Transcript Lesson8.ppt
בס"ד
מכניקה קלאסית – תרגול מס' 8
הפורמליזם ההמילטוני
ומשוואות המילטון
משוואות המילטון
הגדרת ההמילטוניאן ע"פ טרנספורמציית לז'נדר:
L
H q , p , t pk q k L ; pk
)(1
qk
k
H
dH
L
מכאן משוואות המילטון:
p k
;
qk
dt
t
הדרך לעבור מניסוח לגרנז'י לניסוח המילטוני:
H
;
pk
q k
L
( pk שאר דרגות החופש קפואות)
א) להגדיר את התנע המוכלל לכל דרגת חופש
q k
ב) לכתוב את ההמילטוניאן לפי ( ,)1כרגע הוא עדיין תלוי בqk , q k , pk -
ג) לבטא עבור כל דרגת חופש את המהירות המוכללת q kדרך q , p
q
ד) להציב את תוצאות סעיף ג' לתוך ( .)1נקבל ביטוי התלוי ב , p -ואולי בזמן.
ה) לכתוב את משוואות המילטון ולפתור אותן.
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 8פורמליזם המילטוני ומשוואות
המילטון
2
חלקיק על-פני גליל
בעיה :לפתור את תנועתו של חלקיק בעל מסה mהמאולץ לנוע על-פני גליל
פתוח בעל רדיוס .Rהחלקיק קשור לראשית ע"י קפיץ בעל קבוע .k
m 2 2
T
במערכת גליליתR z 2 :
2
k 2 k 2
V r R z2
2
2
מכאן הלגרנז'יאן:
m 2 2
k 2
2
L
R z R z 2
2
2
pz
L
התנעים הינם:
pz
m z z
z
m
p
L
2
משתנה ציקלי:
p m R
2
mR
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 8פורמליזם המילטוני ומשוואות
המילטון
3
חלקיק על-פני גליל -סיום
m
k
ההמילטוניאןH p p z L R z R z E :
2
2
2
2
2
2
2
z
2
k 2
1 p
2
2
נחליף את המהירויות בתנעים ונקבל:
H
p
R
z
z
2
2
2 m R
p
מכאן משוואות המילטון; p 0 p const :
2
mR
pz
k
z
; p z k z z 2 z ,
m
m
זוהי משוואת אוסצילטור הרמוני שפתרונה z t A cos t 0
הפתרון יהיה סיבוב חופשי (במהירות זוויתית קבועה) בזווית ותנודות
הרמוניות בציר אנכי .Zאין השפעה הדדית בין שתי דרגות החופש (כגון
פוטנציאל אפקטיבי).
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 8פורמליזם המילטוני ומשוואות
המילטון
4
חלקיק על ישר משופע מסתובב
חלקיק בעל מסה mחופשי לנוע (תחת השפעת
כוח הכובד) על-פני מסלול ישר משופע AB .AB
מסתובב סביב הראשית על הציר OCשאורכו ,h
במהירות זוויתית קבועה .את מרחק החלקיק
מנקודה Cנסמן ב .q -תנאי ההתחלה הם:
0 0; q 0 0; q 0 0
המטרה :לחשב את ) q(tולבדוק האם האנרגיה נשמרת.
יש כאן שני אילוצים( :א) החלקיק נע על הישר – נבטא ע"י קואורדינטה .q
(ב) הישר מסתובב במהירות זוויתית קבועה ,איננה קואורדינטה אלא אילוץ.
מעתה נרשום בכל מקום 0 t t :
ההמילטוניאן תלוי מפורשות בזמן ולכן אינו נשמר באופן כללי.
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 8פורמליזם המילטוני ומשוואות
המילטון
5
המשך- חלקיק על ישר משופע
: נתחיל מקואורדינטות קרטזיות
x h sin t q cos t q sin t
x h cos t q sin t
y h sin t q cos t y h cos t q sin t q cos t
m
m 2 2
2
T x 2 y 2
q q h ; V m g h sin t q cos t
2
2
m 2 2
2
L
q q h m g h sin t q cos t : הלגרנז'יאן
2
L
p
p
m q h q h : התנע המוכלל יהיה
q
m
H p q L m q h q
m 2 2
2
q q h m g h sin t q cos t
2
p2
m 2q 2
H
h p
m g h sin t q cos t
2m
2
6
– פורמליזם המילטוני ומשוואות8 תרגול
המילטון
: וההמילטוניאן
סמסטר א' תשס"ד
חלקיק על ישר משופע -פתרון
נרשום את משוואות המילטון:
H
p
H
h ; p
m 2q m g cos t
p m
q
נגזור את המשוואה הראשונה שוב לפי הזמן ונקבל ,למעשה ,את מש' אוילר:
q
cos t
g
q 2 q g cos t qt A e t B e t
נציב את תנאי ההתחלה q 0 0; q 0 0ונקבל:
2
1 t
; qt 2 cosh t cos t
cosh t e e t
2
זוהי תנועה לא חסומה – המרחק יגדל אקספוננציאלית עם הזמן.
g
g
q 0 q0
ניתן למצוא תנאי התחלה מתאימים לתנועה חסומה .אם
g t
t
אז A = 0ו q t q 0 e 2 e cos t -אך פתרון זה אינו יציב.
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 8פורמליזם המילטוני ומשוואות
המילטון
7
חלקיק על ישר משופע -השלמות
ההמילטוניאן אינו זהה לאנרגיה ושניהם אינם קבועים בזמן ,משום שקיים
כוח מאלץ חיצוני שמסובב את ABובכך משקיע אנרגיה במערכת.
dH
L
דוגמא m g h cos t q sin t 0 :
dt
t
נבנה גרף של )q(t
q
ונראה שיש גידול
אקפוננציאלי
t
גרף של )( q(tבכחול) לעומת גרף של ( coshירוק) ושל ( cosאדום)
מהגרף רואים שיש לקוסינוס השפעה רק בסביבת הראשית.
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 8פורמליזם המילטוני ומשוואות
המילטון
8