Transcript Lesson5.ppt

‫בס"ד‬
‫מכניקה קלאסית – תרגול מס' ‪5‬‬
‫משפט ‪Noether‬‬
‫ויישומיו‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 5‬משפט נתר ויישומיו‬
‫‪1‬‬
‫משפט נתר‬


 
.‫ דרגות חופש‬N ‫ עם‬L q , q , t ‫ נתון לנו לגרנז'יאן‬
L
pk 
 q k
‫ תנע מוכלל הינו‬
Qk  qk   j s j t ; Q k  qk   j s j t  "‫ נגדיר קואורדינטות "מוזזות‬

  
 
 


L  Q , Q , t   L q , q , t  O  2 :‫באופן שיתקיים‬


N
d Qk
I j   pk
dj
k 1
 const
 j  1 M  N 
:‫ אזי‬
all   0
:‫ עבור קואורדינטה ציקלית‬,‫ בפרט‬
L
 0  Qk  qk   ; Q k  q k
 qk
2
‫ – משפט נתר ויישומיו‬5 ‫תרגול‬

pk  const
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫בעיה דו‪-‬חלקיקית עם פוטנציאל‬
‫מרכזי‬
‫‪ ‬הבעיה‪ :‬ישנם שני חלקיקים במרחב תלת‪-‬מימדי )‪ .(N=6‬האינטראקציה‬
‫ביניהם מתוארת ע"י פוטנציאל מרכזי‪ .‬הלגרנז'יאן אינווריאנטי לסיבובים‬
‫מסביב לציר ‪ .Z‬יש לנסח את שמורת התנועה המתאימה לסיבובים אלו‪.‬‬
‫‪ ‬ראשית‪ ,‬נכתוב את הלגרנז'יאן הדו‪-‬חלקיקי הכללי (ללא כוחות חיצוניים)‪:‬‬
‫‪ 2 1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪L  m1 r1  m 2 r2  V  r1  r2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬הלגרנז'יאן אינו תלוי ב‪ r1-‬וב‪ r1-‬בנפרד אלא בהפרש ביניהם‪ ,‬לכן הזזה מהצורה‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ri  ri  a‬לא תשנה אותו‪ .‬ע"פ משפט נתר‪ ,‬התנע של מרכז המסה נשמר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪I 1  p1  p2  m1 r1  m 2 r2  m1  m 2  RCM  M CM RCM  const‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪m2  ‬‬
‫‪m1 ‬‬
‫‪r1  RCM ‬‬
‫‪r ; r2  RCM ‬‬
‫‪ ‬נסמן‪ r  r1  r2 :‬ונקבל‪r :‬‬
‫‪m1  m 2‬‬
‫‪m1  m 2‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 5‬משפט נתר ויישומיו‬
‫‪3‬‬
‫בעיה דו‪-‬חלקיקית ‪ -‬סיום‬
‫‪ 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  2‬‬
‫‪ ‬נכתוב כעת את הלגרנז'יאן מחדש‪L  M CM RCM   r  V r  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m1 m 2‬‬
‫פוטנציאל‬
‫אנרגיה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫גורם קבוע‪ ,‬ניתן‬
‫מרכזי של‬
‫‪m1  m 2‬‬
‫של‬
‫קינטית‬
‫למחוק‬
‫חלקיק יחיד‬
‫יחיד‬
‫חלקיק‬
‫‪ ‬כך צמצמנו את מספר דרגות החופש מ‪ 6-‬ל‪ 3-‬וקיבלנו לגרנז'יאן של חלקיק‬
‫יחיד בעל מסה מצומצמת ‪.‬‬
‫‪ ‬לסיבובים סביב ציר ‪ Z‬סימטריה גלילית‪ .‬הלגרנז'יאן בקואורדינטות גליליות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪L   r 2  r 2 2  z 2  V r ‬‬
‫( ‪ ‬ו‪ z-‬הינן קואורדינטות ציקליות)‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪'      L'  L  I 2  p   z   r 2  const‬‬
‫‪ L'  L  I 3  pz  m z  const‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 5‬משפט נתר ויישומיו‬
‫‪z'  z  ‬‬
‫‪4‬‬
‫טרנספורמציית גלילאו‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬נתון לגרנז'יאן אינווריאנטי תחת טרנספורמציית גלילאו‪r  R  r   V t :‬‬
‫‪‬‬
‫המעבירה למערכת צירים הנעה במהירות ‪ .V‬יש למצוא את הגודל השמור שלו‪.‬‬
‫‪ ‬יש כאן ‪ 3‬דרגות חופש והזזה בפרמטר אחד‪ ,‬לכן‬
‫‪ ‬‬
‫‪  m R i  Vi t    m t R  V  const‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ L  Ri‬‬
‫‪ R i  ‬‬
‫‪I ‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ˆ  V̂ ‬‬
‫‪const‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫̂‪V‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫̂‪V‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫מכאן‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬נסמן‪ :‬‬
‫‪R  V  R|| V ‬‬
‫||‬
‫‪‬‬
‫||‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬השימור מביא לפתרון ‪R|| t   v||,0 ; R|| t   R||,0  v||,0 t 0 ln ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ t0 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  2‬‬
‫‪L  m R  U R,t‬‬
‫‪2‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 5‬משפט נתר ויישומיו‬
‫‪5‬‬
‫תנועת חלקיק בשדה מגנטי אחיד‬
‫‪ ‬הלגרנז'יאן של חלקיק בשדה אלקטרומגנטי הינו‬
‫‪1‬‬
‫‪e ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L  mv e  v  A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ c‬‬
‫(הפוטנציאל תלוי מפורשות במהירות)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪1A‬‬
‫‪E   ‬‬
‫‪ ‬כשהקשר בין הפוטנציאלים לשדות הוא ‪; B    A‬‬
‫‪c t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ e ‬‬
‫‪‬‬
‫‪mr  eE  vB‬‬
‫‪c‬‬
‫משוואות אוילר‪-‬לגרנז' נותנות את כוח לורנץ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ e ‬‬
‫התנע המוכלל יהיה ‪p  m r  A‬‬
‫‪c‬‬
‫חשמלי )‪ (Ф = 0‬והשדה המגנטי אחיד ‪  1   ‬‬
‫נניח כעת כי אין שדה‬
‫‪ A  Br ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫נניח ללא הגבלת הכלליות‪ .B  B0 ẑ :‬אזי ‪A   B0  y x̂  x ŷ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e B0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫והלגרנז'יאן יהיה ‪ x y  y x ‬‬
‫‪L  mv ‬‬
‫‪2c‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 5‬משפט נתר ויישומיו‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫תנועה בשדה מגנטי אחיד ‪ -‬המשך‬
‫‪ ‬לבעיה סימטריה גלילית ויש לעבור לקואורדינטות גליליות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e B0 2 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪L m r r  z ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2c‬‬
‫‪  ‬ו‪ z-‬הינן קואורדינטות ציקליות‪ ,‬לכן‬
‫‪z‬‬
‫‪e B0 2‬‬
‫‪e B0‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪p    m r  ‬‬
‫‪r   z  const   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2c‬‬
‫‪mr‬‬
‫‪2mc‬‬
‫‪pz  m z  const‬‬
‫תדירות לרמור‬
‫‪ ‬למעשה‪ ,‬מסלול החלקיק בשדה מגנטי קבוע יהיה מעגלי (אם המהירות‬
‫ההתחלתית ניצבת לשדה) או בורגי (אם יש לה גם רכיב מקבילי)‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 5‬משפט נתר ויישומיו‬
‫‪7‬‬