Transcript מאמץ (Stress) הוא ווקטור המתאר את הכוח ליחידת שטח.

‫גיאולוגיה סטרוקטורלית‬
‫מעגלי מוהר למאמץ‬
‫סוגי כוחות על גופים‪:‬‬
‫כוחות גוף – מופעלים על הגוף בצורה השראתית‪.‬‬
‫מופעלים על כל אלמנט מסה בגוף‪ :‬גרוויטציה‪ ,‬אנרציה‪.‬‬
‫כוחות פנים – כוחות המועברים אל הגוף ע"י גוף אחר באמצעות המגע‬
‫בין שני הגופים‪ ,‬על גבי משטח המגע‪.‬‬
‫נמדד בפועל ככוח ליחידת נפח (כוחות גוף) או ליחידת שטח (כוחות פנים)‪.‬‬
‫מאמץ (‪ )Stress‬הוא ווקטור המתאר את הכוח ליחידת שטח‪.‬‬
‫מס' הגדרות‪:‬‬
‫מאמץ נמדד בד"כ ביחידות של ‪( MPa‬מגה‪-‬פסקל)‬
‫‪Pascal = Newton/m2 = kg/ms2‬‬
‫‪1MPa = 106Ps = 10bars = 9.8692atm‬‬
‫מאמץ נורמאלי ‪ – )Normal Stress( s‬רכיב המאמץ הניצב למישור‬
‫מאמץ גזירה ‪ – )Shear Stress( t‬רכיב המאמץ המקביל למישור‬
‫בגאולוגיה‪ :‬מאמץ לחיצה – חיובי ; מאמץ מתיחה – שלילי‬
‫מאמץ הגזירה מוגדר חיובי נגד כיוון השעון‬
‫כיוון של מישור מוגדר ע"פ הנורמל למישור‪.‬‬
X3
s33
t31
t32
X2
X1
‫טנזור המאמצים בתלת מימד‪:‬‬
‫מערכת המאמצים על גוף מסויים ניתנת לייצוג ע"י טנזור (‪:)Tensor‬‬
‫טנזור זו חיה מתמטית ‪ :‬מערך רב‪-‬ממדי של רכיבים המייצגים גודל פיזיקלי‬
‫‪s‬תחת שינוי קואורדינטות‪.‬‬
‫מוגדרת‬
‫טרנספורמציה‪t xy‬‬
‫שיש לו ‪t xz ‬‬
‫‪x‬‬
‫שם‬
‫סקלר‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫דרגה‬
‫‪s  t‬‬
‫‪s y t yz ‬‬
‫‪t zx t zy s z ‬‬
‫‪ A‬‬
‫‪0‬‬
‫סימול אינדקסיאלי‬
‫‪ij‬‬
‫‪yx‬‬
‫כלל טרנספורמציה‬
‫על מנת לחשב את המאמצים הראשיים ומאמצים בכיוונים שונים‬
‫‪i‬‬
‫בטרנספורמציה של טנזורים‪:‬‬
‫ניתן‪ 1‬להשתמש‬
‫‪A‬‬
‫וקטור‬
‫מטריצה‬
‫‪2‬‬
‫טנזור מדרגה ‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪Aij‬‬
‫‪ijk‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Tensor‬‬
s x t xy t xz 


s ij  t yx s y t yz 
t zx t zy s z 


cos  xx

s *ij  cos  yx
cos  zx

cos  xy
cos  yy
cos  zy
cos  xz  s xx t xy t xz  cos  xx
 
 
cos  yz   t yx s yy t yz   cos  xy
cos  zz  t zx t zy s zz  cos  xz
cos  yx
cos  yy
cos  yz
cos  zx 

cos  zy 
cos  zz 
!‫אנחנו לא ניכנס לייצוג המתמטי של טנזור המאמצים‬
‫נשתמש בשיטה גרפית לחישוב המאמצים הראשיים ומאמצים בכיוונים שונים‬
:‫מעגל מוהר למאמץ‬
ss = t
tmax
s ,t
2q
s3
s1  s 3
2
s1  s 3
2
s1
sn = s
‫‪ - s1‬כוון המאמץ הראשי המקסימאלי‬
‫‪ - s3‬כוון המאמץ הראשי המינימאלי‬
‫‪ – q‬הזוית שבין כוון המאמץ הראשי לנורמל למישור‬
‫כיוון הזוית במעגל מוהר זהה לכיוונה בעולם האמיתי‪ ,‬חיובי נגד כיוון השעון!!!‬
‫בכוון המאמץ הראשי אין מאמץ גזירה! ‪t  0‬‬
‫נוסחאות מעגל מוהר למאמץ‪:‬‬
‫‪cos2q ‬‬
‫‪s1  s 3 s1  s 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪s q  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s1  s 3‬‬
‫‪t q  ‬‬
‫‪sin 2q ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s x s y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s 1,3 ‬‬
‫‪ t xy  s x  s y ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ss = t‬‬
‫‪s,t‬‬
‫‪sn = s‬‬
‫‪s1‬‬
‫‪2q‬‬
‫‪s3‬‬
‫‪s1  s 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s1  s 3‬‬
‫‪2‬‬
‫דוגמה לבעיה‪:‬‬
‫על מישור ‪ X,Y‬נמדד מאמץ של ‪ MPa 50‬בכיוון ‪ X‬ו‪ MPa 150 -‬בכיוון ‪.Y‬‬
‫מאמץ הגזירה ‪ txy‬נמדד לכדי ‪.MPa -80‬‬
‫חשבו את המאמצים הראשיים ואת כיוונם ביחס ל‪.X -‬‬
‫חשבו את המאמץ הנורמאלי ואת מאמץ הגזירה‬
‫בכיוון של ‪ 20‬מעלות נגד כיוון השעון מ‪.X -‬‬
‫חשבו את מאמץ הגזירה המקסימאלי‪.‬‬
‫* פתרו בדרך גראפית תחילה ובדקו ע"פ חישוב‪.‬‬
‫מה עושים ?‬
‫ציירו תרשים סכמטי של הבעיה‪.‬‬
‫ציירו מעגל מוהר המתאר את הבעייה והפתרון‪.‬‬
‫חשבו ע"פ הנוסחאות‪.‬‬
:‫נתון‬
Y
s y  150MPa
t xy  80MPa
s x  50MPa
X
t
:‫בניית מעגל מוהר‬
tmax
t xy  80MPa
80
s x  50MPa
s3
50
sq
s y  150MPa
100
2q
40o
tq
-80
150
s1
s
Y
s y  150MPa
s1
t xy  80MPa
s x  50MPa
q
X
s3
s x s y
1
2
s 1,3 
 t  s x  s y 
2
4
50 x  150 y
1
2
2
s 1,3 
 80 xy  50 x  150 y 
2
4
2
xy
s 1,3  100  6400  2500
s 1,3  100  94.33
s1  194.33 s 3  5.66
:‫חישוב מאמצים ראשיים‬
t q  
s1  s 3
2
sin 2q 
194.33  5.66
 80 
sin 2q 
2
sin 2q   0.85
q  29.1
:q ‫חישוב הזווית‬
‫דגשים לשעורי בית‪:‬‬
‫• עבודה נקייה ללא מחיקות או קשקושים‬
‫• עבודה על נייר מילימטרי – בגודל המתאים!‬
‫• לציין יחידות מדידה אם צריך‬
‫• לסמן כיווני צירים בחץ לכוון החיובי‬
‫• לציין מיקום וגודל מאמצים ראשיים‬
‫• לציין גודל זווית‬
‫• קוים ועיגולים ישרים ‪ -‬השתמשו במחוגה וסרגל!‬