Transcript Lesson7.ppt
בס"ד
מכניקה קלאסית – תרגול מס' 7
בעיות כוח מרכזי
וקפלר -המשך
יציבות המסלול המעגלי בכוח מרכזי
באנרגיה מינימלית ,פתרון בעיית הכוח המרכזי הוא מסלול מעגלי.
באנרגיה גבוהה יותר ,הוא תמיד מסלול אפשרי ,אך לא תמיד יציב.
אם המסלול יציב ,באנרגיה קטנה נקבל תנודות קטנות סביב המסלול המעגלי.
התנאי ליציבות :הנגזרת השניה של הפוטנציאל האפקטיבי בנקודת ש"מ > 0
2
l
Veff ובנקודת שיווי-משקל יתקיים:
הפוטנציאל האפקטיבי V r
2
2 r
d Veff
l2
dV
dV
l2
0
3
d r r r r
d r r r
d r r r0 r03
0
התנאי ליציבות 0 :
r r0
סמסטר א' תשס"ד
0
3 l 2 d 2V
3 l 2 d 2V
4
2
4
2
r
d
r
r
d
r
0
r r0
תרגול – 7בעיות כוח מרכזי וקפלר -
המשך
d 2Veff
2
r r0
dr
2
יציבות המסלול המעגלי -המשך
משני הביטויים מקבלים:
3
F r0 0
r0
r r0
dF
dr
0
r r0
3
dF
F r0
r0
dr
r r0
d 2V
d r2
r r0
3 dV
r0 d r
k
nk
בפרט ,עבור פוטנציאל מהסוג , V nהכוח יהיה F n1ונקבל:
r
r
n n 1 k 3 n k
nk
n 2 n 2 n 2 0 n 2
n 2
r0
r0
r0
מה שאומר שאם נגביל את עיסוקנו לחזקות שלמות בלבד ,אז רק לבעית קפלר
יש מסלולים מעגליים יציבים.
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 7בעיות כוח מרכזי וקפלר -
המשך
3
תנודות במולקולה דו-אטומית
נייצג מולקולה דו-אטומית ע"י שני אטומים שיש ביניהם
ציור טיפוסי
של מולקולה
משיכה חשמלית .המולקולה יכולה לבצע סיבובים
(רוטציה) סביב מרכז המסה שלה ,ורטט (ויברציה) סביב
מרחק שיווי-המשקל בין האטומים .עלינו להבין איך מקבלים את התנודות.
ניתוח הבעיה מתחיל בכך שזוהי בעית קפלר .התנע הזוויתי נשמר r 2 2 l :
l2
e2
r
משוואת התנועה ב 2 0 :r-
3
r r
2
2
2
e
dV
e
l
l2
נקודת ש"מ יציב:
; V
2
r0
3
2
r
d r r r0 r0 r0
e
עד כאן לא מופיעות התנודות ,אלא מסלול מעגלי .כדי לקבל תנודות ,נניח כי
התנועה מתקיימת במסלול מעגלי עם הפרעהr r0 rv :
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 7בעיות כוח מרכזי וקפלר -
המשך
4
מולקולה דו-אטומית -סיום
l2
r0
e2
נציב זאת לתוך משוואת התנועה:
d2
l2
e2
2 r0 rv
0
3
2
dt
r0 rv r0 rv
נפתח את המשוואה עד וכולל סדר ראשון ב: -
3 l 2 2 e2
rv e 2
rv
l2
1 3 2 1 2 rv
rv
3 rv 0
3
4
r0
r0 r0
r0
r0
r0
נציב את הערך של r0לתוך התוצאה ונקבל:
e2
r03
e2
rv 3 rv 0 rv 2 rv 0 ;
r0
הפתרון יהיה תנודות מסביב ל r0 -בתדירות .
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 7בעיות כוח מרכזי וקפלר -
המשך
משוואת קפיץ
בעל קבוע e2/r03
5
מסלולים לא-חסומים בבעית קפלר
בעיה :כוכב שביט נע במסלול פרבולי סביב השמש .המרחק הקצר ביותר שלו
מהשמש נתון ע"י rmin rEכאשר rEהוא רדיוס המסלול הכמעט-מעגלי של
כדור הארץ סביב השמש .יש למצוא את הזמן שכוכב השביט יבלה בתוך
מסלול כדור הארץ ,ז"א , r rEכפונקציה של 1ושל . E
p
l2
בתנועה פרבולית 1 :ומשוואת המסלול
r
; p
1 cos
k
p
2 rE
בנקודה r rmin , = 0ולכן
rmin rE r
2
1 cos
2 rE
r rE
נקודות חיתוך עם מסלול כדה"א cos 1 ,2 2 1
1 cos 1 ,2
2 2
4
ע"פ שימור תנע זוויתיrE d :
2
d t r d
l
l 1 cos 2
סמסטר א' תשס"ד
תרגול – 7בעיות כוח מרכזי וקפלר -
המשך
6
סיום- כוכב שביט במסלול פרבולי
T/2
מסלול
כוכב
השביט2
מסלול
כדור
הארץ
rmin
= 0.6
1
7
dt
0
4 r
l
2 2
E
2
d
: כעת נחשב את הזמן
0 1 cos 2
2
T 4 r 1
1 3
tan
tan
2
l
2 6
2 0
2
2 2
E
cos 2 2 1 tan
2
2
1 cos 2
1 cos 2
1
2 rE2 1
1 2
T
3l
p
l2
2 1 1 2
2 rE
2 k rE
E
T
3
3
rE
E 2
k
- – בעיות כוח מרכזי וקפלר7 תרגול
המשך
סמסטר א' תשס"ד