Transcript אלגברה ליניארית מרצה - ד"ר מקסים ברשדסקי שיעור מס' לכל מערכת של m משוואות ליניאריות ב n- משתנים ( (mxn  a11 x1  a12 x2

‫אלגברה ליניארית‬
‫מרצה ‪ -‬ד"ר מקסים ברשדסקי‬
‫שיעור מס'‬
‫לכל מערכת של ‪ m‬משוואות ליניאריות ב‪ n-‬משתנים (‪(mxn‬‬
‫‪ a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1‬‬
‫‪ a x  a x  ...  a x  b‬‬
‫‪ 21 1 22 2‬‬
‫‪2n n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪am1 x1  am 2 x  ...  amn xn  bm‬‬
‫מתקיים בדיוק אחד משלושת המצבים הבאים‬
‫‪ .1‬פתרון יחיד‬
‫‪ .2‬אינסוף פתרונות‬
‫‪ .3‬אין פתרון‬
 a11x1  a12 x2  b1

a 21x1  a 22 x2  b2
 x1  

 x2  
 * * *  * * *   * 0 *   1 0  
 

  

  

0 1  
0
*
*
0
*
*
*
*
*






 
1 ‫שלב‬
‫"מדרגה" למטה‬
2 ‫שלב‬
‫"מדרגה" למעלה‬
3 ‫שלב‬
‫אחדות באלכסון‬
‫באותם השלבים בסוף מקבלים‬
? "‫אבל איך לדרג – ב"דוך" או ב"סיבוב‬
 x1   1
x 
2
 2
 x3   3
x 
4
 4
 x5   5
 1*

 0*
 0*

 0*

 0*
0*
1*
0*
0*
0*
0*
0*
1*
0*
0*
0*
0*
0*
1*
0*
!!! "‫רק ב"דוך‬
0**1

0**2


0**3

0**4

1**5
1 ‫שלב‬
*

*
*

*
*

* * * * *

* * * * *

* * * **

* * * * *

* * * * *
1 ‫שלב‬
*

0
0

0
0

* * * * *

* * * * *

* * * **

* * * * *

* * * * *
1 ‫שלב‬
*

0
0

0
0

* * * * *

* * * * *

0 * * **

0 * * * *

0 * * * *
1 ‫שלב‬
*

0
0

0
0

* * * * *

* * * * *

0 * * **

0 0 * * *

0 0 * * *
‫סוף שלב ‪1‬‬
‫‪* * * * *‬‬
‫‪‬‬
‫‪* * * * *‬‬
‫‪‬‬
‫** * * ‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 * * *‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 0 * *‬‬
‫*‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫מטריצה מדורגת‬
2 ‫שלב‬
*

0
0

0
0

* * * * *

* * * * *

0 * * **

0 0 * * *

0 0 0 * *
2 ‫שלב‬
*

0
0

0
0

* * * 0 *

* * * 0 *

0 * * 0*

0 0 * 0 *

0 0 0 * *
2 ‫שלב‬
*

0
0

0
0

* * 0 0 *

* * 0 0 *

0 * 0 0*

0 0 * 0 *

0 0 0 * *
2 ‫שלב‬
*

0
0

0
0

* 0 0 0 *

* 0 0 0 *

0 * 0 0*

0 0 * 0 *

0 0 0 * *
)‫ (אם יש צורך‬3 ‫שלב‬
R1 / *
R2 / *
R3 / *
R4 / *
R5 / *
*

0
0

0
0

2 ‫סוף שלב‬
0 0 0 0 *

* 0 0 0 *

0 * 0 0*

0 0 * 0 *

0 0 0 * *
‫מטריצה קנונית‬
1

0
0

0
0

0 0 0 0 1 

1 0 0 0 2 

0 1 0 0 3

0 0 1 0 4 

0 0 0 1 5 
 x1   1
x 
2
 2
 x3   3
x 
4
4

 x5   5
 x1  x2  x3  4

 x1  2 x2  x3  3
 2 x  3 x  3 x  10
1
2
3

 x1  2

 x2  1
 x 3
 3
 1 1 1  4 
 1 2 1 3   R1  R 2

 2 R1  R 3

2

3
3
10


1 1 1  4
0 1 2 7  

 R 2  R3
0

1
1
2


1 1 1  4
0 1 2 7  

 R3 / 3
0
0
3
9


1
0

0
1
0

0
1 1  4
1
0

0
0 0  2
1
2
7
0
1
3
  R2 R3 3 R1R 2
 

1 0  1 
1 0 1
0 1 3
1 0 1
0 1 3






1 ‫שלב‬
2 ‫שלב‬
R 2  R1

‫ – אין צורך‬3 ‫שלב‬
1 ‫תרגיל‬
2 ‫תרגיל‬
2
 x1  x2  x3
 2x  x  2x  x  6
3
4
 1 2
  x1  3x2  x3  x4  0
 4x  4x  4x
8
2
3
 1
4 x1  4 x2  5 x3  3x4  1
1

2
1

4
4

1
1
3
4
4
0 2
1
1 ‫שלב‬


1 1 1 0 2 
1 1 1 0 2 



2  1 6   2 R1  R 2 
0 1 4 1 2 

0 1 4 1 2 



1
1 0  R1  R3
 0 4 0 1 2  4 R 2  R3  0 0 16  3 10 

 4 0 8   4 R1  R 4 


 R3  R 4
0 0 1  3  7
0 0 1  3  7



 5  3 1   4 R1  R5
 1 1 1 0 2 
 1 1 1 0 2 
 1 1 1 0 2 






0

1
4

1
2
0

1
4

1
2
0

1
4

1
2





 R4  R2
 0 0  1  3  7    0 0  1  3  7    0 0  1  3  7  3R 4  R3

 16R3  R 4 
 R 4 /  51
 
0
0
16

3
10
0
0
0

51

102
0
0
0
1
2






1 1

0 1
0 0
0 0

1
4
1
0
0
0
0
1
2   R3  R1  1 1
0


4  4 R3  R 2  0  1 0
 1
0 0 1

0 0 0
2 


2 ‫שלב‬
0
0
0
1
3  R 2  R1  1 0
0


0   0 1 0
 1
0 0 1

0 0 0
2 

0
0
0
1
3    1

0   1  R2  0
 1  1  R3  0

2 
0
3 ‫שלב‬

0 0 0 3

1 0 0 0
0 1 0 1

0 0 1 2 
 x1  3
x  0
 2

 x3  1
 x4  2
 x1  x2  x3  4

 x1  2 x2  x3  3
 2 x  3 x  3 x  10
1
2
3

 x1  2

 x2  1
 x 3
 3
 1 1 1  4 
 1 2 )‫למערכת‬
 R1  R 2 ‫ בכיוון ההפוך(תשובה‬1 ‫תרגיל‬
1 3 ‫הופכת‬

 2 R1  R 3

2

3
3
10


1 1 1  4
0 1 2 7  

 R2  R3
0

1
1
2


1 1 1  4
0 1 2 7  

 R3 / 3
0
0
3
9


1
0

0
1
0

0
1
0

0
1 1  4
1
2
7
0
1
3
  R2 R3 3 R1R 2
 

1 0  1 
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1

1

3 
 2

1

3 
R 2  R1

 x1  x2  x3  4

 x1  2 x2  x3  3
 2 x  3 x  3 x  10
1
2
3

 1
1 1  4  


2
1 3   R1  R 2
 1
  2  3 3 10  2 R1  R 3


 1 1 1  4 


0 1 2 7  
 0  1 1 2  R 2  R3


 1 1 1  4


0 1 2 7  
 0 0 3 9  R3 / 3


 1 1 1  4


0 1 2 7 
0 0 1 3 


 x1  2

 x2  1
 x 3
 3
 1 1 0  1

  R 3  R1
 0 1 0 1  2 R3  R 2
0 0 1 3  


1 0 0  2

 R 2  R1
0 1 0 1  
0 0 1 3 


 x1  x2  x3  4

 x1  2 x2  x3  3
 2 x  3 x  3 x  10
1
2
3

 1
1 1  4  


2
1 3   R1  R 2
 1
  2  3 3 10  2 R1  R 3


 1 1 1  4 


0 1 2 7  
 0  1 1 2  R 2  R3


 1 1 1  4


0 1 2 7 
0 0 3 9 


 1 1 1  4


0 1 2 7  
 0 0 1 3  R3 * 3


 x1  2

 x2  1
 x 3
 3
 1 1 0  1

  R 3  R1
 0 1 0 1  2 R3  R 2
0 0 1 3  


1 0 0  2

 R 2  R1
0 1 0 1  
0 0 1 3 


 x1  x2  x3  4

 x1  2 x2  x3  3
 2 x  3 x  3 x  10
1
2
3

 1
1 1  4  


2
1 3   R1  R 2
 1
  2  3 3 10  2 R1  R 3


 1 1 1  4 


0 1 2 7 
 0 1 1 2 


 1 1 1  4


0 1 2 7  
 0 0 3 9   R 2  R3


 1 1 1  4


0 1 2 7  
 0 0 1 3  R3 * 3


 x1  2

 x2  1
 x 3
 3
 1 1 0  1

  R 3  R1
 0 1 0 1  2 R3  R 2
0 0 1 3  


1 0 0  2

 R 2  R1
0 1 0 1  
0 0 1 3 


 x1  x2  x3  4

 x1  2 x2  x3  3
 2 x  3 x  3 x  10
1
2
3

 1
1 1  4


2
1 3 
 1
  2  3 3 10 


 1 1 1  4

 
 0 1 2 7  R1  R 2
 0  1 1 2   2 R1  R 3


 1 1 1  4


0 1 2 7  
 0 0 3 9   R 2  R3


 1 1 1  4


0 1 2 7  
 0 0 1 3  R3 * 3


 x1  2

 x2  1
 x 3
 3
 1 1 0  1

  R 3  R1
 0 1 0 1  2 R3  R 2
0 0 1 3  


1 0 0  2

 R 2  R1
0 1 0 1  
0 0 1 3 


‫מטריצה קנונית של ‪Smith‬‬
‫‪0 0 0 0 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 0 0 0 2 ‬‬
‫‪0 1 0 0 3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 1 0 4 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 0 1 5 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫מתקבלת אך ורק במקרה של פתרון יחיד !!!‬
‫את המקרה הכללי נראה בשיעור הבא ‪...‬‬
‫כל הזכויות שמורות לד"ר מקסים ברשדסקי‬