Transcript Lesson5.ppt
בס"ד
מכניקה קלאסית – תרגול מס' 5
משפט Noether
ויישומיו
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 5משפט נתר ויישומיו
1
משפט נתר
. דרגות חופשN עםL q , q , t נתון לנו לגרנז'יאן
L
pk
q k
תנע מוכלל הינו
Qk qk j s j t ; Q k qk j s j t " נגדיר קואורדינטות "מוזזות
L Q , Q , t L q , q , t O 2 :באופן שיתקיים
N
d Qk
I j pk
dj
k 1
const
j 1 M N
: אזי
all 0
: עבור קואורדינטה ציקלית, בפרט
L
0 Qk qk ; Q k q k
qk
2
– משפט נתר ויישומיו5 תרגול
pk const
סמסטר א' תשס"ד
בעיה דו-חלקיקית עם פוטנציאל
מרכזי
הבעיה :ישנם שני חלקיקים במרחב תלת-מימדי ) .(N=6האינטראקציה
ביניהם מתוארת ע"י פוטנציאל מרכזי .הלגרנז'יאן אינווריאנטי לסיבובים
מסביב לציר .Zיש לנסח את שמורת התנועה המתאימה לסיבובים אלו.
ראשית ,נכתוב את הלגרנז'יאן הדו-חלקיקי הכללי (ללא כוחות חיצוניים):
2 1
2
1
L m1 r1 m 2 r2 V r1 r2
2
2
הלגרנז'יאן אינו תלוי ב r1-וב r1-בנפרד אלא בהפרש ביניהם ,לכן הזזה מהצורה
ri ri aלא תשנה אותו .ע"פ משפט נתר ,התנע של מרכז המסה נשמר:
I 1 p1 p2 m1 r1 m 2 r2 m1 m 2 RCM M CM RCM const
m2
m1
r1 RCM
r ; r2 RCM
נסמן r r1 r2 :ונקבלr :
m1 m 2
m1 m 2
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 5משפט נתר ויישומיו
3
בעיה דו-חלקיקית -סיום
2
1
1 2
נכתוב כעת את הלגרנז'יאן מחדשL M CM RCM r V r :
2
2
m1 m 2
פוטנציאל
אנרגיה
גורם קבוע ,ניתן
מרכזי של
m1 m 2
של
קינטית
למחוק
חלקיק יחיד
יחיד
חלקיק
כך צמצמנו את מספר דרגות החופש מ 6-ל 3-וקיבלנו לגרנז'יאן של חלקיק
יחיד בעל מסה מצומצמת .
לסיבובים סביב ציר Zסימטריה גלילית .הלגרנז'יאן בקואורדינטות גליליות:
1
L r 2 r 2 2 z 2 V r
( ו z-הינן קואורדינטות ציקליות)
2
' L' L I 2 p z r 2 const
L' L I 3 pz m z const
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 5משפט נתר ויישומיו
z' z
4
טרנספורמציית גלילאו
נתון לגרנז'יאן אינווריאנטי תחת טרנספורמציית גלילאוr R r V t :
המעבירה למערכת צירים הנעה במהירות .Vיש למצוא את הגודל השמור שלו.
יש כאן 3דרגות חופש והזזה בפרמטר אחד ,לכן
m R i Vi t m t R V const
i
0
L Ri
R i
I
i
ˆ V̂
const
R
R
R
R
̂V
R
̂V
R
מכאן
.
נסמן :
R V R|| V
||
||
t
t
t0
השימור מביא לפתרון R|| t v||,0 ; R|| t R||,0 v||,0 t 0 ln
t
t0
1 2
L m R U R,t
2
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 5משפט נתר ויישומיו
5
תנועת חלקיק בשדה מגנטי אחיד
הלגרנז'יאן של חלקיק בשדה אלקטרומגנטי הינו
1
e
2
L mv e v A
2
c
(הפוטנציאל תלוי מפורשות במהירות)
1A
E
כשהקשר בין הפוטנציאלים לשדות הוא ; B A
c t
e
mr eE vB
c
משוואות אוילר-לגרנז' נותנות את כוח לורנץ:
e
התנע המוכלל יהיה p m r A
c
חשמלי ) (Ф = 0והשדה המגנטי אחיד 1
נניח כעת כי אין שדה
A Br
2
1
נניח ללא הגבלת הכלליות .B B0 ẑ :אזי A B0 y x̂ x ŷ
2
e B0
1
2
והלגרנז'יאן יהיה x y y x
L mv
2c
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 5משפט נתר ויישומיו
2
6
תנועה בשדה מגנטי אחיד -המשך
לבעיה סימטריה גלילית ויש לעבור לקואורדינטות גליליות
e B0 2
1
2
2 2
2
L m r r z
r
2
2c
ו z-הינן קואורדינטות ציקליות ,לכן
z
e B0 2
e B0
L
2
p m r
r z const
2
2c
mr
2mc
pz m z const
תדירות לרמור
למעשה ,מסלול החלקיק בשדה מגנטי קבוע יהיה מעגלי (אם המהירות
ההתחלתית ניצבת לשדה) או בורגי (אם יש לה גם רכיב מקבילי).
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 5משפט נתר ויישומיו
7