Transcript שעורי אתגר במתמטיקה בעיית המעגלים המשיקים ל 5- יח"ל ד"ר שגב עדית אהל שם רמת גן 1

‫שעורי אתגר במתמטיקה‬
‫בעיית המעגלים המשיקים‬
‫ל‪ 5-‬יח"ל‬
‫ד"ר שגב עדית‬
‫אהל שם‬
‫רמת גן‬
‫‪1‬‬
‫בעיית חקר‪:‬‬
‫השטח של הצורות החסומות בין‬
‫מעגלים משיקים‬
‫נתונים מעגלים משיקים‪.‬‬
‫מה שטח הצורה החסומה ביניהם?‬
‫האם ניתן לפתור את השאלה כפי שהיא‬
‫מוצגת? במה תלויה התשובה?‬
‫מהם הנתונים החסרים?‬
‫‪2‬‬
‫תשובות‬
‫‪ .1‬תכונות המעגלים‪ :‬כולם יהיו מעגלי יחידה זהים‪.‬‬
‫‪ .2‬מספרם‪ :‬מינימום ‪( 3‬מדוע?)‪ ,‬נסתפק במכסימום ‪, 6‬‬
‫במחקר זה‪.‬‬
‫‪ .3‬נדרוש משטח חסום ורציף‪,‬‬
‫ללא נקודות סינגולריות – ללא קטיעת הרצף‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 3‬מעגלי יחידה ‪ -‬חישוב‬
‫השטח בין נקודות ההשקה‬
‫‪ 4‬מעגלי יחידה‬
‫‪4‬‬
‫דיון‬
‫‪ .1‬מה המספר המינימלי של מעגלי יחידה משיקים‪,‬‬
‫הדרושים על מנת ליצור ביניהם משטח חסום?‬
‫‪ .2‬כמה אפשרויות קיימות להשקה של ‪ 3‬מעגלים זהים? נמקו‪.‬‬
‫‪ .3‬מה שטח הצורה החסומה? הוכיחו‪.‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪.9‬‬
‫בכמה אופנים יכולים ‪ 4‬מעגלים להשיק?‬
‫מה התנאי לכך שהצורה החסומה ביניהם תהיה רציפה ‪,‬‬
‫ללא קטיעות? (התייחסו פעם לזויות ופעם לאלכסוני המצולע)‬
‫מה יהיה שטח המשטח החסום ביניהם?‬
‫האם הוא תלוי באופן הסידור של המעגלים המשיקים?‬
‫מתי יהיה מכסימלי?‬
‫כיצד הוא משתנה?‬
‫‪5‬‬
‫התשובה לסקרנים‪ :‬בין ‪ 4‬מעגלי יחידה‪ ,‬נוצר מרובע‪.‬‬
‫חישוב השטח של ‪ 2‬המשולשים שזוית הראש שלהם‬
‫גדולה מ‪ 60-‬מעלות וקטנה מ‪ , 120 -‬נותן‪:‬‬
‫‪2 3S 4‬‬
‫משטח זה יש להסיר את שטח ‪ 4‬הגזרות‪ :‬כולן זהות‪ ,‬במקרה‬
‫של ריבוע‪ ,‬או כל זוג נגדי זהה‪ ,‬עבור מעוין‪.‬‬
‫הראו כי שטחן הכולל שווה תמיד לשטח המעגל‪.π :‬‬
‫(תזכורת‪ :‬הרדיוס = ‪ )1‬הסיכום‪:‬‬
‫‪2 3   S  4 ‬‬
‫‪6‬‬
‫דיון דומה ב‪ 5 :‬ו‪ 6-‬מעגלי יחידה‪.‬‬
‫מצאו את הקשר (אם קיים כזה)‪ ,‬בין השטחים של הצורות‬
‫החסומות ב‪ 6 – 3 :‬מעגלי יחידה‪.‬‬
‫האם השטחים קבועים או תלויי סידור? נמקו‪/‬הוכיחו‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫סיכום‪:‬‬
‫חזרנו על הקשר בין הזוית המרכזית לאורך קשת המעגל בו היא‬
‫נמצאת‪.‬‬
‫חזרנו על קטע מרכזים ותכונותיו‪.‬‬
‫חזרנו על תכונות מצולעים סגורים ומישלושם (חלוקתם למשולשים)‬
‫חזרנו על הקשר בין מעלות לרדיאנים‪.‬‬
‫חזרנו על שטח משולש בטריגו‪ .‬ושטח גזרות מעגל‪.‬‬
‫דנו בגבולות ‪.‬‬
‫נגענו ברעיון של בעיות מינימום‪-‬מכסימום‪ ,‬הבנו מתי השטח יהיה‬
‫מכסימלי וכיצד הוא משתנה‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫תזכורת לשטח משולש על פי צלעות וזויות‪.‬‬
‫‪ah‬‬
‫‪S‬‬
‫‪2‬‬
‫נעזר בנוסחא הידועה מגיאומטרית המישור‪.‬‬
‫א‪ .‬נחליף את הגובה בצלע כפול הזוית המתאימה‪.‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪h‬‬
‫‪ sin ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a  b  sin ‬‬
‫‪S‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬ע"י משפט הסינוסים נחליף עוד צלע באופן‬
‫הבא‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin  sin ‬‬
‫‪9‬‬
‫לסיכום קבלנו נוסחת שטח נוספת התלויה בצלע אחת בלבד‪ ,‬ובכל הזויות‪.‬‬
‫נבחר בכל פעם בנוסחא הנוחה לנו‪.‬‬
‫נחשב את הגבולות האפשריים לשטחים הללו‪.‬‬
‫‪10‬‬