Transcript Lesson13.ppt

‫בס"ד‬
‫מכניקה קלאסית – תרגול מס' ‪13‬‬
‫משוואת המילטון–יעקובי‬
‫ומשתני פעולה‪-‬זווית‬
‫משוואת המילטון‪-‬יעקובי‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬נגדיר את הפונקציה העיקרית של המילטון‪S q , P  S q ,    L d t :‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S‬‬
‫‪pk ‬‬
‫‪, Qk ‬‬
‫‪ qk‬‬
‫‪ Pk‬‬
‫‪ S ‬פונק' יוצרת ותקיים‪:‬‬
‫משוואת המילטון‪-‬יעקובי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪S‬‬
‫‪S  S‬‬
‫‪H  q1 , , q N ,‬‬
‫‪, ,‬‬
‫‪, t  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ q1‬‬
‫‪ qN   t‬‬
‫‪‬‬
‫כמו כן‪ S ,‬היא פתרון של‬
‫‪S‬‬
‫‪ ‬המערכת החדשה תהיה‪:‬‬
‫‪Pk  const   k ; Qk  const   k ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬אם ההמילטוניאן אינו תלוי בזמן‪ ,‬נעשה הפרדה‪S q , , t   W q ,   E t :‬‬
‫‪‬‬
‫‪W‬‬
‫‪W ‬‬
‫‪ ‬ונקבל מש' המילטון‪-‬יעקובי חדשה‪:‬‬
‫‪  E‬‬
‫‪H  q1 , , q N ,‬‬
‫‪, ,‬‬
‫‪ q1‬‬
‫‪ qN ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪ - W    pk d qk ‬הפונקציה האופיינית של המילטון‪.‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬אם ניתן להפריד את ‪ ,W q ,    Wk qk ,  ,W‬נקבל ‪ N‬משוואות רגילות‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫‪k 1‬‬
‫תרגול ‪ – 12‬טרנספורמציות קנוניות –‬
‫פונקציות יוצרות‬
‫‪2‬‬
‫חלקיק בפוטנציאל מרכזי ושדה מגנטי‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬הבעיה‪ :‬חלקיק טעון נע במישור תחת השפעת פוטנציאל ‪ V  k r 2‬ושדה‬
‫‪‬‬
‫‪2 1   B0‬‬
‫‪ A‬יש לרשום‬
‫מגנטי קבוע ואחיד ̂‪ ,B  B0 z‬כך ש‪.  B  r   y x̂  x ŷ  -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫את מש' המילטון‪-‬יעקבי ל‪ W-‬בקואורדינטות קוטביות‪ ,‬להפריד ולפתור אותה‪.‬‬
‫‪ ‬ההמילטוניאן יהיה‪e 2 B02 2 1 2 :‬‬
‫‪p2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪H‬‬
‫‪‬‬
‫‪l z B0 ‬‬
‫‪r  kr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2m 2mc‬‬
‫‪8mc‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬ההמילטוניאן עצמו ניתן להפרדה‪ ,‬לכן נרשום‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ W1 r , 1 , 2  ‬‬
‫‪ W2  , 1 , 2  ‬‬
‫‪  H    , l z ‬‬
‫‪‬‬
‫‪H  H r  r , p ‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e B0   W2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪   2‬‬
‫‪H  ‬‬
‫‪2m c   ‬‬
‫‪E  1   2‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫‪2‬‬
‫‪1   W1  1‬‬
‫‪‬‬
‫; ‪  C r 2   1‬‬
‫‪Hr ‬‬
‫‪2m   r  2‬‬
‫; ‪W  W1  W2‬‬
‫תרגול ‪ – 12‬טרנספורמציות קנוניות –‬
‫פונקציות יוצרות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪e 2 B02‬‬
‫‪ C ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4mc‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
- ‫חלקיק בפוטנציאל ושדה מגנטי‬
‫ המשך‬2 m c
2mc
2mc
 W2
E   1  :H  ‫ לגבי‬

 2  W2  
 2  

e B0
e B0
e B0
 W1
1
C 2


 2 m 1  C r 2   W1  2 m  1  1 
r d r :H r ‫ לגבי‬
r
2
2 1


 C 
m 1
C r2
m
1
W1 
r 1

 1 sin 
r 
2
2 1
C
 2 1 
 C  2mc
m 1
C r2
m
1
E   1 
W 
r 1

 1 sin 
r  
2
2 1
C
 2 1  e B0
W
.r  :‫נקבל את הפתרון למסלול‬
  1  const ‫ מתוך היחס‬
 1
4
– ‫ – טרנספורמציות קנוניות‬12 ‫תרגול‬
‫פונקציות יוצרות‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫ סיום‬- ‫חלקיק בפוטנציאל ושדה מגנטי‬
:‫ את הגזירה עדיף לבצע לפני האינטגרציה‬
W

1 

 1  1

C 
2mc

2 m  1  r 2  dr 

2 
e B0

 C  2mc
m
1
sin 
r  
  r   
C
 2  1  e B0
1 
2 m dr
2 1 
C 2
r
2

2mc

e B0

 2mc

2 1
C

sin 
   1  
C
m  e B0


e 2 B02
:‫ כלומר יש רק שדה מגנטי‬, C 
‫ ז"א‬, k  0 ‫ נבדוק את התוצאה לגבי‬
2
4mc
2 m 1

e B0  1 
8 1m c 2
 
r   
sin   
sin     L  1 ,
2 2
e B0
2mc 
L

‫תדירות‬
5
– ‫ – טרנספורמציות קנוניות‬12 ‫תרגול‬
‫פונקציות יוצרות‬

e B0 
  L 

2mc 

‫תדירות‬
‫לרמור‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫משתני פעולה‪-‬זווית – מימד ‪1‬‬
‫‪ ‬ניקח מערכת מחזורית חד‪-‬מימדית‪ .‬תהא ‪ q , p  , I ‬טרנספורמציה‬
‫~ ~‬
‫קנונית שתיתן לנו המילטוניאן ‪  ( H  H  I ‬משתנה ציקלי)‪ .‬מכאן נקבל‪:‬‬
‫~‬
‫~‬
‫~‬
‫‪‬‬
‫‪H‬‬
‫‪‬‬
‫‪H‬‬
‫‪‬‬
‫‪H‬‬
‫‪I  ‬‬
‫‪ 0  I  const ,  ‬‬
‫‪ const     t  t 0 ,  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪I‬‬
‫‪I‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ C( I ‬הוא המסלול‬
‫‪p dq ‬‬
‫‪ ‬משתנה הפעולה ‪ ,I‬נתון ע"י ‪dp dq‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 C‬‬
‫‪2 A‬‬
‫הסגור במרחב הפאזות ו‪ A-‬הוא השטח הכלוא בתוך המסלול)‪.‬‬
‫~‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬מכיוון ש‪I  -‬‬
‫גם‬
‫ולכן‬
‫בלבד‬
‫‪E‬‬
‫‬‫ב‬
‫תלוי‬
‫‪I‬‬
‫‪,‬‬
‫‪H‬‬
‫‪q‬‬
‫‪,‬‬
‫‪p‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫‪‬‬
‫‪H‬‬
‫‪E  E I ‬‬
‫~‬
‫‪ ‬מכאן נקבל את צורתו החדשה של ההמילטוניאן‪.H  I   E  I  :‬‬
‫‪dE‬‬
‫‪  ‬היא פרמטר חשוב ביותר במערכת מחזורית‪ .‬היא ניתנת‬
‫‪ ‬התדירות‬
‫‪dI‬‬
‫בד"כ לחישוב‪ ,‬גם אם התנועה כולה איננה פתירה עד הסוף‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 12‬טרנספורמציות קנוניות –‬
‫פונקציות יוצרות‬
‫‪6‬‬
‫בור פוטנציאלי לא‪-‬הרמוני‬
‫‪ ‬הבעיה‪ :‬חלקיק נע בהשפעת פוטנציאל ‪V q   U 0 tan2 a q ‬‬
‫‪aI‬‬
‫‪ E  U0  U0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ E  U0‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 12‬טרנספורמציות קנוניות –‬
‫פונקציות יוצרות‬
‫‪‬‬
‫‪a 2‬‬
‫‪7‬‬