Transcript Lesson4.ppt

‫בס"ד‬
‫מכניקה קלאסית – תרגול מס' ‪4‬‬
‫הפורמליזם הלגרנז'י‬
‫במכניקה‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 4‬הפורמליזם הלגרנז'י במכניקה‬
‫‪1‬‬
‫בעיית חבל הכביסה‬
‫‪ ‬הבעיה‪ :‬למצוא את צורתו של חבל התלוי‬
‫בחופשיות בין שני מוטות )‪.(l > a‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ds‬‬
‫‪ ‬הקריטריון‪ :‬על האנרגיה הפוטנציאלית‬
‫‪l‬‬
‫‪h‬‬
‫של החבל להיות מינימלית‪.‬‬
‫‪ ‬לאלמנט אורך ‪ ds‬יש מסה ‪d m   ds‬‬
‫‪‬‬
‫‪d x 2  d y 2  1  y' 2 d x‬‬
‫‪d s ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪a‬‬
‫ואנרגיה פוטנציאלית ‪d V  d m g y   g y 1  y'2 dx‬‬
‫‪a/2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪g‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫'‬
‫‪dx‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫'‬
‫‪‬‬
‫‪a / 2‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 4‬הפורמליזם הלגרנז'י במכניקה‬
‫‪ V   dV ‬‬
‫‪2‬‬
‫ המשך‬- ‫בעיית החבל‬
:"‫ לכן נשתמש ב"חוק שימור אנרגיה‬,x-‫ הלגרנז'יאן אינו תלוי ב‬
L
L
L
q k  C  L 
y'  C
k
 y'
k q
y y'
y
2
 y 1  y' 
y' 
C
1  y' 2
1  y'2
1
2
2
y' 
y C
 y  x   C coshk  x  x0 
C

y'  x   sinh k  x  x0   k C sinh k  x  x0 
ya 2  y a 2  h 
3
‫תנאי שפה‬
‫סימטריים‬
x0  0
1
 k
C
 x
y  x   C cosh 
C 
‫ – הפורמליזם הלגרנז'י במכניקה‬4 ‫תרגול‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫ סיום‬- ‫בעיית החבל‬
:‫ כפי שראינו‬. y0  C ‫ הגובה של אמצע החבל‬:C ‫ המשמעות של‬
 a 
 a  h
 a
  h  cosh 
 
y    C cosh 
 2
 2C 
 2C  C
:C ‫ דרך‬l ‫ קל לחשב את אורך החבל (ז"א לבטא את‬
a/2
a/2
 a 
 x
2

l   ds   1  y' dx   cosh  dx  2 C sinh 
C 
 2C 
a / 2
a / 2
 a 
l
2
2
 
 sinh 
; cosh   sinh   1
 2C  2C
C  h 2  l 2 4 :C ‫ מכאן מקבלים את‬
4
‫ – הפורמליזם הלגרנז'י במכניקה‬4 ‫תרגול‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫מטוטלות מצומדות‬
‫‪ ‬הבעיה‪ :‬לפתור את התנועה של שתי מטוטלות המצומדות ע"י קפיץ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ ‬האנרגיה הקינטית‪:‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪l‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬האנרגיה הפוטנציאלית‪( :‬מניחים שהקפיץ כמעט אופקי)‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫‪l‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V   m1 g l cos 1  m 2 g l cos  2  k l 2 sin  2  sin 1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ sin  k   k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫נניח שהסטיות קטנות ‪ , k  1‬אזי‬
‫‪m1 k‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cos‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2 k‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬והפוטנציאל‪V  m1  m 2  g l  g l m1 12  m 2  22  k l 2  2  1  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מהלגרנז'יאן ‪ L = T – V‬מקבלים את משוואות אוילר‪-‬לגרנז'‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪m1l 21  m1 g l 1  k l 2 2  1   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m2 l 22  m2 g l 2  k l 2 2  1   0‬‬
‫)‪(2‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 4‬הפורמליזם הלגרנז'י במכניקה‬
‫‪5‬‬
‫מטוטלות מצומדות ‪ -‬המשך‬
‫‪g‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬או בהצגה יותר נוחה‪2  1   0 :‬‬
‫‪1  1 ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪g‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  1   0‬‬
‫‪2  2 ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬נחבר ונחסר את (‪ )1‬ואת (‪ )2‬ונקבל‪:‬‬
‫(‪)3‬‬
‫‪g‬‬
‫‪k m1  m 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  1   0‬‬
‫‪1   2  1   2  ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m1 m 2‬‬
‫(‪)4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪g‬‬
‫‪k m1  m 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2  1   0‬‬
‫‪1   2  1   2  ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m1 m 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬נגדיר משתנים חדשים‪ 2 = 1 - 2 ,1 = 1 + 2 :‬ונציב ב‪)3(-‬‬
‫וב‪.)4(-‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 4‬הפורמליזם הלגרנז'י במכניקה‬
‫‪6‬‬
‫מטוטלות מצומדות ‪ -‬סיום‬
‫‪ ‬מקבלים את המשוואות‪:‬‬
‫‪g‬‬
‫‪k m1  m 2 ‬‬
‫‪1   1 ‬‬
‫‪2  0‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m1 m 2‬‬
‫(‪)5‬‬
‫משוואה לא‪-‬‬
‫מצומדת‬
‫‪ 2 t   B cos 2 t   2 ‬‬
‫‪g‬‬
‫‪k m1  m2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(‪g k m1  m2  )6‬‬
‫‪2  2 ‬‬
‫‪2  0  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m1 m2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m1 m2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬משוואה (‪ )5‬הינה מש' לינארית לא‪-‬הומוגנית עם פתרון‬
‫‪g‬‬
‫‪l‬‬
‫‪m1  m 2‬‬
‫‪ 1 t   A cos 1 t   1  ‬‬
‫‪B cos 2 t   2 ;  1 ‬‬
‫‪m1  m 2‬‬
‫‪ ‬המשתנים מקוריים ‪ 1‬ו‪ 2-‬יימצאו מתוך ‪ 1‬ו‪.2 -‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 4‬הפורמליזם הלגרנז'י במכניקה‬
‫‪7‬‬
‫זיהוי כוח מרכזי ע"פ פתרון‬
‫‪ ‬הבעיה‪ :‬נתונה בעיה בפוטנציאל מרכזי )‪( V(r‬הפוטנציאל אינו תלוי בזוית ‪‬‬
‫כשעובדים בקואורדינטות קוטביות)‪ .‬נתון גם פתרון הבעיה – ‪ – r‬כפונקציה של‬
‫‪ .r    k e  :‬יש לזהות את צורת הכח הפועל במערכת‪ ,‬שיביא לפתרון זה‪.‬‬
‫‪ ‬בקואורדינטות קוטביות‪ .v 2  x 2  y 2  r 2  r 2 2 :‬מכאן הלגרנז'יאן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪L  m r 2  r 2 2  V r ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬איננו מציבים את הפתרון מיד‪ ,‬שכן‪ ,‬לא תהיה משמעות למשוואות אוילר‬
‫שנגזור אחרי הצבת הפתרון‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬העובדה שהפוטנציאל הינו מרכזי‬
‫היא תכונת סימטריה של הבעיה ולא פתרון‪ ,‬לכן עלינו לכלול זאת בלגרנז'יאן‪.‬‬
‫הלגרנז'יאן לא תלוי ב‪-‬‬
‫תנע זוויתי‬
‫‪ ‬משוואת אוילר ל‪: -‬‬
‫‪‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪m r 2  0  mr 2  ‬‬
‫‪dt‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d  L  L‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪d t    ‬‬
‫תרגול ‪ – 4‬הפורמליזם הלגרנז'י במכניקה‬
‫‪8‬‬
‫זיהוי כוח מרכזי ‪ -‬המשך‬
‫‪ ‬משוואת אוילר ל‪:r -‬‬
‫‪d   L  L‬‬
‫‪ V r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 0  m r  m r  2 ‬‬
‫)‪ m r  m r  2  F r   0 (2‬‬
‫‪d t   r   r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪‬‬
‫לכן‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬משימור תנע זוויתי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪F r   m  r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪mr‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪mr ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬הנגזרת של ‪ ‬לפי הזמן תלויה ב‪ r-‬בלבד‪ ,‬לכן מותר להניח שהתלות של ‪ r‬בזמן‬
‫מתבטאת דרך ‪ .r t   r   :‬נחליף את הנגזרות של ‪ r‬לפי ‪ t‬בנגזרות לפי ‪‬‬
‫‪d r d‬‬
‫'‪ r‬‬
‫‪d r‬‬
‫‪d   r'  d ‬‬
‫‪ 2  r' ' 2 r' 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪; r ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 2  2  3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪d d t mr‬‬
‫‪d t d  mr  d t m r  r‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪ ‬עם הביטויים הללו‪ ,‬נשכתב את הביטוי לכח‪ 2  r' ' 2 r' 2 1  :‬‬
‫‪F r    4  5  3 ‬‬
‫‪mr‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r ‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 4‬הפורמליזם הלגרנז'י במכניקה‬
‫‪9‬‬
‫זיהוי כוח מרכזי ‪ -‬סיום‬
‫‪ ‬כעת נציב את הפתרון‪ r'   k e    r ; r' '   2 r :‬‬
‫‪ ‬ונקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪r    k e ‬‬
‫‪ 2   2 r 2 2 r 2 1 ‬‬
‫‪ 2  1 2 1‬‬
‫‪F r    4 ‬‬
‫‪ 3   ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪m r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪r3‬‬
‫‪ ‬נשים לב כי האנרגיה המכנית הכוללת בבעיה זו היא‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E  m r  ‬‬
‫‪ V r ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2m r‬‬
‫‪‬‬
‫פוטנציאל‬
‫אפקטיבי‬
‫‪ ‬הדינמיקה ברכיב ‪ r‬תלויה אם כן בתנע הזוויתי המאפיין את הדינמיקה ברכיב‬
‫‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 4‬הפורמליזם הלגרנז'י במכניקה‬
‫‪10‬‬