Transcript Lesson12.ppt

‫בס"ד‬
‫מכניקה קלאסית – תרגול מס' ‪12‬‬
‫טרנספורמציות קנוניות –‬
‫פונקציות יוצרות‬
‫מטרת פונקציה יוצרת‪ :‬לקבל טרנספורמציה‬
‫קנונית‬
‫‪ ‬בטרנספורמציה קנונית‪ ,‬משוואות התנועה שקולות (=מתארות אותה תנועה)‪.‬‬
‫‪ ‬הלגרנז'יאנים לפני ואחרי הטרנספורמציה יהיו זהים עד כדי נגזרת מלאה בזמן‬
‫‪ d F1 F1‬‬
‫‪F1  F1 ‬‬
‫‪d‬‬
‫~‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪L Q , Q , t   Lq , q , t   F1 q , Q , t ‬‬
‫‪q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪t ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ dt‬‬
‫מקדם‬
‫פונק' יוצרת‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫כיול‬
‫~‬
‫~‬
‫‪ L  L  F1‬‬
‫‪ F1‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ ‬התנעים יהיו‪ F1 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0  p‬‬
‫;‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪ q  q  q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬קיבלנו ‪ 2‬משוואות בשני נעלמים ‪ .Q q , p , P q , p‬פתרון עבורם ייתן את‬
‫‪d F1‬‬
‫‪F1‬‬
‫‪‬‬
‫הטרנספורמציה‪.‬‬
‫‪ p q  P Q ‬‬
‫‪t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ ‬המילטוניאן ישתנה רק עד כדי נגזרת חלקית של ‪ F1‬לפי הזמן‪:‬‬
‫‪F‬‬
‫‪F‬‬
‫~‬
‫‪H Q , P , t   P Q  Lq , q , t   p q  P Q  1  H qQ , P , pQ , P , t   1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 12‬טרנספורמציות קנוניות –‬
‫פונקציות יוצרות‬
‫‪2‬‬
‫פונקציות יוצרות נוספות‬
‫‪ ‬כדי לבנות פונקציה יוצרת‪ ,‬יש לקחת משתנה קנוני אחד מהקבוצה הישנה‬
‫ואחד מהחדשה ‪ ‬ניתן לבנות ארבע פונקציות יוצרות שונות‪.‬‬
‫משוואות טרנספורמציה‬
‫‪F1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫קשר עם פ"י‬
‫אחרות‬
‫‪F1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪q‬‬
‫‪F1 q , Q , t ‬‬
‫‪F2‬‬
‫‪F2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪F1 q , Q , t   Q P‬‬
‫‪q‬‬
‫‪P‬‬
‫‪F3‬‬
‫‪F3‬‬
‫‪q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪F1 q , Q , t   q p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪F4‬‬
‫‪F4‬‬
‫‪q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪P‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫פונקציה יוצרת‬
‫‪F3  p , Q , t   Q P‬‬
‫תרגול ‪ – 12‬טרנספורמציות קנוניות –‬
‫פונקציות יוצרות‬
‫‪F2 q , P , t ‬‬
‫‪F3  p , Q , t ‬‬
‫‪F4  p , P , t ‬‬
‫‪3‬‬
‫מציאת טרנספורמציה קנונית‬
1 1
2 4
‫ יש לבצע טרנספורמציה קנונית‬.H   2  p q  ‫ נתון המילטוניאן‬:‫ הבעיה‬
2q

~ 1
.H 

Q
2
2

 P 2 :‫שתעביר את ההמילטוניאן לזה של אוסצילטור הרמוני‬
1
~
2
2
H  H  Q  P  2  p 2 q 4 :‫ איננו מצפים לטרנספורמציה תלויה בזמן‬
q
 
F2 q , P   C q P ‫ ננסה פונקציה יוצרת מהצורה‬

F2
p 
 1 

p
 C  q P  P  
 1 
q
 C q 
Q
F2
 C  q  P  1
P
p 


 C  q 
 1 
 C q 
  1 

1
 C 1   1  q  1  p1 
 C 1      1   q    1  p   1 
Q 2  P 2  C 2   2  1   2q 2   1  p 2  1   C 2   2  q 2 1  p 2  
 q 2  q4 p2
   1 ,   1 , C  1  F2 q , P   P q
 Q  q 1 , P  q 2 p
4
Q , P  q 2  q 2  0  1
– ‫ – טרנספורמציות קנוניות‬12 ‫תרגול‬
‫פונקציות יוצרות‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫בדיקת תקינות של פונקציות יוצרות‬
‫‪ ‬בעיה‪ :‬האם הפונקציות הבאות יכולות לשמש פונקציות יוצרות?‬
‫‪F1‬‬
‫‪F1‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪1. F1 q , Q   q e‬‬
‫‪ p‬‬
‫‪e ; P‬‬
‫‪ q e Q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ Q  ln p , P  q p  Q , P     p  1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪F1‬‬
‫‪F1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2. F1 q , Q   q  Q  p ‬‬
‫‪ 2q ; P  ‬‬
‫‪ 4Q3‬‬
‫‪q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ ‬טרנספורמציה זו אינה מגדירה את ‪ Q q , p , P q , p‬ולכן איננה פונקציה‬
‫יוצרת‪ .‬בפרט‪.Q , P  0 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪F1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ‬סימן‪-‬היכר לאי‪-‬תקינות של הפונקציה הזאת‪ 0 :‬‬
‫‪q Q‬‬
‫‪ 2 F1‬‬
‫ תנאי הכרחי לפונקציה יוצרת‪.‬‬‫‪0 ‬‬
‫‪q Q‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 12‬טרנספורמציות קנוניות –‬
‫פונקציות יוצרות‬
‫‪5‬‬
‫מעבר בין מערכות לא‪-‬אינרציאליות‬
‫‪ ‬בעיה‪ :‬חלקיק במסה ‪ m‬נע במימד אחד במערכת אינרציאלית ‪ .S‬ההמילטוניאן‬
‫‪p2‬‬
‫‪ . H  x , p ‬במערכת ’‪ S‬שמרחקה מ‪ S-‬נתון ע"י ‪ ,Dt ‬מיקום‬
‫שלו ‪ V  x ‬‬
‫‪2m‬‬
‫החלקיק הינו‬
‫‪ . X  x  Dt ‬במקרה הכללי‪ S’ ,‬איננה אינרציאלית‪.‬‬
‫‪ ‬יש למצוא במפורש את הפונקציה היוצרת ‪ , F2  x , P , t ‬להגדיר את )‪P(x, p‬‬
‫~‬
‫‪H‬‬
‫ואת ‪.  X , P ‬‬
‫‪ ‬הלגרנז'יאן מאפיין את תנועת החלקיק‪ ,‬דהיינו תופעה אובייקטיבית שאינה‬
‫קשורה למערכת הייחוס‪ .‬לכן עליו להיות אינווריאנטי תחת טרנספורמציה זו‪:‬‬
‫‪dF‬‬
‫‪d F1‬‬
‫~‬
‫‪L X , X , t   L x , x , t   1  L x , x , t  ‬‬
‫‪ 0  F1  C  const‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ ‬ע"פ הגדרת הפונקציות היוצרות‪F2  x , P , t   F1  X P  C   x  Dt  P :‬‬
‫‪F2‬‬
‫‪F2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪ x  Dt  ; p ‬‬
‫‪ ‬מכאן הטרנספורמציה‪ P :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪x‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 12‬טרנספורמציות קנוניות –‬
‫פונקציות יוצרות‬
‫‪6‬‬
‫מעבר בין מערכות לא‪-‬אינרציאליות ‪-‬‬
‫ההסבר‬
‫‪ ‬התוצאה ‪ p  P‬מפתיעה‪ ,‬שכן לכאורה‪ ,‬אפילו בין מערכות הנעות במהירות‬
‫קבועה זו ביחס לזו‪ ,‬המהירות והתנע אינם זהים‪ .‬האם יש טעות בחישוב?‬
‫‪ ‬הסבר‪ :‬השוני הוא רק במושגים של משתני המערכת המתאימה‪ .‬אם מודדים את‬
‫‪ p‬במושגים של ‪ x‬ואת ‪ P‬במושגים של ‪ ,X‬מתקבלים ביטויים שונים‪ .‬אבל מקור השוני איננו‬
‫פיסיקלי‪ ,‬אלא נובע כולו מהטרנספורמציה‪ .‬ברגע שנבטא את התנע שבשתי מערכות הייחוס‬
‫באמצעות אותן קואורדינטות‪ ,‬ז"א נשתמש במידע על הטרנספורמציה‪ ,‬נקבל ביטוי זהה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫~‬
‫‪ ‬נראה זאת במפורש‪L  L  m x 2  V  x   m X  D   V  X  D  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫~‬
‫‪L‬‬
‫‪P‬‬
‫‪ ‬ומכאן ‪ m X  D  m x  p‬‬
‫‪ X‬‬
‫‪ ‬ההמילטוניאן החדש‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪P‬‬
‫~‬
‫~‬
‫‪P   P‬‬
‫‪‬‬
‫‪H  P X  L  P   Dt  ‬‬
‫‪ V  X  Dt  ‬‬
‫‪ V  X  Dt   P D t ‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ 2m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪P‬‬
‫‪F2‬‬
‫‪F‬‬
‫~‬
‫‪ V x ‬‬
‫; ‪ V  X  Dt ‬‬
‫נשים לב‪  P D t  :‬‬
‫‪HH 2  H‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 12‬טרנספורמציות קנוניות –‬
‫פונקציות יוצרות‬
‫‪7‬‬