كتاب الصف الحادي عشر تأسيسي – الفصل الدراسي
Download
Report
Transcript كتاب الصف الحادي عشر تأسيسي – الفصل الدراسي
هيئة التعليم
EDUCATION INSTITUTE
الفصل الدراسي الثاني
2012 – 2011
نسخة تجريبية
1
2
هيئة التعليم
EDUCATION INSTITUTE
الفصل الدراسي الثاني
2012 – 2011
نسخة تجريبية
3
4
الفهرست
INDEX
الوحدة
الموضوع
الصفحات
السادسة
الهندسة و القياس 2
19 - 7
السابعة
اإلحصاء 2 & 1
58 - 21
الثامنة
الهندسة و القياس 4
80 – 59
التاسعة
العدد و الجبر
98 – 81
العاشرة
الهندسة و القياس 3
119 – 99
الجبر 2
141 - 123
الحادية عشرة
5
6
تطبيقات على نظرية فيثاغورس
الرقم
اسم الدرس
رقم الصفحة
1
معادلة الدائرة
9
2
المسافة بين نقطتين
11
3
تقاطع مستقيم مع دائرة
14
8
6.1
الوحدة السادسة
معادلة الدائرة
Equation of the Circle
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب قادرا̋
على أن:
يكون معادلة الدائرة
بمعلومية احداثيات
مركزها وطول
نصف قطرها.
يستخدم نظرية
فيثاغورث في حساب
المسافة بين نقطتين
في المستوى اإلحداثي
أولا :معادلة الدائرة التي مركزها نقطة األصل:
معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( ) 0 , 0ونصف قطرها rهي:
The equation of the circle with
center at (0,0) and radius r is
r
r2
o
=
y2
+
x2
مثال :1
أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ( ) 0 , 0ونصف قطرها 4سم.
Find the equation of a circle with center (0,0) radius r = 4 cm
المعايير:
Standards:
6.6
الحل Solution :
x 2 + y2 = r 2
المصطلحات:
Vocabulary :
:
x 2 + y 2 = 16
معادلة Equation
دائرة
Circle
نقطة األصل Origin
ثانيا ا :معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ) :( ,
معادلة الدائرة التي مركزها النقطة ) ( , ونصف قطرها rهي:
The equation of the circle with
center at ( , ) and radius r is
∙
) ( ,
(x-)2+(y-)2= r2
o
9
Unit 6
الوحدة السادسة
:2 مثال
. سم7 ) ونصف قطرها3 , -2 ( أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة
Find the equation of a circle with center ( 3 , -2 ) and radius 7 cm
: الحل
Solution :
( x - )2 + ( y - )2 = r 2
( x - 3 )2 + ( y + 2 )2 = 72
( x - 3 )2 + ( y + 2 )2 = 49
:1 تدريب
: في كل مما يليr ونصف قطرهاM أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة
Find the equation of a circle with center M and radius r:
1) M ( 0 , 0 ) and r = 10 cm
2) M ( 2 , 3 ) and r = 8 cm
3) M ( -5 , -1 ) and r = 6 cm
4) M ( -4 , 7 ) and r = 5cm
5) M ( 0 , -3 ) and r = 2.3 cm
6) M ( 1 , 0 ) and r = 9 cm
10
Unit 6
الوحدة السادسة
المسافة بين نقطتين
The distance between two points
تعلمت من خالل دراستك السابقة كيفية إيجاد طول المسافة بين نقطتين في المستوى اإلحداثي
باستخدام القانون التالي:
The distances between two points A(x1 , y1) and B( x2 , y2) denote by the rule
𝟐) 𝟏𝒚 AB = (𝒙𝟐 −𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 −
مثال :1
أوجد المسافة بين النقطتين التاليتين:
Find the distance between the two points:
) A = ( -4 , 3 ) , B = (2 , -5
الحل::Solution
𝟐)𝟑 AB = (𝟐 + 𝟒)𝟐 +(−𝟓 −
𝟐)𝟖= (𝟔)𝟐 +(−
= 100
units
= 10
تدريب :1
أوجد المسافة بين كل نقطتين مما يلي:
Find the distance between each two points:
) , B=(8,9
) 1) A = ( 6 , -1
) , B = (7 , -2
) 2) A = ( 4 , 3
11
Unit 6
الوحدة السادسة
اآلن سنتعلم طريقة أخرى لكيفية إيجاد طول المسافة بين نقطتين في المستوى اإلحداثي
وذلك باستخدام نظرية فيثاغورس ) )Pythagoras’ Theoremوهذه الطريقة يتم
استخدامها كما هو مبين في المثال التالي:
مثال :2
باستخدام نظرية فيثاغورس أوجد المسافة بين النقطتين المبينتين في الشكل التالي:
Using Pythagoras’ Theorem find the distance between the showing two points:
الحل::Solution
بإكمال المثلث القائم الزاوية والذي وتره هو المسافة بين النقطتين كما هو بالشكل التالي:
ومن خالل مقارنة اإلحداثيات األفقية والرأسية للنقطتين نجد أن البعد األفقي ()x
هو 15وحدة ،والبعد الرأسي ( )yهو 10وحدات .ثم باستخدام نظرية فيثاغورث
نحسب المسافة كما يلي:
𝟐𝟎𝟏 D = 𝟏𝟓𝟐 +
𝟓𝟐𝟑
units
12
=
≈ 18
Unit 6
الوحدة السادسة
:2 تدريب
:أوجد المسافة بين كل نقطتين مما يلي باستخدام نظرية فيثاغورس
Using Pythagoras’ Theorem find the distance between each two points:
1) A = ( 5 , -4 )
2)
, B = ( -1 , -10 )
A = ( -3 , 6 ) , B = ( 2 , 7 )
التمارين الداعمة
:بطريقتين مختلفتين أوجد المسافة بين النقطتين التاليتين
By two different methods find the distance between the following two points:
A = ( 5 , 2 ) , B = (-1 , -6 )
التمارين اإلضافية
.) -3 , 4 ( ) وتمر بالنقطة0 , 0 ( ) أوجد معادلة الدائرة التي مركزها نقطة األصل1
Find the equation of the circle with center ( 0 , 0 ) and passes through ( -3 , 4 )
.)-2 , 7 ( ) وتمر بالنقطة3 , -5 ( ) أوجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة2
Find the equation of the circle with center ( 3 , -5 ) and passes through ( -2 , 7 )
:( أوجد مركز ونصف قطر كل دائرة مما يلي3
Find the center and radius of the circle in each of the following
a) X 2 + Y 2 = 4
b) ( X - 5 ) 2 + ( Y + 2 ) 2 = 36
c) (X – 4 ) 2 + Y 2 = 9
13
6.2.
الوحدة السادسة
تقاطع مستقيم مع دائرة
Intersection of Line and Circle
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب قادرا̋
على أن:
يعين جبريا ً نقاط
تقاطع مستقيم مع
دائرة باستخدام
طريقة التعويض.
في هذا الدرس سنتعلم كيفية إيجاد نقاط تقاطع خط مستقيم مع دائرة إذا
علم معادلة كل منهما ،وذلك جبريا ً عن طريق التعويض بمعادلة
المستقيم في معادلة الدائرة وحل المعادلة الناتجة من هذا التعويض
وتجري خطوات هذه الطريقة كما يتبين من األمثلة التالية:
مثال :1
حل المعادلتين اآلتيتين جبريا ا:
Solve this system of equations algebraically:
)x2 + y2 = 25 (Equation of a circle center (0,0), radius 5
المعايير:
)(linear equation
Standards:
6.7
الحل:
4y = 3x
Solution:
نقوم بالتعويض بمعادلة المستقيم في معادلة الدائرة ثم نحل المعادلة الناتجة كما يلي:
المصطلحات:
Vocabulary :
Substitute from the linear equation into the quadratic equation and solve.
2
Intersection
تقاطع
Substitution
تعويض
جبريا ً
Algebraically
400
3
𝑥 =25
4
9
𝑥 2 + 16 𝑥 2 = 25
= 16𝑥 2 + 9 𝑥 2
→ 𝑥2 +
3
𝑥
4
=𝑦
25𝑥 2 = 400
𝑥 2 = 16
Then 𝑥 = ± 4
وبالتعويض في معادلة المستقيم بقيمتي xكل على حدة نجد أن:
;
وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم و الدائرة هما(4 , 3),(-4 , -3( :
14
Unit 6
الوحدة السادسة
تدريب :1
أوجد جبريا ً نقاط تقاطع المستقيم والدائرة التاليين (إن وجدت):
Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically:
x2 + y2 = 49
2y = 5x
مثال :2
أوجد (إن وجدت) نقاط تقاطع المستقيم والدائرة جبريا ً:
Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically:
)(Equation of a circle
)(linear equation
x2 + y2 = 26
x-y=6
الحل:
أيضا ً نقوم بالتعويض بمعادلة المستقيم في معادلة الدائرة
ثم نحل المعادلة الناتجة كما يلي:
Solution:
ثم بالتعويض في معادلة المستقيم بقيمتي xكل على حدة نجد أن:
;
وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم و الدائرة هما(5 , -1),(1 , -5( :
15
Unit 6
الوحدة السادسة
مثال :2
أوجد (إن وجدت) نقاط تقاطع المستقيم والدائرة اآلتيين جبريا ً:
Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically:
(x - 9)2 + (y - 6)2 = 25
y = -2 x + 14
الحل:
Solution:
بالتعويض بمعادلة المستقيم في معادلة الدائرة
ثم حل المعادلة الناتجة كما يلي(x - 9)2 + ( - 2 x + 14 - 6)2 = 25 :
x 2 – 18x + 81 + ( - 2 x + 8 )2 = 25
x 2 – 18x + 81 + 4 x 2 – 32x + 64 – 25 = 0
5 x2 - 50 x + 120 = 0
x2 - 10 x + 24 = 0
(x–4)(x–6)=0
x = 4 or x = 6
ثم بالتعويض في معادلة المستقيم بقيمتي xكل على حدة نجد أن:
Then y = 6 or y = 2
وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم و الدائرة هما:
)The intersection points are (6,2) ; (4,6
16
Unit 6
الوحدة السادسة
مثال :3
أوجد (إن وجدت) نقاط تقاطع المستقيم والدائرة اآلتيين جبريا ً:
Find the intersection points of the following Line and Circle algebraically:
x 2 + y 2 + 4x + 2y - 4 = 0
الحلSolution::
بتعديل معادلة المستقيم لتكون على الصورة:
x–y+2=0
ثم بالتعويض في معادلة الدائرة وتبسيطها كما يلي
وبالقسمة على ()2
وهذه المعادلة التربيعية اليمكن حلها بالتحليل فنلجأ للقانون العام لحلها كما يلي:
𝑎 = 1 ,𝑏 = 5 ,𝑐 = 2
𝟕𝟏 −𝟓 ±
𝟐
=
𝟐×𝟏×𝟒−𝟓 ± 𝟐𝟓 −
𝟏×𝟐
≈ − 4.6
𝟕𝟏 −𝟓−
𝟐
=x
=
𝒄𝒂𝟒−𝒃± 𝒃𝟐 −
𝒂𝟐
≈ −0.4,
=X
𝟕𝟏 −𝟓+
𝟐
= Then x
ثم بالتعويض في معادلة المستقيم بقيمتي xكل على حدة نجد أن:
, y = - 4.6 + 2 = - 2.6
y = - 0.4 + 2 = 1.6
وبذلك تكون نقطتا تقاطع المستقيم والدائرة هما(-4.6 , - 2.6 ) , (-0.4 , 1.6) :
17
Unit 6
الوحدة السادسة
التمارين الداعمة
أوجد جبريا ً نقاط تقاطع الدائرة والمستقيم في كل مما يأتي:
Find the points of intersection of The circle and line of each of the following:
x+y=7
1) x 2 + y 2 = 25
and
and y = –x – 3
y=5x
and
and x + y = -2
3y + 2x = 6
2) x2 + y2 = 17
3) (x - 3)2 + (y – 4)2 = 4
4) ( X + 2)2 + (Y - 1)2 = 25
and
5) (X - 4)2 + Y2 = 4
التمارين اإلضافية
(1احسب نقاط تقاطع الدائرة والمستقيم في كل مما يأتي جبريا ً:
Calculate the points of intersection between The circle and line of:
y=-x+1
1) x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 and
3x + y − 5 = 0
2) x2 + y2 − 2x − 3 = 0
y = 5x
and
3) x2 + y2 − 2x - 4y − 60 = 0
and
)2عددان صحيحان يزيد أحدهما عن ثالثة أمثال اآلخر بمقدار ( ، )2فإذا كان
مجموع مربعيهما يساوي ، 68فما العددان ؟
18
الوحدة السادسة
Unit 6
التكامل
تنتشر في دولة قطر العديد من الدوارات التي تنظم حركة السيارات بين الطرق التي
تتقاطع عند كل منها .وهذه بعض المعلومات عن التصميم الهندسي للدوار:
* يتم تصميم الدوار في الحاالت التي تتوافر فيها مساحة األرض الالزمة للدوار
ويفضل أن تكون األفرع المتقاطعة أربعة أو أكثر.
* يعتبر الدوار أفضل من اإلشارات المرورية حتى حجم مروري معين وخاصة إذا
كانت أحجام المرور في األفرع متساوية ويجب األخذ في االعتبار أن يزيد القطر
اإلجمالي الخارجي للدوار عن عرض أكبر طريق متقاطع (مثالً طريق عرض
60م متقاطع مع طريق عرض 40م ال يقل القطر الخارجي للدوار عن 60م).
فإذا افترضنا أن مركز أحد الدوارات الدائرية يقع في المستوى اإلحداثي عند النقطة
( ) 2 , 3وطول قطر هذا الدوار 26م ،يقطعه طريق مستقيم معادلته . 5y = x
فأوجد نقاط تقاطع هذا الطريق مع الدوار ( المستقيم مع الدائرة).
المشروع
الشكل التالي يبين الحاالت الثالث للعالقة بين الدائرة والمستقيم.
ادرس كل حالة على حدة موضحا ً النقاط التالية لكل منها:
)1مثال عددي على كل حالة.
)2كيفية تمييز كل حالة من الحل الجبري لمعادلتي الدائرة والمستقيم.
)3اسم المستقيم بالنسبة للدائرة في كل حالة.
19
20
الرقم
اسم الدرس
رقم الصفحة
1
المجتمع اإلحصائي والعينات اإلحصائية
23
2
الستبيانات
25
3
مدرجات التكرار النسبي وتوزيعات
27
التكرار التراكمي
4
جدول التكرار التراكمي
29
5
المخططات اإلحصائية
32
6
مقاييس النزعة المركزية
36
22
7.1
Statistics
اإلحصاء
المجتمع اإلحصائي والعينات اإلحصائية
المجتمع اإلحصائي
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب قادرا̋
على أن:
يعرف كيفية اختيار
عينة احصائية جيدة.
يميّز بين العينة
المتحيزة والعينة
غير المتحيزة.
.
المعاييرStandards: :
8.2 + 8.1
المجتمع اإلحصائي هو عبارة عن جميع المفردات موضع الدراسة والتي نرغب في
معرفة حقائق عنها سواء كانت على شكل إنسان أو حيوان أو جماد أو درجات امتحان
أو منازل أو مزارع أو سفن … الخ .وقد يتكون المجتمع من:
(1عدد محدود ) (Finiteمن المفردات مثل عدد أفراد مدينة ما أوعدد المنازل بها.
(2عدد غير محدود ) (Infiniteمثل عدد األسماك في الخليج العربي أوعدد النجوم.
وإذا تم جمع البيانات لجميع مفردات المجتمع فتسمى هذه العملية بالحصر الشامل.
وفى بعض الحاالت ال نتمكن من حصر كل المفردات للمجتمع مثل مجتمعات
األسماك أو النباتات ،أو أن تؤدي عملية الحصول على البيانات لمفردات المجتمع
إلى إتالفها أو هالكها ،مثال ذلك فحص دم المريض كله يؤدي إلى وفاة الشخص،
وكذلك فحص جميع أعواد الثقاب يؤدي إلى إتالف هذا المنتج بالكامل وهكذا.....
وبالتالى ال يمكن جمع البيانات من كل المفردات ،أو قد تحتاج عملية جمع البيانات
إلى وقت طويل أو جهد كبير أو تكاليف باهظة .وفى مثل هذا الحاالت السابقة يتم
جمع من البيانات عن جزء فقط من مفردات المجتمع يسمى العينة sample
العينة اإلحصائية
المصطلحات:
Vocabulary :
Representative samples
عينات ممثلة
Unbiased sample
عينة غير متحيزة
Biased sample
عينة متحيزة
Statistical population
Statistical sample
وهي جزء من مفردات المجتمع يتم اختيارها بحيث تكون ممثلة للمجتمع ككل .وأسلوب
أخذ العينات شائع االستعمال عند إجراء الدراسات والبحوث اإلحصائية ألن تكاليفه
أقل ،وبواسطته يمكن الحصول على نتائج سريعة ،مقارنة بأسلوب الحصر الشامل الذي
يتم فيه جمع البيانات من كل مفردات المجتمع .وتمثل العينة على سبيل المثال جزء من
سكان مدينة معينة أو جزء من درجات الطالب ألحد المقررات الدراسية وهكذا .ويوجد
علم خاص بطرق أخذ العينات يسمى المعاينة اإلحصائية statistical sampling .
ومن العينة اإلحصائية يتم الوصول إلى نتائج يمكن تعميمها على المجتمع اإلحصائي
محل الدراسة ككل .ومن المهم أن يتم اختيار عينات تمثل المجتمع اإلحصائي تمثيالً
صحيحا ً ( ) Representative samplesففى حالة احتمال عدم تمثيل العينة
تمثيال حقيقيا ،فإن االستدالل اإلحصائي يمكن الباحث من قياس الخطأ الناتج عن ذلك.
وهنا يجب التمييز بين نوعين من العينات هما:
Unbiased sample
)1عينة غير متحيزة
ً
ً
وهي التي تمثل المجتمع اإلحصائي تمثيال صحيحيا وتعطي نتائج جيدة.
biased sample
)2عينة متحيزة
وهي التي التمثل المجتمع اإلحصائي تمثيالً صحيحيا ً وتعطي نتائج مضللة.
23
مثال :1
أراد سعيد عمل استطالع رأي حول الرياضة المفضلة لدى عينة من سكان مدينته .فوقف بالقرب من بركة
السباحة في أحد النوادي الرياضية ،وسأل عدداً من المتجهين لهذه البركة عن رياضتهم المفضلة.
هل العينة التي اختارها سعيد متحيزة أم غير متحيزة )(Biased or unbiased؟
وكيف لسعيد أن يحسن من استطالعه ليعطي نتائج جيدة؟
الحل:
بالطبع العينة التي اختارها سعيد متحيزة Biasedوذلك لسببين:
أوالً :المكان الذي اختاره سعيد يعطي نتائج متحيزة لرياضة السباحة.
ثانيا ً :اختار سعيد مكانا ً واحداً فقط وهذا ال يعطي نتائج جيدة.
ولكي يحسن سعيد من استطالعه عليه معالجة النقطتين السابقتين:
)1يجب عليه الوقوف في مكان عام يمر منه الكثير من الناس على اختالف اهتماماتهم.
)2يجب عليه الوقوف في عدة أماكن مختلفة وال يكتفي في بمكان واحد.
تدريب :1
إدعت مقالة في إحدى الصحف بأن 87 %من الموظفين يذهبون متأخرين عن دوامهم يوميا ً.
ولكن المقالة لم تقل كيف عرف الصحافي أن 87 %من الموظفين يذهبون متأخرين عن دوامهم كل يوم.
يعتقد بعض الطالب أن النسبة المئوية لعدد الموظفين الذين يذهبون متأخرين عن دوامهم كل يوم هي
أقل بكثير من ، 87 %فقرروا القيام بدراسة مسحية عن هذا الموضوع واستخدموا الطرق التالية:
أ) خطط جابر لسؤال 10أشخاص عما إذا كانوا يذهبون متأخرين عن دوامهم كل يوم.
أعطِ سببين يبينان أن أسلوب جابر قد ال يعطي بيانات جيدة.
ب) قررت عائشة الذهاب الى إحدى الشركات في صباح يوم األربعاء .وتقف هناك أمام الشركة
وتسجل عدد الموظفين الذين يدخلون الشركة وعدد الموظفين منهم الذين يأتون متأخرين.
ً
أعط سببين مختلفين يبينان أن أسلوب عائشة قد ال يعطي بيانات جيدة.
تدريب :2
أراد يوسف أن يستقصي ما إذا كان عدد الطالب الذين ينوون دراسة الطب في مرحلة الجامعة أكثر من
الذين ينوون دراسة الهندسة .وهو ينوي سؤال جميع طالب صفه ما إذا كانوا ينوون دراسة الطب أو
الهندسة .ناقش الطرائق التي يمكن ليوسف أن يحسّن بها مسحه اإلستطالعي.
24
اإلحصاء
7.2
Statistics
االستبيانات
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب قادرا̋
على أن:
يحدد شروط عمل
االستبيان الجيد.
يعطي أمثلة ألسئلة
تصلح لتصميم
استبيانا ً جيداً.
المعايير:
Standards:
8.2
المصطلحات:
Vocabulary :
استبيان
Questionnaire
Primary Data
بيانات أولية
Secondary data
بيانات ثانوية
تعريف الستبيان:
Questionnaires
Definition of questionnaire
يمكننا تعريف االستبيان بأنه أداة لجمع البيانات المتعلقة بموضوع بحث محدد عن
طريق استمارة يجري تعبئتها من قبل مجموعة من األفراد.
أنواع الستبيان:
Types of questionnaire
يمكن تقسيم االستبيان إلى ثالثة أنواع :
-1االستبيان المقيد :حيث توجه للشخص أسئلة مغلقة تتطلب اإلجابة بنعم أو ال
أو يقترح لصاحب االستبيان بدائل محددة لالستجابات.
مثال :هل لديك اليوم واجب منزلي؟ ( نعم /ال )
-2االستبيان المفتوح :في هذه الحالة توجه للشخص أسئلة مفتوحة ويترك له حرية
اإلجابة بالتعبير الحر التلقائي من رأيه و موقفه وبألفاظه هو نفسه.
مثال :ما رأيك في الواجبات المنزلية التي تعطيها المدرسة للطالب ؟
-3االستبيان المزدوج أو( المقيد المفتوح ) :في هذه الحالة توجه للشخص أسئلة
محددة ومغلقة ثم تحدد بدائل االستجابات وعليه اختيار أحداها و يبرر اختياره.
مثال :هل تعتقد أن الواجب المنزلي يساعد في رفع مستوى الطالب؟ (نعم /ال)
إذا كانت اإلجابة بنعم فكم برأيك عدد الواجبات المناسب أسبوعيا ً؟ .....
مواصفات الستبيان الجيد :
-1اللغة المفهومة واألسلوب الواضح الذي ال يتحمل التفسيرات المتعددة.
-2يجب أال تكون األسئلة :مركبة – منفية -طويلة – شخصية -محرجة.
-3إعطاء عدد كافي من الخيارات المطروحة مما يمكن المبحوثين من التعبير عن
آرائهم المختلفة تعبيراً دقيقا ً.
-4الترابط بين أسئلة االستبيان وكذلك الترابط بينها وبين موضوع البحث ومشكلته
-5تزويد المبحوثين بمجموعة من التعليمات والتوضيحات المطلوبة في اإلجابة وبيان
الغرض من االستبيان ومجاالت استخدام المعلومات التي سيحصل عليها الباحث.
وإليك بعض األمثلة ألسئلة التي يمكن استخدامها في الستبيان:
-1تساعد الدراسة الجامعية على تحقيق مستقبل أفضل .
)4أوافق
)3ال أدرى
)1الأوافق بشدة )2ال أوافق
-2ماهي رياضتك المفضلة؟
-3كم عدد الطالب في صفك؟
25
)5أوافق بشدة
Unit 7
Statistics
اإلحصاء
مثال :1
اذكر السبب
اليجب أن يتضمن االستبيان األسئلة التالية :
( سؤال شخصي )
)1كم يبلغ دخلك الشهري؟
(سؤال مفتوح غير محدد)
)2ما رأيك في الحياة؟
(سؤال منفي متحيز)
)3أال توافق على أن حرارة الطقس هذا العام أقل من العام الماضي؟
)4إذا ذهبت إلى أحد المجمعات التجارية و لم تجد مكانا ً توقف فيه سيارتك فهل تظل تدور في المكان حتى
تجد مكانا ً أم تذهب إلى مجمع آخر؟ (سؤال طويل ومركب من عدة إجابات واليعطي حرية اإلجابة)
تدريب :1
صف بعض األخطاء التي توجد في كل من العينات التالية:
)1اختارت شركة القطارات عشوائيا ً عدد من ركاب القطار الصباحي لسؤالهم عن زحام المواصالت في المدينة
)2وقف حسن أمام أحد مطاعم األكالت النباتية لسؤال زبائنه عن حبهم لألطعمة النباتية.
)3أجرت إحدى الصحف عن طريق الهاتف استبيانا ً لعدد قرائها واختارت االتصال بين الساعة 1م والساعة 4م
)4عن طريق البريد اإللكتروني سألت شركة لخدمات اإلنترنت مشتركيها هل يخططون لشراء جهاز كمبيوتر
جديد خالل السنتين القادمتين.
المشروع
التكامل
من خالل اختيارعينة عشوائية من طالب
مدرستك أجري استبيانا ً عن أي لغة يفضلها
الطالب لدراسة الرياضيات اللغة اإلنجليزية أم
العربية واستخلص النتائج من هذا االستبيان
موضحا ً مبررات كل رأي – استعن بالبرامج
الكمبيوترية Excelأو Accessلتسجيل
وتمثيل النتائج.
-1العلوم الطبيعية:
صمم استبيانا لدراسة العالقة بين مدى تأثر عدد
مرتادي مطاعم األكالت السريعة بعد معرفة
أضرار هذه الوجبات على صحة اإلنسان.
-2تكنولوجيا المعلومات +الرياضة:
صمم استبيانا في مدرستك عن العالقة بين عدد
الساعات التي يقضيها الفرد أمام الكمبيوتر وبين
لياقته البدنية.
سجل نتائج االستبيان على مستوى مدرستك.
قارنه باستبيانات مماثلة أجريت في مدارس
أخرى .
-3جميع المواد:
صمم استبيانا لزمالئك بالصف عن أفضل ثالث
مواد دراسية لدى كل طالب مرتبة تنازليا ً.
سجل رايك الشخصى وبين خالصة البحث.
26
7.3
Statistics
اإلحصاء
مدرجات التكرار النسبي وتوزيعات التكرار التراكمي
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب قادرا̋
على أن:
أولا :مدرج كثافة التكرار :
Frequency density Histogram
تحسب كثافة التكرار بقسمة كل تكرار على عرض الفئة المناظرة له.
𝑦𝑐𝑛𝑒𝑢𝑞𝑒𝑟𝐹
يحسب كثافة التكرار
لفئات جدول تكراري.
𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠 𝑊𝑖𝑑𝑡ℎ
مثال :1
يرسم مدرج كثافة
التكرار.
ينشئ جدول التكرار
النسبي لتوزيع
تكراري.
يكوّ ن جدول التكرار
التراكمي.
يرسم منحنى
التكرار التراكمي
Frequency
Class
2
65 ≤ h < 75
7
75 ≤ h < 80
21
80 ≤ h < 90
)1احسب كثافة التكرار لكل فئة من الفئات.
15
90 ≤ h < 105
)2ارسم مدرج كثافة التكرار لهذا التوزيع.
12
105 ≤ h < 110
بيانات التوزيع التكراري المجاور تمثل أطوال
مجموعة من األفراد.
الحل:
)1نحسب كثافة التكرار
frequency density
frequency
class
width
2 ÷ 10 = 0.2
2
10
65 ≤ h < 75
7 ÷ 5 = 1.4
7
5
75 ≤ h < 80
21 ÷ 10 = 2.1
21
10
80 ≤ h < 90
15 ÷ 15 = 1.0
15
15
90 ≤ h < 105
لكل فئة من الفئات
كما بالجدول المجاور
المعايير:
Standards:
12 ÷ 5 = 2.4
8.4
المصطلحات:
Vocabulary :
Frequency density
كثافة التكرار
Relative frequency
التكرار النسبي
Cumulative frequency
التكرار التراكمي
= 𝑦𝑡𝑖𝑠𝑛𝑒𝑑 𝑦𝑐𝑛𝑒𝑢𝑞𝑒𝑟𝐹
)2نرسم مدرج كثافة التكرار
كما هو مبين حيث يتم تمثيل
الفئات على المحور األفقي
ويتم اختيار مقياس مناسب
لكثافة التكرار وتمثيلها على
المحور الراسي.
27
12
5
class
height - h) cm
105 ≤ h < 110
Unit 7
Statistics
اإلحصاء
ثانيا ا :مدرج التكرار النسبي :
يحسب التكرار النسبي لبيانات تكرارية بقسمة كل تكرار على مجموع التكرارات ،ويمكن كتابة التكرار
النسبي على صورة كسر اعتيادي أو عشري أو على صورة نسبة مئوية ،يكون مجموع التكرارات
النسبية لبيانات أي جدول يساوي واحد صحيح أو % 100
Relative Frequency Histogram
𝑦𝑐𝑛𝑒𝑢𝑞𝑒𝑟𝐹
𝑠𝑒𝑖𝑐𝑛𝑒𝑢𝑞𝑒𝑟𝐹 𝑙𝑎𝑡𝑜𝑇
= 𝑦𝑐𝑛𝑒𝑢𝑞𝑒𝑟𝐹 𝑒𝑣𝑖𝑡𝑎𝑙𝑒𝑅
مثال :1
أنشئ جدول التكرار النسبي لبيانات التوزيع التكراري المجاور.
عبر عن التكرار النسبي لكل قيمة بأكثر من صورة.
Construct the relative frequency table for the shown table
Express the results with more than one form.
الحل:
حيث أن مجموع التكرارات = 20
فإن التكرار النسبي لكل قيمة بالجدول
ينتج من قسمة كل قيمة على 20
ويمكن كتابة الناتج على صورة كسر
عشري أو نسبة مئوية كما هو مبين
بالجدول المجاور.
Relative Frequency
3 ÷ 20 = 0.15 or 15%
5 ÷ 20 = 0.25 or 25%
3 ÷ 20 = 0.15 or 15%
6 ÷ 20 = 0.30 or 30%
2 ÷ 20 = 0.10 or 10%
1 ÷ 20 = 0.05 or 5%
1 Or 100%
Frequency
Data Value
3
5
3
6
2
1
2
3
4
5
6
7
Frequency
Data Value
3
5
3
6
2
1
20
2
3
4
5
6
7
Total
تدريب ()1
المدرج التكراري الموضح يبين أطوال مجموعة من
أشجار الكرز األسود في إحدى الغابات:
)1كوّ ن الجدول التكراري لهذه البيانات.
1) Construct the frequency table.
)2أنشئ جدول التكرار النسبي لها.
2) Construct the relative frequency table.
28
Unit 7
Statistics
اإلحصاء
جدول التكرار التراكمي
Cumulative Frequency Table
يسمى الجدول الذي تتجمع فيه التكرارات على التوالي من أحد طرفيه إلى طرفه اآلخر وصوالً إلى التكرار
الكلي بـ ( الجدول التراكمي أو المتجمع )Cumulative Frequency Tableويكون على شكلين :
مثال :1
في بداية برنامج عالجي للمرضى تم تسجيل أوزان المشاركين
في البرنامج وجاءت النتائج كما هو مبين بالجدول المجاور:
)1كوّ ن جدول التكرار التراكمي Cumulative Frequency Table
)2ارسم منحنى التكرار التراكميCumulative Frequency graph .
)3من الرسم :أ – ق ّدر قيمة الوسيط ( )medianلهذه األوزان.
ب -عدد األشخاص الذين تقل أوزانهم عن 83كج.
جـ -عدد األشخاص الذين تزيد أوزانهم عن 102كج.
اإلجابة :
)2منحنى التكرار التراكمي
)1جدول التكراري التراكمي
(3أ -نوجد رتبة الوسيط بقسمة (مجموع التكرارات )1+على 2أي:
= 30.5
60+1
2
ومن الرسم نوجد الوزن المناظر لهذه الرتبة نجد أن الوسيط هو 92كم تقريبا.
ب – من الرسم أيضا ً نجد أن عدد األشخاص الذين يقل أوزانهم عن 83كم هو 9أشخاص.
حـ -وعدد األشخاص الذين تزيد أوزانهم عن 102كم هو 4أشخاص ) .) 60 – 56 = 4
29
Unit 7
Statistics
اإلحصاء
التمارين اإلضافية
)1فيما يلي جدول تكراري يبين درجات 30طالبا ً في اختبار للرياضيات.
The following frequency table shows the marks of 30 students in math test.
أ ) أكمل الجدول إليجاد التكرار التراكمي Cumulative Frequency
ب) ارسم منحنى التكرار التراكميCumulative Frequency graph .
Frequency
Score
4
71 - 75
11
76 - 80
-1الوسيط ( )medianلهذه الدرجات.
9
81 - 85
-2كم طالبا ً حصل على درجة أقل من الدرجة .77
8
86 - 90
-3كم طالبا ً حصل على درجة أعلى من الدرجة .93
5
91 - 95
3
96 - 100
ج) من الرسم أوجد القيمة التقريبية لكل من:
)2المدرج التكراري التالي يوضح نتائج استبيان أجري على 300شخص تم سؤالهم عن الزمن الذي
يستغرقه كل واحد منهم في الوصول من مدينة الدوحة إلى مدينة الخور.
The following frequency histogram shows the results of a survey of 300 people
who were asked how long it took them to get from Doha City to Al-Khor City.
أ) كوّ ن جدول التكرار التراكمي
Cumulative Frequency Table
ب) ارسم منحنى التكرار التراكمي.
Cumulative Frequency graph
ج) من المنحنى ق ّدر لهذه البيانات قيمة كل من:
-1الوسيط (.)median
-2الربيّع األول Q1
-3الربيّع الثالث Q3
First quartile
Third quartile
-4المدى الربيعي IQR
Interquartile
30
Unit 7
Statistics
اإلحصاء
التمارين الداعمة
-1في استيبان لمعرفة الزمن الي يقضيه طالب إحدى المدارس يوميا ً إلنجاز الواجبات المنزلية كانتت النتائج:
80< x ≤ 100
60 < x ≤ 80
40 < x ≤ 60
20 < x ≤ 40
0 < x ≤ 20
)Time (min
10
40
70
55
15
Number of
students
أ) كوّ ن جدول التكرار التراكمي
Cumulative Frequency Table
ب) ارسم منحنى التكرار التراكمي
Cumulative Frequency histogram
ج) من المنحنى ق ّدر لهذه البيانات قيمة كل من:
-1الوسيط (.)median
-2الربيّع األول Q1
-3الربيّع الثالث Q3
First quartile
Third quartile
-4المدى الربيعي IQR
Interquartile
المشروع
التكامل
العلوم الطبيعية:
لمدة 25يوما ً تساقط الجليد على سفح أحد
الجبال و قيست طبقة الجليد يوميا ً ألقرب
سنتيمتر فجاءت النتائج كالتالي:
242, 228, 217, 209, 253, 239, 266,
242, 251, 240, 223, 219, 246, 260,
258, 225, 234, 230, 249, 245, 254,
243, 235, 231, 257.
كون جدول التكرار التراكمي لهذه القياسات ،ومن
ثم ارسم منحنى التكرار التراكمي ومن الرسم
استنتج الوسيط والمدى الربيعي لهذه البيانات.
)1أحضر مقياسا ً للطول ( بالمتر و السم ).
)2قم بقياس أطوال زمالئك طالب صفك.
)3سجل نتائجك في جدول مقسما ً األطوال إلى فئات مناسبة.
)4ارسم منحنى التكرار التراكمي
Cumulative Frequency histogram
د) من المنحنى ق ّدر لهذه البيانات قيمة كل من:
الوسيط (، )median
الربيّع الثالث Q3
31
الربيّع األول Q1
Third quartile
First quartile
،المدى الربيعي IQR
7.4
Statistics
اإلحصاء
المخططات اإلحصائية
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب
قادرا̋ على أن:
يرسم مخطط
الساق والورقة
لبيانات احصائية.
يستخدم مخطط
العلبة والشعرتين
لتمثيل بيانات
احصائية.
المعايير:
Standards:
8.5
المصطلحات:
Vocabulary :
Stem-and-leaf diagram
مخطط الساق و الورقة
Box-and-whisker plot
مخطط العلبة والشعرتين
المدى
Statistical Diagrams
أولا :مخطط الساق و الورقة
هي طريقة احصائية لتنظيم البيانات نقوم فيها بتجزئة العدد إلى رقم اآلحاد كقسم أول
وباقي األرقام كقسم ثاني ،ففي حالة العدد الصحيح فالعدد 13مثالً نجعل رقم اآلحاد 3
(ورقة) على يمين خط عمودي (الساق) والعدد الخاص بالعشرات على يسار الخط
العمودي بالصورة .1│3
1│2 3 9
وعليه تمثل األعداد 19 ،13 ،12بالصورة
)Stem-and-leaf Diagrams (Box Plots
مثال :1
إذا كانت لدينا البيانات التالية:
41, 46, 47, 49, 54, 63, 64, 66, 68, 68, 72, 72, 75, 76, 81, 84, 88
(1
(2
(3
نظم هذه البيانات باستخدام مخطط الساق والورقةStem and leaf diagram .
احسب المدى ) (rangeلهذه البيانات.
أوجد الوسيط)Median( .
الحل:
)1يتم تنظيم البيانات كما في المخطط المبين.
)2المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة
Range = max value – min value
= 88 – 41 = 47
)3ترتيب الوسيط ( )medianهو
إذن الوسيط (68 = )median
=9
17+1
2
Leaf
1 6 7 9
4
3 4 6 8 8
2 2 5 6
1 4 8
Stem
4
5
6
7
8
key: 6|3=6
Range
Minimum value
تدريب :1
القيمة الصغرى
Maximum value
القيمة العظمى
الوسيط
median
The lower quartile
الرب ّيع األدنى
The upper quartile.
الرب ّيع األعلى
البيانات تمثل درجات الحرارة المسجلة في الدوحة خالل شهر يوليو.
37 ، 42 ،28 ، 31 ، 24 ، 46 ، 25 ، 31 ، 27 ، 35 ، 39
32 ، 43 ، 50 ، 47 ، 29 ، 36 ، 35 ، 33 ، 24 ، 27
19 ، 34 ، 38 ، 28 ، 46 ، 23 ، 49 ، 38 ، 36 ، 25
(1استخدام مخطط الساق والورقة ( )Stem and leaf diagramلتنظيم هذه البيانات.
(2احسب مدى ) (rangeهذه الدرجات.
(3أوجد درجة الحرارة التي تمثل الوسيط (.)Median
32
Unit 7
Statistics
اإلحصاء
ثانيا ا :مخطط العلبة و الشعرتين:
)Box-and-whisker plots (Box Plots
هي طريقة مناسبة لتمثيل البيانات اإلحصائية بشكل يمثل من خالل تحديد الخمس قيم التالية للبيانات:
)The minimum value. (Min
(1القيمة الصغرى.
)The maximum value. (Max
(2القيمة العظمى.
) The lower quartile. ( Q1
(3الرب ّيع األدنى.
The median
الوسيط (الربيّع الثاني)( Q2 ) .
(4
) The upper quartile. ( Q3
(5الرب ّيع األعلى.
مثال :1
في رحلة لصيد األسماك تمكن ناصر من صيد 13سمكة وقام بقياس أطوالها فكانت كالتالي:
12 , 13 , 5 , 8 , 9 , 20 , 16 , 14 , 14 , 6 , 9 , 12 , 12
أوجد القيم الخمس الالزمة لرسم مخطط العلبة والشعرتين Box-and-whisker Plotثم ارسم المخطط.
الحل :
أوال :بعد ترتيب األطوال تصاعديا تكون القيمة الصغرى Min= 5
13+1
فيكون الوسيط هو القيمة السابعة
ثانيا ً :ترتيب الوسيط = 7
2
ثالثا ً :ترتيب الربيّع األدنى = 3.5
13+1
4
والقيمة العظمى Max = 20
median = 12
أي هو متوسط القيمتين الثالثة والرابعة:
13+1
رابعا ً :ترتيب الربيّع األعلى 3( 4 ) = 10.5أي متوسط القيمتين العاشرة والحادية عشرة:
خامسا ً :نحدد أماكن القيم الخمس وبالتالي نرسم المخطط المطلوب كما يلي:
Q1= 8.5
Q3 = 14
تدريب :1
البيانات التالية تمثل درجات 14طالبا ً في أحد االختبارات:
85, 100, 97, 84, 73, 89, 73, 65, 50, 83, 79, 92, 78, 10
أنشئ مخطط العلبة والشعرتين الذي يمثل هذه الدرجات.
Create a box and whisker plot to represent this data.
33
Unit 7
Statistics
اإلحصاء
التمارين اإلضافية
-1البيانات التالية تمثل درجات أحد الطالب في اختبارات الرياضيات:
73, 42, 67, 78, 99, 84, 91, 82, 86, 94
أ) ارسم مخطط الساق و الورقة ) (Stem-and-Leaf Diagramلهذه البيانات.
ب) ما هو الوسيط ( )medianلهذه الدرجات.
-2الدرجات التالية تمثل درجات 20طالبا ً في اختبار نهايته العظمى .50
أ) ارسم مخطط الساق و الورقة ) (Stem-and-Leaf Diagramلهذه البيانات.
ب) كم تبلغ النسبة المئوية لعدد الطالب الحاصلين على 40درجة أو أكثر؟
حـ) كم تبلغ النسبة المئوية لعدد الطالب الحاصلين على أقل من 30درجة؟
-3القيم التالية تمثل أطوال عدد من العبي كرة السلة لفريقين في دوري كرة السلة:
الفريق B
179, 201, 187, 189, 205, 202, 196, 194, 180, 188
الفريق A
177, 203, 188, 181, 204, 178, 195, 190, 178, 180
أ) أكمل مخطط الساق والورقة لهذا التوزيع.
ب) أوجد المدى لكل من الفريقين .
ج) أوجد الوسيط لكل من الفريقين .
د) أوجد النسبة المئوية لعدد الالعبين
الذين تعدى طولهم المترين.
34
Unit 7
Statistics
اإلحصاء
-3أنشئ مخطط « العلبة و الشعرتين للبيانات المعطاة.
Construct a box–and–whisker plot for the given data.
56, 32, 54, 34, 23, 67, 23, 45, 12, 32, 34, 24, 36, 47, 19, 43
(4عقدت مدرستان إحداهما للبنين واألخرى للبنات نفس اإلمتحان في الرياضيات.
درجات البنات كانت كما يلي:
97, 98, 57, 45, 63, 75, 87, 34, 56, 28, 67, 89, 45, 61,
53, 49, 81, 32, 23, 45, 47, 72, 34, 54, 23, 100, 76, 47
أما درجات البنين فكانت كما يلي:
67, 87, 83, 92, 34, 31, 23, 25, 29, 39, 89, 91, 54,
47, 41, 50, 77, 18, 89, 100, 26, 62, 39, 14, 90
أ) ارسم مخططات “ الساق والورقة “ متعاقبة ( (stem-and-leaf, back-to-backلبيان هذه الدرجات.
ب) قارن أداء البنين والبنات ،مع شرح الطرائق التي اتبعتها ونواتجها.
ج) استخدم هذه البيانات لرسم مخطط تكراري تراكمي لعالمات البنين .ماهو الوسيط )(medianلهذه الدرجات.
ما هو المدى الربيّعي ( ) Interquartile IQRلتوزيع الدرجات؟
د) ارسم مخطط ’ العلبة والشعرتين ‘ ( )box-and-whisker plotsلتمثيل درجات البنات.
ارسم مدرج تكرار نسبي لهذه البيانات.
التكامل
الكيمياء:
احضر قائمة تحوي العدد الذري لكل من
العناصر الكيميائية التي تدرسها هذا العام.
أوجد القيم الخمس الالزمة لرسم مخطط
العلبة والشعرتين Box-and-whisker Plot
ثم ارسم المخطط.
العلوم الجتماعية:
حدد درجات الحرارة المحتملة خالل أحد
أشهر السنة في الدوحة ثم ارسم مخطط
العلبة والشعرتين لهذه الدرجات.
المشروع
)1أحضر ميزانا ً لقياس األوزان ( متوفر بالمدارس ).
)2قم بوزن زمالئك طالب صفك.
)3سجل نتائجك في جدول مقسما ً األوزان إلى فئات مناسبة.
(4أنشئ مخطط الساق و الورقة
) (Stem-and-Leaf Diagramلهذه البيانات.
)5أوجد الوسيط ( )medianلهذه األوزان.
)6أوجد المدى ( )The Rangeلهذه األوزان.
)7سجل مالحظاتك على أوزان زمالءك واستنتج ما قد يمثل
عالقة بينها وهل هي في المستوى الطبيعى ؟
)8ابعث بنصائحك لبعض زمالئك.
35
7.5
Statistics
اإلحصاء
مقاييس النزعة المركزية
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب
قادرا̋ على أن:
يحسب الوسط
والوسيط والمنوال
لبيانات احصائية
مفردة.
يحسب الوسط
والوسيط والمنوال
لبيانات احصائية
تكرارية.
المعايير:
Standards:
8.3
8.6
9.1
مقاييس النزعة المركزية هي مقاييس عددية تستخدم لقياس موضع تركز أو
تجمع البيانات .إذ أن بيانات أي ظاهرة تنزع في الغالب إلى التركز والتجمع
حول قيم معينة .هذه القيم هي ما يسمى بمقاييس النزعة المركزية .
ومقاييس النزعة المركزية تستخدم لتلخيص البيانات عدديا ً إذ أنها تعتبر قيم
نموذجية أو مثالية للبيانات .كما أن هذه المقاييس تستخدم لوصف مجموعة
البيانات وكذلك لمقارنة مجموعات البيانات المختلفة.
ومن أهم هذه المقاييس :
الوسط الحسابي ( ،)Meanوالوسيط ( ،)Medianوالمنوال (.)Mode
أوالً :حساب الوسط الحسابيCalculating the mean :
يعتبر الوسط الحسابي من أهم وأفضل مقاييس النزعة المركزية ومن أكثرها
شيوعا ً واستخداما ً في التحليل اإلحصائي وذلك لما يتمتع به من خصائص
وصفات إحصائية جيدة .وإليجاد الوسط الحسابي للبيانات فيجب أن نفرق
بين البيانات المنفصلة أو المفردة ( )discrete dataوالبيانات المتصلة أو
ذات المجموعات )( (continuous dataالممثلة في جدول تكراري).
)1حساب الوسط الحسابي لبيانات مفردة:
المصطلحات:
Vocabulary :
Mean
الوسط الحسابي
Median
الوسيط
Mode
المنوال
Measures of Central Tendency
Calculating the mean for discrete data
يحسب الوسط الحسابي ( )Meanلعدة بيانات منفصلة أو مفردة بقسمة
مجموع هذه البيانات على عددها.
The mean of a numeric variable is calculated by dividing
the sum of the values of all observations in a data set by
the number of observations in the set.
sum of all the observation values
= Mean
number of observations
فإذا كان عدد البيانات nوكانت القيم أو المشاهدات هي 𝑛𝑥𝑥1 ,𝑥2 , … … ,
فإن الوسط الحسابي ( )Meanويرمز له بالرمز 𝑥 هو
𝑛
𝑖𝑥 𝑖=1
=𝑥
𝑛
36
مثال :1
البيانات التالية عبارة عن أوزان مجموعة من األشخاص (بالكيلوجرام)
)The following data show the weights of a group of people (Kg
50 ,55 ,35 ,45 ,40 ,30 ,25
أوجد الوسط الحسابي لهذه األوزان.
Find the mean for this weights.
الحل:
الوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عددها
Mean = sum of all the data values ÷ number of data
= 40
280
7
=
25+30+35+40+45+50+55
7
=
𝑛
𝑖𝑥 𝑖=1
𝑛
= 𝑥 Then:
مثال : 2
احسب الوسط الحسابي للبيانات التالية:
Find the mean of the following data:
3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29
الحل:
مجموع هذه األعداد هو 330
The sum of these numbers is
وعدد هذه األعداد هو There are fifteen number 15
إذن الوسط الحسابي هو:
= 22
330
15
=
𝑛
𝑖𝑥 𝑖=1
𝑛
= 𝑥 The mean:
تدريب :1
البيانات تمثل أطوال مجموعة من الطالب (بالسنتيمتر).
)The following data show the heights of a group of students (cm
37 ، 42 ،28 ، 31 ، 31 ، 35 ، 39
Find the mean for this heights.
أوجد الوسط الحسابي لهذه األطوال.
37
:3 مثال
Number of fatalities in traffic
accidents
Year
Fatalities
1
959
2
1,037
3
960
4
797
5
663
6
652
7
560
8
619
9
623
10
583
الجدول التالي يبين عدد األشخاص الذين قتلوا في الحوادث
ماهو، خالل هذه الفترة, سنوات10 المرورية ألكثر من
متوسط عدد األشخاص الذين ماتول خالل عام؟
وكم عدد األشخاص الذين ماتوا في اليوم الواحد في الحوادث
المرورية خالل هذه الفترة؟
The following table lists the number of people
killed in traffic accidents over a 10 year period.
During this time period, what was the average
number of people killed per year? How many
people died each day on average in traffic
accidents during this time period?
:الحل
:باستخدام الصيغة الخاصة بالبيانات المنفصلة أو المفردة يكون ما يلي
Using the formula to calculate the mean for discrete variables, you can see that:
𝑥=
𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖
𝑛
=
959+1037+960+797+663+652+560+619+623+583
10
7453
=
10
= 745.3
:2 تدريب
:الجدول التالي يبين درجات أحد الطالب في اختبارات عدد من المواد الدراسية
The following table showing the marks of a student in some subjects:
Subject
Mark
Arabic
47
Islamic
49
Find the mean for this heights.
38
Math
41
science
40
English
38
Social
44
.أوجد الوسط الحسابي لهذه األطوال
)2حساب الوسط الحسابي لبيانات ممثلة في جداول تكرارية:
Calculating the mean for frequency table data:
تمثل الجداول التكرارية قائمة بعدد المشاهدات التي تقع في أي مجموعة بيانات معطاة .وهذه
الجداول التكرارية نوعان إما جداول بسيطة أو جداول ذات مجموعات .فعلى سبيل المثال ،
إذا أردت وضع األعمار الفعلية لبعض األشخاص في جدول تكراري فيمكنك استخدام الجدول
التكراري البسيط (بدون فئات) ويمكنك كذلك استخدام الجدول التكراري ذي الفئات بتقسيم
األعمار إلى فئات عمرية مناسبة.
A frequency table lists the number of observations that lie in any given
data set. It can be used with grouped or ungrouped variables.
For example, to provide a frequency table of the age of people in a data
set, you can produce a table using the exact age (ungrouped), or you
can group the ages (grouped).
أ) حساب الوسط الحسابي لجدول تكراري بسيط:
The mean of an ungrouped data:
ويتم ذلك بضرب كل درجة بالتكرار المناظر لها ثم جمع نواتج عمليات الضرب وقسمتها
على مجموع التكرارات أي باستخدام الصيغة التالية:
وسنناقش هذه الطريقة من خالل المثال التالي.
مثال : 4
الجدول المقابل يبين عدد األهداف التي سُجلت
في عدد من المباريات في لعبة كرة القدم.
The showing table shown the number of goals
scored in some football matches
احسب الوسط الحسابي لعدد األهداف في هذه المباريات.
Calculate the mean of this numbers of goals.
Frequency
Number of goals
1
1
1
3
1
4
4
5
2
7
1
8
10
Total
39
الحل:
نقوم بإضافة عمود ثالث للجدول
لكتابة حواصل ضرب كل عدد
في التكرار المناظر له ثم جمعها
كما هو مبين بالجدول المجاور
وبالتالي ايجاد الوسط الحسابي
باستخدام الصيغة السابق ذكرها
كما يلي:
=5
50
10
𝑓𝑥
𝑓
=
Total number of goals
Frequency
)(f
Number of goals
)(x
1
3
4
20
14
8
50
1
1
1
4
2
1
10
1
3
4
5
7
8
Total
)(xf
=𝑥
تدريب :3
الجدول التالي يبين عدد أيام غياب عدد من الموظفين في إحدى الشركات
The following table shows the number of absent’ days against to the number of
employees in a company.
أوجد الوسط الحسابي لعدد أيام الغياب.
Find the mean for this absent’ days.
تدريب : 4
الدرجات المبينة هي درجات 100طالب في أحد االختبارات:
The marks obtained by 100 students in a test were as follows
9
11
8
27
أوجد الوسط الحسابي لهذه الدرجات.
7
28
6
25
5
9
Mark x
)Frequency (f
Find the mean for this marks.
40
:ب) حساب الوسط الحسابي لجدول تكراري ذي فئات
The mean of a grouped data:
نتبع نفس الطريقة السابقة المستخدمة مع البيانات ذات التكرار البسيط مع استبدال الدرجات
. ستكون حاصل ضرب مركز الفئة في التكرار المناظر لهذه الفئةxf بمراكز الفئات أي أن
The calculation is the same as that used in the previous example, except that the
xf is now the product of the midpoint of the interval multiplied by the frequency
of the same interval.
.وسنوضح هذه الطريقة من خالل المثال التالي
:5 مثال
Height (cm)
Frequency (f)
150 –< 155
4
155 –< 160
7
160 –< 165
18
165 –< 170
11
170 –< 175
6
175 –< 180
4
Total
50
الجدول المبين يعرض أطوال مجموعة مكونة
طالبا ً اختيرت عشوائيا ً من طالب50 من
.الصف الحادي عشر
ماهو الوسط الحسابي ألطوال هذه المجموعة
من الطالب؟
The showing table shows the heights
of 50 randomly selected from Grade 11
students.
What is the mean height of the students?
:الحل
نضيف للجدول عمود يلي عمود الفئات نحدد فيه مركز كل فئة من الفئات ثم نضيف
عموداً آخر يلي عمود التكرار نكتب فيه حاصل ضرب مركز كل فئة في التكرار
. وبالتالي إيجاد مجموعهاxf المناظر لها أي
Determine the midpoint of each class interval for a variable, add a column
after first column to write the midpoints of sets, and another column after
the frequency column to write the product of the midpoint of the interval
multiplied by the frequency of the same interval, and find the sum of (xf).
41
:وتتضح خطوات الحل من خالل الجدول التالي
To illustrate the solution steps look at the following table:
Height (cm)
Midpoint
x
Frequency
f
Midpoint × Frequency
xf
150 –< 155
152.5
4
610
155 –< 160
157.5
7
1102.5
160 –< 165
162.5
18
2925
165 –< 170
167.5
11
1842.5
170 –< 175
172.5
6
1035
175 –< 180
177.5
4
710
Total
-----
50
8225
:وباستخدام مجموع العمودين األخيرين من الجدول يمكن ايجاد الوسط الحسابي كما يلي
𝒙=
𝒙𝒇
𝟖𝟐𝟐𝟓
=
= 𝟏𝟔𝟒. 𝟓
𝒇
𝟓𝟎
:5 تدريب
. أشهر بعد زراعته6 تم تسجيل أطوال نوع من النبات لمدة،ألقرب سنتيمتر
The heights to the nearest centimeter of a type of plant were recorded 6 months
after planting.
Height
Frequency (f)
3-5
6-8
9- 11
12 - 14
15 - 17
18 - 20
5
8
22
12
8
5
Calculate the mean of this heights.
42
.احسب الوسط الحسابي لهذه األطوال
Calculating the median
ثانيا ً :حساب الوسيط:
الوسيط هو أحد مقاييس النزعة المركز ية المشهور ة .ويعرف الوسيط لمجموعة من البيانات
على أنه تلك القيمة التي تتوسط البيانات عند ترتيبها تصاعديا ً (أو تنازليا ً ) أي أنه تلك القيمة
التي تقسم البيانات بعد ترتيبها إلى جزأين متساويين فتكون البيانات في الجزء األول تقل عن
أو تساوى الوسيط والبيانات في الجزء الثاني تزيد عن أو تساوى الوسيط .أي أن %50من
البيانات تساوي أو تقل عن الوسيط و %50من البيانات تساوي أو تزيد عن الوسيط .
)1حساب الوسيط لعدة بيانات مفردة:
Calculating the median for discrete data
إذا كان عدد بيانات العينة هو nوكان قيم العينة هي 𝑛𝑥𝑥1 ,𝑥2 , … … … ,
فإن الوسيط ( )Medianله حالتان إليجاده هما:
أولا :إذا كان حجم العينة nعدداا فرديا ا فإن:
الوسيط = القيمة التي في منتصف البيانات بعد ترتيبها وهي القيمة ذات الترتيب
𝑛+1
2
* For an odd number of values:
The median is the middle observation in the ordered list.
𝑛+1
The median is the ( )th item, where n is the number of values
2
على سبيل المثال:
For example:
لحساب الوسيط لمجموعة المشاهدات التاليةTo calculate the median for the :
following set of observations:
3 , 5 , 2 , 12 , 9 , 8 , 7
نبدأ بترتيب القيم كما يلي:
Start by sorting the values:
2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 9 , 12
فيكون الوسيط ( )medianهو 7
( القيمة التي في منتصف القائمة المرتبة للقيم )
)(the middle observation in the ordered list
Then, the median is 7
ثانيا ا :إذا كان حجم العينة nعدداا زوجيا ا فإن:
الوسيط = متوسط القيمتين اللتين في منتصف البيانات بعد ترتيبها
𝑛
و +1
وهما القيمتان المرتبتان ذاتا الترتيب
2
𝑛
2
43
** For an even number of values:
the median is the arithmetic mean of the two middle observations in the ordered
𝑛
𝑛
list. The median is the arithmetic mean of the ( )th and ( +1)th item, where n is
2
2
the number of values.
:فعلى سبيل المثال
For example
To calculate the median for the :لحساب الوسيط لمجموعة المشاهدات التالية
following set of observations:
9 , 6 , 13 , 1 , 10 , 4
Start by sorting the values:
:نبدأ بترتيب القيم كما يلي
1 , 4 , 6 , 9 , 10 , 13
6 , 9 ) هو الوسط الحسابي للقيمتينmedian( فيكون الوسيط
Then, the median is the arithmetic mean of the two values 6 , 9
median =
𝟔+𝟗
= 7.5
𝟐
أي أن الوسيط هو
: تدريبات
. من الزبائن7 ) احسب الوسيط لعدد المجالت المشتراه من أحد المحالت ل1
1) Find the median number of magazines purchased in a store by 7 customers.
1, 7, 9 , 7 , 3, 6 , 4
حصل أحمد في التطبيقات القصيرة في الرياضيات على، ) خالل الفصل الدراسي األول2
. ماهي درجة التطبيق الوسيط.90, 92, 93, 88, 95, 88, 97, 87, 98 الدرجات
2) During the first semester of the study year, Ahmed's math quiz scores were
90, 92, 93, 88, 95, 88, 97, 87, and 98. What was the median quiz score?
: أوجد الوسيط إذا كانت األعمار المسجلة هي. من طالب الجامعة10 ) سجلت أعمار3
18, 24, 20, 35, 19, 23, 26, 23, 19, 20
3) The ages of 10 college students are listed below. Find the median.
18, 24, 20, 35, 19, 23, 26, 23, 19, 20
44
)2حساب الوسيط لبيانات ممثلة في جداول تكرارية:
Calculating the median for frequency table data:
أ) حساب الوسيط لجدول تكراري بسيط:
The median of an ungrouped data:
في الجداول التكرارية البسيطة نوجد الوسيط بنفس طريقة حسابه بالنسبة للبيانات المفردة
األخذ في االعتبار التكرار المناظر لكل مفرة في الجدول.
و تتضح طريقة إيجاد الوسيط لجدول تكراري بسيط من خالل المثال التالي.
مثال :1
البيانات التي في الجدول التالي تبين عدد األشخاص الذين يجلسون على كل طاولة في أحد
المطاعم .أوجد الوسيط لهذه البيانات.
The data in the table below shows the number of people on each table at
restaurant. Find the median of this data.
12
11
10
9
8
7
6
5
Number of people
2
4
7
12
9
3
0
1
Frequency
الحل
Solution
العدد الكلي لقيم هذه المجموعة من البيانات هو مجموع التكرارات أي أن𝑛 = 38 :
The total number of data values is the number of tables in the restaurant. It is the
sum of the frequencies, which is 𝑛 = 38
𝑛+1
وحيث أن الوسيط القيمة ذات الترتيب
2
فيكون
= 19.5
38+1
2
=
𝑛+1
2
أي أن الوسيط هو متوسط القيمتين رقمي 19و 20في ترتيب القيم
The median is the average of the 19th and 20th data values.
45
:وكما هو مبين على الجدول
Number of people
5
6
7
8
9
10
11
12
Frequency
1
0
3
9
12
7
4
2
من قيم البيانات13
8 أقل من أو تساوي
إلى14 البيانات من رقم
9 كلها القيمة25 رقم
The 14th to the 25th are all 9s
13 data values of 8 or less
∴ 𝑡ℎ𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛 =
9+9
2
: فيكون الوسيط
=9
:1 تدريب
أ) الجدول التالي يبين عدد ضربات اإلرسال التي تم إحصاؤها لعدد من العبي كرة المضرب
. أوجد الوسيط لهذا العدد من الضربات.(التنس) في أول مجموعة لهم في إحدى المباريات
A) The table below shows the number of aces served by tennis players in their first
set of a tournament. Find the median number of aces for these sets.
46
Number of aces
1
2
3
4
5
6
Frequency
4
11
18
13
7
2
Number of home runs
Frequency
4
5
6
7
8
9
1
2
0
2
4
1
ب) تصور أن فريق كرة السلة بمدرستك قد سجل هذا
. مباريات10 العدد من الضربات البعيدة المدى في
فكم سيكون الوسيط؟
B) Imagine that your school basketball
team scores the following number of
home runs in 10 games.
what would the median be?
ب) حساب الوسيط لجدول تكراري ذي فئات:
The median of a grouped data:
يلزم لحساب الوسيط لمجموعة من البيانات مسجلة في جدول تكراري ذي فئات تحديد
الحدود الفعلية لفئات ،كذلك إضافة عمود للجدول لجمع التكرارات بصورة متتالية ويسمى
بالتكرار المتجمع ( ) Cumulative Frequencyوالذي يتم من خالله تحديد الفئة التي
تحوي الوسيط وكذلك التكرارالمتجمع السابق لفئة الوسيط ومن ثم استخدام الصيغة التالية
لحساب الوسيط:
i
n
cf
k 1
T 2
k
f med
Median
ترتيب الوسيط – التكرار المتجمع للفئة السابقة للفئة الوسيطية
الوسيط = الحد األدنى للفئة الوسيطية +ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × طول الفئة
تكرار الفئة الوسيطية
حيث يرمز كل من:
الحد األدنى الفعلي للفئة الوسيطية -ترتيب الوسيط
k
T
n
2
-التكرار المتجمع السابق للفئة الوسيطية
k 1
cf
تكرار الفئة الوسيطية f med -طول الفئة i
وسنتناول طريقة حساب الوسيط للجدول التكراري ذي المجموعات من خالل المثال التالي.
47
مثال : 2
الجدول التكراري اآلتي يبين بيانات أعمار 30مريض من مراجعي المستشفى في أحد األيام.
احسب العمر الوسيط لهؤالء المرضى.
The table below shows the ages of 30 patients of a hospital at one day.
Find the median age of these patients.
Total
27 – 29
24 – 26
21 – 23
18 – 20
15 – 17
12 – 14
Interval
30
3
2
6
7
4
8
Frequency
الحل:
solution
نضيف للجدول عمود يلي عمود الفئات نحدد فيه الحدود الفعلية للفئات ( ونحصل عليها
بطرح 0.5من الحد األدنى لكل فئة وجمع 0.5على الحد األعلى لكل فئة ) ثم نضيف
كذلك عموداً آخر يلي عمود التكرار نوجد فيه التكرار المتجمع ( )cfوهوالذي ينتج من
الجمع المتتالي للتكرارات كما هو مبين بالجدول التالي:
15
Cumulative
) Frequency ( cf
)f ( Frequency
Actual boundaries
of sets
Sets
8
8
11.5 – 14.5
12 – 14
12
4
14.5 – 17.5
15 – 17
19
7
17.5 – 20.5
18 – 20
25
6
20.5 – 23.5
21 – 23
27
2
23.5 – 26.5
24 – 26
30
3
26.5 – 29.5
27 – 29
-
30
-
Total
ثم نتبع الخطوات التالية:
48
)1نوجد ترتيب الوسيط بقسمة مجموع التكرارات على 2أي:
= 15
𝟎𝟑
𝟐
=
𝒏
𝟐
)2نحدد مكان الوسيط بين القيم في عمود التكرار المتجمع إليجاد التكرار المتجمع السابق
لفئة الوسيط أي أن:
cf
12
k 1
)3تكرار الفئة الوسيطية هو:
)4وطول الفئة
f med 7
i 14 . 5 11 . 5 3
)5الحد األدنى الفعلي للفئة الوسيطية هو 17 . 5 :
k
T
وباستخدام الصيغة يكون الوسيط :
𝟑
𝟐𝟏𝟏𝟓 −
×
𝟕
∴ 𝒕𝒉𝒆 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏 = 𝟏𝟕. 𝟓 +
𝟗𝟐 = 𝟏𝟕. 𝟓 + 𝟏.
𝟗𝟕 = 𝟏𝟖.
تدريب :2
قيست أطوال 50طالبا ً في إحدى المدارس
وسجلت النتائج في الجدول المقابل
احسب الطول الوسيط لهذه البيانات.
A) The table at left shows the heights
of 50 students in a school.
Calculate the median height
of this data set.
Frequency
)Height (cm
4
150 to < 155
7
155 to < 160
18
160 to < 165
11
165 to < 170
6
170 to < 175
4
175 to < 180
49
Calculating the mode
: حساب المنوال:ً ثالثا
أو هو، ) لمجموعة من القيم هي القيمة التي تتكرر أكثر من غيرهاMode( المنوال
)Bimodal( وقد ال يكون للقيم منوال وأيضا ً قد يوجد لها منواالن.ً القيمة األكثر شيوعا
وفي حالة بيانات الجدول.)Multimodal( ) أو متعددة المنوالtri modal( أو ثالثة
.التكراري ذي الفئات تكون الفئة المنوالية هي الفئة المقابلة ألكبر تكرار
.المنوال = القيمة األكثر تكراراا بين مجموعة القيم
In a set of data, the mode is the most frequently observed data value.
There may be no mode if no value appears more than any other. There
may also be two modes (bimodal), three modes (tri modal), or four or
more modes (multimodal). In the case of grouped frequency
distributions, the modal class is the class with the largest frequency.
Mode = the most frequently observed data value
:) حساب المنوال لعدة بيانات مفردة1
Calculating the mode for discrete data
والمنوال ال يلزم، المنوال لعدة بيانات مفردة هو ببساطة القيمة األكثر تكراراً بين القيم
.لتعيينه ترتيب القيم و ال يحتاج إلى إجراء أي عمليات حسابية
The mode for discrete data is simply the most observed value. To work out the
mode, observations do not have to be placed in order, although for ease of
calculation it is advisable to do so.
: 1 مثال
For the following data set, find the mode
:أوجد المنوال لمجموعة القيم التالية
0, 0, 1, 0, 0, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 3, 1, 0
Mode = 0
50
لذلك يكون المنوال0 حيث أن أكثر قيمة تكررت بين القيم هي
:الحل
مثال : 2
أوجد المنوال لمجموعة القيم التالية:
For the following data set, find the mode
7,3,4,9,4,7,5,2,7,5,4
الحل:
حيث أن القيمتان 7 ، 4تكررتا بنفس العدد كأكثر القيم تكراراً فإن هذه المجموعة من القيم
لها منواالن وهما 4 ,7وتسمى مجموعة ذات منوالين Bimodal
This data set has two modes (Bimodal) = 4 & 7
مثال : 3
أوجد المنوال لمجموعة القيم التالية:
For the following data set, find the mode
14 , 15 , 5 , 13 , 11
الحل:
حيث أنه ال توجد بين القيم قيمة تكررت أكثر من غيرها لذا فإن
هذه المجموعة من القيم ليس لها منوال
Since each value occurs only once in the data set,
there is no mode for this set of data.
تدريب :1
أوجد المنوال لكل مجموعة القيم التاليةFor each of the following data set, find the mode :
1) 14, 14, 15, 16, 14, 16, 16, 18, 14, 16, 16
2) 22 , 7 , 9 , 12 , 9 , 10 , 2 , 11 ,10 , 9 , 2
3) 2.7 , 3.5 , 4.9 , 5.1 , 8.3
4) -21 , 0 , +2 , -15 , 0 , +5 , -18 , +7 , 0 , -32 , +21
51
)2حساب المنوال لبيانات ممثلة في جداول تكرارية:
Calculating the mode for frequency table data:
أ) حساب المنوال لجدول تكراري بسيط:
The mode of an ungrouped data:
في الجداول التكرارية البسيطة يكون المنوال Modeهو القيمة التي تقابل أكبر تكرار
كما يتضح من المثال التالي.
مثال :4
البيانات التي في الجدول التالي تبين عدد األشخاص الذين يجلسون على كل طاولة في أحد
المطاعم .أوجد المنوال لهذه البيانات.
The data in the table below shows the number of people on each table at
restaurant. Find the mode of this data.
12
11
10
9
8
7
6
5
Number of people
2
4
7
12
9
3
0
1
Frequency
الحل
Solution
حيث أن أكبر تكرار هو 12فإن المنوال هو القيمة المناظرة له أي أن:
Mode = 9
تدريب :1
أوجد المنوال للتوزيع التكراري التالي:
For of the following table, find the mode
6000
5500
5200
4900
4400
4100
3800
Wages of workers
6
12
15
17
25
13
12
Number of workers
52
ب) حساب المنوال لجدول تكراري ذي فئات:
The mode of a grouped data:
* في الجداول التكرارية ذات الفئات تكتفي بعض المراجع الرياضية بتعيين الفئة المنوالية
( )Modal Classوهي الفئة التي تناظر أكبر تكرار في الجدول التكراري.
كما سنوضح ذلك من خالل المثال التالي.
مثال :5
الجدول المبين يعرض أطوال مجموعة مكونة من
100طالب من طالب الصف الحادي عشر.
حدد الفئة المنوالية لهذه األطوال.
)Frequency (f
)Height (cm
14
150 –< 155
27
155 –< 160
33
160 –< 165
31
165 –< 170
26
170 –< 175
19
175 –< 180
100
Total
The showing table shows the heights
of 100 Grade 11 ‘ students.
Determine the modal class for this heights.
الحل:
يتبين من قراءة الجدول أن أكبر تكرار هو 33لذا فإن الفئة المنوالية هي
The modal-class interval is 160 –< 165 cm
تدريب :2
حدد الفئة المنوالية للتوزيع التكراري التالي:
Determine the model class:
24 - 27
20 - 23
16 - 19
12- 15
8 - 11
4-7
set
9
19
26
21
14
11
Frequency
53
** وفي بعض المراجع الرياضية األخرى تستخدم لحساب المنوال من الجداول التكرارية
ذات الفئات الصيغة التالية:
= Mode
حيث
الحد األدنى الحقيقي للفئة الوسيطية = 𝐿1
زيادة تكرار الفئة المنوالية عن تكرار الفئة قبل المنوالية = ∆1
زيادة تكرار الفئة المنوالية عن تكرار الفئة بعد المنوالية = ∆2
طول الفئة المنوالية = C
ولتطبيق هذه الطريقة سنناقش المثال التالي.
مثال :5
الجدول المقابل هو بيان لدرجات الحرارة المسجلة
في أحد أشهر السنة.
احسب المنوال لهذه الدرجات.
The opposite table shows the temperature
degrees recorded in one month of a year.
Calculate the mode for this degrees.
الحل:
Frequency
̊ Temperature
2
30 -
6
32 -
11
34 -
8
36 -
3
38 - 40
30
Total
نستخرج من الجدول المعلومات الالزمة لحساب المنوال والمتضمنة في الصيغة وهي:
, ∆1 = 11 − 6 = 5 , ∆2 = 11 − 8 = 3 , C = 2
𝐿1 = 34
وبالتعويض بهذه القيم نحصل على:
54
:3 تدريب
:احسب المنوال للتوزيع التكراري التالي
Calculate the mode for the following frequency distribution.
set
5-9
10 - 14
15 - 19
20 – 24
25 - 29
Frequency
11
14
21
26
19
التمارين اإلضافية
:أ) أوجد الوسط الحسابي و الوسيط والمنوال لمجموعة القيم التالية
Find the mean, median, and mode for the following list of values:
1) 1, 2, 4, 7
2) 13, 18, 13, 14, 13, 16, 14, 21, 13
3) 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 13, 12
4) 18, 24, 20, 35, 19, 23, 26, 23, 19, 20
:ب) أوجد الوسط الحسابي و الوسيط والمنوال للتوزيع التكراري التالي
B) Find the mean, median, and mode for the following table of values:
55
Mark
0
1
2
3
4
Frequency
4
19
25
29
23
Unit 7
Statistics
اإلحصاء
ج) الجدول المجاور يبين أوزان مجموعة من األطفال في أحد الصفوف .باستخدام هذه المعلومات:
This table shows the weights of children in a class. Using this information:
)1احسب الوزن الذي يمثل الوسط الحسابي
1) Calculate the mean weight.
)2أوجد الفئة المنوالية
2) Find the modal class
)3احسب الوزن الوسيط
3) Calculate the median weight.
)4احسب المنوال لهذه األوزان
4) Calculate the mode for this weights.
Frequency
Mass (m) kg
7
30 ≤ m < 40
6
40 ≤ m < 50
8
50 ≤ m < 60
4
60 ≤ m < 70
7
Total
التمارين الداعمة
)1أوجد الوسط الحسابي و الوسيط والمنوال لكل من مجموعات القيم التالية:
1) Find the mean, median, and mode.
1) 239, 230, 500, 120
2) 32, 54, 87, 12, 30, 72, 13, 49, 80, 72
3) 34.9, 23.5, 83.7, 65.8, 34.9, 20
4) 73.3, 48.61, 45.4, 37.8, 210
5) 29.80, 27.39, 12.73, 49.80, 27, 310.92, 37.01
6) 0.4, 0.03, 0.2, 0.043, 0.015, 0.04, 0.08, 0.075
)7سجل فريق كرة القدم بإحدى الكليات عدد الحضور في 7مباريات فكانت:
7) A college football team recorded attendance for its 7 home games.
24,329 - 76,875 - 65,312 - 78,698 - 43,243 - 23,416 - 58,704
احسب كل من الوسط الحسابي و الوسيط والمنوال
Find the mean, median, and mode.
56
ويريد هذا، 87 , 95 , 76 , 88 ) حصل أحد الطالب في اختباراته على الدرجات التالية2
ما هي أقل درجة يجب عليه أن يحصل عليها. أو أكثر85 الطالب الحصول على درجة
في آخر اختبار ليحقق المعدل الذي يريده؟
2) A student has gotten the following grades on his tests: 87, 95, 76, and 88.
He wants an 85 or better overall. What is the minimum grade he must get
on the last test in order to achieve that average?
:) فيما يلي مقاسات القمصان المصنعة لدى أحد الخياطين وعدد المطلوب منها3
3) The size of shirts manufactured by a tailor are as follows:
Size of shirts
32
33
35
36
37
39
42
Number of shirts
2
3
1
4
1
2
1
.أوجد الوسط الحسابي و الوسيط والمنوال لهذه المقاسات
1) Find the mean, median, and mode for these sizes.
:) للتوزيع التكراري التالي أوجد4
4) For the following frequency distribution, find.
Class
interval
5 ≤ x < 10
10 ≤ x < 15
15 ≤ x < 20
20 ≤ x < 25
25 ≤ x < 30
Frequency
3
5
7
2
4
A) The mean
B) The median
C) Modal Class
D) The mode
57
أ) الوسط الحسابي
ب) الوسيط
ج) الفئة المنوالية
د) المنوال
58
مساحات و أحجام األشكال الهندسية
الرقم
اسم الدرس
رقم الصفحة
1
طول القوس ومساحة القطاع الدائري
61
2
مساحات وأحجام األشكال الهندسية
67
3
النحراف عن الشمال
73
4
المقاييس المركبة
76
60
8.1
الوحدة الثامنة
طول القوس ومساحة القطاع الدائري
Arc Length and Area of Sector
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب قادرا̋
على أن:
يحسب طول القوس
ومساحة القطاع
الدائري باستخدام
القياس الستيني
يحسب طول القوس
ومساحة القطاع
الدائري باستخدام
القياس الدائري
المعايير:
Standards:
6.13
المصطلحات:
Vocabulary :
مركز
تعريف القطاع الدائري:
القطاع الدائري هو جزء من الدائرة محدود بقوس
ونصفي قطر في الدائرة.
A sector of a circle is a pie-shaped
region bounded by an arc and
two radii.
طول القوس ومساحة القطاع الدائري:
أو ال :حساب طول القوس ومساحة القطاع الدائري بالقياس الستيني
(القياس الستيني هو الذي يكون فيه قياس الزاوية بالدرجات):
• calculate the arc length and area of a sector by degrees
measure.
(1طول القوس بالقياس الستيني:
Centre
نصف قطر radius
قطر
Arc Length:
Diameter
Circumference
محيط الدائرة
(2مساحة القطاع الدائري بالقياس الستيني:
طول arc length
القوس
Sector Area:
قطاع دائري sector
61
الوحدة الثامنة
مثال :1
أوجد طول القوس ومساحة القطاع الدائري في الدائرة التي نصف قطرها 15سم وقياس
زاويته المركزية . 60°
Find the length of the arc and area of the sector of a circle with radius
15 cm and central angle 60°.
الحل :
أوالً :باستخدام قانون طول القوس
Solution :
وبالتعويض بقيم Ѳو r
وباستخدام الحاسبة نحصل على:
ثانيا ً :باستخدام قانون مساحة القطاع الدائري
وبالتعويض بقيم Ѳو r
وباستخدام الحاسبة نحصل على:
تدريب :1
أوجد طول القوس ومساحة القطاع الدائري في الدائرة التي نصف قطرها 7سم
وقياس زاويته المركزية . 120°
Find the length of the arc and area of the sector of a circle with
radius 7 cm and central angle 120°.
62
تعريف القياس الدائري:
القياس الدائري للزاوية المركزية Ѳلدائرة يعرف بأنه النسبة بين
طول قوس هذه الزاوية sمقسوما ا على نصف قطر الدائرة r
The radian measure of a central angle Ѳ of a
circle is defined as the ratio of the length of
the arc of the angle subtends, s, divided by
the radius of the circle, r.
أي:
طول القوس ومساحة القطاع الدائري:
ثانياا :حساب طول القوس ومساحة القطاع الدائري بالقياس الدائري
Calculation of the arc length and area of a sector by radian measure.
(1طول القوس بالقياس الدائري:
s=rѲ
Arc Length:
(2مساحة القطاع الدائري بالقياس الدائري:
Sector Area:
63
الوحدة الثامنة
مثال :2
أوجد طول القوس ومساحة القطاع الدائري في الدائرة التي نصف قطرها 7سم وقياس
زاويته المركزية 2.5راديان .
Find the length of the arc and area of the sector of a circle with radius
7 cm and central angle 2.5 radians.
الحل
Solution :
:
أوالً :طول القوس sمن القياس الدائري للزاوية Ѳهو:
وبالتعويض بقيم Ѳو r
s=rѲ
= 7 × 2.5
= 17.5 cm
ثانيا ً :مساحة القطاع الدائري : A
وبالتعويض بقيم Ѳو r
تدريب :2
أوجد طول القوس ومساحة القطاع الدائري في الدائرة التي نصف قطرها 4سم
وقياس زاويته المركزية 5.1راديان.
Find the length of the arc and area of the sector of a circle with
radius 4 cm and central angle 5.1 radian.
64
الوحدة الثامنة
التمارين الداعمة
(1في الدائرة المبينة إذا كان r = 8 cm
فأوجد كالً من طول القوس AB
ومساحة القطاع الدائري ABO
1) If r = 8 cm, find the length of arc AB
and the area of the sector ABO.
(2الدائرة التي أمامك مبين عليها قياس الزاوية المركزية AOB
للقوس ABبالتقدير الدائري
وطول نصف قطرها r = 5 cm
فأوجد كالً من طول القوس AB
ومساحة القطاع الدائري AOB
For the circle shown, calculate:
i) The length of the arc AB
ii) The area of the sector AOB.
التمارين اإلضافية
(1رتب األقواس التي في الشكل التالي ترتيبا ً تصاعديا ً حسب أطوالها.
Arrange the arcs in the figure in the ascending order of its lengths.
65
(2إذا كان لدينا أنبوب للري طوله 450متر.
فما هي المساحة التي يمكن ريها بعد دورانه
بزاوية مقدرها
بالقياس الدائري
2) If the irrigation pipe is 450 m in length,
what is the area that can be irrigated
?radians
after a rotation of
(3قطاع دائري طول نصف قطره 1.875سم و قياس زاويته المركزية . 165.58 °
ما هو محيط هذا القطاع الدائري ؟
3) A circular sector with radius 1.875 cm and central angle 165.58°.
?What is the perimeter of this sector
(4جزء من رصيف للمشاة على شكل قطاع دائري طول نصف قطره 1.25متر و قياس
زاويته المركزية .50.6 °ما هي مساحة هذا الجزء من الرصيف؟
4) A section of side walk is a circular sector of radius 1.25 m and central
?angle 50.6°. What is the area of this section of sidewalk
(5إذا كان طول نصف قطر عجلة دراجة هوائية هو 50سم .فكم عدد الدورات التي تدورها
هذه العجلة إذا سارت الدراجة الهوائية لمسافة 270متر ؟
5) The radius of a bicycle wheel is 50 cm. How many revolutions does
?the wheel make when the bicycle travels 270 m
66
8.2
الوحدة الثامنة
مساحات وأحجام األشكال الهندسية
Areas and Volumes of Geometrical Shapes
:تذكر أن
Shapes
Formula
Rectangle:
A = lw
P = 2l + 2w
Parallelogram
Area = Base X Height
A = b.h
P = 2a + 2b
Triangle
b
Area = 1/2 of the base X height
A = 1/2 bh
Perimeter = a + b + c
:األهداف
Objectives:
̋أن يكون الطالب قادرا
:على أن
يحسب مساحات
وأحجام أشكال
.هندسية متنوعة
:المعايير
Standards:
7.1
:المصطلحات
Vocabulary :
area
مساحة
Volume
Trapezium
حجم
Geometrical
shape
شكل هندسي
Area
Perimeter = a + b1 + b2 + c
Circle
Circumference c = pd = 2 pr
Area
67
A = pr2
Shapes
Formula
Rectangular Solid
Volume = Length X Width X Height
V = lwh
Surface = 2lw + 2lh + 2wh
Prisms
Volume = Base X Height
v=Bh
Surface area = 2B + Ph
(B is the area of the base and P is the
perimeter of the base)
Cylinder
Volume V = pr2 h
Surface area = 2prh + 2pr2
Pyramid
V = 1/3 Bh
(B is the area of the base)
Cones
Volume V= 1/3 pr2h
Surface area = pr2 + prs
Sphere
Volume V = 4/3 pr3
Surface Area = 4pr2
68
الوحدة الثامنة
:1 مثال
:احسب مساحة الشكل المبين
Calculate the area of the shown shape
:الحل
Solution:
Area of rectangle = 4 × 8 = 32 m²
Radius of semicircle = 4 ÷ 2 = 2 m
Area of semicircle = 1/2 × π × 2² ≈ 6.23 m²
Total area = 32 + 6.23 ≈ 38.3 m²
:1 تدريب
:احسب مساحة كل شكل من األشكال التالية
Calculate the area of each of the following shapes:
69
الوحدة الثامنة
:2 مثال
.الشكل التالي يبين أن المنطقة غير المظللة هي لبطاقة دائرية تم قصها من متوازي األضالع
.احسب مساحة المنطقة المظللة
The diagram shows a piece of card in the shape of a parallelogram, that had a
circular hole cut in it. Calculate the area of the shaded part.
:الحل
Solution:
Area of parallelogram = 11 × 6 = 66 cm²
Radius of circle = 4 ÷ 2 = 2 cm
Area of circle = π × 2² = 12.6 cm²
Area of shape = 66 – 12.6 ≈ 53.4 cm²
:2 تدريب
. مم8 تم قطع أربع قطع دائرية قطر كل منها.الشكل التالي يبين طبق معدني مستطيل الشكل
.احسب مساحة الجزء المتبقي من المعدن
A rectangular metal plate as shown in the diagram.
Four holes of diameter 8 mm are drilled in the plate.
Calculate the area of the remaining metal
70
الوحدة الثامنة
:3 مثال
. أنصاف دوائر3 هذا الشكل مصمم باستخدام
This shape is designed using 3 semi-circles.
. احسب مساحة هذا الشكل.3a , 2a , a أنصاف األقطار ألنصاف الدوائر هي
The radii of the semi-circles are 3a, 2a and a. Find the area of this shape>
:الحل
Solution:
Area first semicircle = 1/2 π r² = 1/2 π (3a)² = 4.5 π a²
Area second semicircle = 1/2 π r² = 1/2 π (2a)² = 2 π a²
Area third semicircle = 1/2 π r² = 1/2 π (a)² = 0.5 π a²
Total area = 4.5 π a² + 2 π a² - 0.5 π a² = 6 π a²
:2 تدريب
احسب مساحة الشكل المبين
) ( األجزاء التي تمثل منحنيات هي أنصاف دوائر
Calculate the area of the shown shape.
Each of the curved parts is a semicircle.
71
الوحدة الثامنة
مثال :1
الشكل التالي يبين حوض مجهز للتركيب على سطح أحد المنازل .القطع العرضي للحوض
عبارة عن نصف دائرة طول قطرها 20سم .فكم لتراً من الماء يسع هذا الحوض؟
The diagram shows a gutter which is
to be fitted to the roof of a house.
The gutter has a cross-section which is
a semi-circle with diameter 20 cm.
?How many litres of water can the gutter hold
الحل:
Solution:
الحوض عبارة عن نصف اسطوانة وكمية الماء التي يسعها هي حجم نصف االسطوانة
V = ⅟2 pr2 h
) ( 10 m = 1000 cm
= ⅟2 p × 102 × 1000
= 157079.6 cm3 ≈ 157 litres
تدريب :3
ما هو حجم الماء الموجود في الحوض الزجاجي المبين؟
What is the volume of water in the
?rectangular tank
72
8.3
الوحدة الثامنة
القياسات على الكرة األرضية
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب قادرا̋
على أن:
يستخدم االنحراف
عن الشمال
وخطوط العرض
والطول وخط
االستواء إليجاد
املسافة واملوقع على
سطح الكرة
األرضية.
النحراف عن الشمال :
Earth’s surface.
Bearing
The great-circle distance is the shortest distance between any
two points on the surface of a sphere measured along a path on
the surface of the sphere
مسافة أكبر دائرة هي أقصر مسافة بين نقطتين يمكن قياسها على سطح الكرة.
المعايير:
Standards:
7.2
المصطلحات
Vocabulary
Bearings
االنحراف عن الشمال
Longitude
خطوط الطول
Latitude
خطوط العرض
great circle
أكبر دائرة
Hemisphere
نصف الكرة األرضية
Equator
خط االستواء
Nautical mile
امليل اليحري
(وحدة قياس الطول)
Because the Earth is nearly spherical equations for great-circle
distance can be used to roughly calculate the shortest distance
between points (cities) on the surface of the Earth and so have
applications in navigation.
وباعتبار أن الكرة األرضية شبه كروية فيمكن حساب المسافات بين النقاط ( المدن )
التي تقع على سطح الكرة األرضية كما هي حسابات الدائرة والتي تعتبر أهم
تطبيقات المالحة ( الجوية أو البحرية).
مثال (:)1
73
الوحدة الثامنة
An equator is the intersection of a Sphere’s surface with the plane perpendicular to
the sphere's axis of rotation and containing the sphere's center of mass.
The Equator refers to the earth’s equator and is an imaginary line on the Earth's
surface equidistant from the North Pole and South Pole , dividing the Earth into the
Northern Hemisphere and Southern Hemisphere.
هو خط وهمي يمثل تقاطع سطح الكرة األرضية مع سطح األعمدة المقامة من مركز كتلة األرض: خط االستواء
وهو على بعد متساو من القطب الشمالي والقطب الجنوبي أي يقسم الكرة، ومحاور الدوران للكرة األرضية
) ( انظر الشكل.األرضية إلى النصف الشمالي من الكرة األرضية والنصف الجنوبي
Activity : Modelling the Earth
تمثيل الكرة األرضية: نشاط
Use an orange to make a model to represent the Earth.
Use an atlas to mark on the North and South Poles and the locations of Bahrain and
Tokyo. Use a string to find the shortest distance between the two locations.
Cut the orange along the line of greatest distance and demonstrate that this splits the
orange into two hemispheres. ( as shown in figure )
وبيّن عليها القطب الشمالي والجنوبي، استخدم برتقاله لتمثيل الكرة األرضية
، وخط االستواء وباستخدام الخريطة حدد موقع مدينة طوكيو والبحرين
ثم أحضر خيطا لتحديد المدينتين على البرتقالة ثم قم بقطع البرتقالة مارا
) ( كما هو موضح بالرسم.بأكبر دائرة تقطع البرتقالة إلى نصفين متساويين
74
الوحدة الثامنة
:)1( مثال
From the map shown below, represent the longitude and latitude to identify
places on a globe for the following cities: Q , P1 , E1
: من الخريطة المرسومة في األسفل حدد خطوط الطول والعرض وأماكن المدن التالية
Solution:
Q is 60°2′ N, 10°21′ W
P1 is 55°3′ N, 5° 5′ E
E1 is 0° N, 40°2′ E
:)1( تدريب
From the map shown above, represent the longitude and latitude to identify
places on a globe for the following cities:
P2 , E2 , P3 , Es
من الخريطة المرسومة أعاله حدد خطوط الطول والعرض وأماكن المدن التالية
: تمرين
On the map above plot the following cities :
1- Cairo is 30° 2′ N, 31° 5′ E.
2- Jakarta is 6° 5′ S, 106°48′ E.
3- Ankara 39° 5′ N, 32° 55′ E?
75
: حدد على الخريطة السابقة المدن التالية
8.4
الوحدة الثامنة
المقاييس المركبة
Compound measures.
:األهداف
Objectives:
What do you mean by Compound Measure ?
ما المقصود بالمقاييس المركبة ؟
A compound measure is made up of two (or more) other
measures.
. هي وحدة قياس تتكون من وحدتي قياس أو أكثر: المقاييس المركبة
For example : Speed is a compound measure made up from a
measure of length (kilometers) and a measure of time (hours).
) تعتبر وحدة قياس السرعة هي وحدة قياس مركبة من وحدة الطول ( كيلومتر
.) ووحدة قياس الزمن ( الساعة
: مثال
What is the compound measures for each of the following
giving an example for each:
1- Speed
2- acceleration.
3- Density
4- Population density
Solution:
1- Speed = Distance / time ( km/h or km h-1 , m/s or m s-1 )
2- acceleration = Distance / time2
( m/s2 or m s-2 )
3- Density = mass/volume
( kg/cm3 or kg cm-3 )
4- Population density = number of people/ area
( people/km2 )
76
أن يكون الطالب
:قادرا̋ على أن
يميز المقاييس
المركبة
يحل مسائل
لفظية تتضمن
المقاييس
المركبة
:المعايير
Standards:
7.3
المصطلحات
Vocabulary
compound
measure
المقاييس المركبة
Density
الكثافة
Speed
السرعة
Acceleration
العجلة
Rate
معدل
average speed
متوسط السرعة
population
density
الكثافة السكانية
الوحدة الثامنة
:1 تدريب
A train is travelling between two stations in 1.5 hours where the distance between
them is 12km. What was the average speed of the train?
. كيلو متر12 يقطع القطار المسافة بين مدينتين في ساعة ونصف وكانت المسافة بينهما
ما هي السرعة المتوسطة للقطار؟
: تمارين
1- A cleaning solution uses 5 grams of powder to every 10 liters of water.
a) What is the compound unit?
b) How much powder would be needed for 6 liters of water?
. لترات من الماء10 جم من محلول للنظافة من البودرة لتنظيف5 تستخدم-1
ماهي الوحدة المركبة المستخدمة؟
-أ
لترات من الماء؟6 كم نحتاج من البوردة لتنظيف- ب
2- A man walks a distance of 24 meters in 10 seconds.
Calculate his speed in k/h.
. ساعة/ احسب سرعته بالكيلو متر. ثواني10 كم في24 يتحرك رجل مسافة-2
3- The number of citizen people in Al-Khor is 20 000. Evaluate the population of
Al-Khor if the area is 50 km2 .
. 2 كم50 شخصا ومساحة الخور20000 إذا كان عدد المواطنين في مدينة الخور-3
.فاوجد الكثافة السكانية لمدينة الخور
77
الوحدة الثامنة
4- A piece of a cubic wood has length 10 cm and mass 20 gm.
Find the density of wood.
. جم20 سم وكتلتها10 قطعة من الخشب على شكل مكعب طول ضلعه-4
.أوجد كثافة قطعة الخشب
5- A car consume 6 galloon of petrol to travel 800 km.
. كم800 جالون من البنزين لتفطع6 تستهلك سيارة-5
a)
What is the compound unit?
b)
How much gallons of petrol would be needed for 1200 km?
ماهي وحدة القياس المستخدمة ؟-أ
كم ؟1200 كم جالونا من البنزين تحتاج السيارة لقطع-ب
c)
How much kilometers would be traveled for 10 gallons of petrol ?
جالونات من البترول ؟10 كم كيلومترا تقطعه السيارة باستخدام- حـ
6- On average, a nursing home for 16 people uses 40 kg of potatoes every 5 days.
Complete the following statement.
. من المرضى خالل خمسة أيام16 كيلوجراما من البطاطس لعدد40 في مركز للتمريض كان معدل استخدام-6
: أكمل الجمل التالية
a) Each day 40 kg/5 = . . . . . kg of potatoes are used.
b) Each person would consume 8 kg/16 = . . . . . . . kg each day
c)
The compound measure would be: . . . . . kg per person per day.
78
الوحدة الثامنة
المشروع
. متر7 عدد من أنصاف الدوائر مرسومة كما هو مبين على خط طوله
نصف القطر لنصف الدائرة. سم17 نصف الدائرة األول طول نصف قطره
.التالي طوله هو نصف طول نصف القطر لنصف الدائرة السابق له
ما هو مجموع أطوال األقواس لكل أجزاء أنصاف الدوائر؟
Semi circles are drawn on a line of length 7 m as shown. The
first semicircle has a radius of 17 cm. Radius of each
consecutive semicircle is half the radius of the preceding semi
circle. What is the sum of the arc lengths of all the
semicircular portions?
79
80
المتتاليات والتعبيرات والصيغ الرياضية
Sequences, expressions and formulae
الرقم
اسم الدرس
رقم الصفحة
1
المتتاليات
83
2
الصيغ الفيزيائية
90
3
ضرب الحدوديات
95
82
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
9.1
المتتاليات Sequences
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب
قادرا̋ على:
إيجاد مجموع
املتتالية الهندسية
الالنهائية.
The properties of infinte geometric sequences:
خواص المتتابعة الهندسية الالنهائية :
درست فيما سبق المتتاليات وعرفت نوعين منها :المتتاليات الحسابية Arithmetic
sequencesوالمتتاليات الهندسية . Geometric sequences
فالمتتالية التالية تمثل متتالية حسابية :
.
المعايير:
4 , 7 , 10 , 13 , 16 , . . . , . . . , . . .
Standards:
4.1
حدها األول هو 4وأساسها ( مقدار الزيادة ) هو 3وحدها العام هو
Tn = a + ( n-1) d
المصطلحات
Vocabulary
والمتتالية التالية تمثل متتالية هندسية :
4 , 8, 16 , 32 , 64 , . . . , . . . , . . .
geometric
sequence,
حدها األول هو 4وأساسها هو 2وحدها العام هو
متتالية هندسية
un+1 = u1. r n
infinite
geometric series,
متتالية هندسية
لنهائية
Sum
مجموع
common ratio
أساس المتتابعة
مثال (:)1
Find the first term and common ratio of the following
geometric sequence then find the 6th term and the sum of the
first 6th terms.
أوجد الحد األول واألساس للمتتالية الهندسية التالية ثم أوجد الحد السادس ومجموع
الحدود الستة األولى.
2 , 6, 18 , 54 , . . . , . . . , . . .
Solution:
r=6÷2=3
u6 = 2 . 3 5 = 486
So, a = 2 ,
* Then:
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
ثم:
**
تدريب (:)1
Find the sum of the first 5th terms of the following geometric sequence.
أوجد مجموع الحدود الخمسة األولى للمتتالية الهندسية التالية .
64 , 32, 16 , 8 , . . . , . . . , . . .
تمارين :
1- Find the sum of the first 6th terms of the following geometric sequence.
-1أوجد مجموع الحدود الستة األولى للمتتالية الهندسية التالية .
1 , 3, 9 , 27 , . . . , . . . , . . .
2- Gasem invests $1000 in a bank at rate 5% annually.
Find the balance after 4 years.
-2يستثمر جاسم مبلغ 1000دوالر بفائدة مركبة %5سنويا .أوجد جملة المبلغ يعد 4سنوات.
] استخدم القانون
[
3- $5000 is invested for 4 years at 7% per a year compound interest,
?compounded annually. What will it amount to at the end of this period
-3استثمر مبلغ 5000دوالر لمدة 4سنوات بفائدة مركبة %7سنويا .أوجد جملة المبلغ في نهاية
المدة؟
84
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
4- The initial population of rabbits on a farm was 50. The population increased by
7% each week. How many rabbits were present after 15 weeks.
. أسبوعا15 أوجد عدد األرانب بعد. كل اسبوع%7 تزيد بمعدل50 مجموعة من األرانب عددها-4
The sum of Infinite geometric sequence
:مجموع المتتالية الهندسية الالنهائية
To evaluate the sum of geometric sequence, the common ratio ( r ) must be a
fraction less then 1.
The sum is given by the formula :
where | r | < 1
إليجاد مجموع المتتالية الهندسية الالنهائية لبد وأن يكون أساس المتتالية أقل من واحد أي كسراا حقيقيا
| r | < 1 حيث
: و يعطى المجموع بالقانون التالي
:)1( مثال
Find the sum of the following infinite geometric sequence:
: أوجد مجموع المتتالية الهندسية الالنهائية التالية
18 , 12 , 8 , . . . . . .
Solution:
85
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
تدريب (:)1
A ball takes 1 second to hit the ground when dropped. It then takes 90% of this time
to rebound to its new height and this continues until the ball comes to rest.
تستغرق كرة ثانية واحدة لتصطدم باألرض .وترتد في زمن %90من الزمن السابق للوصول لإلتفاع الجديد.
وتستمر هكذا حتى تتوقف الكرة تماما.
(a) Show that the total time of the motion is given by:
أ – بين أن الزمن الكلي للحركة يعطى بالمعادلة التالية:
1 + 2 ( 0.9 ) + 2 ( 0.9 )2 + 2 ( 0.9 )3 + . . . . . . . . .
)(b) Find Sn for the series in (a
ب – أوجد المجموع Snللمتسلسلة السابقة.
?( c) How long does it take for the ball to be at rest
حـ – أوجد الزمن الكلي حتى تسكن الكرة تماما ا.
86
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
:)2( مثال
Write
as a rational number.
.على شكل كسر اعتيادي
اكتب الكسر الدوري
Solution:
Which is a geometric series with infinitely many terms.
:)2( تدريب
: اعتبر أن
Consider
which is an infinite geometric series.
a) What are u1 and r ?
b) Show that
87
متتالية هندسية غير منتهية
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
:التمارين اإلضافية
1- Write as a rational number :
(a)
(b)
2- Find the sum Sn for the following series:
(a)
(b)
(c)
3- Find the sum of each of the following infinite geometric series:
(a)
(b)
88
1.21 + 1.1 + 1 + …
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
المشروع
: رقاقة الثلج
Snowflakes
Draw an equilateral triangle with sides 9 cm long. Divide each side into three and
construct another equilateral triangle on the middle third of each side. Repeat the
process to form the third snowflake design and again for the fourth, drawing
equilateral triangles on the middle third of each side of the previous design.
Calculate the length of the perimeter for each of the designs.
• What happens to the length of the perimeter as the number of steps increases?
• Evaluate the perimeter 4th step.
• Write a rule to evaluate the perimeter nth step.
[ Hint : Is it a geometric Or Arithmetic sequence or neither nor?
.)1( كما بالشكل- سم9 ارسم مثلثا متساوي األضالع بطول
) والجزء2( كما بالشكل- قسم كل جانب إلى ثالثة أجزاء وبناء مثلث متساوي األضالع على الثلث األوسط من كل جانب
.المرسوم يسمى ندبة أو نتوء
.)3( ) لتشكيل ندبات أخرى – كما بالشكل2( كرر العملية السابقة مع كل ضلع للشكل
.احسب طول المحيط لكل من األشكال السابقة
• ماذا يحدث لطول المحيط بعد زيادة كل خطوة؟
. • أوجد محيط الشكل الرابع
.• اكتب قاعدة لستنتاج محيط أي شكل ناتج من تكرار السلسلة السابقة
هل هي متتالية حسابية أو هندسية أم غير ذلك؟- قبل اإلجابة ناقش: مساعدة
)1( الشكل
89
)2( الشكل
)3( الشكل
9.2
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
الصيغ الفيزيائية :
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب
قادرا̋ على أن:
إعادة ترتيب
معادلة.
إعادة ترتيب
قانون فيزيائي.
.
المعايير:
Standards:
4.7
المصطلحات:
Vocabulary :
Rearrange
يعيد ترتيب
Formulae
معادلة /قانون
Physical
فيزيائي /طبيعي
Variable
متغير
Formulae from Physical Context:
Generate and use formulae from physical contexts such as:
نستخدم كثير من الصيغ الرياضية في علوم الفيزياء ومنها على سبيل المثال ما يلي:
The formula for the volume V of a square-based pyramid is
V = 1⁄3 b2h, where b is the base length and h is the perpendicular
height.
معادلة حجم الهرم Vالذي قاعدته مربعة الشكل
تعطى بالقانون V = 1⁄3 b2hحيث bهو طول
ضلع القاعدة و hالرتفاع العمودي على القاعدة.
1) A square-based pyramid has base length 5 cm and
?perpendicular height 6 cm. What is its volume
(1ما هو حجم الهرم عندما يكون طول ضلع القاعدة المربعة 5سم والرتفاع 6سم؟
2) A different square-based pyramid has base length 4 cm. Its
?volume is 48 cm3. What is its perpendicular height
(2هرم رباعي آخر طول ضلع قاعدته المربعة هو 4سم وحجمه 48سم. 3
ماهو ارتفاعه العمودي؟
3) The volume of another square-based pyramid is 25 cm3. Its
?perpendicular height is 12 cm. What is its base length
(3حجم هرم قاعدته مربعة هو 25سم 3وارتفاعه العمودي 12سم .
فما هو طول ضلع القاعدة ؟
من خالل المناقشة السابقة نحتاج لكتابة المعادلة بأكثر من صيغة وهذا ما يسمى إعادة
ترتيب المعادلة أو القانون Rearrange Formulae
90
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
:)1( تدريب
The diagram shows a square, ABCD, of side length (p + q).
Inside it a square, EFGH, of side length r.
Write a simplified expression for:
• the area of square EFGH (in terms of r);
• the area of triangle DEH (in terms of p and q);
• the area of square ABCD (in terms of p and q).
.r طول ضلعهEFGH يوجد بداخله المربع.( p + q ) طول ضلعهABCD الرسم يوضح مربع
: أكتب تعبيرا رياضيا يمثل كل مما يلي
.r بدللةEFGH • مساحة المربع
.q وp بدللةDEH • مساحة المثلث
.q وp بدللةABCD • مساحة المربع
Square ABCD is made up from four congruent triangles and square EFGH. The four
triangles are all congruent to triangle DEH. Use this information to write an
expression in terms of p, q and r for the area of square ABCD.
استخدم هذه المعطيات.EFGH والمربعDEH يتكون من أربعة مثلثات متطابقة مع المثلثABCD المربع
. r وp , q بدللةABCD لكتابة تعبير جبري يمثل مساحة المربع
Use the two different expressions for the area of square ABCD to express r2 in
terms of p2 and q2.
p2 , q2 وr2 بدللةABCD استخدم التعبيرين الجبريين لتمثيل مساحة المربع
91
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
إعادة ترتيب الصيغ
Rearrange formulae:
Formulae from science
:)1( مثال
Rearrange and use formulae from science, such as:
• The time for a pendulum swing is given by T2 = 4π2 l/g.
Write the formula to give I in terms of g and T.
: أعد صياغة القوانين العلمية التالية
.l اكتب القانون بدللة
.T2 = 4π2 l/g معادلة زمن تحرك البندول تعطى بالقانون
Solution:
T2 = 4π2 l/g
g T2 = 4π2 l
l = g T2
/
multiply both sides by ( g )
divide both sides by (4π2 )
4π2
:)1( تدريب
Rearrange and use formulae from science, such as:
a)
h = 1⁄2 gt2. Rewrite this to give t in terms of g and h.
b)
Ek = 1⁄2 mv2. What is v in terms of the other variables?
c)
Fg = Gm1m2/r2 . Rewrite this to give G in terms of Fg , m1 , m2 and r.
What other rearrangements can you make that are equivalent?
92
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
التمارين اإلضافية
1- There are five constant acceleration formulae commonly used in physics.
These are:
-1أمامك خمسة قوانين ثابتة العجلة تستخدم في علم الفيزياء وهي كالتالي:
• v2 – u2 = 2as
• d = u + at
• s = ut + 1⁄2 at2
• s = vt – 1⁄2 at2
• s = 1⁄2 (u + v)t
?What connections can you find between the equations
)a
أ ) ما هو الرابط الذي يمكنك أن تجده بين المعادلت؟
?b) Can you use any two of them to derive a third
ب ) هل يمكن استخدام أي معادلتين منهم الشتقاق معادلة ثالثة؟
93
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
2- The formula that connects the volume V of an air bubble
at the water surface, its initial volume U, and the
distance d it has risen is:
d 10.3
V
10.3
U
where V and U are in cm3 and d is in metres.
d والمسافة التي يرتفعهاU مغمورة في الماء بحجم ابتدائيV القانون الذي يربط حجم فقاعة هوائية-2
. باألمتارd والمسافة3 تقاس السمU وV حيث
d 10.3
V
10.3
U
هو
(a) At 50 metres below the water surface a bubble has a volume of 9.57 × 10–4 cm3.
What is the volume of the bubble at the water surface?
9.57 × 10–4 cm3 م تحت سطح الماء كان حجم الفقاعة50 على بعد
-أ
فما هو حجم الفقاعة عند سطح الماء؟
(b) The volume of a bubble at the water surface is 4 times its initial volume.
By how many metres has the bubble risen?
فكم مترا ارتفعت الفقاعة؟. حجم الفقاعة عند سطح الماء أربع أضغاف الحجم اإلبتدائي-ب
( c) At the water surface a bubble has a volume of 2.46 × 10–2 cm3.
What was the initial volume of this bubble when it was 20 m below the water
surface?
فماهو الحجم اإلبتدائي للفقاعة عندما كانت على. 2.46 × 10–2 cm3 حجم الفقاعة عند سطح الماء هو- حـ
. مترا تحت سطح الماء20 عمق
94
9.3
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
ضرب الحدوديات
Multiply Polynomials :
األهداف:
Objectives:
Multiply ( x + 2 ) ( x + 3 ) by using the diagram.
أن يكون الطالب
قادرا̋ على :
مستخدما الشكل الذي أمامك اضرب ) ( x + 2 ) ( x + 3
x
+3
الحدوديات .
تبسيط
الحدوديات.
تحليل المقادير
الجبرية
.
3x
x2
x
6
2x
+2
ضرب
المعايير:
Standards:
4.4+4.5+4.6
المصطلحات:
Vocabulary :
Algebraic
fractions
الكسور الجبرية
Factorise
يحلل
Simplify
تبسيط
surds.
الجذور الصم
+ 3x
x2
2x + 6
x2 + 5x + 6
بعد إجراء عملية الضرب نقوم بجمع الحدود المتشابه . Like terms
تمارين :
Multiply the following by using suitable diagram.
اضرب المقادير التالية باستخدام أشكال مناسبة .
) (a) 3x ( x + 5
) (b) (x + 1 ) ( x + 7
) (c) (x - 4 ) ( x + 6
) (d) (x - 2 ) ( x - 9
)(e
)(f
95
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
تحليل المقدار الجبري
Factorising algebraic expression :
Factorise expressions of the form a2x2 – b2y2 is ( a x – b y ) ( a x + b y )
: تمارين
Factorise the following quadratic expressions :
(a) x2 – 25 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(b) x2 – 49 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(c) 4 x2 – 81 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(d) 16 x2 – y2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(e) x2 – 0.25 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(f) x2 – a2 b2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(g) ( a + b )2 – 9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(h) ( a - 3 )2 – 16 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(i)
1 – ( a + b )2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(j)
81 – ( a - 10 )2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(k) ( a + b )2 – ( a - b )2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(l)
( a - 3 )2 – ( a - 2 )2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
: حلل المقادير الجبرية التالية
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
:التمارين اإلضافية
1- Grains of rice are placed on each square of a chessboard. The board has 64
squares. One grain is placed on the first square, two on the second, four on the third,
eight on the fourth, and so on. Calculate the total number of grains of rice on the
chessboard.
حيث تم وضع حبة أرز واحدة في.ً مربعا64 والتي تتألف من، تم وضع حبات من األرز على لوحة الشطرنج-1
، وثمانية حبات في المربع الرابع، وأربعة حبات في المربع الثالث، وحبتان في المربع الثاني، المربع األول
.وهكذا
. حساب العدد اإلجمالي لحبوب األرز التي تم وضعها على لوحة الشطرنج: المطلوب
If one kilogram of rice contains approximately 16 000 grains of rice.
Estimate the weight of all the rice on the chessboard.
. حبة من األرز16 000 وإذا علمت أن الكيلوجرام الواحد من األرز تحتوي على ما يقرب من
. تقدير وزن األرز الذي تم وضعة على لوحة الشطرنج: المطلوب
2- The sum of the infinite geometric series 1 – 1⁄2 + 1⁄4 – 1⁄8 + … is
هو1 – 1⁄2 + 1⁄4 – 1⁄8 + … مجموع المتتالية الال نهائية-2
A. 5⁄8
B. 2⁄3
C. 3⁄5
D. 3⁄2
3- Orange cost QR 1.5 each and apples cost QR 3.75 per kilogram. A man buys apples
and orange at the supermarket. Write a formula to describe the total cost of his
purchase. Investigate how many orange and how many kilograms of apples he could
buy for QR 30
أكتب معادلة رياضية تحسب. رياال للكيلو الواحد3.75 وتفاحا بسعر، رياال1.5 اشترى رجل برتقاال بسعر-3
. رياال30 كم كيلوجراما من البرتقال والتفاح يستطيع أن يشتري بمبلغ
97
.السعر الكلي لمشترواته
الوحدة التاسعة
الجبر واألعداد
4- The volume of a solid cylinder of length h and radius r is V.
(a) Find a formula for the curved surface area, A, of the cylinder in terms of r and h.
(b) Use this formula to find a formula expressing V in terms of A and r.
.r ونصف قطر قاعدتهاh إرتفاعهاV حجم اسطوانة دائرية قائمة هو- 4
.h وr بداللةA أكتب صيغة لحساب مساحة سطحها الجانبي
-أ
.r وA بداللهV استخدم الصيغة السابقة إليجاد صيغة للحجم-ب
5- Find R in terms of R1 and R2 when 1/R = 1/R1 + 1/R2.
R2 وR1 بدللةR أوجد1/R = 1/R1 + 1/R2
: تعطى بالقاعدةR إذا علمت أن المقاومة- 5
6- Simplify (2x – 3)(x2 + x – 10).
(2x – 3)(x2 + x – 10) ضع في أبسط صورة- 6
7- Without using a calculator, find the exact value of 7.922 – 2.082.
7.922 – 2.082 : بدون استخدام اآللة الحاسبة أوجد القيمة الفعلية للمقدار-7
8- Explain why (a + b)2 ≠ a2 + b2.
(a + b)2 ≠ a2 + b2 اشرح لماذا-8
9- Draw a diagram to represent the identity (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 : ارسم شكال هندسيا يوضح أن- 9
10- Rationalise the expression 1/(√2 + √3).
1/(√2 + √3) : اجعل المقام عددا صحيح للمقدار-10
98
الخواص الهندسية للدوال المثلثية
الرقم
اسم الدرس
رقم الصفحة
1
الدوال المثلثية األساسية
101
2
رسم الدوال المثلثية األساسية
105
100
الوحدة العاشرة
الهندسة والقياس 3
10.1
الدوال المثلثية األساسية
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب
قادرا̋ على أن:
يحسب الدوال
املثلثية
األساسية
Sin θ
cos θ
tan θ
باستخدام الحاسبة
المعايير:
The Main Trigonometric Ratios
مقدمة:
ِAn introduction
هل تعلم أنه:
كان أبو الوفاء من العلماء البارزين في الفلك والرياضيات.
كما اعترف كثير من العلماء الغربيين بأنه من أشهر الذين
برعوا في الهندسة .وترجع أهمية البوزجاني إلى إسهامه في تقدم علم
حساب المثلثات ،حيث يعترف "كارادي فو" بأن الخدمات التي قدمها
أبو الوفاء لعلم المثلثات ال يمكن أن يجادل فيها ،فبفضله أصبح هذا العلم
أكثر بساطة ووضوحا ً .فقد استعمل القاطع وقاطع التمام ،وأوجد طريقة
جديدة لحساب الجيب .كما أنه أول من أثبت القانون العام للجيوب في
المثلثات الكروية .أما في الهندسة ،فقد كان أبو الوفاء عالما ً عبقرياً،
حيث عالج عدداً من المسائل بخبرة كبيرة
Standards:
6.10
المصطلحات
Vocabulary
Trigonometry
حساب المثلثات
circular functions
الدوال الدائرية
101
:إيجاد النسب المثلثية باستخدام الحاسبة
Finding Trigonometric Ratios Using Calculator
. إيجاد النسب المثلثية لزاوية معلومة باستخدام الحاسبة:أولا
:)1( مثال
Example (1)
: منازل عشرية4 باستخدام الحاسبة أوجد قيمة كل مما يأتي مقربا ً الجواب إلى
Using the calculator, find the answer of the following to 4 decimal places.
1) sin 49°
2) cos 27.53°
3) tan 26°35'57“
Solution
الحل
( الحل هنا مجرد خطوة واحدة على الحاسبة1
1) This is just one step on the calculator.
sin 49° = 0.7547
) وهنا أيضا ً الحل خطوة واحدة بالحاسبة2
2) This is also just one step on calculator
cos 27.53° = 0.8868
:) لكن هنا نحتاج إلى إدخال الزاوية بالدرجات و الدقائق و الثواني3
3) For this next one, you need to make sure that you know how to enter
an angle in DMS form (degrees - minutes - seconds).
tan 26° 35' 57" = 0.5007
102
1 تدريب
: منازل عشرية4 باستخدام الحاسبة أوجد قيمة كل مما يأتي مقربا ً الجواب إلى
Using the calculator, find the answer of the following to 4 decimal places.
1) cos 18°
2) tan 51.9°
3) sin 26° 22' 15“
. إيجاد الزاوية بمعلومة النسبة المثلثية باستخدام الحاسبة:ثانيا ا
Finding Angles Given The Trigonometric Ratio
: اآلن نحن نعلم قيمة النسبة المثلثية ولكن ال نعلم الزاوية األصلية فانظر إلى المثال التالي
We are now going to work the other way around. We may know the final
trigonometric ratio, but we don't know the original angle.
:)2( مثال
Example (2)
: للنسبة المثلثية المعطاةθ أوجد
Find θ, given that tan θ = 0.3462 and 0° ≤ θ < 90°.
Solution: الحل
. إجابتنا يجب أن تكون قياس زاوية. tan نحتاج إلى استخدام الدالة العكسية للدالة
We need to use the inverse tangent function. The answer will be an angle
: فنحصل علىtan وSHIFT " من خالل استخدام المفتاحينtan-1" لذلك نستخدم التعبير
So we use the "tan-1" button, by using the two keys SHIFT tan and we have:
θ = tan-1 0.3462 = 19.096°.
103
2 تدريب
منازل عشرية3 مقربا ً الجواب إلىx أوجد قيمةsin-1 0.935 = x إذا كان
If sin-1 0.935 = x find the value of x to the nearest 3 decimal places
التمارين الداعمة
: منازل عشرية4 ) باستخدام الحاسبة أوجد قيمة كل مما يأتي مقربا ً الجواب إلى1
1) Using the calculator,
find the answer of the following to 4 decimal places.
1) sin 18.34°
2) cos 5° 34' 72"
3) tan 73°
:( في الحاالت التالية0° ≤ θ < 90°) حيثθ ) أوجد2
2) Find θ (0° ≤ θ < 90°) given that
1) sin θ = 0.6235
2) tan θ = 3.689
3) cos θ = 0.1437
4) sin θ = 0.1202
104
10.2
الوحدة العاشرة
الهندسة والقياس 3
رسم الدوال المثلثية األساسية
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب
قادرا̋ على أن:
يرسم الدوال
املثلثية
األساسية
Graphing Trigonometric Ratios
استخدام دائرة الوحدة في رسم الدوال المثلثية :
Using The Unit Circle to draw trigonometric functions.
استرجاع مفهوم دائرة الوحدة
Recall the unit circle
Sin θ
cos θ
tan θ
المعايير:
Standards:
6.8
6.11
6.12
المصطلحات
Vocabulary
Trigonometry
حساب المثلثات
circular functions
الدوال الدائرية
105
الوحدة العاشرة
الهندسة والقياس
Finding the value of sine and cosine using the unit circle
1 مثال
106
الوحدة العاشرة
الهندسة والقياس
تدريب :1
Find the value of sin θ and cos θ if the final
side for θ cuts the unit circle at the point
?)p(3/5, 4/5
حقائق حياتية
في حياتنا اليومية كثيرا ما نرى أسعار لبعض السلع تزيد وتنقص في أيام العام والتي
يمكن تمثيل ارتفاع وانخفاض هذه األسعار بالدوال الدورية مثل Sin θوcos θ
وكثيرا ما نرى فى مجال الطب تطبيقات للدوال الدورية كمثال لذلك دقات القلب
وغيرها من التطبيقات العلمية األخرى والتي تفيد في تشخيص وعالج األمراض
والتي تساهم في أن يعيش اإلنسان حياة أفضل
107
بعض الزوايا الخاصة
cos
الحظ أن:
108
مثال 2
من الزوايا الخاصة والمالحظة السابقة ارسم منحنى الدالتين sin θ , cos θ
الحل:
نقوم بتمثيل األعداد التي تمثل كالً من sin θو cos θكما يلي:
وبتحديد النقاط من صفر إلى 2πيمكن رسم النقاط باليد ألنها منحنى
ثم نرسم المنحنى للدالة sin θ
109
تدريب 2
حاول رسم الدالتين من خالل الجدول في الصفحة السابقة ثم قارن بالحل الصحيح التالي:
الحظ أيضا ً أن:
مثال 3
Find the exact value for
تدريب 3
أوجد قيمة ما يأتي مستخدما دائرة الوحدة Calculate using the unit circle :
)b
)a
110
مثال 4
ارسم منحنى الدالة y=sin θفي الفترة من -2πإلى 2π
الحل:
أوال :نقوم بعمل جدول لقيم الزواية θوالنسبة المقابلة sin θلكل منها.
ثانيا :نستخدم بالجدول القيم الممثلة لمجال الدالة وهو من -2πإلى 2π
ثالثا :نرسمها في الفترة المذكورة
واآلن حان دور الرسم
111
تدريب 4
ارسم منحنى الدالة y=-sin θفي الفترة من -2π
إلى 2πماذا تالحظ ؟
مثال 5
ارسم منحنى الدالة y = cos θفي الفترة من -2π
إلى 2π
الحل
نتبع نفس الخطوات التي اتبعناها في رسم منحنى دالة Sinالسابقة كما يلي:
أوال نقوم بعمل جدول لقيم الزواية θوالنسبة المقابلة cos θلكل منها.
ثانيا نستخدم بالجدول القيم الممثلة لمجال الدالة وهو من -2πإلى 2π
ثالثا نرسمها في الفترة المذكورة
مرة أخرى حان دور الرسم
112
تدريب 5
ارسم منحنى الدالة y=-cos θفي الفترة من -2π
إلى 2πماذا تالحظ ؟
مثال 6
ارسم منحنى الدالة y = tan θ
في الفترة من -2πإلى 2πماذا تالحظ؟
?Graph the function y = tan(x) in the interval -2π to 2π , what do you notice
الحل
في البداية يجب تذكر أن:
that:
نقوم بعمل جدول لقيم الزواية θوالنسبة المقابلة tan θلكل منها والذي ينتج
من قسمة القيم المتناظرة لكل من sin θو cos θمن الجدولين السابقين.
مع مالحظة أن القيمة تكون غير معرفة عند القسمة على 0ثم نرسم الدالة
في الفترة المذكورة للقيم المعرفة.
Remember
113
تدريب 6
ارسم منحنى الدالة y = - tan θ
في الفترة من -2πإلى 2πماذا تالحظ؟
مثال 7
ارسم منحنى الدالة y=2sin xفي الفترة من -2πإلى 2πوقارنها مع y=sin x
الحل
لقيمة xالمعطاة فإن قيمة yهي ضعف القيمة في حالة y = sin xكما هو مبين
بجدول القيم .التغيير الوحيد في الرسم البياني سيكون في مدى الدالة فإنه سيكون
] [ -2 , 2كما في الشكل التالي والذي يتضمن الشكل البياني للدالة y = sin x
من أجل المقارنة بينهما.
تدريب 7
ارسم منحنى الدالة y=2cos θفي الفترة من -2πإلى 2πقارنها مع y=cos θ
114
مثال 9
Sin 2 θ + cos2 θ = 1
باستخدام دائرة الوحدة أثبت أن:
ثم أثبت العالقة ألي مثلث.
الحل
نعلم من دائرة الوحدة أن:
ويمكن إثبات العالقة ألي مثلث كاآلتي:
115
مالحظة
باستخدام العالقة السابقة يمكن الحصول على إحدى النسبتين بداللة األخرى كما
هو مبين فيما يلي:
مثال 10
إذا كان sin Ѳ = ⅟4فأوجد جميع القيم الممكنة للدالة . cos Ѳ
الحل:
بتربيع طرفي المعادلة:
فيكون:
ثم بأخذ الجذر التربيعي للطرفين نحصل على
ويمكن حل هذا المثال باستخدام
المثلث المبين بوضع البيانات
عليه وبالتالي إيجاد .cos Ѳ
116
تدريب 9
مستخدما المالحظة السابقة أوجد جميع القيم الممكنة للدالة cos xإذا علمت
أن
Sin x = 1/2
مثال 11
ارسم منحنى الدالة
y = cos ⅔Xلدورة واحدة
ويصبح الرسم
كما هو مبين
على اليسار.
117
التمارين الداعمة
: التالية4 إلى1 ( صل كل دالة بالرسم البياني الممثل لها في التمارين من1
In Exercises 1–4, match each function with its graph.
يقطعθ إذا كان الضلع النهائي للزاويةsinθ ° , cos θ ° , tan θ ° ) أوجد قيم2
: في كل مما يأتيP دائرة الوحدة في النقطة
2 ) find the value of sinθ , cos θ ° and tan θ if the final side for θ cuts
the unit circle at the point p for each of the following:
118
(3ارسم منحنى الدالة
y= cos θ
في الفترة -2πإلى 2π
( 4ارسم منحنى الدالة
y= tan θ
في الفترة -2πإلى 2π
( 5ارسم منحنى الدالة
y= 1.5sin θ
في الفترة -2πإلى 2π
( 6ارسم منحنى الدالة
y= -3cos θ
في الفترة -2πإلى 2π
( 7ارسم منحنى الدالة
y= 2tan θ
في الفترة -2πإلى 2π
( 8ارسم منحنى الدالة ) y= tan (θ/2
في الفترة -2πإلى 2π
( 9ارسم منحنى الدالة ) y= -sin (θ/2
في الفترة -2πإلى 2π
( 10ارسم منحنى الدالة ) y= -cos (θ/2
في الفترة -2πإلى 2π
(11ارسم منحنى الدالة
)y= sin (-θ
في الفترة -2πإلى 2π
119
:( مستخدما دائرة الوحدة أوجد12
Using the unit circle relation ,Find :
a) Sin 45 °
b) Sin 135 °
c) What do you notice ?
ماذا تالحظ ؟
d) What is the relation between sin θ and sin(180- θ) ?
sin(180- θ) وsin θ ما هي العالقة بين
13 ) Using the unit circle relation
باستخدام دائرة الوحدة هل تستطيع أن تثبت أن
Can you prove that
sin θ = -sin θ
Justify your answer
.فسر إجابتك
14 ) Using the unit circle relation
What is the relation between
cos θ and cos (180- θ) ?
Justify your answer.
؟cos (180- θ) وcos θ ما هي العالقة بين
15) In the figure shown:
في الشكل المقابل
If sin s =0.46 ,
Using the unit circle relation,
find the value of :أوجد قيمة كل من
a) cos s
b) tan s
120
16 ) Look at opposite photo
City firefighters are told that they
can use their 1 - hm (hectometer)
long ladder provided the measure
of the angle that the ladder makes
with the ground is at least 15° and
no more than 75°
من الشكل المقابل أخبر رجال المطافئ انه يمكن يستخدموا سلم المطافئ والذي
درجة وال تزيد عن15 هيكتوميتربزاوية ميل على األرض ال تقل عن1 طوله
درجة75
a. If θ represents the measure of the angle that the ladder
makes with the ground in radians, what is a reasonable set
of values for θ? Explain.
الممكنة ؟وضح ؟θ ما هي قيم
b. Express as a function of θ, the height h of the point at
which the ladder will rest against a building.
؟h وθ عبر عن العالقة بين
c. Graph the function from part (b) using the set of values for
θ from part (a ) as the domain of the function.
؟h وθ ارسم العالقة بين
d. What is the highest point that the ladder is allowed to
reach?
ما هو أعلى ارتفاع يمكن أن يصله سلم المطافئ ؟
121
:) ارسم الشكل البياني لدورة واحدة للدالة التالية17
17 ) Graph over one period using the preceding guidelines.
y = - 2 sin 3x
المشروع
122
خواص الدوال والمتباينات
Properties of functions and inequalities
الرقم
اسم الدرس
1
خواص الدوال والمتباينات
2
مماس الدالة عند نقطة واقعة عليه
130
3
المتباينات الخطية
135
124
رقم الصفحة
125
الوحدة الحادية عشر
الجبر 2
األهداف:
11.1
خواص الدوال والمتباينات
Objectives:
أن يكون الطالب
قادرا̋ على أن:
يستخدم اآللة
الحاسبة
الرسومية لرسم
الدالة.
يصنف الدالة
صريحة أو
ضمنية.
.
Properties of functions and inequality
الدالة الصريحة والدالة الضمنية :
Explicit and implicit form:
الخط المستقيم على الصورة الصريحة y = mx + cيعبر عن دالة .أما الخط
المستقيم على الصورة الضمنية ax + by + c = 0قد يعبر أو ال يعبر عن دالة.
A straight line in the explicit form y = mx + c
المعايير:
Standards:
5.1
5.6
المصطلحات
Vocabulary
يرسم Plot
دالة Function.
Slope.
ميل المستقيم
implicit form.
صورة ضمنية
explicit form.
صورة صريحة
Continuous.
متصلة
represents a function, but a straight line in the implicit
form ax + by + d = 0 may, or may not, be a function.
مثال (:)1
Use a graphics calculator to plot the function
y= 2x+1 then find the slope and y-intercept.
باستخدام آلة حاسبة رسومية أو أي برنامج رسومي :
ارسم الدالة y= 2x +1ثم أوجد ميل المستقيم ونقطة التقاطع مع محور .y
Solution:
The slop is m=2
Discontinuous.
غير متصلة
)Y-intercept is (0,1
الوحدة الحادية عشر
2 الجبر
:)1( تدريب
Write equations for the lines that form the sides of the rectangle shown.
.اكتب معادلة المستقيمات للمستطيل المرسوم أمامك
a)
Which of these are implicit functions and which are explicit?
أي منها دالة صريحة أو دالة ضمنية ؟-أ
b)
Are there any lines that cannot be written in explicit form? Why?
هل يوجد أي خط مستقيم ليعبر عن دالة صريحة؟ ولماذا؟-ب
:)2( تدريب
Write an equivalent equations for the following functions as
an explicit :
:اكتب المعادلة المكافئة على الصورة الصريحة لكل من الدوال التالية
a) 2x – y + 3 = 0
b) 4x – 2y - 7 = 0
c) x = 1⁄2(y – 3)
126
الوحدة الحادية عشر
الجبر 2
مثال (:)2
Use a graphics calculator or graph plotting software such as Autograph to graph a
range of the following functions and classify them, and note their distinctive
features
باستخدام اآللة الحسبة البيانية أو أي برنامج آخر ارسم الدوال التالية وحدد الصفات المميزة لكل منها .
Solution:
الدالة متصلة على مجالها Rومتزايدة
إلى aومن bإلى
من
ومتناقصة على الفترة من aإلى .b
الدالة متصلة ومتزايدة على مجالها R
وتمر بالنقطة ( .) 0 ، 0
127
الوحدة الحادية عشر
الجبر 2
الدالة منفصلة ( غير متصلة ) عندما x = 0
ومتصلة على مجالها } R- {0ومتزايدة
عندما R < 0ومتناقصة عندما R > 0
1
x
3
y
الدالة منفصلة ( غير متصلة )
عندما x = 0ومتناقصة على مجالها
}R- {0
)f
الدالة منفصلة ( غير متصلة ) عندما
x = 0ومتناقصة على مجالها }R- {0
الدالة متصلة ومتزايدة على مجالها
R ≥ 0وتمر بالنقطة ( ) 0 ، 0
128
الوحدة الحادية عشر
2 الجبر
:التمارين اإلضافية
1- Solve the following linear equations:
: أوجد مجموعة حل المعادلت التالية-1
a)
y = 4x – 1
b)
y = 2x – 4
c)
y =6–x
d)
2x – y +4 = 0
2- Solve the system of the following simultaneous equations:
: أوجد مجموعة حل المعادلت اآلنية التالية-2
a)
x+y =3
x-y =1
b)
x+y =4
2x - y = 2
c)
x+y =5
2x - 3y = 0
d)
y =5
y = 2x + 1
129
الوحدة الحادية عشر
الجبر 2
11.2
مماس الدالة عند نقطة واقعة عليه:
األهداف:
Objectives:
أن يكون الطالب
قادرا̋ على أن:
رسم الدالة
ورسم المماس
لها عند نقطة.
وصف الدالة
من حيث
التزايد/التناقص/
نقطة ثبات من
خالل ميل
المماس.
المعايير:
Standards:
5.3
5.7
The tangent line at a point on the graph of a function.
المماس هو مستقيم يمس محنى الدالة عن نقطة واحدة.
مثال (:)1
Graph the quadratic function y = x2, then draw the tangents at the
points shown below. Write your comments, the describe the
behavior of the function at these points.
ارسم الدالة التربيعية y = x2ثم ارسم مماسات لهذا المنحنى عند النقاط التالية:
a) x = 1 and x = 2
b) x = -1 and x = -2
c) x = 0
اكتب تعليقك على المماسات والمنحنى وصف سلوك الدالة عند هذه النقاط.
Solution:
The graph of the function y = x2 is shown below and the doted
points are at x = - 2 , x = - 1 , x = 0 , x = 1 and x = 2
المصطلحات:
Vocabulary :
مماس Tangent
Stationary,
نقطة ثبات
Piecewise
function
دالة مجزأة
Gradient
ميل المماس
Slope
ميل المماس
Rate of
change
معدل التغير
Symmetry
التماثل/التناظر
130
الوحدة الحادية عشر
2 الجبر
a) The tangent at x = 1 and x = 2 are shown:
You can note that:
“ The tangent construct an acute angles with
x-axis which means the gradient is positive.
That’s implies the function y = x2 is increasing
at that points. ”
5
y
4
3
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
تصنع زاوية حادةx = 1 , x = 2 نالحظ أن المماسات عند
لذلك نستنتج أن ميل المماس يكون موجباx مع محور
.وتكون الدالة متزايدة عند تلك النقاط
1
2
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
b) The tangent at x = -1 and x = -2 are shown:
You can note that:
“ The tangent construct an obtuse angles with
x-axis which means the gradient is negative .
That’s implies the function y = x2 is decreasing
at that points. ”
تصنع زاويةx = - 1 , x = - 2 نالحظ أن المماسات عند
لذلك نستنتج أن ميل المماس يكونx منفرجة مع محور
.سالبا وتكون الدالة متناقصة عند تلك النقاط
-5
5
3
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
c) The tangent at x = 0 :
You can note that:
“ The tangent constructs a zero angle with
x-axis i.e. parallel to x-axes which means,
the gradient is zero.
That’s implies the function y = x2 is neither
increasing nor decreasing at x=0.
It is called ( Stationary point ):
Where the function goes from decreasing to increasing
at the point x=0 ( or vise versa ) ”
x يصنع زاوية صفرمع محورx = 0 نالحظ أن المماس عند
( أي يوازيه ) لذلك نستنتج أن ميل المماس يكون صفرا وتسمى
عندها النقطة بنقطة ثبات أي أن الدالة ليست متزايدة ول متناقصة
..وإنما تتحول الدالة من تناقص إلى تزايد أو العكس
131
y
4
-3
-4
-5
3
4
5
الوحدة الحادية عشر
2 الجبر
:)1( تدريب
The graph shown below is for the piecewise function .
Describe the behavior of the function at
x = -3 , x = -1 , x = 0 and x= 3
. الرسم الموضح هو رسم الدالة المجزأة
صف سلوك الدالة عند النقاط
x = -3 , x = -1 , x = 0 and x s= 3
التمارين اإلضافية
Graph the following piecewise function .
. ارسم الدالة المجزأة التي أمامك
Describe the behavior of the function at
x = -3 , x = -2 , x = 1 and x= 3
صف سلوك الدالة عند النقاط
x = -3 , x = -2 , x = 1 and x= 3
132
الوحدة الحادية عشر
2 الجبر
y وx نقط تقاطع الدالة مع محوري
Intercept on the x- or y-axis
To find y-intercept we substitute x= 0 In the equation. Also to find x-intercept we
substitute y= 0 In the equation
)0 = y ( نضعx ) وإليجاد نقط تقاطع الدالة مع محور0 = x ( نضعy إليجاد نقط تقاطع الدالة مع محور
:)2( مثال
Find y-intercept and x-intercept for the following equations :
: لكل من المعادلت التاليةy وx أوجد نقاط التقاطع مع محوري
a) y = 2 x – 8
b) 3 x – 5y – 15 = 0
Solution :
a) y = 2 x – 8
y = 2 (0) – 8 = – 8
Then y-intercept is y = – 8
y=2x–8
0 = 2x – 8
2x = 8
x=4
Then x-intercept is x = 4
b)
133
3 x – 5y – 15 = 0
3 (0) – 5y – 15 = 0
– 5y – 15 = 0
– 5y = 15
y=–3
Then y-intercept is y = – 3
3 x – 5y – 15 = 0
3 x – 5(0) – 15 = 0
3 x – 15 = 0
3 x = 15
x =5
Then x-intercept is x = 5
Put x = 0
Put y = 0
put x = 0
put y = 0
الوحدة الحادية عشر
الجبر 2
تدريب (:)2
Find y-intercept and x-intercept for the following equations :
أوجد نقاط التقاطع مع محوري xو yلكل من المعادلت التالية:
y = 3 x + 12
)a
2 x – 3y – 18 = 0
)b
التمارين اإلضافية
1- Find y-intercept and x-intercept for the following equations :
-1أوجد نقاط التقاطع مع محوري xو yلكل من المعادلت التالية:
y=4x+ 4
)a
3 x – 4y – 12 = 0
)b
y=5 - x
)c
x – 2y = 8
)d
y = x - 15
)e
4 x – 5y + 12 = 0
)f
2- If the x-intercept is ( 3 , 0 ) and y-intercept is ( 0 , 2 ) of a line , find the linear
equation.
-2إذا كانت نقطة تقاطع مستقيم مع محور xهي ) ( 3 , 0
و نقطة تقاطعه مع محور yهي ) ، ( 0 , 2
فأوجد معادلة المستقيم.
134
11.3
الوحدة الحادية عشر
2 الجبر
المتباينات الخطية
linear inequality
: مثال تمهيدي
The next graph represent the function y = 2x + 3.
y = 2x + 3 الرسم التالي يمثل الدالة
5
y
:األهداف
Objectives:
أن يكون الطالب
:قادرا̋ على أن
يرسم منطقة
الحل لمتباينة
. معطاة
4
3
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
:المعايير
Standards:
5.8
-3
-4
-5
Discuss the following question with your colleague:
.ناقش مع زميلك األسئلة التالية
a) Where are the points that have y equal to 2x + 3?
؟y = 2x + 3 أين تقع النقاط التي تحقق المعادلة-أ
b) Where are the points that have y less than 2x + 3?
؟y < 2x + 3 أين تقع النقاط التي تحقق المتباينة-ب
c) Where are the points that have y greater than 2x + 3?
؟y > 2x + 3 أين تقع النقاط التي تحقق المتباينة-حـ
d) How can we show this on the graph?
كيف يمكن تمثيل ذلك على الرسم ؟-د
e) What would be a quick way to find out which side of the
line we need?
هل هناك طريقة سريعة إليجاد المنطقة المراد تحقيقها ؟-ه
135
:المصطلحات
Vocabulary :
linear
inequality
متباينات خطية
Regions
منطقة
الوحدة الحادية عشر
2 الجبر
Solution:
5
(0.5, 4)
-5
-4
-3
3
2
2
-2
y
4
(0,3)3
(-1, 1)
-6
5
y
4
(2, 4)
1
1
x
x
-1
1
2
3
4
5
6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-1
-2
-2
(-2, -3)
-4
3
4
5
4
5
a) All the dotted
points satisfy
y= 2x+3
-4
b) All the dotted
points satisfy
y< 2x+3
5
y
4
y
4
3
3
2
2
1
x
1
x
-6
-5
-4
-3
(-4,-2)
-2
-1
6
-5
-5
(-3,1)
2
-3
-3
5
(0,0)
1
1
2
3
4
5
6
-6
-5
-4
-3
-2
(0,0)
-1
1
2
3
6
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
c) All the dotted
points satisfy
y> 2x+3
d) We can show that y ≤ 2 x + 3 by
shading the region with lines .
e) The quick way to find out which side of the line we need is to check any random point
like ( 0 , 0 ).
) 0 و0( أسرع طريقة لتحديد المنطقة المطلوبة هي أن نختار نقطة عشوائية ولتكن
If the point satisfy the inequality, so we must shade the region which contain the checked
point else we shade the other region.
.إذا كانت هذه النقطة تحقق المتباينة نقوم بتظليل المنطقة التي بها هذه النقطة وإل نظلل المنطقة األخرى
136
الوحدة الحادية عشر
2 الجبر
:1 تدريب
Shade the region of each of the following inequality as shown below :
:ظلل منطقة الحل لكل من المتباينات المبينة التالية
5
5
y
4
4
3
3
2
2
1
y
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
a)
-1
1
2
3
4
5
6
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
y ≥ - 3x +3
5
b)
2
3
4
5
y ≤ - 3x -3
5
y
4
y
4
3
3
y= 2
2
2
1
1
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
-6
-5
137
-4
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
c)
y ≥ 2x
6
2
3
4
5
-5
d)
y < 2 and y > 0.5 x + 1
6
الوحدة الحادية عشر
2 الجبر
: تمارين
1- Solve the following Inequalities:
: أوجد مجموعة حل المتباينات التالية-1
a)
y < 2x + 1
b)
y > 0.5 x – 1
c)
y ≤ - 3x
d)
y ≥-x+4
e)
y ≤ 5 and y ≤ 3x +4
f)
y ≤ - 3 and y > 3
2- Underline the points that satisfy the inequality : x + y ≤ 7
x + y ≤ 7 : ضع خطا تحت النقاط التي تحقق المتباينة-2
(0,0) ,
(4,2) ,
(8,0) ,
(5,4)
(0,7) ,
( -1 , 9 ) ,
( 10 , -4 ) ,
(3,2)
حل المتباينات التالية-3
3- Solve the following Inequalities:
y < - 0.5 x + 4 ,
y > 0.25 x + 1 ,
and
y < 2x +1
Does the point ( 2 , 2 ) belong to the solution region?
) في منطقة الحل ؟2 , 2 ( هل تقع النقطة
138
الوحدة الحادية عشر
2 الجبر
:)2( مثال
The shaded region is bounded by the curve y = x2 and the line y = 2.
Circle two inequalities which together fully describe the shaded region.
. y = 2 و المستقيمy = x2 المنطقة المظللة محصورة بالمنحنى
.ضع دائرة حول المتباينتين اللتين تصفان المنطقة المظللة
y < x2
x<0
y<2
y>0
y > x2
x>0
y>2
y>0
y < x2
x<0
y<2
y>0
y > x2
x>0
y>2
y>0
Solution:
:)2( تدريب
Plot the graph of the two inequalities y < x2 – 4 and y < 1, then find the
solution of both inequalities.
. ثم أوجد حل المتباينتين معاy < 1 وy < x2 – 4 ارسم المتباينتين
139
الوحدة الحادية عشر
2 الجبر
: تمارين
1- Plot the graph of y = 1/x2 for the domain set {x: x R and 1 ≤ x ≤ 4}.
Discuss whether the domain could be extended.
. {x: x R and 1 ≤ x ≤ 4} على المجالy = 1/x2 . ارسم الدالة-1
.ناقش ما إذا كان يمكن للمجال أن يتسع
2- Plot the curve y = √ x on a suitably defined domain.
Discuss why the domain cannot be the set R.
Compare this curve with the curve of y = x2, drawn on the same axes
. على المجال المناسب المعرفة عليهy = √ x ارسم المنحنى-2
.R ناقش مع زمالئك لماذا ليمكن أن يكون المجال هو األعداد الحقيقية
. بعد رسمه على نفس المحاورy = x2 قارن بين المنحنى الذي رسمته ومنحنى الدالة
3- Invent a functions to show the relation between the cost ( C ) of electricity as
a function of the number of units of electricity used ( N ).
.( N ) ( وعدد وحدات استهالك الكهرباءC ) كون دالة توضح العالقة بين تكلفة استهالك الكهرباء-3
4- A rectangular enclosure has a wall on one side, and the other three sides are
made of metal fencing. The side parallel to the wall has length d, measured in
metres. The enclosure has an area of 600 m2. Show that the total length, L metres,
of fencing is given by L = d + 1200/d. Plot this function.
Find from the graph the value of d that makes L as small as possible.
يعطىL بين أن طول السلك. 2 سم600 أقيم سور من السلك أمام حائط ليصنع مستطيال مساحته-4
d ارسم الدالة وبين من الرسم قيمة. طول السلك الموازي للحائطd حيث. L = d + 1200/d بالقانون
. أصغر ما يمكنL التي تجعل
140
الوحدة الحادية عشر
2 الجبر
المشروع
A cake company produces two types of celebration cake. The first type takes
four hours to make per batch and two hours to cook. The second type takes two
hours to make per batch and two hours to cook. The maximum cooking and
making time available each week is 64 hours in total. The company makes QR 48
profit on the first type of cake and QR 35 on the second type. How many of each
type of cake should the company make in order to make the maximum profit?
النوع األول يستغرق أربع ساعات لإلعداد والتجهيز، تنتج شركة للكيك نوعين من كيك االحتفاالت
و الحد األقصى، والنوع الثاني يستغرق ساعتين لإلعداد والتجهيز وساعتين للطهي.وساعتين للطهي
لاير قطري من48 وتريد الشركة أن تربح، ساعة64 للوقت المسموح لإلعداد و الطهي كل أسبوع هو
كم عدد كل نوع من الكيك تستطيع الشركة إنتاجها لتحقيق. لاير قطري من النوع الثاني35 النوع األول و
أقصى ربح؟
141