Transcript Harmonic oscillator.,

‫הרצאה ‪11‬‬
‫תנועה הרמונית‬
‫תנועה מחזורית ‪ :‬לכל נקודה ונקודה‪:‬‬
‫𝑻‪𝒙 𝒕 =𝒙 𝒕+‬‬
‫זמן המחזור – ‪ – T‬הפרש הזמנים בין שני מצבים סמוכים של שווין המיקום של הגוף‪.‬‬
‫𝑻‪𝒗 𝒕 =𝒗 𝒕+‬‬
‫𝑻‪𝒂 𝒕 = 𝒂 𝒕+‬‬
‫תנועה הרמונית היא מקרה פרטי של תנועה מחזורית שבו הכוח השקול‬
‫הפועל על הגוף הוא לינארי בהעתק מנקודת שיווי המשקל ומחזיר את הגוף לשיווי המשקל‪:‬‬
‫𝒙𝑪‪𝑭 = −‬‬
‫משוואת תנועה הרמונית פשוטה‬
‫• צורתה הכללית של משוואה המתארת תנועה הרמונית פשוטה של‬
‫המסה ‪ m‬היא‪:‬‬
‫𝐶‬
‫𝑥 ‪−‬‬
‫𝑚‬
‫•‬
‫=‬
‫𝑥 ‪𝑑2‬‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫• ‪ C‬היא קבוע שתלוי בתכונות של המערכת‪.‬‬
‫הוא‪𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑡:‬‬
‫• הפתרון של המשוואה𝜑 ‪+‬‬
‫• כאשר‬
‫𝑪‬
‫𝒎‬
‫= 𝝎 היא התדירות הזוויתית של התנועה‪ – A ,‬משרעת‬
‫• (אמפליטודת) התנועה – היא ההעתק הגדול ביותר של המסה מנקודת‬
‫שיווי המשקל‪ – 𝝋 , 𝒙𝒎𝒂𝒙 = 𝑨 :‬זווית המופע (הפאזה) ההתחלתית –‬
‫היא קובעת את מצבה ההתחלתי של המסה‪.‬‬
‫• פרמטרים ‪ A‬ו‪ 𝝋 -‬נקבעו על‪-‬פי מצב המערכת בתחילת התנועה‪.‬‬
‫משוואת תנועה הרמונית פשוטה (המשך)‬
‫• מחזור התנועה‪:‬‬
‫𝝅𝟐‬
‫𝝎‬
‫= 𝑻 וקשר בין תדירות התנודות ‪ f‬לבין‬
‫𝝎‬
‫𝝅𝟐‬
‫התדירות הזוויתית הוא‪:‬‬
‫=‬
‫𝟏‬
‫𝑻‬
‫=𝒇‬
‫• מהירות של המסה בתנועה הרמונית היא‪:‬‬
‫𝜑 ‪= −𝝎𝑨 sin 𝜔𝑡 +‬‬
‫•‬
‫𝒙𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫=𝒗‬
‫• והתאוצה‪= −𝝎𝟐 𝑨 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 = −𝝎𝟐 𝒙 :‬‬
‫𝒗𝒅‬
‫𝒕𝒅‬
‫=𝒂‬
‫• אם ב‪ t=0-‬המיקום והמהירות ההתחלתית של הגוף הם‪ x0 :‬ו‪, v0-‬‬
‫הפרמטרים ‪ A‬ו‪ 𝝋 -‬נקבעו על‪-‬פי הנוסחאות‪:‬‬
‫•‬
‫𝟎𝒗‬
‫𝝎 𝟎𝒙‬
‫𝟏‪− tan−‬‬
‫= 𝝋 𝑑𝑛𝑎‬
‫𝟐 𝟎𝒗‬
‫𝟐𝝎‬
‫𝟐‬
‫‪𝒙𝟎 +‬‬
‫=𝑨‬
‫תיאור גרפי של תנועה הרמונית פשוטה‬
‫• גרפים של 𝒕 𝒂‪𝒙 𝒕 ,𝒗 𝒕 ,‬‬
‫תנועה הרמונית פשוטה‪ :‬דוגמה ‪1‬‬
‫• גוף מחובר לקפיץ על שולחן חלק אופקי‬
‫𝑘≡𝐶‬
‫𝑥‪𝑑2‬‬
‫𝑘‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫𝑥‬
‫‪𝑑𝑡 2‬‬
‫𝑚‬
‫𝑘‬
‫𝑚‬
‫=𝜔‬
‫אנרגיה בתנועה הרמונית‬
‫• אנרגיה קינטית של הגוף‬
‫המחובר לקפיץ ואנרגיה‬
‫פוטנציאלית של הקפיץ‪:‬‬
‫תנועה הרמונית פשוטה‪ :‬דוגמה ‪2‬‬
‫• מטוטלת מתמטית‪:‬‬
‫• אם זווית מקסימלית בתנודה קטנה‪:‬‬
‫𝜽 ≈ 𝜽 ‪: sin‬‬
‫תנועה הרמונית פשוטה‪ :‬דוגמה ‪3‬‬
‫• מטוטלת פיסיקאלית‬
‫• אם זווית מקסימלית בתנודה קטנה‪:‬‬
‫• 𝜽 ≈ 𝜽 ‪: sin‬‬
‫תנועה הרמונית פשוטה‪ :‬דוגמה ‪4‬‬
‫תנועה הרמונית פשוטה‪ :‬דוגמה ‪5‬‬
‫חילופי אנרגיה במערכת מסה‪-‬קפיץ ובמטוטלת‬
‫תנודות של אטומים במולקולה‬
‫• אטומים במולקולה קשורים בכוחות שמחזירים אותם במצב שיווי‬
‫המשקל בכל סטייה ממנו‪ .‬בסטיות קטנות תנועה של אטומים כמעת‬
‫הרמונית‬
‫תנועה הרמונית מרוסנת‬
‫• הדוגמה לתנועה מרוסנת‪ :‬תנועה תחת השפעת כוח גרר‪:‬‬
‫הפתרון של משוואת התנועה‪:‬‬
‫תנועה הרמונית מאולצת‬
‫• כוח חיצוני פועל על הגוף אשר מבצע תנודות עם התדירות זוויתית 𝜔‪:‬‬
‫• הפתרון של המשווה הוא‪:‬‬
‫• המערכת מבצעת תנודות עם תדירות הכוח‬
‫החיצוני‪ .‬אם התדירות קרובה לתדירות‬
‫הטבעית של המערכת 𝟎𝝎 ‪ ,‬אמפליטודה עולה (תהודה)‪.‬‬