Transcript lnotes14.ppt

‫גרביטציה‬
‫שביל החלב היא גלקסיה בצורת דיסקה ובה אוסף של אבק‪ ,‬כוכבי לכת‬
‫ומילארדים של כוכבים‪ ,‬הכוללים את מערכת השמש שלנו‪ .‬הכוחות המחזיקים‬
‫את הגלקסיה ביחד הם אותם כוחות המחזיקים את הירח במסלול סביב כדור‬
‫הארץ‪.‬הכוחות האלה הם כוחות הגרביטציה‪.‬‬
‫הכוחות האלה אחראים גם לחורים השחורים‪ ,‬גופים כה דחוסים שכוח‬
‫הגרביטציה על פניהם הוא כה גדול שאפילו אור אינו יכול להימלט מפני‬
‫הכוכב‪ .‬הוא שואב אליו כל דבר שנמצא בקרבתו‪.‬‬
‫כיצד מגלים כוכב כזה?‬
‫זהו שביל החלב‪ .‬אנו נמצאים‬
‫קרוב לקצה במרחק של ‪26000‬‬
‫שנות אור מהמרכז‪ ,‬שהוא‬
‫קבוצת הכוכבים‬
‫הקרויה ‪.Sagittarius‬‬
‫הגלקסיה שלנו היא חברה בקבוצת הגלקסיות‬
‫המקומיות שכוללת את גלקסית אנדרומידה‬
‫(במרחק ‪ 2.3x106‬שנות אור ונראית בקושי‬
‫ללא טלסקופ) והענן המגלני הגדול‪.‬‬
‫חוק הגרביטציה של ניוטון‬
‫מתוך חוקי קפלר‪ ,‬שתארו את מסלול תנועת כוכבי הלכת סביב השמש‪,‬‬
‫הסיק ניוטון שכל שני גופים מושכים אחד את השני בכוח הפרופורציוני‬
‫למסתם ופרופורציוני הפוך לרבוע המרחק ביניהם‪.‬‬
‫‪m1 m2‬‬
‫‪F G 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪G= 6.67x10-11 N·m2 / kg2‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪-F‬‬
‫‪ G‬הוא קבוע הגרביטציה‪ .‬קטנותו מסבירה מדוע יש‬
‫צורך במסות גדולות כדי שנרגיש את הכוח הפועל בין‬
‫שתי מסות‪ .‬ברור מדוע מרגישים שתפוח נמשך לכדור‬
‫הארץ ולא את כוח המשיכה בין שני תפוחים‪.‬‬
‫‪r‬‬
‫‪F‬‬
‫‪m2‬‬
‫הגוף הראשון מושך את השני באותו כוח כמו‬
‫שהשני מושך את הראשון‪ .‬הם מהווים פעולה‬
‫ותגובה‪.‬‬
‫‪m1‬‬
‫‪-F‬‬
‫‪r‬‬
‫הכוח בין שני גופים אינו משתנה עקב נוכחות גוף שלישי‬
‫אפילו אם הוא נמצא בין שני הגופים‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪m2‬‬
‫כאמור ‪ G‬קובע את גודל הכוח‪ .‬אם הוא היה גדל באופן פתאומי פי ‪ 10‬היינו‬
‫מתמוטטים על הרצפה‪ .‬ואילו היה קטן פי ‪ 10‬כדור הארץ היה מאבד את‬
‫האטמוספירה שלו‪.‬‬
‫‪m1 m2‬‬
‫‪F G 2‬‬
‫‪r‬‬
‫הוא הכוח בין שתי מסות נקודתיות‪ .‬ניתן להשתמש‬
‫בנוסחה הזאת לחישוב הכוח הפועל בין כדור השרץ‬
‫והירח כאשר המרחק בין הגופים גדול מאוד ביחס‬
‫לרדיוסם‪.‬‬
‫אם התנאי הזה לא קיים כמו בדוגמה לפנינו‪.‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪r1‬‬
‫נחשב את הכוח בפועל בין שני אלמנטי מסה‪ ,‬ונסכם את‬
‫כל הכוחות‪ .‬התוצאה‬
‫‪ .1‬קליפה כדורית של חומר מושכת חלקיק הנמצא מחוץ לקליפה כאילו כל‬
‫מסתה נמצאת במרכזה‪.‬‬
‫‪ .2‬קליפה כדורית של חומר אינה מפעילה שום כוח על חלקיק הנמצא‬
‫בתוכה‪.‬‬
‫בתוך כדור חלול שמסתו ‪ M‬נמצאת מסה שמסתה‬
‫‪.m‬‬
‫כדי לחשב את הכוח הפועל על ‪ m‬מחלקים את המסה‬
‫הגדולה לקליפות נגדיות המוגדרות ע"י אותה זווית‬
‫מרחבית ‪.‬‬
‫‪S1‬‬
‫‪r1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪m S2  r22 ‬‬
‫‪mS1  r12 ‬‬
‫‪r22 ‬‬
‫‪F2  G 2  G‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪r22‬‬
‫‪F2  G‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪mS1 m‬‬
‫‪r12 ‬‬
‫‪F1  G 2  G‬‬
‫‪r1‬‬
‫‪F  F1  F2  0‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪F2‬‬
‫הכוח הפועל על המסה ‪ m‬ע"י הקליפות ‪ S1‬ו‪ S2 -‬יהיה‬
‫‪mS 2 m‬‬
‫‪F1‬‬
‫‪r12‬‬
‫‪F1  G‬‬
‫התוצאות הללו נובעות מהעובדה שהמרחק בחוק המשיכה של ניוטון נמצא‬
‫בחזקה שניה בדיוק ולא בחזקה של ‪.2.000001‬‬
‫גרביטציה ועקרון הסופרפוזיציה‬
‫כאשר נתונה מערכת של מספר של ‪ n‬מסות הכוח הפועל על מסה אחת‬
‫הוא סכום וקטורי של הכוחות הנובעים מהמסות האחרות‪ .‬הכוח הפועל על‬
‫מסה מספר ‪ 1‬יהיה‬
‫‪F1,net = F12 + F13 + F14 + ….+ F1n = F1i‬‬
‫העיקרון אומר שהכוח שפועל בין מסה ‪ 1‬ומסה ‪ 2‬אינו מושפע מנוכחות‬
‫המסות האחרות‪.‬‬
‫ובהתחלקות רציפה של מסות‬
‫‪F1 = dF‬‬
‫גרביטציה על פני כדור הארץ‬
‫נניח שכדור הארץ הוא כדור אחיד שמסתו ‪ M‬ורדיוסו‬
‫‪ .R‬מסה ‪ m‬הנמצאת במרחק ‪ r‬ממרכז כדור הארץ‬
‫מרגישה כוח משיכה הניתן ע"י‬
‫תאוצת הגוף תהיה‬
‫מקום‬
‫‪a g  G M2‬‬
‫‪r‬‬
‫גובה(ק"מ)‬
‫‪Mm‬‬
‫‪F G 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪Mm‬‬
‫‪ma g  G 2‬‬
‫‪r‬‬
‫)‪ag(m/s2‬‬
‫פני כדור הארץ‬
‫הר האברסט‬
‫‪0‬‬
‫‪8.8‬‬
‫‪9.83‬‬
‫‪9.80‬‬
‫כדור פורח (שיא)‬
‫‪36.6‬‬
‫‪9.71‬‬
‫ספינת חלל לווינית‬
‫לווין תקשורת‬
‫‪400‬‬
‫‪35700‬‬
‫‪8.70‬‬
‫‪0.225‬‬
‫חשוב להבדיל בין תאוצת הגרביטציה ‪ ag‬לתאוצת הנפילה החופשית ‪.g‬‬
‫קימות שלוש סיבות להבדל‪:‬‬
‫‪ .1‬כדור הארץ איננו כדור אחיד‪.‬‬
‫התלות הרדיאלית של הצפיפות של‬
‫כדור הארץ נתונה בשרטוט מימין‪.‬‬
‫הצפיפות של הקליפה משתנה ממקום‬
‫למקום‪ .‬כלומר ‪ g‬משתנה מאזור לאזור‪.‬‬
‫ליבה‬
‫פנימית‬
‫ליבה חיצונית‬
‫מעטפת‬
‫‪ .2‬הארץ אינה כדור‬
‫בגלל סיבוב סביב ציר צפון‪-‬דרום‪ ,‬הארץ איננה עגולה‬
‫אלא שטוחה מעט בקטבים‪ .‬הפער בין רדיוס קו‬
‫המשווה והמרחק לציר הצפוני הוא ‪ 21‬ק"מ‪ .‬לכן‬
‫תאוצת הנפילה החופשית ‪ g‬בציר הצפוני גדולה יותר‬
‫מאשר על קו המשווה‪.‬‬
‫‪ .3‬הארץ מסתובבת‬
‫הודות לסיבוב הארץ סביב ציר צפון‪-‬דרום‪ ,‬כל גוף הנמצא על כדור הארץ‬
‫(חוץ מאשר בציר הצפוני) סובב במעגל סביב ציר הסיבוב‪ .‬יש לו לכן‬
‫תאוצה צנטריפטלית ‪ ar‬מכוונת למרכז המעגל‪ .‬תאוצה זו נובעת מכוח‬
‫צנטריפטלי כלפי מרכז המעגל (לא מרכז כדור הארץ)‪.‬‬
‫נתון ארגז שמסתו ‪ m‬הנמצא על מאזניים בקו‬
‫המשווה‪ .‬מבט מהציר הצפוני נראה כך‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ar‬‬
‫הכוחות הפועלים על הארגז הם‬
‫‪mag‬‬
‫‪ .1‬הכוח הנורמלי ‪N‬‬
‫‪ .2‬כוח הכובד ‪mag‬‬
‫‪N – mag = -mar = -m2R‬‬
‫הכוח הנורמלי ‪ N‬הוא המשקל ‪ mg‬שמראים המאזניים‬
‫‪mg = mag - m2R‬‬
‫‪g = ag - 2R‬‬
‫‪ R = 6.37 x 10 6 m‬וההבדל‬
‫על פני קו המשווה‪ = 2/24h ,‬‬
‫בין ‪ ag‬ו‪ g -‬הוא ‪ 0.034 m / s2‬בהשוואה לתאוצת הנפילה החופשית של‬
‫‪.9.8 m / s2‬‬
‫אסטרונאוטית שגובהה ‪ h = 1.70 m‬מרחפת בספינת חלל כשרגליה‬
‫במרחק של ‪ r = 6.77 x 10 6 m‬ממרכז כדור הארץ‪ .‬מה ההבדל בין תאוצת‬
‫הגרביטציה של רגליה וראשה?‬
‫‪a g  GM‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪11‬‬
‫‪24‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.‬‬
‫‪67‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪98‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪6 m‬‬
‫‪da g  2 GM‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.‬‬
‫‪37‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪s‬‬
‫‪r‬‬
‫‪6.77  10‬‬
‫תאוצת הגרביטציה של רגליה גדולה במעט משל ראשה‪.‬‬
‫מה קורה אם האסטרונאוטית סובבת סביב חור שחור שמסתו ‪M = 1.99 x‬‬
‫‪( 10 31 kg‬פי ‪ 10‬ממסת השמש)‪.‬‬
‫‪s2‬‬
‫‪ da g  14.5 m‬מתיחת גופה של האסטרונאוטית יכאב‪.‬‬
‫‪dr‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית‬
‫‪m‬‬
‫נתונות שתי מסות ‪ M‬ו‪ m -‬הנמצאות במרחק ‪ R‬אחת מהשניה‪.‬‬
‫העבודה הדרושה להרחיק אותם למרחק אינסופי אחת מהשניה‬
‫היא‬
‫‪F‬‬
‫‪R‬‬
‫‪M‬‬
‫‪‬‬
‫‪F (r )  d r  F (r )dr cos   G Mm‬‬
‫‪dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪U  W‬‬
‫‪U   U  W‬‬
‫‪GMm‬‬
‫‪U ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪W   F (r )  d r‬‬
‫‪R‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪GMm‬‬
‫‪W  GMm 2 dr  ‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R r‬‬
‫נקודת האפס של האנרגיה הפוטנציאלית‬
‫היא באינסוף‪.‬‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת של שתי מסות הנמצאות במרחק ‪r‬‬
‫אחת מהשניה היא‬
‫‪Mm‬‬
‫‪U  G‬‬
‫‪r‬‬
‫נקודת הייחוס היא באינסוף‪ .‬מערכת שכוללת ‪ n‬מסות האנרגיה‬
‫הפוטנציאלית היא סכום האנרגיה הפוטנציאלית של הזוגות‪.‬‬
‫‪mi m j‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪rij‬‬
‫‪j i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪U  G ‬‬
‫‪r12‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪m1‬‬
‫במקרה של ‪ 3‬מסות‬
‫‪m1m2 m1m3 m2 m3‬‬
‫( ‪U  G‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪r‬‬
‫‪r12‬‬
‫‪r23‬‬
‫‪13‬‬
‫‪r23‬‬
‫‪r13‬‬
‫‪m3‬‬
‫נניח שמעבירים מסה ‪ m‬במסלול ‪ ABCDEF‬בשדה גרביטציה של מסה‬
‫‪F‬‬
‫‪.M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E‬‬
‫‪WAF = WAB +WBC + WCD + WDE + WEF‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫העבודה לאורך הקשת מאונכת לכוח הפועל בין המסות ולכן‬
‫‪WBC = WED = 0‬‬
‫‪WAF = WAB + WCD + WEF‬‬
‫העבודה לאורך המסלול ‪ABCDEF‬‬
‫שווה לעבודה כאילו היינו מעבירים אותו‬
‫בקו ישר ‪.AF‬‬
‫כל מסלול ניתן לחלוקה לקטעים מקבילים לכוח ולקטעים מאונכים לו‪.‬‬
‫העבודה לאורך הקטעים המאונכים לכוח מתאפסת‪.‬‬
‫העבודה שעושה הכוח הגרביטציוני אינה תלויה במסלול‪ .‬הכוח הגרביטציוני‬
‫הוא כוח משמר‪.‬‬
‫מהירות הבריחה‬
‫ניתן לשלוח גוף שמסתו ‪ m‬מכוכב שמסתו ‪M‬ולחלצו מכוח המשיכה של‬
‫הכוכב‪ .‬כדי לבצע זאת על הגוף להגיע למרחק אינסופי מהכוכב‪ .‬יש צורך‬
‫להעניק לו מהירות התחלתית שתאפשר לו את הבריחה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪mM‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K  U  mv ( G‬‬
‫‪) 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2GM‬‬
‫‪R‬‬
‫‪GM‬‬
‫‪g 2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪v‬‬
‫‪mM‬‬
‫‪G 2  mg‬‬
‫‪R‬‬
‫‪v  2 gR‬‬
‫חוקי קפלר‬
‫מסלול כוכבי הלכת נראה מסובך‬
‫כאשר צופים עליו מכדור הארץ‪.‬‬
‫התמונה משמאל מראה את מסלולו‬
‫של כוכב הלכת מאדים על רקע מערכת‬
‫כוכבי קפריקון‪.‬‬
‫חוק ‪ I‬של קפלר‬
‫כל כוכבי הלכת נעים במסלולים אליפטיים כאשר השמש נמצאת באחד‬
‫המוקדים‪.‬‬
‫המסלול מתואר ע"י חצי הציר הראשי ‪ a‬וע"י‬
‫האקסצנטריות ‪ ea .e‬הוא המרחק בין המוקד‬
‫ומרכז האליפסה‪ e = 0 .‬מתאר מעגל‪.‬‬
‫האקסצנטריות של כוכבי הלכת אינה גדולה‪.‬‬
‫‪ e = 0.0167‬עבור כדור הארץ‪ .‬מסלול כמעט‬
‫מעגלי‪.‬‬
‫‪1 1‬‬
‫)‪ (1  e cos ‬‬
‫‪r se‬‬
‫‪Ra  R p‬‬
‫‪Ra  R p‬‬
‫‪e‬‬
‫‪m‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪a‬‬
‫‪p‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ea‬‬
‫‪e>1‬‬
‫‪e=1‬‬
‫אליפסה‬
‫מעגל‬
‫‪ea‬‬
‫‪a‬‬
‫היפרבולה‬
‫פרבולה‬
‫‪M‬‬
‫‪0 <e <1‬‬
‫‪e=0‬‬
‫חוק ‪ II‬של קפלר‬
‫הרדיוס וקטור המחבר את כוכבי הלכת אל השמש מתווה שטחים שווים‬
‫בזמנים שווים‪.‬‬
‫שטח המשולש ‪ A‬קרוב לשטח הגזרה‬
‫שמתווה הרדיוס בזמן ‪.t‬‬
‫‪(r )( r) 1 2‬‬
‫‪ r ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫‪A ‬‬
‫בפרקי זמן מאוד קצרים בין מיקום‬
‫‪1 2‬‬
‫כוכבי הלכת השגיאה בביטוי קטנה ‪dA  r d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪dA 1 2 d 1 2‬‬
‫‪ r‬‬
‫‪ r ‬‬
‫‪dt 2 dt 2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪pr‬‬
‫‪r‬‬
‫‪L  rp  (r )(mv )  (r )(mr )  mr ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪L‬‬
‫‪ dA‬חוק השטחים אומר שהתנע הזוויתי הוא גודל קבוע‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪dt 2m‬‬
‫חוק השטחים קובע למשל שקרוב לשמש כוכבי הלכת נעים מהר יותר‬
‫מאשר רחוק מהשמש‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪M‬‬
‫חוק ‪ III‬של קפלר‬
‫רבוע זמן המחזור של כוכב לכת בסיבובו סביב השמש פרופורציוני לחזקה‬
‫השלישית של חצי הציר הראשי של המסלול‪.‬‬
‫‪mM‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪G 2  m r‬‬
‫‪‬‬
‫‪r‬‬
‫‪T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫(‪T2 ‬‬
‫‪)r 3‬‬
‫‪GM‬‬
‫‪r‬‬
‫‪‬‬
‫כוכב השביט של היילי סובב סביב השמש במחזור של ‪ 76‬שנה‪ .‬בשנת ‪1986‬‬
‫המרחק הקרוב שלו לשמש ‪ ,R p‬פריהליון‪ ,‬היה ‪.8.9 x 10 10 m‬‬
‫הצייד אחרי חורים שחורים‪.‬‬
‫מערכת בינארית היא מערכת של שני כוכבים המסתובבים סביב מרכז‬
‫מסתם‪ .‬לעיתים רואים רק כוכב אחד הנע במעגל‪ .‬אור המגיע מכוכב זה‬
‫מראה שלכוכב יש מהירות של ‪ 270‬קמ"ש‪ ,‬זמן מחזור של ‪ 1.70‬ימים ומסה‬
‫‪ .m 1 = 6M s‬חשב את המסה ‪ m 2‬בהנחה כי הכוכב ובן הזוג הבלתי נראה‬
‫שלו נעים במסלול מעגלי‬
‫•מרכז המסה נמצא בין מרכזיהם‬
‫•מרכז המסה אינו מתקרב אפילו לאחד הכוכבים‪.‬‬
‫חוק ‪ III‬של קפלר איננו שימושי‪.‬‬
‫‪m2‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪r1‬‬
‫‪m1‬‬
‫•הכוח הצנטריפטלי הגורם לתנועה מעגלית הוא כוח המשיכה בין המסות‪.‬‬
r  r1  r2
m1m2
v2
G 2  m1
r
r1
m1
r1
O
r2
m2
m1 (0)  m2 r
r1 
m1  m2
m1  m2
r  r1
m2
vT m1  m2
r
2π m2
vT
r1 
2
Gm 32
v 2T

2
(m 1  m2 )
2G
Gm2
v2

vT m1  m2 2 vT
(
)
2
2 m 2
3
2
m2  9Ms
m
 3.47 M s
2
(6 M s  m 2 )
‫כידוע האנרגיה הפוטנציאלית של גוף שמסתו ‪ m‬ונמצא בגובה ‪ h‬היא‬
‫‪ .mgh‬מצד שני היא שווה לביטוי )‪ –GMm / (R+h‬כאשר ‪ M‬ו ‪ R -‬הם‬
‫מסת ורדיוס כדור הארץ‪ .‬האם זה אותו ביטוי?‬
‫‪mM‬‬
‫‪GmM‬‬
‫‪h 1‬‬
‫‪U  G‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪(1 ‬‬
‫)‪( R  h‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪h 1‬‬
‫‪h‬‬
‫‪h 2‬‬
‫) (‪(1  )  1   O‬‬
‫נניח כי ‪h<<R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪GMm‬‬
‫‪h‬‬
‫‪GM‬‬
‫‪mM‬‬
‫‪U ‬‬
‫‪(1  )  G‬‬
‫‪m 2 h‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫האבר הראשון הוא אנרגית הגוף ע"פ כדור הארץ (ביחס לאינסוף)‪ .‬אם‬
‫מודדים את האנרגיה הפוטנציאלית ביחס לפני כדור הארץ הוא איננו מופיע‪.‬‬
‫האבר השני הוא ‪.mgh‬‬
‫לווינים‪ :‬מסלולים ואנרגיה‬
‫‪mM‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪G 2 m‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫לווין‪ ,‬המסחרר במרחק ‪ r‬ממרכז כדור‬
‫הארץ במהירות ‪ v‬הוא בעל אנרגיה‬
‫‪1‬‬
‫‪mM‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪K  mv  G‬‬
‫‪ U‬‬
‫קינטית ופוטנציאלית‪ .‬הגובה‬
‫‪2‬‬
‫‪2r‬‬
‫‪2‬‬
‫והמהירות אינם משתנים בלתי תלויים‬
‫‪mM‬‬
‫כיון שיש קשר ביניהם‪ .‬ז‪.‬א‪ .‬לא ניתן‬
‫‪E  K  U  G‬‬
‫לבחור גם את גובה הלווין וגם את‬
‫‪2r‬‬
‫מהירותו‪ .‬בחירת אחד מהם קובעת‬
‫את השני‪.‬‬
‫אם המסלול איננו מעגלי אלא‬
‫אליפטי‬
‫‪mM‬‬
‫‪E  G‬‬
‫‪2a‬‬
‫הנוסחה האחרונה אומרת שהאנרגיה הכללית‬
‫של לווין תלויה רק בחצי הציר הראשי ולא‬
‫באקסצנטריות‪ .‬כל המסלולים בתמונה בעלי‬
‫אותה אנרגיה‪.‬‬
‫חללית נעה במסלול מעגלי שרדיוסו ‪ r‬סביב כדור‬
‫הארץ‪ .‬בנקודה ‪ P‬יורה הנווט רקיטות האטה‬
‫ומקטין את האנרגיה הקינטית של החללית ואת‬
‫האנרגיה המיכנית‪ .‬לאיזה מסלול תיכנס החללית‬
‫ומה קורה לזמן מחזורה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪mM‬‬
‫‪3‬‬
‫(‪T ‬‬
‫‪) a E  G‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪GM‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬