Transcript تعريــف
1
الفصل األول
الــفـضــــاءات
الـتـبـولـــوجـيــة
2
تعريــف التبــولــوجيــــا ()Topology
لتكن Xأية مجموعة غير خالية ،العائلة τالمكونة من المجموعات الجزئية من X
سمى تبولوجيا على Xإذا حققت الشروط التالية :
تُ ّ
X -1والمجموعة الخالية φتنتميان لـ . τ
-2تقاطع أي عنصرين في τينتمي لـ . τ
-3اتحاد أي عدد (منته أو غير منته ) من عناصر τينتمي لـ . τ
فضاء تبولوجياً ( ، )topology spaceولالختصار نقول بأن
ُيسمى الزوج ()X,τ
ً
Xفضاء تبولوجي
3
مثــال:
افرض } ، X = {1,2,3,4,5لنأخذ العائلة التالية من المجموعات الجزئية
لـ X
} }τ = {φ ,X,{1},{2,5},{1,2,5
هل هذه العائلة تشكل تبولوجي على Xأم ال؟؟؟؟
4
تعريــف :
إذا كان ( )X,τأي فضاء تبولوجي ،فان عناصر τتسمى مجموعات مفتوحة(.)open set
• تكون المجموعة الجزئية في أي فضاء تبولوجي مغلقة إذا وفقط إذا كانت متممتها
مفتوحة .
• أي أن A:مغلقة اذا وفقط اذا Ac = X\Aمجموعة مفتوحة .
**كذلك فإنه وباستخدام اصطالح المجموعات المفتوحة يمكن إعادة صياغة مسلمات
الفضاء التبولوجي كما يلي :
φ،X -1هي مجموعات مفتوحة.
- 2تقاطع أي عدد منته من المجموعات المفتوحة هو مجموعة مفتوحة .
3 -اتحاد أي عدد (منته أو غير منته ) من المجموعات المفتوحة هو مجموعة مفتوحة.
5
**باستخدام قوانين ديمورغن وخصائص المجموعات المفتوحة فإنه يمكن إعادة صياغة
مسلمات الفضاء التبولوجي باصطالح المجموعات المغلقة كما يلي :
φ،X -1هي مجموعات مغلقة.
-2تقاطع أي عدد من المجموعات المغلقة هو مجموعة مغلقة.
-3اتحاد عدد محدود (منته) من المجموعات المغلقة هو مجموعة مغلقة.
**من هنا نالحظ أن X ,φمجموعتان مفتوحتان ومغلقتان في نفس الوقت ،وهناك
مجموعات ليست مفتوحة وليست مغلقة ،ومجموعات مغلقة فقط ،أو مفتوحة فقط .
6
] [2-1تبولوجيــات مختلفــة على مجموعــة غير خاليـة X
( )1التبولوجـي غيـر المبعثـرة (: )Indiscrete topology
وهي تلك التبولوجي على Xوالمكونة من Xو φفقط ،أي أن } .τ={ φ ,X
مالحظة :في هذا الفضاء نالحظ أن أي مجموعة Aفي Xليست مفتوحة وليست
مغلقة إال إذا كانت . A=X
( )2التبولوجـي المبعثـرة (: )Discrete topology
هي التبولوجي على Xوالمكونة من جميع المجموعات الجزئية لـ ، Xأي أن τ
هي مجموعة القوة للمجموعة . X
مالحظة :أية مجموعة جزئية Aفي Xهي مجموعة مفتوحة ومغلقة في نفس الوقت
،ألن Aو Acينتميان للعائلة.
) (3تبولوجـي المتممـات المنتهيـة(: ) Cofinite topology
7هي التبولوجي المعرفة كما يلي. τ={φ ,X ,A X :Ac is finite} :
تعريــف :
أي مجموعة من األعداد الحقيقية لها أحد األشكال التالية تسمى فترة مفتوحة بحيث aو
bينتميان ل : R
)1( {x : a<x<b} = )a ,b( .
)2( {x : a<x } = )a,∞( .
)3( {x : a>x } = )-∞ ,a( .
)4( R
تعريــف:
أي مجموعة من األعداد الحقيقية لها أحد األشكال التالية تسمى فترة مغلقة بحيثaوb
ينتميان ل : R
])1( {x : a ≤ x ≤b} = [a ,b
) ∞)2( {x : a ≤x } = [ a ,
])3( {x : a ≥x } = )-∞ ,a
8
)4( R
( )4التبولوجـي الطبيعيـة علـى :)Standard topology on R(R
ألي مجموعة جزئية Aمن Rتسمى مفتوحة في التبولوجي الطبيعية إذا كانت
تملك الخاصية التالية :
)(5تبولوجـي األشعــة اليسرى علـى :)left Ray topology on R(R
9
] [3-1مغلــق المجموعــة: ) Closure A( A
تعريــف:
فضاء تبولوجياً ،و Aمجموعة جزئية من ، Xفإن مغلق المجموعة A
ليكن ()X,τ
ً
Aهو تقاطع جميع المجموعات المغلقة الحاوية على
والذي يرمز له بالرمز ،
المجموعة . A
**مغلق المجموعة Aيحقق الخصائص التالية:
10
نظريـــة (تربط المجموعة المغلقة بمغلقها):
مالحظة:
مثـــال:
Aألي Aفي ، Xألن كل مجموعة في هذا الفضاء
في الفضاء المبعثر = A
مغلقة ومفتوحة في نفس الوقت .
11
] [4-1داخـــل المجموعـــة (:)Interior A
تعريــف:
فضاء تبولوجياً ،و Aمجموعة جزئية من ، Xفإن داخل المجموعة A
ليكن ()X,τ
ً
والذي يرمز له بالرمز ˚ Aأو ) Int (Aهو اتحاد كل المجموعات المفتوحة
المحتواة في .A
أي أن =A˚ :اتحاد جميع المجموعات المفتوحة المحتواة في .A
**داخل المجموعة يحقق الخصائص التالية:
نظريـــة (تربط المجموعة المفتوحة بداخلها):
Aمجموعة مفتوحة اذا وفقط اذا ˚. A =A
12
الفـصل الـثـاني
اإلتــصـــال
في
الفـضاءات التبـولـوجـية
13
االقتران المتصل عند نقطة( :)Continuous Function at appoint
تعريــفه :
نالحظ من التعريف أن اتصال االقتران عند نقطة يعتمد على كل من التبولوجي X, Y
,ولذلك فانه كلما كانت التبولوجي على Yأصغر والتبولوجي على Xأكبر أي
تحتوي على عدد كبير من المجموعات المفتوحة ,فان االقتران يكون له إمكانية
اكبر أن يكون متصالً بالنسبة لتبولوجي معينة على Xوأخرى على ,Yولكن هذا
بدلنا التبولوجي على Xأو Yأو كليهما
االقتران يصبح غير متصل إذا ّ
14
مالحظة:
غيرت احد هذين
االتصال عند نقطة يعتمد على التبولوجي المعرفة على كل منهما ،فإذا ّ
التبولوجيين أو كليهما فان االتصال ممكن أن يتغير.
تعريــف:
االقتران ُيسمى متصالً إذا كان متصالً عند كل نقطة في الفضاء التبولوجي ،وُيسمى كذلك
غير متصل إذا كان غير متصل عند إحدى نقط الفضاء التبولوجي.
النظريـة العامـة لالقتران المتصــل:
نظرية (:)1
بنفي هذه النظرية نحصل على مبدأ لعدم اتصال fعلى فضاء ما.
15
• نظريـــة (:)2
وهذه بعض االمثلة على ما تقدم.
16
17
مثـــال :
*مالحظة :االقتران الثـابت دائمـاً متصل وألي تبـولوجـي.
النظريـــات التالية تعطي شروطــاً مكافئة لكون االقتران متصال على مجموعة أوفضـــاء مــــا:
18
19
الفصل الثالث
االقــتــــران
المفتوح والمغلق والتبولوجي
20
االقتــــران المفتــــوح()Open Function
تعريفه:
،يسمى االقتران fمفتوحاً ،إذا كانت صورة كل
بفرض أن Y ,Xفضاءان تبولوجيان ُ
مجموعة مفتوحة في Xهي مجموعة مفتوحة في. Y
أمثلة:
21
النظريـة التاليـة تعطي وصفاً آخــر لكـون االقتـــران مفتوحــاً.
االقتــران المغلـــق (:)Closed Function
تعريفه:
سمى االقتران fمغلق إذا كانت صورة كـــل
افرض أن Y ،Xفضاءان تبولوجيان ُ ،ي ّ
مجموعة مغلقــــة في Xهي مجموعة مغلقة في .Y
22
• أمثلة:
23
هـــذه الـنظريـة تعطـي وصفاً آخـر لكـون االقـتـران مغلقــاً :
االقتران المفتوح ليس من الضروري أن يكون مغلقاً أيضاً
وكذلك االقتران المغلق ليس من الضروري أن يكون مفتوحاً.
أي أنه ال توجد عالقة بين كون االقتران مفتوحاً وكونه مغلقـاً.
وكذلك االقتران المتصل؛فانه ليس له عالقة بكون االقتران مفتوحاً أو
مغلقــا،أو ليس مفتوحــاً وليس مغلقـاً .
وهـذا ما سيتضح من خـالل األمثلـة التاليـة.
24
عدم عالقة االقتران المتصل باالقتران المفتوح أو المغلق:
أمثلة:
25
26
االقتران التبـولـوجي ()Homeomorphism
تعريفه:
27
نظريـــة :
28
انتهى العرض
29
30
الحمد هلل الذي بنعمته
تتم الصالحات
31