Transcript lec14.ppt
גרביטציה
שביל החלב ,הגלקסיה שלנו ,היא אוסף של אבק ,גז ,כוכבי לכת
ומיליארדים של כוכבים ,ביניהם השמש שלנו .הכוח המחזיק את
הגלקסיה ביחד הוא אותו כוח המחזיק אותנו לכדור הארץ :כוח
הגרביטציה.
כוח זה אחראי גם לחורים השחורים ,גופים כה דחוסים שאפילו אור
אינו יכול להימלט מפניהם.
אם כך ,כיצד מגלים כוכב כזה?
בשביל החלב השמש היא
קרובה לקצה,
כ 26000-שנות אור
מהמרכז (הנראה
במזל .)Sagittarius
הגלקסיה שלנו היא חברה בקבוצת גלקסיות
מקומיות הכוללת את גלקסיית אנדרומידה
(במרחק 2.3×106שנות אור ,היא בקושי
נראית לעין) והענן המאג'לני הגדול.
מערכת השמש
מסלול כוכב הלכת נראה מסובך
כשצופים עליו מכדור הארץ.
התמונה משמאל מראה את
מסלולו של כוכב הלכת מאדים.
קפלר (:)1595
מודל למערכת השמש
חוקי קפלר ()1606
חוק Iשל קפלר:
כל כוכבי הלכת נעים במסלולים אליפטיים כאשר השמש נמצאת
באחד המוקדים.
m
r
M
ea
ea
a
המסלול נקבע ע"י האקסצנטריות
eוחצי הציר הראשי .aהמרחק
בין המוקד ומרכז האליפסה הוא
eולמעגל .e = 0לכוכבי לכת
ערכי eלא גדולים; מסלול כדור
הארץ הוא כמעט מעגל:
.e = 0.0167
m
r
M
ea
ea
a
היפרבולה
פרבולה e = 1
0 < e <1
אליפסה
מעגל e = 0
e>1
חוק IIשל קפלר:
הווקטור המחבר בין כוכב לכת לשמש מתווה שטחים שווים בזמנים
שווים.
שטח המשולש Aקרוב לשטח הגזרה
שמתווה הרדיוס בזמן .t
r
m
(r)( rθ) 1 2
ΔA
r Δθ
2
2
dA 1 2 dθ 1 2
r
r ω
dt 2 dt 2
r
M
p
p
m
r
M
pr
dA 1 2 dθ 1 2
L
r
r ω
dt 2 dt 2
2m
L rp (r)(mv ) (r)(m ω r) mr 2ω
חוק השטחים השווים אומר שהתנע הזוויתי הוא
.גודל קבוע
L dA
2m dt
חוק IIשל קפלר אומר שהתנע הזוויתי הוא גודל קבוע.
מאידך ,שימור התנע הזוויתי אומר שהווקטור rמתווה
שטחים שווים בזמנים שווים.
החוק קובע (למשל) שקרוב לשמש ,כוכבי לכת נעים מהר יותר
מאשר רחוק מהשמש.
חוק IIIשל קפלר
ריבוע זמן המחזור של כוכב לכת בתנועה סביב השמש
פרופורציוני לחזקה השלישית של חצי הציר הראשי של
המסלול.
a
T
Planet
(1010 m)
(y)
Mercury 5.79
0.241
Venus
10.8
0.615
Earth
15.0
1.00
Mars
22.8
1.88
Jupiter 77.8
11.9
Saturn 143
29.5
Uranus 287
84.0
Neptune 450
165
Pluto
590
248
T2/a3
(1024y2/m3)
2.99
3.00
2.96
2.98
3.01
2.98
2.98
2.99
2.99
חוק הגרביטציה של ניוטון
מתוך חוקי קפלר ,שתארו את מסלול תנועת כוכבי הלכת סביב
השמש ,הסיק ניוטון שכל שני גופים מושכים אחד את השני בכוח F
שגודלו
m1m 2
2
FG
G= 6.67x10-11 N·m2 / kg2
r
m1
-F
Gהוא קבוע הגרביטציה .קטנותו מסבירה מדוע יש
צורך במסות גדולות כדי שנרגיש אותו .כך מרגישים
שתפוח נמשך לכדור הארץ ולא מרגישים את כוח
המשיכה בין שני תפוחים.
r
F
m2
הגוף הראשון מושך את השני כפי שהשני
מושך את הראשון .הם זוג פעולה-תגובה.
m1
-F
r
הכוח בין שני גופים אינו משתנה עקב נוכחות גוף
שלישי אפילו אם הוא נמצא בין שני הגופים.
F
m2
כאמור Gקובע את גודל הכוח .אילו הוא היה גדול פי ,10היינו
מתמוטטים על הרצפה .ואילו היה קטן פי ,10כדור הארץ היה מאבד
את האטמוספרה שלו.
חוק IIIשל קפלר-ביקור חוזר
ריבוע זמן המחזור של כוכב לכת בתנועה סביב השמש
פרופורציוני לחזקה השלישית של חצי הציר הראשי של
המסלול.
r
2π
ω
T
3
r
Mm
mω
r
2
r
2
2
2 4π
T
GM
G
כוח הכובד על גוף שמסתו mבגובה hהיא –GMm /(R+h)2
,כאשר Mו R-הם מסת ורדיוס כדור הארץ .איפה mg
בנוסחה זו?
h 2
) (1
R
GMm
R2
GMm
2
)(R h
נניח כי h<<R
F G Mm
mg
R2
F
Fהוא הכוח בין שני גופים נקודתיים .ניתן
להשתמש בנוסחה הזאת כאשר המרחק בין הגופים
גדול מאוד ביחס לרדיוסם.
m1m 2
2
ואם התנאי הזה לא קיים (כמו בדוגמה
בצד שמאל)?
התשובה :קליפה כדורית של חומר
מושכת חלקיק הנמצא מחוץ לקליפה
כאילו כל מסתה מרוכזת במרכזה .והיא
מפעילה שום כוח על גוף שנמצא בתוכה.
r2
r1
r
FG
גרביטציה על פני כדור הארץ
נניח שכדור הארץ הוא כדור אחיד שמסתו .Mעל גוף שמסתו m
במרחק rממרכז כדור הארץ פועל כוח משיכה הניתן ע"י
Mm
r2
a g GM/r2
תאוצת הגוף agתהיה
מקום
F ma g G
גובה(ק"מ)
)ag (m/s2
פני כדור הארץ
הר האוורסט
0
8.8
9.83
9.80
כדור פורח (שיא)
36.6
9.71
ספינת חלל
לווין תקשורת
400
35700
8.70
0.225
יש להבדיל בין חישוב התאוצה ag=GM/r2לתאוצת הנפילה
החופשית .gלהבדל שלוש סיבות:
.1כדור הארץ איננו כדור אחיד.
התלות הרדיאלית של צפיפות כדור
הארץ היא כפי השרטוט .והצפיפות
של הקליפה משתנה ממקום למקום
ולכן gמשתנה מאזור לאזור.
ליבה
פנימית
ליבה חיצונית
מעטפת
.2הארץ אינה כדורית
בגלל סיבוב סביב הקטבים ,כדור הארץ היא שטוחה
מעט .הפער בין רדיוס קו המשווה והמרחק בין
הקטבים הוא 21ק"מ ,ותאוצת הנפילה החופשית g
בקטבים גדולה יותר מאשר על קו המשווה.
.3הארץ מסתובבת
הודות לסיבוב הארץ ,כל גוף הנמצא על כדור הארץ (חוץ מאשר
בקטבים) סובב במעגל .לכן יש לו תאוצה צנטריפטלית arהמכוונת
לציר הסיבוב .תאוצה זו מכוונת כלפי מרכז כדור הארץ רק אם הגוף
נמצא על קו המשווה.
ארגז שמסתו mיושב על מאזניים ב על קו המשווה .במבט מהציר
הצפוני:
הכוחות על הארגז הם
.1הכוח הנורמלי N
.2כוח הכובד mag
N – mag = -mar = -m2R
הכוח Nהוא המשקל mgשמראים המאזניים
mg = mag - m2R
g = ag - 2R
על קו המשווה = 2/24h , R = 6.37 × 106 m ,וההבדל בין agוg-
הוא 0.034 m/s2לעומת .g=9.8 m/s2
הרכבת כוחות גרביטציוניים
כאשר נתונה מערכת של nגופים ,הכוח הפועל על כל גוף הוא הסכום
הווקטורי של הכוחות הנובעים מכל הגופים האחרים .הכוח הפועל על
גוף מספר ( 1לדוגמה) הוא
F1,net = F12 + F13 + F14 + ….+ F1n = F1i
כלומר הכוחות שפועלים בין שנע גופים אינם מושפעים מנוכחות
הגופים האחרים.
ובהתחלקות רציפה של מסה:
F1 = dF
דירגו את הכוחות הפועלים על
)(b
)(a
)(c
)(d
אנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית
נתונות שתי מסות Mו m-הנמצאות במרחק Rאחת
מהשנייה .העבודה הדרושה להרחיק אותם
למרחק אינסופי אחת
מהשנייה היא
W F(r) d r
R
dr
m
F
F(r) dr G Mm
dr
2
r
1
GMm
W GMm 2 dr
R
r
R
ΔU W
U U W
R
האפס של Uנמצא ב ∞ = .rמדוע?
GMm
U
R
M
נניח שמעבירים מסה mבמסלול ABCDEFבשדה
גרביטציה של .
F
D
E
C
B
A
}
}
WAF = WAB +WBC + WCD + WDE + WEF
=0
=0
העבודה לאורך המסלול ABCDEFשווה לעבודה לאורך הקו ישר :AF
WAF = WAB + WCD + WEF
כל מסלול ניתן לחלוקה לקטעים מקבילים לכוח ולקטעים מאונכים לו.
אין עבודה לאורך הקטעים המאונכים לכוח .לכן העבודה שעושה הכוח
הכובד אינה תלויה במסלול .הכוח הגרביטציוני הוא כוח משמר.
האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת של שני גופים הנמצאים
במרחק rאחד מהשני היא
Mm
U G
r
במערכת הכוללת nגופים האנרגיה
הפוטנציאלית היא סכום האנרגיות
הפוטנציאליות של הזוגות.
במקרה של 3מסות:
m1m 2 m1m3 m 2 m3
(U G
)
r13
r12
r23
mi m j
rij
n
n
U G
i 1 ji
r12
m2
m1
r23
r13
m3
מהירות הבריחה
ניתן לשלוח גוף שמסתו mמכוכב שמסתו Mכך שהגוף משתחרר מכוח
המשיכה של הכוכב .כדי לעשות זאת יש לתת לגוף אנרגיה קינטית לא
פחות מהפרש האנרגיה הפוטנציאלית בין מרחקו ההתחלתי Rממרכז
הכוכב לבין מרחק אין-סוף מהכוכב .כלומר ,יש לתת לו מהירות
התחלתית לפי
1
mM
2
K U mv (G
)0
2
R
והיא
2GM
R
v
קליפת כדור אחידה שמסתה Mמושכת כאילו כל מסתה
הייתה במרכז המסה שלה
Rdθ
G(2 π R σ sin θ) m
2
)R sin θ (r Rcos θ
2
2
π
U
0
s=M/4R2
m
R
r
π
U
G(2 π R σ sin θ) m
2
2
2
R
sin
θ
(r
Rcos
θ)
0
π
2πR Gσm
2
GMm
2
π
sin θ dθ
2
2
R
r
2rRcos θ
0
d (cos θ)
R r 2rR(cos θ)
2
0
GMm
2
Rdθ
2
1
1
du
R r 2rRu
2
2
GMm
2Rr
R r 2rRu
2
2
1
1
GMm
GMm
R r R r
2Rr
r
מה אומרת הפיסיקה של ניוטון על כוכבי לכת?
יש שלושה קבועי תנועה :תנע ,Pתנע זוויתי Lואנרגיה מכאנית .E
L mr ω
2
GMm m 2
E UK
v
r
2
GMm m 2 2 2
r r ω
r
2
2
GMm m 2
L
r
2
r
2
2mr
GMm
L2
r
2mr 2
2
GMm m 2
L
E
r
r
2
2mr 2
L2
2mr 2
E
GMm
r
לכל המסלולים בתמונה אותה
אנרגיה.
חללית נעה במסלול מעגלי שרדיוסו rסביב
כדור הארץ .בנקודה Pיורה הנווט רקטות
האטה ומקטין את האנרגיה הקינטית של
החללית .לאיזה מסלול תיכנס החללית ומה
קורה לזמן מחזורה?
E GMm
2a
2
4π
T2
a3
GM
תנאי לחור שחור :האור אינו יכול לברוח ממנו
מהירות הבריחה:
2GM
R
v
אם ,c<vאזי האור אינו יכול לברוח מן הכוכב .הכוכב הינו חור
שחור.
תנאי לחור שחור.R< 2GM/c2 :
RS= 2GM/c2הוא נקרא "רדיוס שוורצשילד".
המצוד אחרי חורים שחורים
מערכת בינארית היא מערכת של שני כוכבים המסתובבים סביב מרכז
מסתם .לעתים רואים רק כוכב אחד הנע במעגל .אור המגיע מכוכב
שכזה מראה שלכוכב מהירות של
,270 km/sזמן מחזור של 1.70
ימים ומסה .m1 = 6Msנחשב את
המסה m2של הכוכב החשוך
m
m
בהנחה כי
r
r
2
2
1
•הם נעים במסלול מעגלי
•מרכז המסה נמצא בין הכוכבים
•הכוח הצנטריפטלי הגורם לתנועה מעגלית הוא כוח המשיכה בין
המסות.
1
v2
G 2
r1
r
m2
m1
r1
r
O
r2
m2
m1 0 m 2 r
r1
m1 m 2
vT
r1
2π
m1 m 2
r r1
m2
m32
v 3T
3
.
47
M
s
2
2πG
(m1 m 2 )
m32
(6M s m 2 )
2
3.47 M s
m2 9.35 Ms :הפתרון
כאשר ,m2 9.35 Msרדיוס שוורצשילד הינו
RS = 2G(9.35 MS)/c2 = 27.8 km
ואילו . r2 = 4.05 × 109 m