Transcript Lesson8.ppt

‫בס"ד‬
‫מכניקה קלאסית – תרגול מס' ‪8‬‬
‫הפורמליזם ההמילטוני‬
‫ומשוואות המילטון‬
‫משוואות המילטון‬
‫‪ ‬הגדרת ההמילטוניאן ע"פ טרנספורמציית לז'נדר‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪H q , p , t    pk q k  L ; pk ‬‬
‫)‪(1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ qk‬‬
‫‪k‬‬
‫‪H‬‬
‫‪dH‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ ‬מכאן משוואות המילטון‪:‬‬
‫‪p k  ‬‬
‫;‬
‫‪‬‬
‫‪ qk‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ ‬הדרך לעבור מניסוח לגרנז'י לניסוח המילטוני‪:‬‬
‫‪H‬‬
‫;‬
‫‪ pk‬‬
‫‪q k ‬‬
‫‪L‬‬
‫‪( pk ‬שאר דרגות החופש קפואות)‬
‫א) להגדיר את התנע המוכלל לכל דרגת חופש‬
‫‪ q k‬‬
‫ב) לכתוב את ההמילטוניאן לפי (‪ ,)1‬כרגע הוא עדיין תלוי ב‪qk , q k , pk -‬‬
‫‪ ‬‬
‫ג) לבטא עבור כל דרגת חופש את המהירות המוכללת ‪ q k‬דרך ‪q , p‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪q‬‬
‫ד) להציב את תוצאות סעיף ג' לתוך (‪ .)1‬נקבל ביטוי התלוי ב‪ , p -‬ואולי בזמן‪.‬‬
‫ה) לכתוב את משוואות המילטון ולפתור אותן‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 8‬פורמליזם המילטוני ומשוואות‬
‫המילטון‬
‫‪2‬‬
‫חלקיק על‪-‬פני גליל‬
‫‪ ‬בעיה‪ :‬לפתור את תנועתו של חלקיק בעל מסה ‪ m‬המאולץ לנוע על‪-‬פני גליל‬
‫‪‬‬
‫פתוח בעל רדיוס ‪ .R‬החלקיק קשור לראשית ע"י קפיץ בעל קבוע ‪.k‬‬
‫‪m 2 2‬‬
‫‪T‬‬
‫במערכת גלילית‪R   z 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 2 k 2‬‬
‫‪V  r  R  z2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מכאן הלגרנז'יאן‪:‬‬
‫‪m 2 2‬‬
‫‪k 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪R   z  R  z 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪pz‬‬
‫‪L‬‬
‫התנעים הינם‪:‬‬
‫‪pz ‬‬
‫‪ m z  z ‬‬
‫‪ z‬‬
‫‪m‬‬
‫‪p‬‬
‫‪L‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬משתנה ציקלי‪:‬‬
‫‪p    m R    ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪mR‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תרגול ‪ – 8‬פורמליזם המילטוני ומשוואות‬
‫המילטון‬
‫‪3‬‬
‫חלקיק על‪-‬פני גליל ‪ -‬סיום‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬ההמילטוניאן‪H  p   p z  L  R   z   R  z   E :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ k 2‬‬
‫‪1  p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬נחליף את המהירויות בתנעים ונקבל‪:‬‬
‫‪H‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫‪‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2 m  R‬‬
‫‪‬‬
‫‪p‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬מכאן משוואות המילטון‪; p   0  p  const :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mR‬‬
‫‪pz‬‬
‫‪k‬‬
‫‪z ‬‬
‫‪; p z  k z  z   2 z ,  ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬זוהי משוואת אוסצילטור הרמוני שפתרונה ‪z t   A cos t   0 ‬‬
‫‪ ‬הפתרון יהיה סיבוב חופשי (במהירות זוויתית קבועה) בזווית ‪ ‬ותנודות‬
‫הרמוניות בציר אנכי ‪ .Z‬אין השפעה הדדית בין שתי דרגות החופש (כגון‬
‫פוטנציאל אפקטיבי)‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 8‬פורמליזם המילטוני ומשוואות‬
‫המילטון‬
‫‪4‬‬
‫חלקיק על ישר משופע מסתובב‬
‫‪ ‬חלקיק בעל מסה ‪ m‬חופשי לנוע (תחת השפעת‬
‫כוח הכובד) על‪-‬פני מסלול ישר משופע ‪AB .AB‬‬
‫מסתובב סביב הראשית על הציר ‪ OC‬שאורכו ‪,h‬‬
‫במהירות זוויתית קבועה ‪ .‬את מרחק החלקיק‬
‫מנקודה ‪ C‬נסמן ב‪ .q -‬תנאי ההתחלה הם‪:‬‬
‫‪ 0  0; q 0  0; q 0  0‬‬
‫המטרה‪ :‬לחשב את )‪ q(t‬ולבדוק האם האנרגיה נשמרת‪.‬‬
‫‪ ‬יש כאן שני אילוצים‪( :‬א) החלקיק נע על הישר – נבטא ע"י קואורדינטה ‪.q‬‬
‫(ב) הישר מסתובב במהירות זוויתית קבועה‪  ,‬איננה קואורדינטה אלא אילוץ‪.‬‬
‫‪ ‬מעתה נרשום בכל מקום‪   0   t   t :‬‬
‫‪ ‬ההמילטוניאן תלוי מפורשות בזמן ולכן אינו נשמר באופן כללי‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 8‬פורמליזם המילטוני ומשוואות‬
‫המילטון‬
‫‪5‬‬
‫ המשך‬- ‫חלקיק על ישר משופע‬
:‫ נתחיל מקואורדינטות קרטזיות‬
 x   h sin t    q cos t   q sin t 
x  h cos t   q sin t 
y  h sin t   q cos t   y   h cos t    q sin t   q cos t 
m
m 2 2
2
T  x 2  y 2  
 q  q   h ; V  m g h sin  t   q cos  t 
2
2
m 2 2
2
L
 q  q   h  m g h sin  t   q cos  t  :‫ הלגרנז'יאן‬
2
L
p
p
 m q   h  q    h :‫ התנע המוכלל יהיה‬
 q
m




H  p q  L  m q   h q 


m 2 2
2
 q  q   h  m g h sin  t   q cos  t 
2
p2
m  2q 2
H
 h p 
 m g h sin  t   q cos  t 
2m
2
6
‫ – פורמליזם המילטוני ומשוואות‬8 ‫תרגול‬
‫המילטון‬
:‫ וההמילטוניאן‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫חלקיק על ישר משופע ‪ -‬פתרון‬
‫‪ ‬נרשום את משוואות המילטון‪:‬‬
‫‪H‬‬
‫‪p‬‬
‫‪H‬‬
‫‪   h ; p  ‬‬
‫‪ m  2q  m g cos t ‬‬
‫‪p m‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ ‬נגזור את המשוואה הראשונה שוב לפי הזמן ונקבל‪ ,‬למעשה‪ ,‬את מש' אוילר‪:‬‬
‫‪q ‬‬
‫‪cos t ‬‬
‫‪g‬‬
‫‪q   2 q  g cos t   qt   A e  t  B e  t ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬נציב את תנאי ההתחלה ‪ q 0  0; q 0  0‬ונקבל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 t‬‬
‫; ‪qt   2 cosh  t   cos  t ‬‬
‫‪cosh  t   e  e  t‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬זוהי תנועה לא חסומה – המרחק יגדל אקספוננציאלית עם הזמן‪.‬‬
‫‪g‬‬
‫‪g‬‬
‫‪q 0   q0 ‬‬
‫‪ ‬ניתן למצוא תנאי התחלה מתאימים לתנועה חסומה‪ .‬אם‬
‫‪‬‬
‫‪g t‬‬
‫‪t‬‬
‫אז ‪ A = 0‬ו‪ q t   q 0 e  2 e  cos t  -‬אך פתרון זה אינו יציב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫‪‬‬
‫תרגול ‪ – 8‬פורמליזם המילטוני ומשוואות‬
‫המילטון‬
‫‪7‬‬
‫חלקיק על ישר משופע ‪ -‬השלמות‬
‫‪ ‬ההמילטוניאן אינו זהה לאנרגיה ושניהם אינם קבועים בזמן‪ ,‬משום שקיים‬
‫כוח מאלץ חיצוני שמסובב את ‪ AB‬ובכך משקיע אנרגיה במערכת‪.‬‬
‫‪dH‬‬
‫‪L‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬דוגמא‪ m g  h cos t   q sin t   0 :‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ ‬נבנה גרף של )‪q(t‬‬
‫‪q‬‬
‫ונראה שיש גידול‬
‫אקפוננציאלי‬
‫‪t‬‬
‫גרף של )‪( q(t‬בכחול) לעומת גרף של ‪( cosh‬ירוק) ושל ‪( cos‬אדום)‬
‫‪ ‬מהגרף רואים שיש לקוסינוס השפעה רק בסביבת הראשית‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 8‬פורמליזם המילטוני ומשוואות‬
‫המילטון‬
‫‪8‬‬