Transcript lec15.ppt

‫תנודות‬
‫בספטמבר ‪ ,1985‬גלים סיסמיים‬
‫מרעידת אדמה בחוף המערבי של‬
‫מקסיקו גרמו להרס עצום בעיר‬
‫הבירה‪ ,‬מרחק ‪ 400‬ק"מ ממרכז‬
‫הרעש‪.‬‬
‫מדוע גרמו הגלים הסיסמיים נזק‬
‫כה רב במקסיקו סיטי ונזק מועט‬
‫בדרך לשם?‬
‫תנודות‬
‫חיי יום‪-‬יום מלאים תנודות‪ ,‬הן אלה הנראות לעין‪ ,‬כמו תנודות של‬
‫נדנדת או מיתר גיטרה‪ ,‬והן הבלתי‪-‬נראות כמו תנודות לחץ אוויר שבגל‬
‫קול ותנודות האלקטרונים באנטנה של משדרי ומקלטי רדיו וטלביזיה‪.‬‬
‫התנודות הללו דועכות עם הזמן ומעבירות את האנרגיה שלהם‬
‫דרך חיכוך או פיזור לאנרגיה תרמית של הסביבה או לקרינה‪ .‬לכן‪,‬‬
‫לקיום התנודות יש לספק את האנרגיה בהתאם‪.‬‬
‫תנועה הרמונית פשוטה‬
‫אנחנו נעסוק בתנועה‬
‫מחזורית‪ .‬מתוך כלל‬
‫התנועות מחזוריות‪,‬‬
‫נעסוק בתנועה הרמונית פשוטה‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫לתנועה מחזורית מגדירים זמן מחזור ותדירות‪.‬‬
‫זמן מחזור ‪ :T‬משך זמן מחזור שלם אחד‪.‬‬
‫‪T = 1/f‬‬
‫תדירות ‪ :f‬מספר המחזורים בשנייה; ‪. [f] = hertz‬‬
‫‪1 hertz = 1 Hz = 1 period/s = 1 s-1‬‬
‫כל תנועה הרמונית פשוטה היא תנועה מחזורית מיוחדת המתוארת‬
‫ע"י פונקציות הרמוניות ‪ -‬סינוס וקוסינוס‪.‬‬
‫בציור משמאל צילומים של גוף‬
‫הנע הלוך‬
‫ושוב בתנועה הרמונית פשוטה‪.‬‬
‫הציור מראה מיקומו ומהירותו של‬
‫הגוף בפרקי זמן שונים‪.‬‬
‫גרף מיקום הגוף כרצף בזמן‪:‬‬
‫)‪ - x(t‬ההעתק בזמן ‪t‬‬
‫{‬
‫‪ - w‬תדירות זוויתית‬
‫{‬
‫) ‪x(t)  x m cos(ωt  f‬‬
‫{‬
‫{‬
‫‪ - t‬זמן‬
‫{‬
‫‪ - f‬קבוע‬
‫המופע‬
‫‪ - Xm‬משרעת‬
‫משרעת – קבוע חיובי הנותן את ההעתק המרבי של הגוף‪.‬‬
‫לשתי העקומות משרעות‬
‫שונות; שאר התנאים של‬
‫התנועה זהים‪.‬‬
‫האבר ‪ wt + f‬נקרא המופע של התנועה‪ ,‬והקבוע ‪ f‬הוא קבוע‬
‫המופע או זווית המופע‪ .‬הוא תלוי בתנאי ההתחלה של התנועה‪.‬‬
‫שני הקווים נבדלים בקבועי‬
‫המופע שלהם‪ .‬לכחול קבוע‬
‫מופע אפס‪.‬‬
‫הקו האדום מפגר אחרי הכחול בשמינית מחזור משום שקבוע‬
‫המופע שלו הינו ‪ .-/4‬בשאר התנאים (משרעת‪ ,‬תדירות) הקווים‬
‫זהים‪.‬‬
‫‪ w‬היא התדירות הזוויתית של התנועה‪2π ,‬‬
‫‪ω  2πf ‬‬
‫כלומר מספר הרדיאנים לשנייה‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ω(t  T)  ωt  2π‬‬
‫לקו האדום‬
‫תדירות כפול זו‬
‫של הקו הכחול‪.‬‬
‫שאר התנאים‬
‫זהים‪.‬‬
‫תדירות כפולה משמעותה שבמשך הזמן שהגוף האדום עושה שתי‬
‫תנודות‪ ,‬הכחול עושה אחת‪ .‬המחזור של הגוף הכחול כפול זה של‬
‫האדום‪.‬‬
‫בתנועה הרמונית גם המהירות תלויה בזמן ולכן יש תאוצה‪.‬‬
‫‪dx(t) d‬‬
‫‪v(t) ‬‬
‫) ‪ x m cos(ωt  f‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫) ‪ ω x m sin(ωt  f‬‬
‫משרעת )‪ v(t‬היא ‪ ,wxm‬כלומר ‪ .–wxm ≥ v(t) ≥ wxm‬בין המהירות‬
‫להעתק הפרש מופע של ¼ מחזור‪.‬‬
‫)‪dv(t‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a(t) ‬‬
‫)‪ ω x m cos(ωt  f )  ω x(t‬‬
‫‪dt‬‬
‫התאוצה משתנה במשרעת ‪ .w2 xm‬ויש הפרש מופע של חצי מחזור בין‬
‫)‪ x(t‬ל‪ .a(t)-‬גודלה של התאוצה פרופורציוני להעתק וזהו סימן ההיכר‬
‫של ת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫הגרף משמאל מראה את ההעתק של‬
‫גוף שנע בת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬עם קבוע מופע ‪.0‬‬
‫מהירותו מופיעה בגרף השני‪ .‬היא מפגרת‬
‫אחרי ההעתק‬
‫ב‪( ¾T -‬או מקדימה ב‪.)¼T-‬‬
‫לתאוצה קבוע מופע של ‪ . ±½T‬השיאים‬
‫שלה נופלים על השפלים שבהעתק ולהפך‪.‬‬
‫חוק הכוח עבור בת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫גוף ינוע בת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬אם‬
‫פועל עליו כוח מנוגד פרופורציונית להעתקו‪:‬‬
‫‪d2x‬‬
‫‪m 2  F   kx‬‬
‫‪dt‬‬
‫לדוגמה‪ ,‬מסה מחוברת לקפיץ מבצעת ת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬על פי חוק הוק‪ .‬פתרון‬
‫משוואת התנועה‪:‬‬
‫) ‪x(t)  x m cos(ωt  f‬‬
‫כאשר התדירות הזוויתית‬
‫המחזור‬
‫וזמן‪ω  k/m‬‬
‫‪T  2π m/k‬‬
‫אינם תלויים במשרעת ‪.Xm‬‬
‫מערכות רבות בטבע מבצעות תנועה הרמונית‪.‬‬
‫‪ .1‬גוף צף בנוזל ונמצא בשיווי משקל באיזון בין כוח הכובד ‪ mg‬וכוח‬
‫הציפה ‪( B‬חוק ארכימדס)‪ .‬דחיפה של הגוף לתוך הנוזל תגדיל את ‪B‬‬
‫ולא תשנה את ‪ .mg‬הכוח השקול דוחף את הגוף לנקודת שיווי‬
‫המשקל והגוף מבצע ת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫‪ .2‬צינור חלול בצורת ‪ U‬חצי מלא נוזל‪ .‬דחיפת הנוזל למטה בצד‬
‫ימין גורמת להגבהת עמוד הנוזל בצד שמאל‪ .‬כתוצאה מכך‪,‬‬
‫משקל הנוזל בשמאל גדול ממשקל הנוזל בימין‪ .‬נוצר כוח המחזיר‬
‫את המים לצד הנמוך והנוזל מבצע ת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫אנרגיה בת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫מצאנו כי כאשר פועל על גוף כוח מחזיר ‪ ,–kx‬האנרגיה‬
‫הפוטנציאלית היא ‪ .½ kx2‬האנרגיה מתנדנדת בין אנרגיה קינטית‬
‫ופוטנציאלית‪.‬‬
‫) ‪U(t)  1 kx 2  1 kx 2mcos2 (ωt  f‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫{‬
‫‪1‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪K(t)  mv  mω x m sin (ωt  f‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 k‬‬
‫‪U(t)  K(t)  E‬‬
1 2
1 2
2
U(t)  K(t)  kx m cos (ωt  f )  kx m sin 2 (ωt  f )
2
2
1 2
 kx m  E
2
‫ת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬זוויתית‬
‫במטולטלת פיתול‪ ,‬התנועה ההרמונית הפשוטה היא תנועה זוויתית‪.‬‬
‫אם מסובבים את הדיסקוס ומוציאים אותה‬
‫משיווי משקל‪ ,‬פועל מומנט פיתול במגמה‬
‫להחזירה לשיווי משקל‪.‬‬
‫קצה קבוע‬
‫מישור ייחוס‬
‫‪τ  Iα  kθ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪α   θ  ω θ‬‬
‫‪I‬‬
‫תיל‬
‫מוט שאורכו ‪ L‬ומסתו ‪ m‬תלוי בקצהו בתיל דק‪ .‬מודדים את זמן‬
‫המחזור ‪ T‬של מטולטלת זו‪ .‬מנתקים את המוט ובמקומו מחברים‬
‫לתיל גוף ‪ .X‬זמן המחזור של המטולטלת הוא ‪ .TX‬מהו מומנט‬
‫ההתמד של הגוף ‪?X‬‬
‫‪I‬‬
‫‪T  2π‬‬
‫‪k‬‬
‫‪IX‬‬
‫‪TX  2π‬‬
‫‪k‬‬
‫‪TX2‬‬
‫‪mL2 TX2‬‬
‫‪IX  I 2 ‬‬
‫‪12 T 2‬‬
‫‪T‬‬
‫גוף ‪X‬‬
‫‪L‬‬
‫מטוטלות‬
‫הכוח המחזיר במטוטלות הוא כוח הכובד ולא כוח אלסטי‪.‬‬
‫‪ .1‬מטוטלת פשוטה (מטוטלת מתמטית)‪:‬‬
‫קצה חוט מקובע בתקרה ולקצהו השני מחובר חלקיק שמסתו ‪.m‬‬
‫החלקיק מתנדנד בתנועה מחזורית‪ .‬האם התנועה היא ת‪.‬ה‪.‬פ‪?.‬‬
‫הכוחות הפועלים על המסה הם כוח הכובד ‪Fg‬‬
‫והמתיחות ‪ .T‬הרכיב‬
‫‪T‬‬
‫הרדיאלי ‪ Fgcos ‬מקזז את המתיחות ‪ .T‬הרכיב‬
‫‪m‬‬
‫המשיק‬
‫‪ F cos‬‬
‫‪F‬‬
‫‪ Fgsin ‬יוצר את הפיתול המחזיר‪.‬‬
‫‪g‬‬
‫‪g‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪Fgsin‬‬
‫נקודת שיווי המשקל היא כמובן ‪. = 0‬‬
‫הפיתול המחזיר‪:‬‬
‫‪τ  LFgsinθ‬‬
‫משוואת התנועה‪:‬‬
‫‪  Lmg sin θ‬‬
‫‪θ3 θ5 θ 7‬‬
‫כידוע‪,‬‬
‫‪sinθ  θ  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ...‬‬
‫!‪3! 5! 7‬‬
‫עבור זוויות קטנות (וברדיאנים)‬
‫‪d 2θ‬‬
‫‪dt 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪I‬‬
‫‪T‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ F cos‬‬
‫‪g‬‬
‫‪Fg‬‬
‫‪Fgsin‬‬
‫‪sin   ‬‬
‫לדוגמה‪ :‬אם ‪  = 5° = 0.0873‬אזי ‪sin  = 0.0872‬‬
‫ואם ‪  = 30° = 0.524‬אזי ‪sin  = 0.5‬‬
‫‪mgL‬‬
‫לכן‬
‫‪θ‬‬
‫‪ α  ‬הוא קירוב טוב לזוויות קטנות‬
‫‪I‬‬
‫‪mgL‬‬
‫‪mgL‬‬
‫‪g‬‬
‫והתדירות הזוויתית היא‬
‫‪ω‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪I‬‬
‫‪L‬‬
‫‪mL2‬‬
‫‪ .2‬מטוטלת פיסיקלית‬
‫במטוטלת אמיתית‪ ,‬יש התחלקות של מסה וצריך להביאה בחשבון‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪‬‬
‫את המטוטלת שמסתה ‪ m‬ומומנט ההתמד שלו‬
‫סביב מרכז המסה הוא ‪ ICM‬תולים בנקודה ‪O‬‬
‫הנמצאת במרחק ‪ h‬ממרכז‬
‫המסה‪ .‬הפורמליזם זהה למקרה של מטוטלת‬
‫פשוטה‪.‬‬
‫‪IO  I CM  mh 2‬‬
‫‪IO‬‬
‫‪T  2π‬‬
‫‪mgh‬‬
‫‪h‬‬
‫‪CM‬‬
‫‪Fgcos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Fssin ‬‬
‫‪Fg‬‬
‫‪mgh‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪IO‬‬
‫בתנאי של משרעות קטנות‪ ,‬שתי המטוטלות נעות בת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫פינגווין עומד על לוח שטוח שאורכו ‪ L‬ומסתו ‪ ,m‬המחובר לציר‬
‫משמאלו ולקפיץ בעל קבוע כוח ‪ k‬מימינו‪ .‬קפיצת‬
‫הפינגווין משאירה את הלוח והקפיץ‬
‫מתנדנדים בתנודות קטנות‪ .‬מהו זמן‬
‫מחזור התנודות?‬
‫‪L‬‬
‫}‬
‫‪x‬‬
‫‪Iα  τ  Lkx  L2 kθ‬‬
‫המומנט המחזיר הינו‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mL‬‬
‫‪mL2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪I‬‬
‫‪ m  ‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪Lk‬‬
‫‪Lk‬‬
‫‪3k‬‬
‫‪ω‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪I‬‬
‫‪m‬‬
‫‪mL / 3‬‬
‫‪m‬‬
‫‪T  2π‬‬
‫‪3k‬‬
‫תנועה הרמונית דועכת‬
‫כמו כל תנועה‪ ,‬ת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬דועכת נוכח כוחות חיכוך‪ .‬האנרגיה של‬
‫המערכת הנעה מתפזרת לאנרגיה תרמית של הסביבה‪.‬‬
‫כמודל לתנועה הרמונית דועכת‪ ,‬נוסיף למשוואת התנועה כוח חיכוך‬
‫‪ –bv‬כדלקמן‪:‬‬
‫‪ma   bv  kx‬‬
‫‪2‬‬
‫כלומר‬
‫והפתרון‪:‬‬
‫‪d x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪m 2 b‬‬
‫‪ kx  0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫) ‪cos (ωt  f‬‬
‫‪bt/2m‬‬
‫‪x(t)  x me‬‬
‫הפתרון חייב לקיים את המשוואה‪ .‬הצבתו במשוואה נותן את התדירות‬
‫הזוויתית‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ω' ‬‬
‫‪‬‬
‫‪m 4m 2‬‬
‫התדירות תלויה במקדם הדעיכה ‪ .b‬כשאין‬
‫דעיכה (‪ )b=0‬התדירות היא שוב‬
‫‪.‬‬
‫‪ω  k/m‬‬
‫תנועה הרמונית מאולצת‬
‫אם מפעילים כוח חיצוני מחזורי‪ ,‬בתדירות ‪ wd‬ובמשרעת ‪ ,Fd‬על‬
‫מערכת הנעה בת‪.‬ה‪.‬פ‪ ,.‬אזי משוואת התנועה היא‬
‫‪2‬‬
‫‪d x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪m 2 b‬‬
‫‪ kx  Fd cosωd t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫מהפתרון לומדים כי המשרעת היא מקסימלית כאשר ‪ wd‬משתווה‬
‫לתדירות הטבעית ‪ w‬של המערכת‪ .‬זוהי עובדה מוכרת מחיי יום‪-‬יום‪.‬‬
‫אפשר לחלץ מכונית מחול או משלג על ידי תזמון דחיפות חוזרות‬
‫בקצב הטבעית שלה‪ .‬משרעת התנודות עולה יחד עם מסירת אנרגיה‬
‫בתהודה (רזוננס) ‪.‬‬
:‫פתרון המשוואה‬
x(t)  x m cos(ωd t  f )
xm 
Fd
2 2
(k  mωd )
‫כאשר‬
 (bωd )
2
tan f 
bωd
2
mωd
k
‫לכל המערכות המכניות תדירות טבעית אחת‬
‫או יותר כאשר הם מוצאות ממצב שיווי‬
‫משקל‪ .‬אם ההעתק משיווי משקל הוא קטן‪,‬‬
‫המערכת מבצעת תנועה הרמונית‪.‬‬
‫את תלות האנרגיה הפוטנציאלית בהעתק ‪ x‬ניתן לפתח לטור סביב‬
‫נקודת שיווי המשקל ‪:a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dU‬‬
‫‪d‬‬
‫‪U‬‬
‫‪1‬‬
‫‪U(x)  U(a)  [ ]x a (x  a)  2 [ 2 ]x a (x  a) 2  ...‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪k‬‬
‫ואם ‪ |x–a|<<1‬מקבלים ת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬עם הפוטנציאל‬
‫‪1‬‬
‫‪U(x)  k(x  a)2‬‬
‫‪2‬‬
‫כוח מאלץ חיצוני‪ ,‬בתדירות שהיא מהתדירויות הטבעיות של‬
‫המערכת‪ ,‬יכול לגרום אסון‪ .‬כך היה במקסיקו סיטי‪ .‬רעידת‬
‫אדמה בעוצמת ‪ 8.1‬בסולם ריכטר יצרה גל סיסמי חלש שלא הסב‬
‫נזק רב למוקד הרעש‪ .‬אך מקסיקו סיטי‪ ,‬במרחק ‪ 400‬ק"מ‬
‫מהמוקד‪ ,‬בנויה על אדמה רכה שהייתה פעם תחתית אגם‪.‬‬
‫משרעת הגל הסיסמי התחזקה באדמה הרכה‪ .‬התדירות הזוויתית‬
‫של הגל הסיסמי הייתה קרובה לתדירות הטבעית של בנינים‬
‫בגובה בינוני‪ ,‬ובנינים אלו ניזוקו קשות‪-‬ואילו בנינים נמוכים יותר‬
‫(בתדר יותר גבוה) או גבוהים יותר (בתדר יותר נמוך) לא ניזוקו‪.‬‬