Transcript Lesson11.ppt

‫בס"ד‬
‫מכניקה קלאסית – תרגול מס' ‪11‬‬
‫טרנספורמציות קנוניות‬
‫ומשפט ‪Liouville‬‬
‫ניסוח סימפלקטי‬
‫‪ ‬במערכת המתוארת ע"י ‪ 2N‬משתנים קנוניים‪ ,‬נגדיר מטריצה סימפלקטית ‪:‬‬
‫‪ 1 0  0‬‬
‫‪ 0 0  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 1‬‬
‫‪0 1 0  ‬‬
‫‪ 0 0  0‬‬
‫‪ , 0  ‬‬
‫‪, 1‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬אוסף המשתנים הקנוניים ונגזרות ההמילטוניאן יסודרו במטריצות עמודה‪:‬‬
‫‪ q1 ‬‬
‫‪  H q1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  H q ‬‬
‫משוואות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  q N ‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫‪      H‬‬
‫‪‬‬
‫‪ H  ‬‬
‫המילטון‬
‫‪ p1 ‬‬
‫‪  H  p1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪ H  p ‬‬
‫‪ N‬‬
‫‪N ‬‬
‫‪‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 11‬טרנספורמציות קנוניות‬
‫ומשפט ‪Liouville‬‬
‫‪2‬‬
‫ המשך‬- ‫ניסוח סימפלקטי‬

 ~
    H

J





~
~
:‫ תקיים‬   , L  L , H  H ‫טרנספורמציה קנונית‬
  Q1  q1

  Q2  q1



 P  q
1
 N
 Q1  q2   Q1  p N  ‫ נשתמש ביעקוביאן‬


  Q2  p N 






  PN  p N 
J  1  det J  J   J  J  1  J  J    :‫ בטרנספורמציה קנונית‬






d  J d 




 ~   F ,G   F    G   F  J  J  G  F ,G

 H  J   H 
 
 
:‫ ובפרט‬
 ,    ,   
 
~ 
H   H   :‫ יתקיים‬,‫ אם הטרנספורמציה איננה תלויה מפורשות בזמן‬

3
  
 
‫ – טרנספורמציות קנוניות‬11 ‫תרגול‬
Liouville ‫ומשפט‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫מציאת טרנספורמציה קנונית‬
‫‪2‬‬
‫‪ p1  p2 ‬‬
‫‪ ‬הבעיה‪ :‬מערכת מתוארת ע"י המילטוניאן ‪  p2  q1  q2 2‬‬
‫‪H  ‬‬
‫‪ 2 q1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫הטרנספורמציה בקואורדינטות היא‪. Q1  q1 , Q2  q1  q2 :‬‬
‫יש למצוא את הטרנספורמציה הכללית ביותר עבור ‪ P1‬ו‪ P2 -‬שתהיה קנונית ולקבל‬
‫מתוכה מקרה פרטי עבורו הקואורדינטות ‪ Q1‬ו‪ Q2-‬הן ציקליות‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬כפי שאמרנו‪ . Q , P   ,‬הקשרים המעניינים מתוך כך הם‪:‬‬
‫‪ Q1  P1  Q1  P1  Q1  P1  Q1  P1‬‬
‫‪ P1‬‬
‫‪Q1 , P1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2 q1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ q1  p1  p1  q1  q2  p2  p2  q2‬‬
‫‪ p1‬‬
‫‪p1‬‬
‫‪P1 ‬‬
‫‪ f q1 , q2 , p2 ‬‬
‫‪2 q1‬‬
‫‪ Q2  P1  Q2  P1  Q2  P1  Q2  P1  P1  P1‬‬
‫‪Q2 , P1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ q1  p1  p1  q1  q2  p2  p2  q2  p1  p2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f‬‬
‫‪p2‬‬
‫‪p1  p2‬‬
‫‪‬‬
‫‪0  f ‬‬
‫‪  q1 , q2   P1 ‬‬
‫‪  q1 , q2 ‬‬
‫‪2 q1  p2‬‬
‫‪2 q1‬‬
‫‪2 q1‬‬
‫‪ ‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 11‬טרנספורמציות קנוניות‬
‫ומשפט ‪Liouville‬‬
‫‪4‬‬
‫ סיום‬- ‫מציאת טרנספורמציה קנונית‬
 Q1  P2  Q1  P2  Q1  P2  Q1  P2
 P2
Q1 , P2  



 2 q1
0
 q1  p1  p1  q1  q2  p2  p2  q2
 p1
 Q2  P2  Q2  P2  Q2  P2  Q2  P2  P2  P2
Q2 , P2  





1
 q1  p1  p1  q1  q2  p2  p2  q2  p1  p2
 P2
 P2
 0,
 1  P2  p2   q1 , q2 
 p1
 p2
~
2
2
2
:
‫נבחר‬




H

P



P



Q
  0 ,   Q2
1
2
2 :‫ ההמילטוניאן יהיה‬
~
:‫ מכאן הפתרון טריוויאלי‬H  P12  P2  P1 , P2  const :‫ונקבל‬
~
~

H

H
Q 1 
 2 P1  Q1 t   Q1 0  2 P1t ; Q 2 
 1  Q2 t   Q2 0  t
 P1
 P2
q1  Q1  q12 0  2 P1t ; q2  Q2  q1  q1 0  q2 0  t  q12 0  2 P1 t
p2  P2  Q22  P2  q1 0  q2 0  t  ; p1  p2  2 P2 q1  P2  q1 0  q2 0  t   2 P2 q12 0  2 P1 t
2
5
2
‫ – טרנספורמציות קנוניות‬11 ‫תרגול‬
Liouville ‫ומשפט‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫משפט ‪Liouville‬‬
‫‪‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 11‬טרנספורמציות קנוניות‬
‫ומשפט ‪Liouville‬‬
‫‪q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪q + dq‬‬
‫‪ ‬נניח שיש לנו צבר של ‪ N‬מערכות המאופיינות ע"י ‪ S‬דרגות חופש כ"א‪ .‬נשרטט‬
‫את מסלולי כל המערכות באותו מרחב בעל ‪ 2S‬מימדים‪ .‬הם ימלאו נפח מסוים‬
‫במרחב הפאזות‪ .‬נגדיר את אלמנט הנפח‪:‬‬
‫‪V  q1 qs p1 ps‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪N V ‬‬
‫‪  lim‬‬
‫‪ ‬נגדיר את הצפיפות במרחב הפאזות‪ d N   dq dp :‬‬
‫‪V  0‬‬
‫‪V‬‬
‫‪ ‬נעבוד במימד אחד )‪ (s=1‬ונחשב השינוי ב‪ dN-‬בזמן ‪ .dt‬נקבל שלושה איברים‪:‬‬
‫‪p + dp‬‬
‫‪  q ‬‬
‫שטף‬
‫‪d N q   q q   q q  dq d t dp  ‬‬
‫‪d t dq dp‬‬
‫‪q‬‬
‫דרך‬
‫‪  p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d N p   p p   p p  d p d t dq  ‬‬
‫הדפנו ‪d t dq dp‬‬
‫‪p‬‬
‫ת‬
‫‪‬‬
‫שינוי הצפיפות בתוך‬
‫‪dN ‬‬
‫‪d t dq dp‬‬
‫‪t‬‬
‫‪p‬‬
‫הנפח‬
‫‪:‬‬
‫נשמר‬
‫החלקיקים‬
‫‪ ‬מס'‬
‫‪   q    p ‬‬
‫‪d N   d Nq  d N p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫(משוואת הרציפות)‬
‫‪t‬‬
‫‪q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪6‬‬
‫משפט ‪ - Liouville‬המשך‬
‫‪ ‬מקור המשוואה בהנחה ‪ - N  0‬החלקיקים לא נוצרים‪/‬נעלמים‪ .‬נפתח אותה‪:‬‬
‫‪  q  p ‬‬
‫‪    q    p    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪p  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪t‬‬
‫‪q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪t q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ q  p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪d    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪dt  t  q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ q  p  2 H‬‬
‫‪2H‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נשים לב כי ‪ 0‬‬
‫‪ q  p q  p  p q‬‬
‫‪d‬‬
‫ולכן מתקיים‪ 0 :‬‬
‫ משפט ‪ .Liouville‬משמעותו הפיסיקלית היא‬‫‪dt‬‬
‫שצפיפות החלקיקים‪/‬מערכות במרחב הפאזות נשמרת‪.‬‬
‫‪dN d‬‬
‫‪ ,‬אזי מתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫לפי הגדרת הצפיפות‪ . d N   dV :‬לכן אם ‪ 0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪0‬‬
‫‪dt‬‬
‫ז"א שהנפח שתופס הצבר במרחב הפאזות‪ ,‬נשמר‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 11‬טרנספורמציות קנוניות‬
‫ומשפט ‪Liouville‬‬
‫‪7‬‬
‫משפט ‪ – Liouville‬דרך‬
‫טרנספורמציה‬
‫‪ ‬נשוב לבעית הצבר של ‪ N‬מערכות במרחב ‪-2S‬מימדי ונצטמצם ל‪.S=1-‬‬
‫‪ ‬נבצע טרנספורמציה לקואורדינטות קנוניות ע"י הזזתן בזמן‪:‬‬
‫‪Q  qt  d t   qt   q t  d t  qt   d t  H  p‬‬
‫‪P  pt  d t   pt   p t  d t  pt   d t  H  q‬‬
‫‪‬‬
‫‪2H‬‬
‫‪2H ‬‬
‫‪ 1  dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2H‬‬
‫‪2H ‬‬
‫‪ p q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪J‬‬
‫‪‬‬
‫‪J‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪O‬‬
‫‪d‬‬
‫‪t‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪O‬‬
‫‪d‬‬
‫‪t‬‬
‫‪  p q q  p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2H‬‬
‫‪2H ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ dt‬‬
‫‪‬‬
‫‪q 2‬‬
‫‪q  p ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬ההזזה אינפיניטסימלית‪ ,‬לכן נזניח את הסדר השני (ומעלה) ב‪ dt -‬ונקבל ‪J  1‬‬
‫‪ ‬מכאן שהזזה בזמן היא טרנס' קנונית‪ .‬הנפח (במרחב הפאזות) נשמר בזמן‪:‬‬
‫‪d V t  d t   dQ d P  J dq d p  dq d p  d V t ‬‬
‫‪2‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 11‬טרנספורמציות קנוניות‬
‫ומשפט ‪Liouville‬‬
‫‪8‬‬