Transcript lec15.ppt
תנודות
בספטמבר ,1985גלים סיסמיים
מרעידת אדמה בחוף המערבי של
מקסיקו גרמו להרס עצום בעיר
הבירה ,מרחק 400ק"מ ממרכז
הרעש.
מדוע גרמו הגלים הסיסמיים נזק
כה רב במקסיקו סיטי ונזק מועט
בדרך לשם?
תנודות
חיי יום-יום מלאים תנודות ,הן אלה הנראות לעין ,כמו תנודות של
נדנדת או מיתר גיטרה ,והן הבלתי-נראות כמו תנודות לחץ אוויר שבגל
קול ותנודות האלקטרונים באנטנה של משדרי ומקלטי רדיו וטלביזיה.
התנודות הללו דועכות עם הזמן ומעבירות את האנרגיה שלהם
דרך חיכוך או פיזור לאנרגיה תרמית של הסביבה או לקרינה .לכן,
לקיום התנודות יש לספק את האנרגיה בהתאם.
תנועה הרמונית פשוטה
אנחנו נעסוק בתנועה
מחזורית .מתוך כלל
התנועות מחזוריות,
נעסוק בתנועה הרמונית פשוטה.
h
h
2
1
לתנועה מחזורית מגדירים זמן מחזור ותדירות.
זמן מחזור :Tמשך זמן מחזור שלם אחד.
T = 1/f
תדירות :fמספר המחזורים בשנייה; . [f] = hertz
1 hertz = 1 Hz = 1 period/s = 1 s-1
כל תנועה הרמונית פשוטה היא תנועה מחזורית מיוחדת המתוארת
ע"י פונקציות הרמוניות -סינוס וקוסינוס.
בציור משמאל צילומים של גוף
הנע הלוך
ושוב בתנועה הרמונית פשוטה.
הציור מראה מיקומו ומהירותו של
הגוף בפרקי זמן שונים.
גרף מיקום הגוף כרצף בזמן:
) - x(tההעתק בזמן t
{
- wתדירות זוויתית
{
) x(t) x m cos(ωt f
{
{
- tזמן
{
- fקבוע
המופע
- Xmמשרעת
משרעת – קבוע חיובי הנותן את ההעתק המרבי של הגוף.
לשתי העקומות משרעות
שונות; שאר התנאים של
התנועה זהים.
האבר wt + fנקרא המופע של התנועה ,והקבוע fהוא קבוע
המופע או זווית המופע .הוא תלוי בתנאי ההתחלה של התנועה.
שני הקווים נבדלים בקבועי
המופע שלהם .לכחול קבוע
מופע אפס.
הקו האדום מפגר אחרי הכחול בשמינית מחזור משום שקבוע
המופע שלו הינו .-/4בשאר התנאים (משרעת ,תדירות) הקווים
זהים.
wהיא התדירות הזוויתית של התנועה2π ,
ω 2πf
כלומר מספר הרדיאנים לשנייה.
T
ω(t T) ωt 2π
לקו האדום
תדירות כפול זו
של הקו הכחול.
שאר התנאים
זהים.
תדירות כפולה משמעותה שבמשך הזמן שהגוף האדום עושה שתי
תנודות ,הכחול עושה אחת .המחזור של הגוף הכחול כפול זה של
האדום.
בתנועה הרמונית גם המהירות תלויה בזמן ולכן יש תאוצה.
dx(t) d
v(t)
) x m cos(ωt f
dt
dt
) ω x m sin(ωt f
משרעת ) v(tהיא ,wxmכלומר .–wxm ≥ v(t) ≥ wxmבין המהירות
להעתק הפרש מופע של ¼ מחזור.
)dv(t
2
2
a(t)
) ω x m cos(ωt f ) ω x(t
dt
התאוצה משתנה במשרעת .w2 xmויש הפרש מופע של חצי מחזור בין
) x(tל .a(t)-גודלה של התאוצה פרופורציוני להעתק וזהו סימן ההיכר
של ת.ה.פ.
הגרף משמאל מראה את ההעתק של
גוף שנע בת.ה.פ .עם קבוע מופע .0
מהירותו מופיעה בגרף השני .היא מפגרת
אחרי ההעתק
ב( ¾T -או מקדימה ב.)¼T-
לתאוצה קבוע מופע של . ±½Tהשיאים
שלה נופלים על השפלים שבהעתק ולהפך.
חוק הכוח עבור בת.ה.פ.
גוף ינוע בת.ה.פ .אם
פועל עליו כוח מנוגד פרופורציונית להעתקו:
d2x
m 2 F kx
dt
לדוגמה ,מסה מחוברת לקפיץ מבצעת ת.ה.פ .על פי חוק הוק .פתרון
משוואת התנועה:
) x(t) x m cos(ωt f
כאשר התדירות הזוויתית
המחזור
וזמןω k/m
T 2π m/k
אינם תלויים במשרעת .Xm
מערכות רבות בטבע מבצעות תנועה הרמונית.
.1גוף צף בנוזל ונמצא בשיווי משקל באיזון בין כוח הכובד mgוכוח
הציפה ( Bחוק ארכימדס) .דחיפה של הגוף לתוך הנוזל תגדיל את B
ולא תשנה את .mgהכוח השקול דוחף את הגוף לנקודת שיווי
המשקל והגוף מבצע ת.ה.פ.
.2צינור חלול בצורת Uחצי מלא נוזל .דחיפת הנוזל למטה בצד
ימין גורמת להגבהת עמוד הנוזל בצד שמאל .כתוצאה מכך,
משקל הנוזל בשמאל גדול ממשקל הנוזל בימין .נוצר כוח המחזיר
את המים לצד הנמוך והנוזל מבצע ת.ה.פ.
אנרגיה בת.ה.פ.
מצאנו כי כאשר פועל על גוף כוח מחזיר ,–kxהאנרגיה
הפוטנציאלית היא .½ kx2האנרגיה מתנדנדת בין אנרגיה קינטית
ופוטנציאלית.
) U(t) 1 kx 2 1 kx 2mcos2 (ωt f
2
2
{
1
2 1
2 2
2
) K(t) mv mω x m sin (ωt f
2
2 k
U(t) K(t) E
1 2
1 2
2
U(t) K(t) kx m cos (ωt f ) kx m sin 2 (ωt f )
2
2
1 2
kx m E
2
ת.ה.פ .זוויתית
במטולטלת פיתול ,התנועה ההרמונית הפשוטה היא תנועה זוויתית.
אם מסובבים את הדיסקוס ומוציאים אותה
משיווי משקל ,פועל מומנט פיתול במגמה
להחזירה לשיווי משקל.
קצה קבוע
מישור ייחוס
τ Iα kθ
k
2
α θ ω θ
I
תיל
מוט שאורכו Lומסתו mתלוי בקצהו בתיל דק .מודדים את זמן
המחזור Tשל מטולטלת זו .מנתקים את המוט ובמקומו מחברים
לתיל גוף .Xזמן המחזור של המטולטלת הוא .TXמהו מומנט
ההתמד של הגוף ?X
I
T 2π
k
IX
TX 2π
k
TX2
mL2 TX2
IX I 2
12 T 2
T
גוף X
L
מטוטלות
הכוח המחזיר במטוטלות הוא כוח הכובד ולא כוח אלסטי.
.1מטוטלת פשוטה (מטוטלת מתמטית):
קצה חוט מקובע בתקרה ולקצהו השני מחובר חלקיק שמסתו .m
החלקיק מתנדנד בתנועה מחזורית .האם התנועה היא ת.ה.פ?.
הכוחות הפועלים על המסה הם כוח הכובד Fg
והמתיחות .Tהרכיב
T
הרדיאלי Fgcos מקזז את המתיחות .Tהרכיב
m
המשיק
F cos
F
Fgsin יוצר את הפיתול המחזיר.
g
g
L
Fgsin
נקודת שיווי המשקל היא כמובן . = 0
הפיתול המחזיר:
τ LFgsinθ
משוואת התנועה:
Lmg sin θ
θ3 θ5 θ 7
כידוע,
sinθ θ
...
!3! 5! 7
עבור זוויות קטנות (וברדיאנים)
d 2θ
dt 2
L
I
T
m
F cos
g
Fg
Fgsin
sin
לדוגמה :אם = 5° = 0.0873אזי sin = 0.0872
ואם = 30° = 0.524אזי sin = 0.5
mgL
לכן
θ
α הוא קירוב טוב לזוויות קטנות
I
mgL
mgL
g
והתדירות הזוויתית היא
ω
I
L
mL2
.2מטוטלת פיסיקלית
במטוטלת אמיתית ,יש התחלקות של מסה וצריך להביאה בחשבון.
O
את המטוטלת שמסתה mומומנט ההתמד שלו
סביב מרכז המסה הוא ICMתולים בנקודה O
הנמצאת במרחק hממרכז
המסה .הפורמליזם זהה למקרה של מטוטלת
פשוטה.
IO I CM mh 2
IO
T 2π
mgh
h
CM
Fgcos
Fssin
Fg
mgh
ω
IO
בתנאי של משרעות קטנות ,שתי המטוטלות נעות בת.ה.פ.
פינגווין עומד על לוח שטוח שאורכו Lומסתו ,mהמחובר לציר
משמאלו ולקפיץ בעל קבוע כוח kמימינו .קפיצת
הפינגווין משאירה את הלוח והקפיץ
מתנדנדים בתנודות קטנות .מהו זמן
מחזור התנודות?
L
}
x
Iα τ Lkx L2 kθ
המומנט המחזיר הינו
2
2
mL
mL2
L
I
m
12
3
2
2
2
Lk
Lk
3k
ω
2
I
m
mL / 3
m
T 2π
3k
תנועה הרמונית דועכת
כמו כל תנועה ,ת.ה.פ .דועכת נוכח כוחות חיכוך .האנרגיה של
המערכת הנעה מתפזרת לאנרגיה תרמית של הסביבה.
כמודל לתנועה הרמונית דועכת ,נוסיף למשוואת התנועה כוח חיכוך
–bvכדלקמן:
ma bv kx
2
כלומר
והפתרון:
d x
dx
m 2 b
kx 0
dt
dt
) cos (ωt f
bt/2m
x(t) x me
הפתרון חייב לקיים את המשוואה .הצבתו במשוואה נותן את התדירות
הזוויתית:
2
k
b
ω'
m 4m 2
התדירות תלויה במקדם הדעיכה .bכשאין
דעיכה ( )b=0התדירות היא שוב
.
ω k/m
תנועה הרמונית מאולצת
אם מפעילים כוח חיצוני מחזורי ,בתדירות wdובמשרעת ,Fdעל
מערכת הנעה בת.ה.פ ,.אזי משוואת התנועה היא
2
d x
dx
m 2 b
kx Fd cosωd t
dt
dt
מהפתרון לומדים כי המשרעת היא מקסימלית כאשר wdמשתווה
לתדירות הטבעית wשל המערכת .זוהי עובדה מוכרת מחיי יום-יום.
אפשר לחלץ מכונית מחול או משלג על ידי תזמון דחיפות חוזרות
בקצב הטבעית שלה .משרעת התנודות עולה יחד עם מסירת אנרגיה
בתהודה (רזוננס) .
:פתרון המשוואה
x(t) x m cos(ωd t f )
xm
Fd
2 2
(k mωd )
כאשר
(bωd )
2
tan f
bωd
2
mωd
k
לכל המערכות המכניות תדירות טבעית אחת
או יותר כאשר הם מוצאות ממצב שיווי
משקל .אם ההעתק משיווי משקל הוא קטן,
המערכת מבצעת תנועה הרמונית.
את תלות האנרגיה הפוטנציאלית בהעתק xניתן לפתח לטור סביב
נקודת שיווי המשקל :a
2
dU
d
U
1
U(x) U(a) [ ]x a (x a) 2 [ 2 ]x a (x a) 2 ...
dx
dx
k
ואם |x–a|<<1מקבלים ת.ה.פ .עם הפוטנציאל
1
U(x) k(x a)2
2
כוח מאלץ חיצוני ,בתדירות שהיא מהתדירויות הטבעיות של
המערכת ,יכול לגרום אסון .כך היה במקסיקו סיטי .רעידת
אדמה בעוצמת 8.1בסולם ריכטר יצרה גל סיסמי חלש שלא הסב
נזק רב למוקד הרעש .אך מקסיקו סיטי ,במרחק 400ק"מ
מהמוקד ,בנויה על אדמה רכה שהייתה פעם תחתית אגם.
משרעת הגל הסיסמי התחזקה באדמה הרכה .התדירות הזוויתית
של הגל הסיסמי הייתה קרובה לתדירות הטבעית של בנינים
בגובה בינוני ,ובנינים אלו ניזוקו קשות-ואילו בנינים נמוכים יותר
(בתדר יותר גבוה) או גבוהים יותר (בתדר יותר נמוך) לא ניזוקו.