Transcript Lesson6.ppt
בס"ד
מכניקה קלאסית – תרגול מס' 6
מערכות חד-מימדיות
ותנועה בכוח מרכזי
מטוטלת פיסיקלית
הבעיה :למצוא פתרון מקורב לתנועת מטוטלת פיסיקלית.
1
T m 2 2 ; V m g 1 cos
2
g
2 1 2
'L T V m 1 cos m 2 L
2
ℓ
ℓ
m
בהנחה של סטיות קטנות , ,נקבל קירוב:
4
1 2 g 2
2 2 4
cos 1 L'
!2
!4
2
2
24
g
g 3
מכאן משוואת אוילר-לגרנז':
0
6
הפתרון יהיה תנודתי ,רק בתדירות מעודכנת:
0 1 1
(כי זמן המחזור משתנה)
V=0
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה
בכוח מרכזי
2
מטוטלת פיסיקלית – תורת הפרעות
נגדיר משתנה חדש , t :ובעקבותיו את הנגזרת:
2
2
d2
d
d
2
2
0 1 2 1
2
2
dt
d
d 2
כמו כן ,נפתח את בטור חזקות ב x0 x1 : -
נציב כל זה במשוואת אוילר ונקבל:
d 2 x0
d 2 x1 g
g
3
2
0 1 2 1
x
x
x
x
0
1
0
1
2
2
d
d
6
2
g
g
0
2 d x0
2
: 0
ולפי סדרים x0 0 x0 A cos 0 ; 0 :
2
d
2
3
2
(הפתרון ההומוגני זהה לזה
d
x
x
d
x
g
g
1
2
2
0
0
1
: 0
x1 2 0 1
2
2
d
d
של סדר אפס וניתן להזניחו) 6
סמסטר א' תשס"ד
חלק לא-
מימדיות ותנועה
תרגול – 6מערכות חד-
הומוגני
בכוח מרכזי
חלק הומוגני
3
מטוטלת פיסיקלית – פתרון סדר 1
החלק הלא-הומוגני שווה:
d 2 x0 g x03 g A
A2
2
3
2 1 cos 0
2 0 1
cos 0
2
d
6
6
g A
A2
A2
2 1
cos 0
cos
3
0
8
24
cos 0 רזוננטי עם החלק ההומוגני ,ז"א גורם לאיברים לא חסומים
בפתרון .לכן יש לאפס את המקדם שלו ,כלומר לדרוש
1 A2 16
הפתרון הפרטי של האיבר הנותר הינו
g A2
1
16
סמסטר א' תשס"ד
;cos 3 t 0
A3
cos3 0
192
A3
192
תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה
בכוח מרכזי
x1 , p
t A cos t 0
4
מטוטלת פיסיקלית -יציבות
נוותר כעת על הנחת הזוויות הקטנות ונחזור לV m g 1 cos -
dV
נקודות שיווי-משקל:
0 sin 0 k k
d
הפוטנציאל בנק' ש"מ הראשונותV 0 0 0; V 1 2 m g :
יציבות m g 0 :
1
d 2V
; m g 0
d2
0
d 2V
d 2V
; m g cos
2
d
d2
ז"א שאם אנרגיית המטוטלת הינה 0 E 2 m g אזי המטוטלת מוגבלת
בתנועתה לתחום , A דהיינו נע סביב נקודת ש"מ יציב .אם למטוטלת
אנרגיה הגדולה מ , 2 m g -היא מגיעה לנקודת ש"מ שניה ומאבדת יציבות.
משמעות פיסיקלית :כל עוד האמפליטודה קטנה מ ,-מתרחשות תנודות.
ברגע שהאמפליטודה עולה על ,המטוטלת מתחילה להסתובב.
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה
בכוח מרכזי
5
תנועה בפוטנציאל מרכזי
הבעיה :לפתור את הבעיה עבור פוטנציאל מרכזי כללי
1 2
L r V r
בשיעור הקודם ,הגענו לביטוי
2
1
או בקואורדינטות כדוריותL r 2 r 2 2 r 2 2 sin2 V r :
2
הוא משתנה ציקלי ,לכן
p r 2 sin2 l z const
אנו חופשיים לבחור את כיווני הצירים ,לכן ניתן להגדירl l z ẑ const :
מכאן נובע p r 2 0 const :אנו ניקח
2
מכאן 2חוקי קפלר( :א) התנועה מתבצעת במישור הניצב לציר Zו(-ב) שטחים
שווים מכוסים בזמנים שווים ,כי
1 2
l dt
)(1
dA r dt
const dt
2
2
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה
בכוח מרכזי
6
בעיית כוח מרכזי כבעיה חד-מימדית
פתרנו 2מתוך 3דרגות החופש של הבעיה .כעת נגזור מש' אוילר ל r -ואחר כך
נציב התוצאות ל -ו -ונגזרותיהן ,כי השיטה מיועדת למשתנים בלתי-תלוים
2
l2
Veff
V r
2
2 r
l2
dV
r
3
r
dr
. u מעבר בין הנגזרות נובע משימור התנע:
1
החלפת משתנים:
r t
2
d
l
u
d
dV
d u dV
2
2 dV
r d l dt
u
dt
d
dr
dr du
du
אוסצילטור
dr
1 du
l du
d 2r
l 2 2 d 2u
2
;
2 u
הרמוני
2
2
dt
u dt
d
dt
d
מאולץ
2
l 2 2 d 2u l 2 3
d
V
d
u
dV
2
2
u
u u
u 2
2
2
d
du
d
l du
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה
בכוח מרכזי
7
בעיית קפלר
k
בעיית קפלר היא מקרה פרטי של בעיית כוח מרכזי עם
V k u
r
d 2u
k
אוסצילטור עם כוח מאלץ קבוע.מהמשוואה ( )2נקבל u 2 :
2
d
l
2
k
l
p ונקבל:
הפתרון . u 2 A cos :נסמן; p A :
l
k
p
p u 1 cos p r r cos x 2 y 2 x
r
או בצורה נוחה יותר:
1 2 x 2 2 p x y 2 p2 0
מסלולי
ם
סגורים
0 : x 2 y 2 p 2 circle of radius p
; x xc 2 y 2 1
xc
p
p
xc
, a , b
ellipse
2
2
2
b
1
1
מסלולים
1 : parabola ; 1 : hyperbola
לא
סגורים א' תשס"ד
סמסטר
תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה
בכוח מרכזי
a2
1:
אקסצנטריות
8
זמן מחזור במסלול אליפטי
במסלול סגור ,ניתן לחשב את זמן המחזור .במקום לחשב את האינטגרל
1 / 2
k
l
dr
2 E
2
r 2 r
rmin
dA A
l
2 A
נעדיף להשתמש בחוק השני של קפלר:
d t 2
l
l 2a
A a b ; b p a ונקבל את החוק השלישי
נציב את הנתונים:
k
של קפלר:
rmax
2
2 a3
a3
k
2
כאשר aזהו חצי הציר הגדול של האליפסה.
במסלול מעגלי נקבל:
סמסטר א' תשס"ד
2 a3
תרגול – 6מערכות חד-מימדיות ותנועה
בכוח מרכזי
9