال وجود Xمن النجاحات في المحاوالت nأي نجد )P(X)=P(X=x
مثال ): (12
رميت قطعة نقود متزنة 4مرات ,أوجدي االقتران االحتمالي لعدد Hالظاهر فيها.
مثال
عند رمي حجر النرد 5مرات ,ما احتمال عدم ظهور الوجه6؟ ما احتمال
ظهور 6مرتين ؟
عند اجراء تجربة ذات الحدين 5مرات ,نفترض أن Xمتغير ذات الحدين.
احتمال النجاح = , pاحتمال الفشل = q=1-p
نستخدم الرموز التالية لتوضيح طريقة ايجاد احتماالت النجاح من التجربة المكرره
يمثل النجاح P
يمثل الفشل q
لو طلب مني أوجد احتمال )P(x=3
ما يعني أن عدد نجاحات 3من عدد المحاوالت 5
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
P³q² =
: إذن
إذا كان Xمتغير ذات الحدين n, Pفإن :
التوقع
الرياضي
E(x) = µ = np
التباين
= E( [x- µ ]²)= npq
مثال
عند رمي حجر النرد 5مرات = X ,عدد مرات ظهور . 3أوجدي معدل و تباين
.X
عددالطالبات في قاعة رقم
405الساعه 45: 12
.1
عدد الكلمات على اللوح
عدد األخطاء المطبعية في
صفحة
عدد السيارات التي تمر في
طريق الملك فهد يوم
السبت
عدد
النجاحات في
فترة زمنية
معينة أو
منطقة محددة
جميع
التجارب
السابقة
تحقق
الشروط
التالية
.2
.3
.4
معدل عدد النجاحات التي تحدث في
فترة زمنية معينة أو منطقة محددة
معلوم
احتمال حدوث نجاح واحد في فترة
زمنية قصيرة او منطقة صغيرة تتناسب
مع طول تلك الفترة او مساحة تلك
المنطقة
احتمال حدوث نجاحين أو اكثر في
الفترة الزمنية القصيرة او المنطقة
الصغيرة مهمل
اذا اعتبرنا عدد فترات زمنية منفصلة
عن بعضها البعض فان حدوث
النجاحات في أي فترة مستقل عن
حدوث النجاحات في أي فترة اخرى
تسمى هذه التجربة تجربة
بواسون
يعتبر عدد النجاحات xفي تجربة بواسون متغير عشوائي بواسون ,ونمثل اقترانه االحتمالي
باالقتران ) P( x:
التوزيع االحتمالي لمتغير عشوائي بواسون Xالذي يمثل عدد النجاحات في فترة زمنية معينة أو
منطقة محددة هو :
e=2.7182 ,
مثال
إذا كان معدل حدوث عدد حوادث السيارات عند اشارة ضوءية 3في االسبوع .
ما احتمال عدم حدوث أي حادث عند تلك االشارة في اسبوع معين ؟ ما احتمال
حدوث حادثين أو أقل في أسبوع معين ؟
افترض =Xعدد الحوادث في اسبوع
معدل الحوادث = = 3
احتمال عدم حدوث أي حادث:
=)P(X=0
احتمال حدوث حادثين أو أقل يعني:
)P(x<=2)= p(X=0)+ p(X=1) + p(X=2
=
* [ 1+ 3 + 9/2 ] = 8.5
=
+
+
=
0.423
إذا كان Xمتغير عشوائي بواسون و اقترانه االحتمالي
معدل عدد الحوادث في الفترة الزمنية المعينة فإن
حيث
التوقع
الرياضي
= )E(X
التباين
=
5-4التوزيعات االحتمالية المتصلة :
•هناك بعض المتغيرات العشوائية التي تأخذ جميع القيم في فترة ما ,و تسمى متغير متصل
• كون المتغير المتصل يأخذ كل القيم في فنرة محدده فإنه ال يمكن عد تلك القيم ,لكنها تقاس بشكل تقريبي
•طول الطالب في عمر 16سنة
لو افترضنا اخذ الفتره من 150.5الى 170.2فإنه احتمال ان يكون طول احد الطالب قيمة محددة واحدة
= 160.9صفر
ألان االحتمال هنا عبارة عن المساحة تحت المنحنى ) F(Xو فوق المحور االفقي المحصورة بين نقطتين
معينتين a,b
•من صفات المتغير العشوائي المتصل احتمال مساواته ألي قيمة معينة = صفر
b
•تعريف:
a
•اذا كان Xمتغيراً عشوائيا ً متصالً ,وكان ) F(Xدالة حقيقية غير سالبة بحيث تكون المساحة تحته = 1فان
) F(xيسمى ”الكثافة االحتمالية ” أي التوزيع االحتمالي المتصل للمتغير . X
•أما احتمال وقوع Xبين قيميتن X=a, X=bفيساوي المساحة تحت المنحى ) f(Xو فوق المحور األفقي و
المحصورة بين a,b
•و اليجاد هذا االحتمال نوجد المساحة عن طريق النظريات الهندسية أو التكامل أو باستعمال جداول خاصة
لبعض الدوال الخاصة .
•يمكن الحصول على منحنى التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي المتصل عمليا ً بطريقة الحصول على
منحنى التوزيع التكراري النسبي ذي الفئات
إذا كان Xمتغيرا عشوائيا مستمرا دالة كثافته
االحتمالية هي ،فإن ):Fx(X
)•fX(x) ≠ P(X=x
•P(X=x) = 0 , ∀ x ∈R
)•P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b
)= P(a < X < b
•fX(x) ≥ 0 , ∀ x ∈R
المساحة الكلية تحتى المنحنى =1
•
1-5-4التوزيع الطبيعي :The Normal Distribution
•يعتبر من أهم التوزيعات االحتمالية المتصلة نظريا ً و تطبيقيا ً
•يوصف التوزيع الطبيعي بمعادلة رياضية تحدد منحناه ,وهي تتعين تماما ً بمعرفة كل من ” التوقع ” و ” التباين ”
•رمزه
Z:N(µ,
))=>Z:N(0,1
حول الخط المستقسم X=µ
•له منحنى يشبه شكل الجرس ,متماثل
•و يتقارب الصفر على الجهتين عندما ∞> x-و عندما ∞X-> -
•عند تغيير µيمينا او يسارا فان مركز التوزيع ينتقل معها و اليتغير شكل المنحنى
• تشتت التوزيع ” تباعد المنحنى يقل كلما صغرت ,و يكبر كلما كبرت
•خواص التوزيع الطبيعي :
.1التوزيع الطبيعي متماثل حول العمود المقام على الوسط µو شكله يشبه شكل الجرس
.2للتوزيع الطبيعي فإن :المتوسط = الوسيط = المنوال = µ
.3المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي = 1
.4يتقارب طرفا منحنى التوزيع الطبيعي من الصفر عندما ∞>X-> -∞ , x-
.5هناك نسب معينة من المساحة الواقعة ضمن أي عدد من االنحرافات المعيارية عن الوسط كما يلي :
(µ+ , µ• المساحة ضمن انحراف معياري واحد عن الوسط = المساحة الواقعة على الفتره)
و تساوي %86.26
• المساحة ضمن انحراف معياري واحد ونص 1.5انحراف معياري عن الوسط = المساحة الواقعة على
) µ+1.5
, µ- 1.5
الفترة )
و تساوي %86.64
• المساحة ضمن انحراف معياري انحراف معياري عن الوسط = المساحة الواقعة على الفترة
) µ+2
, µ-2
)
و تساوي 95.44من المساحة الكلية
2-5-4التوزيع الطبيعي المعياري :Standard Normal Distribution
•تعريف التوزيع الطبيعي المعياري :
Z:N(µ,
هو التوزيع الطبيعي الذي معدله ( وسطه ) صفر و تباينه 1و رمزه
))=>Z:N(0,1
الطبيعي الذي
فإذا كان المتغير العشوائي Zيخضع للتوزيع الطبيعي المعياري فإن ذلك يعني أن توزيع Zهو التوزيع
معدله µ=0و تباينه =1
• نظرية :
اذا كان التوزيع االحتمالي للمتغيرالعشوائي Xهو التوزيع الطبيغي ذو المعدل µو التباين فإن توزيع المتغير
العشوائي
Z = x-µ
هو التوزيع الطبيعي المعياري
•” كل قيمة من Xيقابلها بالطبع قيمة من قيم Zحسب التحويل السبق ,وتسمى قيم Zالقيم المعيارية المقابلة لقيم X
•مالحظات
من الجدول مباشرة = )1. P(Z < z) = Φ(z
)2. P(Z > z) = 1 − P(Z < z) = 1 − Φ(z
)3. P(z1 < Z < z2) = P(Z < z2) − P(Z < z1
)= Φ(z2) − Φ(z1
4. P(Z < 0 ) = P(Z > 0) = Φ(0) = 0.5
5. P(Z = z) = 0
•طريقة ايجاد ) P(Z<zمن الجدول 3صفحة 464,465بافتراض ان قيمة zمقربة الى قيمتين عشريتين a.bc
من الجدول كل ماهو بعد , 3.4او قبل
3.4 -هو تقريبا ً = صفر
•مثال ( )16صفحة
•مثال ( )17صفحة
•مثال ( )18صفحة
•مثال ( )19صفحة
•مثال ( )20صفحة
•مثال ( )21صفحة
•مثال ( )22صفحة
150
151
152
153
154
155
155
فقرة اضافية
(د) )P(6.5<Z<1
)=P(Z<1) – p(Z<6.5
=0.8413 – 0
=0. 8413
7-4تطبيقات التوزيع الطبيعي :Application on the Normal Distribution
الوسط=المتوسط
= التوقع =المعدل
)
=Z
Z:N(µ,
x-µ
=Z
Z:N(µ,
)
8-4توزيعات متصلة غير التوزيع الطبيعي:
1-8-4توزيع :t-Distribution t
•تعريف :
إذاكان توزيع الكثافة االحتمالي للمتغير العشوائي tمعطى بالمعادلة
فإن هذا التوزيع يسمى توزيع tحيث:
Ʋدرجات الحرية
Cقيمة ثابتة يعتمد على Ʋليجعل المساحة تحت المنحنى =1
•خصائص توزيع :t
.1يشبه منحناه شكل الجرس
.2احادي المنوال ,له قيمة تقابل t=0
.3متماثل حول العمود المقام على t =0
.4يشبه شكله الجرس
.5يتقارب طرفيه من الصفر عندما ∞ > t-و ∞ >t-
.6يشبه شكل التوزيع الطبيعي المعياري اال انه أكثر انخفاضا ً منه
.7يعتمد منحنى التوزيع tعلى معلمة درجات الحرية Ʋلتحديد شكل
المنحنى
.8كلما زادت درجات الحرية Ʋيقترب توزيع tمن التوزيع الطبيعي
المعياري ,وفي هذه الحالة يزداد ارتفاع المنحنى ويصبح أكثر مدب ًبا أي
أقل تشتتا ً وفي النهاية ينطبق على منحنى التوزيع الطبيعي المعياري.
•نحسب االحتماالت تحت توزيع tبحساب المساحات تحت منحنى ذلك
التوزيع مع معرفة درجات الحرية Ʋ
•هناك جداول خاصة لهذه المساحات
المساحة
الواقعة
على اليسار
قيم t
درجات
الحرية
القيمة 0.90على الخط االفقي ” المساحة يسار قيمة t
و درجات الحرية 5في العمود االيسر
فإن قيمة t= 1.476
•القيمة 0.95على الخط االفقي ” المساحة يسار قيمة ” t
•و درجات الحرية 7في العمود االيسر
فإن قيمة t= 1.895
مما يعني أن t =1.895هي قيمة tذي درجات الحرية 7التي يقع يسارها
0.95من المساحة
4.541قيمة tذي 3درجات حرية Ʋ
اليجاد المساحة الى يسار
.1نبحث افقيا داخل الجدول عن القيمة , t=4.541بداية من Ʋ=3
التي تقاطعها
.2اطلع عموديا للبحث عن قيمة
هنا المساحة الى يسار القيمة t=4.541هي 0.99
•نعبر عن قيمة tالتي يكون يسارها مساحة معينة قيمتها
توزيع tذي درجات حرية mبالرمز :
[t
]; m
قريبة من 1
ومن الجدول نجد أن قيم
•أما عندما تكون
تحت منحنى
صغيرة جداً0.05 ,0.01
بسبب Tحول العمود المقام على الصفر فإن ) t (α ;m ) = −t (1−α ;m
تماثل منحنى توزيع
•أما قيمة tالجدولية التي يكون يمينها مساحة معينة
]t (m)= t[1- ;m
نعبر عنها بالرمز :
: Chi-Square Distribution توزيع كاي2-8-4•
: •تعريف
•خصائص توزيع كاي:
الن الجدول يعطي قيم يمين
xوهنا طلب يسار
اذن اعمل :
1-0.99=0.01
و اجيب القيمة من الجدول
بالتقاطع مع درجة الحرية
1-0.975=0.025
20.483
1-0.025=0.975
: The F-Distribution F توزيع3-8-4•
:F •خصائص توزيع
(V1,V2)
F(V1,V2)
(V1,V2)
(V1,V2)
(V1,V2)
= 1
= 1
F[0.975;10,11] 3.53