Transcript lnotes15.ppt

‫תנודות‬
‫ב‪ 19‬לספטמבר ‪ 1985‬גלים סיסמיים‬
‫מרעידת אדמה שמרכזם לאורך החוף‬
‫המערבי של מקסיקו גרמו להרס עצום‬
‫בעיר הבירה‪ ,‬במרחק ‪ 400‬ק"מ ממרכז‬
‫הרעש‪.‬‬
‫מדוע גרמו הגלים הסיסמיים נזק כה‬
‫גדול במקסיקו סיטי ונזק קטן מאוד‬
‫בדרך לשם?‬
‫תנודות‬
‫חיי יום‪-‬יום מלאים תנודות‪ .‬נברשות מתנדנדות‪ ,‬סירות נעות בנמל לתנועת‬
‫הגלים‪ ,‬בוכנות נעות הלוך וחזור במנוע‪ ,‬מיתרי גיטרה‪ ,‬תנועת הדיאפרגמה‬
‫בטלפון ורמקול וגם התנודות של גביש הקוורץ בשעון יד‪.‬‬
‫תנודות אחרות שאינן מובנות מאליו הם תנודות מולקולות האוויר המעבירות‬
‫את תחושת הקול‪ ,‬תנודות האטומים במוצקים המעניקות את תחושת החום‬
‫ותנודות האלקטרונים באנטנה של משדרי ומקלטי רדיו וטלביזיה‪.‬‬
‫כל התנודות הללו הם תנודות מרוסנות‪ .‬כלומר הם דועכות עם הזמן‬
‫ומעבירות את האנרגיה שלהם לאנרגיה תרמית של הסביבה‪ .‬לקיום התנועה‬
‫יש לספק את האנרגיה הזאת למערכת‪.‬‬
‫תנועה הרמונית פשוטה‬
‫לא כל תנועה מחזורית היא תנועה‬
‫הרמונית‪ .‬גוף שנע בתנועה מחזורית על‬
‫‪h‬‬
‫‪h‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫המישורים המשופעים חסרי חיכוך שמשמאל אינם מבצעים תנועה‬
‫הרמונית‪.‬‬
‫בכל תנועה מחזורית מגדירים זמן מחזור ותדירות‪.‬‬
‫תדירות ‪ – f‬מספר התנודות בשניה‪[f] = hertz .‬‬
‫‪1 hertz = 1Hz = 1 oscillation / sec = 1 sec-1‬‬
‫זמן מחזור ‪ -T‬משך הזמן להשלמת תנודה אחת‪.‬‬
‫‪T = 1/f‬‬
‫כל תנועה הרמונית היא תנועה מחזורית‪ .‬היא קרויה הרמונית כיון שהיא‬
‫מתוארת ע"י פונקציות הרמוניות כגון סינוס וקוסינוס‪ .‬לכן לא כל תנועה‬
‫מחזורית היא תנועה הרמונית‪.‬‬
‫התמונה משמאל מראה רצף של צילומים‬
‫של חלקיק הנע הלוך ושוב בתנועה‬
‫הרמונית פשוטה‪.‬‬
‫הציור מראה את מיקומו ומהירותו של‬
‫החלקיק בפרקי זמן שונים‪.‬‬
‫תאור מיקומו של החלקיק כפונקציה של‬
‫הזמן ניתן בתיאור הגרפי מימין‪.‬‬
‫התנועה נקראת תנועה הרמונית פשוטה (ת‪.‬ה‪.‬פ‪ ).‬כיון שהיא מתוארת ע"י‬
‫ההעתק‬
‫בזמן ‪t‬‬
‫{‬
‫תדירות מעגלית‬
‫{‬
‫)‪x(t )  xm cos(t  ‬‬
‫{‬
‫{‬
‫זמן‬
‫{‬
‫זווית המופע‬
‫משרעת‬
‫משרעת – קבוע חיובי הנותן את ההעתק המקסימלי של הגוף‪ .‬ת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫מאופיינת בכך שהמשרעת אינה תלויה בתדירות התנודות‪.‬‬
‫שתי העקומות הם בעלות‬
‫משרעות שונות‪ .‬שאר התנאים‬
‫של התנועה זהים‪.‬‬
‫האבר ‪ t + ‬נקרא המופע של התנועה‪ ,‬והקבוע ‪ ‬הוא קבוע המופע או‬
‫זווית המופע‪ .‬זווית המופע תלויה בתנאי ההתחלה של התנועה‪ ,‬כלומר‬
‫במיקום הגוף ומהירותו‪.‬‬
‫שני הגרפים נבדלים בזוויות‬
‫המופע שלהם‪ .‬הכחול הוא בעל‬
‫זווית מופע של אפס‪.‬‬
‫(ההעתק מקסימלי בתחילת התנועה)‪ .‬הגרף האדום מפגר אחרי הכחול‬
‫בזווית מופע של ‪ .-/4‬כלומר הגרפים מוזזים אחד מהשני בזווית הנ"ל‪ .‬אנו‬
‫אומרים שהגוף האדום מפגר אחרי הכחול ברבע מחזור‪.‬‬
‫) ‪x( t  T )  x( t‬‬
‫‪ ‬היא התדירות המעגלית של התנועה‪.‬‬
‫‪x cos[‬‬
‫‪( t  T )]  x cos t‬‬
‫התנועה היא תנועה מחזורית‪ .‬כלומר‬
‫‪( t  T )  t  2‬‬
‫חוזרת על עצמה אחרי כל מחזור‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2f‬‬
‫‪T‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫הגרף האדום מתאר‬
‫תנועה הרמונית בתדירות‬
‫כפולה מאשר הגרף‬
‫הכחול‪.‬‬
‫תדירות כפולה משמעותה שבמשך הזמן שהגוף האדום עושה שתי תנודות‪,‬‬
‫הכחול עושה רק אחת‪ .‬זמן התנודה של הגוף הכחול כפול מזה של האדום‪.‬‬
‫לגוף שהעתקו תלוי בזמן יש מהירות‪ .‬בתנועה הרמונית גם המהירות תלויה‬
‫בזמן ולכן יש לו תאוצה‪.‬‬
‫‪dx( t ) d‬‬
‫‪v( t ) ‬‬
‫) ‪ x m cos( t  ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫) ‪v( t )  x m sin( t  ‬‬
‫משרעת המהירות היא ‪ .xm‬המהירות משתנה בין‬
‫היא בהפרש מופע של ¼ מחזור מההעתק‪.‬‬
‫‪ .± xm‬המהירות‬
‫) ‪dv( t‬‬
‫‪a( t ) ‬‬
‫) ‪ 2 x m cos( t  ‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪a( t )   x‬‬
‫‪2‬‬
‫התאוצה משתנה בין ‪ .±  2 xm‬היא מוזזת בחצי מחזור ביחס ההעתק‬
‫וברבע מחזור ביחס למהירות‪ .‬גודלה פרופורציוני להעתק וזה סימן ההיכר‬
‫של ת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫הגרף משמאל מראה את ההעתק של גוף‬
‫שנע בת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬כאשר זווית המופע שלו היא ‪.0‬‬
‫מהירותו ניתנת בגרף השני‪ .‬היא מפגרת ב‪-‬‬
‫‪( ¾T‬או מקדימה ב‪ )¼T -‬את ההעתק‪.‬‬
‫התאוצה היא בזווית מופע הפוכה להעתק‪.‬‬
‫כשההעתק ‪ 0‬גם התאוצה ‪ .0‬אבל‬
‫כשההעתק מקסימלי‪ ,‬ההעתק מינימלי‬
‫(בכיוון הפוך)‪.‬‬
‫חוק הכוח עבור בת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫גוף ינוע בת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬אם פועל עליו כוח המנוגד‪ ,‬ופרופורציוני להעתקו‪( .‬חוק‬
‫הוק)‬
‫זוהי משוואת התנועה‪ .‬פתרונה יהיה פונקציה תלויה‬
‫‪F  kx‬‬
‫בזמן שהנגזרת השניה שלה פרופורציונית לפונקציה‬
‫‪2‬‬
‫‪ m d x   kx‬עצמה‪ .‬הפתרון ניתן בתחילת הפרק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫המסה המחוברת לקפיץ מבצעת ת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫‪F  ma  (m ) x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k  m‬‬
‫זמן המחזור‬
‫תדירותה‬
‫המעגלית‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫בלתי תלויות‬
‫במשרעת‬
‫‪m‬‬
‫‪T  2‬‬
‫‪k‬‬
‫הרבה מערכות בטבע מבצעות תנועה הרמונית‪ .‬התנועה מרוסנת כיון שאין‬
‫אפשרות להיפטר מהחיכוך‪ .‬אבל בעיקרו של דבר התנועה תהיה ת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬אם‬
‫נתעלם מהחיכוך‪.‬‬
‫‪ .1‬גוף צף בנוזל ונמצא בשיווי משקל הודות לאיזון בין הגרביטציה ‪ mg‬וכוח‬
‫הציפה ‪( .B‬חוק ארכימדס)‪ .‬דחיפה של הגוף לתוך המים תגדיל את ‪ B‬ולא‬
‫תשנה את ‪ .mg‬התוצאה היא כוח מחזיר לנקודת שיווי המשקל‪ .‬ניתוח מדויק‬
‫מראה שהגוף מבצע ת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫‪ .2‬בצינור חלול בצורת ‪ U‬מלא בחלקו בנוזל‪ .‬גובה הנוזל בשתי הזרועות‬
‫שווה‪ .‬דחיפת הנוזל למטה בצד ימין גורמת להגבהת עמוד הנוזל בצד שמאל‪.‬‬
‫כתוצאה מכך משקל הנוזל בשמאל גדול ממשקל המים בימין‪ .‬נוצר כוח‬
‫המחזיר את המים לצד הנמוך‪ .‬גם זוהי ת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫אנרגיה בת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫מצאנו כי אם על חלקיק פועל כוח מחזיר ‪ -kx‬האנרגיה הפוטנציאלית שלו‬
‫היא ‪ .½ k x2‬האנרגיה מתנדנדת בין אנרגיה קינטית ופוטנציאלית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪U (t )  kx  kx m cos (t  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫{‬
‫‪1 2 1‬‬
‫)‪K (t )  mv  m 2 x m2 sin 2 (t  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 k‬‬
‫‪1 2‬‬
‫)‪K (t )  kxm sin 2 (t  ‬‬
‫‪2‬‬
1 2 1 2
E  U  K  kx  mv
2
2
1 2
1 2
1 2
2
2
E  kx m cos( t   )  kx m sin( t   )  kx m
2
2
2
‫ת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬זוויתית‬
‫בת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬זוויתית זווית הסטייה ממצב שיווי משקל משתנה בצורה הרמונית‪.‬‬
‫דוגמה לתנועה הרמונית זוויתית היא מטולטלת פיתול‪.‬‬
‫אם מסובבים את הדיסקה ומוציאים אותה‬
‫משיווי משקל פועל מומנט פיתול השואף‬
‫להחזירה לשיווי משקל‪ .‬באנלוגיה לת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫לינארית‬
‫‪    I‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪      ‬‬
‫‪I‬‬
‫קצה קבוע‬
‫תיל‬
‫מישור ייחוס‬
‫‪I‬‬
‫‪T  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪I‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫דק‬
‫בתיל‬
‫בקצהו‬
‫תלוי‬
‫‪m‬‬
‫ומסתו‬
‫‪L‬‬
‫שאורכו‬
‫דק‬
‫מוט‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫למטולטלת הזאת נימדד זמן מחזור ‪ .Ta‬מנתקים את המוט‪I a  mL ,‬‬
‫‪12‬‬
‫ובמקומו מחברים לתיל גוף ‪ .X‬זמן המחזור של המטולטלת הוא ‪ .TX‬מהו‬
‫מומנט ההתמד של הגוף ‪.X‬‬
‫‪IX‬‬
‫‪TX  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ia‬‬
‫‪Ta  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪TX2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2 X‬‬
‫‪I X  I a 2  mL 2‬‬
‫‪Ta 12‬‬
‫‪Ta‬‬
‫גוף ‪X‬‬
‫‪L‬‬
‫מטולטלות‬
‫מטולטלות הם מקרים בהם הקפיציות נגרמת ע"י כוח הגרביטציה ולא ע"י‬
‫כוחות אלסטיים‪.‬‬
‫‪ .1‬מטולטלת פשוטה (מטולטלת מתמטית)‬
‫מטולטלת פשוטה מורכבת מחלקיק מסה ‪ m‬קשור לתיל מחוזק בצדו השני‪.‬‬
‫הגוף מתנדנד בתנועה מחזורית‪ .‬האם התנועה היא הרמונית?‬
‫הכוחות הפועלים על המסה הם כוח הכובד ‪Fg‬‬
‫והמתיחות ‪. T‬‬
‫הרכיב הרדיאלי ‪ Fgcos ‬מאזן את המתיחות ‪.T‬‬
‫‪‬‬
‫‪L‬‬
‫‪T‬‬
‫‪m‬‬
‫הרכיב המשיקי ‪ Fgsin ‬יוצר את הפיתול המחזיר‬
‫ביחס לנקודת הציר‪.‬‬
‫‪ F cos‬‬
‫‪g‬‬
‫‪Fg‬‬
‫‪s‬‬
‫‪Fgsin‬‬
. = 0 ‫נקודת שיווי המשקל היא כמובן‬
   LFg sin 
‫הפיתול המחזיר‬

L
T
s
Fgsin
m
 F cos
g
Fg
sin   
 Lmg sin   I

 
sin        ....
3! 5! 7!
3
5
7
)‫ועבור זוויות קטנות (וברדיאנים‬
sin = 0.0872 ‫ אז‬ = 5° = 0.0873 rad ‫ אם‬:‫לדוגמה‬
sin = 0.5
I  mL
2
I
T  2
mgL
‫ אז‬ = 30° = 0.524 rad ‫ואם‬
‫וזמן המחזור‬
L
T  2
g
mgL


I
‫בקרוב של משרעת קטנה המטולטלת המתימטית תנוע בת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫‪ .2‬מטוטלת פיסיקלית‬
‫במטולטלת אמיתית‪ ,‬יש התחלקות של מסה וצריך להביאה בחשבון‪ .‬האם‬
‫המטולטלת הזו נעה בת‪.‬ה‪.‬פ?‬
‫‪O‬‬
‫‪‬‬
‫את המטולטלת שמסתה ‪ m‬ומומנט ההתמד‬
‫ביחס למרכז המסה הוא ‪ ICM‬תולים בנקודה ‪O‬‬
‫הנמצאת במרחק ‪ h‬ממרכז המסה‪.‬‬
‫‪h‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Fgcos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪Fssin ‬‬
‫‪Fg‬‬
‫הפורמליזם זהה למקרה ‪IO‬‬
‫‪T  2‬‬
‫‪mgh‬‬
‫הקודם‪.‬‬
‫‪I O  I CM  mh 2‬‬
‫אם המשרעת קטנה גם המטולטלת הפיסיקלית תנוע בת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫פינגווין עומד על לוח שטוח שאורכו ‪ L‬ומסתו ‪ m‬והמחובר לציר משמאלו‬
‫ולקפיץ בעל קבוע כוח ‪ k‬מימינו‪.‬‬
‫כאשר הוא צולל‪ ,‬הוא משאיר את הלוח‬
‫והקפיץ מתנדנדים בתנודות קטנות‪ .‬מהו‬
‫מחזור התנודות?‬
‫אם הלוח מתנדנד בת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬אזי יש קשר ליניארי בין‬
‫התאוצה וההעתק‪.‬‬
‫המומנט המחזיר‬
‫‪  Lkx  I‬‬
‫‪3k‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪T  2‬‬
‫‪3k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪kx‬‬
‫‪L‬‬
‫‪}x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪Lk‬‬
‫‪Lk‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪I‬‬
‫‪mL‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪a   x   x‬‬
‫‪m‬‬
‫תנועה הרמונית מרוסנת‬
‫כל תנועה הרמונית נעצרת בסופו של דבר‪ .‬האנרגיה של המערכת הנעה‬
‫בת‪.‬ה‪.‬פ‪ .‬הופכת לאנרגיה טרמית של הסביבה‪.‬‬
‫בתנועה הרמונית מרוסנת הכוח המרסן ‪Fd = -bv‬‬
‫‪ bv  kx  ma‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪m 2 b‬‬
‫‪ kx  0‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪cos(' t  ‬‬
‫זוהי משוואה דיפרנציאלית ממעלה‬
‫שניה בעלת מקדמים קבועים‪ .‬פתרונה‪:‬‬
‫‪2m‬‬
‫‪ bt‬‬
‫‪x (t )  x m e‬‬
‫הפתרון חייב לקיים את המשוואה‪ .‬הצבתו במשוואה נותן את התדירות‬
‫המעגלית‬
‫‪2‬‬
‫‪k‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m 4m‬‬
‫‪' ‬‬
‫התדירות משתנה‪ .‬אם אין ריסון (‪,)b=0‬‬
‫התדירות הופכת לתדירות של ת‪.‬ה‪.‬פ‪.‬‬
‫תנועה הרמונית מאולצת‬
‫אם מפעילים כוח חיצוני מחזורי בתדירות ‪ d‬על מערכת הנעה בתנועה‬
‫הרמונית‪ ,‬משוואת התנועה תהיה‬
‫‪2‬‬
‫‪d x‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪m 2  b  kx  Fm cos d t‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪dt‬‬
‫הפתרון מראה כי המשרעת תהיה מקסימלית אם תדירות הכוח החיצוני‬
‫תשתווה לתדירות הטבעית של המערכת‪ .‬זוהי עובדה ידועה מחיי יום‪-‬יום‪.‬‬
‫אפשר לחלץ מכונית מחול או משלג בעזרת דחיפות אם נתזמן את הדחיפות‬
‫עם קצב התנודות של הרכב‪ .‬בצורה זו אפשר לבנות משרעת תנודות גדולה‬
‫ע"י מסירה רזוננטית של אנרגיה לרכב‪.‬‬
‫תהודה (רזוננס) ‪ = d‬‬
‫המשרעת של התנועה ההרמונית המתקבלת‬
‫תלויה גם בריסון‪.‬‬
‫לכל המערכות המכניות תדירות טבעית אחת או‬
‫יותר כאשר הם מוצאות ממצב שיווי משקל‪ .‬אם‬
‫ההעתק משיווי משקל הוא קטן‪ ,‬המערכת תבצע‬
‫תנועה הרמונית‪.‬‬
‫את האנרגיה הפוטנציאלית כפונקציה של ההעתק ניתן לפתח לטור סביב‬
‫נקודת שיווי המשקל‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dU‬‬
‫‪dU‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫[ ‪U ( x)  U ( x 0 ) ‬‬
‫‪] x  x0 ( x  x0 )  2 [ 2 ] x  x0 ( x  x0 )  ...‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪dx‬‬
‫{‬
‫אם ‪x0<<x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪U ( x)  k ( x  x0‬‬
‫‪2‬‬
‫{‬
‫‪k‬‬
‫‪F‬‬
‫תנועה הרמונית בקירוב ראשון‬
‫אם על מערכת כזו מופעל כוח מאלץ חיצוני בתדר שמתאים לאחת‬
‫מהתדירויות הטבעיות‪ ,‬התוצאה יכולה להיות הרסנית‪ .‬זה מה שקרה‬
‫במקסיקו‪ .‬רעידת אדמה שעוצמתה ‪ 8.1‬בסולם ריכטר‪ .‬הגלים הסיסמיים היו‬
‫די חלשים לגרום לנזק מקומי‪ .‬אבל מקסיקו סיטי‪ ,‬במרחק ‪ 400‬ק"מ ממרכז‬
‫הרעש‪ ,‬בנויה על אגם עתיק בעל אדמה רכה‪ .‬משרעת הגל הסיסמי התחזקה‬
‫באדמה הרכה‪ .‬בנוסף לכך התדירות המעגלית של הגל הסיסמי הייתה‬
‫בסביבות ‪ 3‬רדיאנים לשניה‪ ,‬כמו התדירות הטבעית של בנינים בגובה בינוני‪.‬‬
‫בנינים אלו ניזוקו קשות בזמן שבנינים יותר נמוכים (בתדר יותר גבוה)‬
‫ובנינים יותר גבוהים (תדר יותר נמוך) לא ניזוקו‪.‬‬