Transcript Lesson7.ppt

‫בס"ד‬
‫מכניקה קלאסית – תרגול מס' ‪7‬‬
‫בעיות כוח מרכזי‬
‫וקפלר ‪ -‬המשך‬
‫יציבות המסלול המעגלי בכוח מרכזי‬
‫‪ ‬באנרגיה מינימלית‪ ,‬פתרון בעיית הכוח המרכזי הוא מסלול מעגלי‪.‬‬
‫‪ ‬באנרגיה גבוהה יותר‪ ,‬הוא תמיד מסלול אפשרי‪ ,‬אך לא תמיד יציב‪.‬‬
‫‪ ‬אם המסלול יציב‪ ,‬באנרגיה קטנה נקבל תנודות קטנות סביב המסלול המעגלי‪.‬‬
‫‪ ‬התנאי ליציבות‪ :‬הנגזרת השניה של הפוטנציאל האפקטיבי בנקודת ש"מ > ‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ Veff ‬ובנקודת שיווי‪-‬משקל יתקיים‪:‬‬
‫‪ ‬הפוטנציאל האפקטיבי ‪ V r ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 r‬‬
‫‪d Veff‬‬
‫‪ l2‬‬
‫‪dV ‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪d r r r   r‬‬
‫‪d r  r r‬‬
‫‪d r r  r0  r03‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬התנאי ליציבות‪ 0 :‬‬
‫‪r  r0‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫‪0‬‬
‫‪ 3 l 2 d 2V ‬‬
‫‪3 l 2 d 2V‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪d‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪d‬‬
‫‪r‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ r  r0‬‬
‫תרגול ‪ – 7‬בעיות כוח מרכזי וקפלר ‪-‬‬
‫המשך‬
‫‪d 2Veff‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r  r0‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪2‬‬
‫יציבות המסלול המעגלי ‪ -‬המשך‬
‫‪ ‬משני הביטויים מקבלים‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪F r0   0‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪‬‬
‫‪r  r0‬‬
‫‪dF‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪r  r0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪dF‬‬
‫‪F r0  ‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪‬‬
‫‪r  r0‬‬
‫‪d 2V‬‬
‫‪‬‬
‫‪d r2‬‬
‫‪r  r0‬‬
‫‪3 dV‬‬
‫‪r0 d r‬‬
‫‪k‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪ ‬בפרט‪ ,‬עבור פוטנציאל מהסוג ‪ , V   n‬הכוח יהיה ‪ F   n1‬ונקבל‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪n n  1 k 3 n k‬‬
‫‪nk‬‬
‫‪ n 2  n  2 n 2  0  n  2‬‬
‫‪n 2‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪ ‬מה שאומר שאם נגביל את עיסוקנו לחזקות שלמות בלבד‪ ,‬אז רק לבעית קפלר‬
‫יש מסלולים מעגליים יציבים‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 7‬בעיות כוח מרכזי וקפלר ‪-‬‬
‫המשך‬
‫‪3‬‬
‫תנודות במולקולה דו‪-‬אטומית‬
‫‪ ‬נייצג מולקולה דו‪-‬אטומית ע"י שני אטומים שיש ביניהם ‪‬‬
‫‪‬‬
‫ציור טיפוסי‬
‫של מולקולה‬
‫משיכה חשמלית‪ .‬המולקולה יכולה לבצע סיבובים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫(רוטציה) סביב מרכז המסה שלה‪ ,‬ורטט (ויברציה) סביב‬
‫מרחק שיווי‪-‬המשקל בין האטומים‪ .‬עלינו להבין איך מקבלים את התנודות‪.‬‬
‫‪ ‬ניתוח הבעיה מתחיל בכך שזוהי בעית קפלר‪ .‬התנע הזוויתי נשמר‪ r 2 2  l :‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪ r ‬‬
‫‪ ‬משוואת התנועה ב‪ 2  0 :r-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪dV‬‬
‫‪e‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪ ‬נקודת ש"מ יציב‪:‬‬
‫; ‪V ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ r0 ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪d r r  r0 r0  r0‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ ‬עד כאן לא מופיעות התנודות‪ ,‬אלא מסלול מעגלי‪ .‬כדי לקבל תנודות‪ ,‬נניח כי‬
‫התנועה מתקיימת במסלול מעגלי עם הפרעה‪r  r0   rv :‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 7‬בעיות כוח מרכזי וקפלר ‪-‬‬
‫המשך‬
‫‪4‬‬
‫מולקולה דו‪-‬אטומית ‪ -‬סיום‬
‫‪l2‬‬
‫‪r0 ‬‬
‫‪ e2‬‬
‫‪ ‬נציב זאת לתוך משוואת התנועה‪:‬‬
‫‪d2‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪ 2 r0   rv  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dt‬‬
‫‪ r0   rv  r0   rv ‬‬
‫‪ ‬נפתח את המשוואה עד וכולל סדר ראשון ב‪: -‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3 l 2 2 e2  ‬‬
‫‪rv  e 2 ‬‬
‫‪rv ‬‬
‫‪l2 ‬‬
‫‪ 1  3    2  1  2       rv  ‬‬
‫‪  rv ‬‬
‫‪ 3  rv   0‬‬
‫‪3 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ r0 ‬‬
‫‪r0  r0 ‬‬
‫‪r0 ‬‬
‫‪r0  ‬‬
‫‪  r0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬נציב את הערך של ‪ r0‬לתוך התוצאה ונקבל‪:‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪ r03‬‬
‫‪e2‬‬
‫‪ rv  3 rv  0  rv   2 rv  0 ;  ‬‬
‫‪r0‬‬
‫‪ ‬הפתרון יהיה תנודות מסביב ל‪ r0 -‬בתדירות ‪.‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 7‬בעיות כוח מרכזי וקפלר ‪-‬‬
‫המשך‬
‫משוואת קפיץ‬
‫בעל קבוע ‪e2/r03‬‬
‫‪5‬‬
‫מסלולים לא‪-‬חסומים בבעית קפלר‬
‫‪ ‬בעיה‪ :‬כוכב שביט נע במסלול פרבולי סביב השמש‪ .‬המרחק הקצר ביותר שלו‬
‫מהשמש נתון ע"י ‪ rmin   rE‬כאשר ‪ rE‬הוא רדיוס המסלול הכמעט‪-‬מעגלי של‬
‫כדור הארץ סביב השמש‪ .‬יש למצוא את הזמן שכוכב השביט יבלה בתוך‬
‫מסלול כדור הארץ‪ ,‬ז"א ‪ , r  rE‬כפונקציה של ‪   1‬ושל ‪. E‬‬
‫‪p‬‬
‫‪l2‬‬
‫‪ ‬בתנועה פרבולית‪   1 :‬ומשוואת המסלול‬
‫‪r   ‬‬
‫‪; p‬‬
‫‪1  cos ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2  rE‬‬
‫‪ ‬בנקודה ‪ r  rmin , = 0‬ולכן‬
‫‪rmin    rE  r   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1  cos ‬‬
‫‪2  rE‬‬
‫‪r    rE ‬‬
‫‪ ‬נקודות חיתוך עם מסלול כדה"א ‪ cos 1 ,2  2   1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  cos 1 ,2‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬ע"פ שימור תנע זוויתי‪rE d :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d t  r d ‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l 1  cos  2‬‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬
‫תרגול ‪ – 7‬בעיות כוח מרכזי וקפלר ‪-‬‬
‫המשך‬
‫‪6‬‬
‫ סיום‬- ‫כוכב שביט במסלול פרבולי‬
T/2
‫מסלול‬
‫כוכב‬
‫השביט‬2
‫מסלול‬
‫כדור‬
‫הארץ‬
rmin
 = 0.6
1
7
 dt 
0
4 r 
l
2 2
E
2
d
:‫ כעת נחשב את הזמן‬
0 1  cos  2
2
T 4 r   1
 1 3

tan
 tan 

2
l
2 6
2 0
2
2 2
E
cos  2  2   1  tan
2
2

1  cos  2
1  cos  2

1 

2 rE2   1   
1  2  
 T
3l
p
l2 
 


2 1   1  2  
2 rE
2  k rE 
E
 T 
3
3
 rE

 E  2

k
- ‫ – בעיות כוח מרכזי וקפלר‬7 ‫תרגול‬
‫המשך‬
‫סמסטר א' תשס"ד‬