Transcript مثال (1)
Week 3
االحتمال ..كلمة للتعبير عن حدث بذاته غير مؤكد الحدوث
التجربة العشوائية )(Random Experiment
التجربة التي تكون جميع نتائجها معلومة ولكن ال يمكن ألحد التنبؤ
بحدوث هذه النتائج مسبقا
مثال (:)1
رمي قطعة نقود مرة واحدة
نتائجها الممكنة :ظهور الصورة أو ظهور الكتابة
فراغ العينة )(Sample Space
المجموعة المكونة من جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية
ويرمز لها )(S
كل نتيجة تسمى :نقطة عينة مثال (: )1}S={H,T
حيث:
الصورة = H
الكتابة = T
الحدث )(Event
◦ تكون الحادثة Aوقعت اذا ظهر في التجربة واحد او اكثر من النتائج المحتملة
للتجربة
◦ مثال (:)1
◦ الحادثة Aتمثل ظهور صورة :
}A= {H
الحاالت المتنافية :استحالة وقوع حادثتين في نفس الوقت
احسبي الحوادث التالية وعدد عناصر كل منها للتجربة:
رمي قطعة نقود مرتين ..حيث
}الحصول على صورة Hفي الرمية األولى {=A
}الحصول على كتابة Tفي الرمية األولى {=B
}الحصول على صورة واحدة على األقل {=C
S={HH,HT,TH,TT}
A={HH,HT}
n(A)=2
B={TH,TT}
n(B)=2
C={HH,HT,TH}
n(c)=3
االتحاد
A
B
التقاطع
A B
الحادثة المكملة
C
A
)P(A)= n(A
)n(S
) = n(Aعدد عناصر الحادثة A
)= n(Sعدد عناصر فراغ العينة S
مثال(: )1
ما هو احتمال حدوث ظهور صورة في كال الرميتين؟
A={HH} n(A)=1
P(A)= 1/4
هو قيمة عددية تعرف على نقاط فراغ العينة الناتجة عن تجربة عشوائية
الغرض منه :تسهيل التعامل مع التجارب العشوائية
مثـــال (:)1
فراغ العينة لرمي قطعة النقود S={HH,HT,TH,TT} :
نعرف المتغير العشوائي =Xعدد الصور الظاهرة
فيكون:
, X({TH})=1
, X({HT})=1
القيم الممكنة للمتغير العشوائي:
x=0,1,2
X({HH})=2
X({TT})=0
هو وضع جميع القيم الممكنة لمتغير عشوائي مع احتماالتها في جدول
او دالة :
f(x)=p(X=x), ∀x
تسمى دالة التوزيع االحتمالي )(Probability Distribution Function
أو دالة الكتلة االحتمالية )(Probability Mass Function
دالة التوزيع االحتمالي للمتغير العشوائي = Xعدد الصور الظاهرة:
)f(x)=P(X=x
X
Probability Distribution Function
Random Variable
1/4
0
2/4
1
1/4
2
خواصها:
تتراوح قيمها بين ()1-0 -مجموع الدالة االحتمالية=1
f(x)=p(X<=x)
F(0)=P(X<=0)=1/4
F(1)=P(X<=1)=3/4
F(2)=P(X<=2)=4/4 =1
E(X) المتوسط أو القيمة المتوقعة للمتغير هي ת او
E(X)=Ƹxi.f(xi)
x
(i=1…n)
f(x)=P(X=x)
x.f(x)
Random Variable
Probability Distribution
Function
Expected Value
0
1/4
0
1
2/4
2/4
2
1/4
2/4
E(X)=Ƹxi.f(xi)
1
V(X)=E(X²)-[E(X)]²
x
f(x)=P(X=x)
x.f(x)
x². f(x)
Random Variable
Probability Distribution Function
Expected Value
0
1/4
0
0
1
2/4
2/4
2/4
2
1/4
2/4
4/4
V(X) =E(X²)-[E(X)]²
Variance
6/4 - 1=1/2
Discrete Uniform Distribution
Poisson Distribution
قيمه احتماالت متساويةX هو توزيع لمتغير عشوائي
f(x1)=f(x2)=……=f(xn)
f(x)=1/n
Variance of a Random Variable = V(X)=E(X²)-[E(X)]²
Expected Value of a Random Variable = E(X)=Ƹxi.f(xi)
(i=1…n)
رمي مكعب متزن مرقم على من ( , )6-1عرف المتغير العشوائي
= Xالرقم الظاهر في األعلى
Random value: 1,2,…..,6
f(x)=1/6
E(X)=1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6
+6*1/6 = 21/6
V(X)= 91/6 – (21/6)² = 105/36
هو توزيع متغير عشوائي يمثل عدد األحداث التي تحدث في فترة زمنية
أو مكانية محددة
ℷˣ -ℷ
e
!x
=)f(x
E(X)=ℷ
V(X)= ℷ
اذا كان متوسط وصول السفن الى احد الموانئ سفينتان في اليوم .أوجد
احتمال ان تصل 3سفن لهذا الميناء في يوم معين
تعريف المتغير العشوائي =Xعدد السفن الواصلة
القيم الممكنة …x=0,1,2,
احتمال ان تصل 3سفن لهذا الميناء في يوم معين هو
f(3)=(2)ˣ / 3! * e-2
= 0.18