Transcript אלגברה לינארית מס 3x

‫אלגברה ליניארית‬
‫מרצה ‪ -‬ד"ר מקסים ברשדסקי‬
‫שיעור מס'‬
‫המקדם המוביל (מ"מ)‬
‫המקדם הראשון משמאל בשורת מטריצה השונה מאפס‬
‫(דמות מרכזית בתהליך הדירוג)‬
‫תרגיל – סמנו את כל המ"מים במטריצה‬
‫‪7 7‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 4‬‬
‫‪0 3 4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫תשובה‬
‫בשורת האפסים אין מ"מ ‪ -‬ניתן למחוק את השורה‬
‫‪7 7‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 5‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 4‬‬
‫‪0 3 4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫בשורה מנוונת המ"מ הוא המקדם החופשי ‪ -‬אין פתרון למערכת‬
‫תהליך הדירוג במקרה של הפתרון היחיד‬
‫שלב ‪ – 1‬מ"מ מאפס מתחתיו‬
‫‪*******‬‬
‫‪‬‬
‫‪*******‬‬
‫‪*******‬‬
‫‪‬‬
‫‪*******‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪*******‬‬
‫***‬
‫***‬
‫**‬
‫**‬
‫**‬
‫**‬
‫***‬
‫***‬
‫**‬
‫‪**0‬‬
‫‪*0‬‬
‫‪*0‬‬
‫‪*0 **0 ***0‬‬
‫*‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ *0‬‬
‫‪ *0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ *0‬‬
‫‪ *0‬‬
‫‪‬‬
‫תהליך הדירוג במקרה של הפתרון היחיד‬
‫שלב ‪ – 2‬מ"מ מאפס מעליו‬
‫‪*0 *0 *0 *0 **‬‬
‫‪‬‬
‫‪* *0 *0 *0 **‬‬
‫‪0 * *0 *0 **‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 * *0 **‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 0 * **‬‬
‫*‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫תהליך הדירוג במקרה של הפתרון היחיד‬
‫ – מחלקים כל שורה במ"מ שלה‬3 ‫שלב‬
 x1  α1
x  α
2
 2
 x3  α3
x  α
4
4

 x5  α5
 1*

0
0

0
0

00
1*
00
00
00
00
00
1*
00
00
00
00
00
1*
00
00α*1  R1/

00α*2  R2 /

00α*3 R3 /

00α*4  R4 /

1*α*5  R5 /
‫כלל המבטיח את התקדמות התהליך ואי חזרתו אחורה‬
‫רק מ"מ ראשי לאפס !‬
‫כיצד ישתנו‬
‫שלבי הדירוג במקרה הכללי ?‬
‫לא ישתנו !!!‬
‫בשלב ‪ 1‬מ"מ מאפס מתחתיו‬
‫בשלב ‪ 2‬מ"מ מאפס מעליו‬
‫בשלב ‪ 3‬מחלקים כל שורה במ"מ שלה‬
‫אבל לא בהכרח בכל עמודה יופיע מ"מ ‪...‬‬
‫עמודת מוביל – עמודת מטריצה בה מופיע מקדם מוביל‬
1 ‫תרגיל‬
 x1  x2  2 x3  2

3 x1  2 x2  2 x3  3
5 x  3 x  2 x  4
2
3
 1


1
3

5
1  2  2
1 1  2  2



2  2  3  3 R1  R 2 0  1 4 3



3  2  4   5 R1  R 3  0  2 8 6   2 R 2 
1
0

0
1  2  2  R 2  R1
1

 1 4 3 R2 / 1 
0


0
0 0 

‫ מטריצה מדורגת‬- 1 ‫סוף שלב‬
R3
0 2 1 

1  4  3
‫ מטריצה קנונית‬- 3 ‫סוף שלב‬
! ‫אין מ"מ בעמודה – אין מה לאפס‬
!!! ‫אין מ"מ בעמודה – המשתנה חופשי‬
‫הפתרון הכללי‬
 x1  2 x3  1

 x2  4 x3  3
 x1  2 x3  1

 x2  4 x3  3
 x R

3
‫הפתרון הכללי‬
 x 1  2 x3  1

 x 2  4 x3  3
 x R
3

 x1  20  1  19

 x2  40  3  37

x3  10

‫פתרונות פרטיים‬
 x1  4  1  5

 x2  8  3  11

x3  2

 x1  1

 x2  3
 x 0
 3
‫הפתרון הבסיסי‬
 x1  x2  2 x3  x4  5 x5  5
 2 x  x  5 x  2 x  9 x  8

1
2
3
4
5

 3 x1  3 x2  6 x3  x4  11x5  17
 x1  2 x2  5 x3  2 x4  4 x5  2
2 ‫תרגיל‬
 1 1 2 1 5 5
 1 1 2 1 5 5 
1 1 2 1 5 5 







2
1

5
2

9

8
2
R
1

R
2
0

1

1
0
1
2

0

1

1
0
1
2





 
 3  3 6  1 11 17   3R1  R3 0 0 0 2  4 2  R3 / 2  0 0 0 1  2 1 






  1  2  5  2 4  2  R1  R4  0  3  3  3 9 3   3R2  R4  0 0 0  3 6  3  3R3  R4






1 1 2 1 5 5 


 1  1 2  1 5 5  R3  R1 1  1 2 0 3 6 



 0  1  1 0 1 2  R 2 /  1
 0 1 1 0  1  2    0 1 1 0  1  2  R 2  R1
0 0 0 1  2 1
0 0 0 1  2 1 
0 0 0 1  2 1  






0 0 0 0 0 0

 ‫מטריצה מדורגת‬
1 0 3 0 2 4 


 0 1 1 0 1  2
0 0 0 1  2 1 


‫מטריצה קנונית‬
 x1  3 x3  2 x5  4
 x   x  x  2 ‫הפתרון הכללי‬
 2
3
5

 x4  2 x5  1

x3 ,x5  R
‫הפתרון הכללי‬
 x1  3 x3  2 x5  4
 x  x  x  2
 2
3
5

 x4  2 x5  1

x3 ,x5  R
 x1  12
 x 1

2

 x4  9
 x3  2, x5  5
‫פתרונות פרטיים‬





 x3
x1  34
x2  2
x4  5
 3, x5  3





 x3
x1  4
x2  1
x4  9
 0, x5  0
‫הפתרון הבסיסי‬
  4 x 2  16x3  18x 4  26x5  34x6  4 x7  20x8  19x9  57
 2 x  x  10x  7 x  5 x  6 x  7 x  14x  9 x  7
1
2
3
4
5
6
7
8
9

 3x1  2 x 2  17x3  10x 4  8 x5  5 x6  6 x7  16x8  29x9  5
.
 x1  4 x 2  19x3  11x 4  17x5  8 x6  6 x7  6 x8  10x9  28

2 x 2  8 x3  x 4  5 x5  7 x6  10x7  10x8  2 x9  25


x1  x 2  7 x3  5 x 4  5 x5  5 x6  3x7  6 x8  7 x9  2
3 ‫תרגיל‬
1 ‫שלב‬
0

2
3

 1

0
1

 4  16  18  26  34
 1  10
7
5
6
 2  17  10
4
19
11
8
17
5
8
2
8
1
5
7
1
7
5
5
5
57 

 7  14  9  7 
 6  16  29 5 
 R1 R6
 6  6 10  28

 10  10 2  25
 3  6  7  2 
4
20
19
... ‫ לכן מחליפים שורות‬1 ‫אפס במקום מ"מ בשורה‬
1 ‫שלב‬
1

2
3

 1

0
0

2 

 1  10  7  5
6
 7  14  9  7   2 R 1 R 2
 2  17  10  8  5  6  16  29 5   3 R 1 R 3

4
19
11 17
8
 6  6 10  28 R 1 R 4

2
8
1
5
 7  10  10 2  25
 4  16  18  26  34 4
20 19 57 
1
7
5
5
5
3
6
7
... ‫ מאפס מתחתיו‬1 ‫מ"מ של שורה‬
1 ‫שלב‬
 1 1  7  5  5  5  3  6  7  2 


4
3
5
4
1  2 5  3 
0 1
0 1
4
5
7
10
3
2
13 11 


0 3
12
6
12
3
 9  12 3  30


0
2
8
1
5

7

10

10
2

25


 0  4  16  18  26  34 4
20 19 57 

... ‫ מאפס מתחתיו‬2 ‫מ"מ של שורה‬
 R 2 R 3
- 3 R 2 R 4
- 2 R 2 R 5
4 R 2 R 6
1 ‫שלב‬
 1 1  7

4
0 1
0 0
0

0 0
0

0
0 0
0 0
0

2 

3
5
4
1  2 5
3 
2
2
6
4
4
8
14  R 3 / 2

 3  3  9  6  6  12  21 R 4 / - 3

 5  5  15  8  6  8  19
 6  6  18 0 12 39 45  R 6 / - 3
5 5
5
3 6
7
... ‫אם יש גורם משותף בשורה – כדאי לחלק בו‬
1 ‫שלב‬
 1 1  7  5  5  5  3  6  7

4
3
5
4
1  2 5
0 1
0 0
0
1
1
3
2
2
4

0 0
0
1
1
3
2
2
4

0  5  5  15  8  6  8
0 0
0 0
0
2
2
6
0  4  13

2 

3 
7 

7  - R 3 R 4

 19 5 R 3 R 5
 15 - 2 R 3 R 6
... ‫ מאפס מתחתיו‬3 ‫מ"מ של שורה‬
1 ‫שלב‬
 1 1  7  5  5  5  3  6  7

4
3
5
4 1  2 5
0 1
0 0
0
1
1
3
2
2
4

0 0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
2
4
12
0 0
0 0
0
0
0
0  4  8  21

2 

3 
7 

0 

16 
 29 2R5 R6
... ‫ מאפס מתחתיו‬4 ‫מ"מ של שורה‬
‫מטריצה מדורגת‬
‫‪ -‬כל מ"מ מופיע משמאל לכל מ"מ שמתחתיו‬
‫שלב ‪1‬‬
‫‪ 1 1  7  5  5  5  3  6  7  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4 1  2 5  3 ‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 7 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4 12 16  R 4 / 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ R 5/3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מחלקים שורות בגורם משותף‬
2 ‫שלב‬
 1  1  7  5  5  5  3  6  7  2  7 R 5 R 1


4
3
5
4  1  2 5  3   5 R 5 R 2
0 1
0 0
0
1
1
3
2
2
4 7   4 R 5 R 3


0 0
0
0
0
0
1
2
6 8   6 R 5 R 4


0
0
0
0
0
0
0
0
1
1


... ‫ מאפס מעליו‬5 ‫מ"מ של שורה‬
2 ‫שלב‬
 1  1  7  5  5  5  3  6 0 5  3 R 4 R 1


4
3
5
4 1  2 0  8 R 4  R 2
0 1
0 0
0
1
1
3
2
2 0 3   2 R 4 R 3


0 0
0
0
0
0
1
2 0 2 


0
0
0
0
0
0
0
0
1
1


... ‫ מאפס מעליו‬4 ‫מ"מ של שורה‬
2 ‫שלב‬
 1 1  7  5  5  5

4
3
5
4
0 1
0 0
0
1
1
3

0 0
0
0
0
0

0
0
0
0
0 0
0
0
0
1
0
0 11  5 R 3 R 1

0 0  6  - 3 R 3 R 2
 2 0 1 

2 0 2 

0 1 1 
0
... ‫ מאפס מעליו‬3 ‫מ"מ של שורה‬
2 ‫שלב‬
 1 1  7

4
0 1
0 0
0

0 0
0

0
0 0
0 0 10 0  10 0 6  R2  R1

0 2  5 0 6 0  3
1 1 3 0  2 0 1

0 0 0 1 2 0 2 

0 0 0 0 0 1 1 
... ‫ מאפס מעליו‬2 ‫מ"מ של שורה‬
‫הפתרון הכללי‬









x 1  3x3  2 x5  5 x6  4 x8  3

x 2  4 x3  2 x5  5 x6  6 x8  3 


x 4  x5  3x6  2 x8  1

x 7  2 x8  2


x9 1

x3 , x5 , x6 , x8  R

1

0
0

0

0
0 3 0 2
1
4
0 2
0
0
0
0
1 1
0 0
0
0
0 0
x 1  3 x3  2 x5  5 x6  4 x8  3
x 2  4 x3  2 x5  5 x6  6 x8  3
x 4   x5  3 x6  2 x8  1
x 7  2 x8  2
x9 1
x3 , x5 , x6 , x8  R
0 4 0 3 

 5 0 6 0  3
3 0  2 0 1

0 1 2 0 2 

0 0 0 1 1 
5
‫מטריצה קנונית‬
‫ מדורגת בה כל מ"מ שווה לאחת וכל שאר המקדמים בעמודתו שווים לאפס‬-
‫פתרון יחיד‬
‫אינסוף פתרונות‬
4 ‫תרגיל‬
 x1  3x2  4 x3  2

 5 x1  x2  2 x3  3
4 x  4 x  2 x  7
2
3
 1
1  3 4 2 
1  3 4
1  3 4

2 
2 






2  3   5R1  R 2  0 16  18  13

5 1
 0 16  18  13
 4 4  2  7   4 R1  R3  0 16  18  15  R 2  R3  0 0

0

2






‫ אין פתרון‬- ‫שורה מנוונת‬
‫מצב הפתרון עפ"י מטריצה‬
‫מדורגתהמקדמים החופשיים(שורה מנוונת)‬
‫‪ .1‬מ"מ בעמודת‬
‫?‬
‫יש‬
‫‪1  3 4‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 1 6  18  13‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫אין פתרון‬
‫אין‬
‫יש פתרון ‪ /‬ות‬
‫‪ .2‬מ"מ בשאר העמודות‬
‫?‬
‫לא בכל עמודה‬
‫בכל עמודה‬
‫‪1  3 4‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 1 6  18  13‬‬
‫‪0 0  7  2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫פתרון יחיד‬
‫‪1  3 4‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 1 6  18  13‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אינסוף פתרונות‬
‫כל הזכויות שמורות לד"ר מקסים ברשדסקי‬