Transcript last.ppt
הרצאה 7 מעבר ממערכת מסתובבת למערכת אינרציאלית 1 מהירות ותאוצה במערכת קואורדינטות מסתובבת 2 מסגרת ייחוס שקבועה על הארץ אינה מערכת אינרציאלית וזאת עקב סיבוב הארץ סביב צירו. מסה נקודתית בנקודה rאף על פי שהיא במנוחה על פני הארץ היא נעה ,סובבת במעגל סביב ציר ZRעבור צופה במערכת אינרציאלית . חוקי ניוטון אינם תקפים במערכת צירים שקבועה על הארץ. חשוב ע"כ לדון בתיאור התנועה של חלקיק במערכת מסתובבת בהשוואה למערכת אינרציאלית. Z ω v N r YR XR נדון במעבר בין שתי המערכות הבאות - OI(XI,YI,ZI) : מערכת אינרציאלית ; ) - OR(XR,YR,ZRמערכת מסתובבת סביב ציר ZRבמהירות זוויתית ;ωהראשית OIוהראשית ORמתלכדות; הצירים ZRו ZI -מקבילים. YR YI P yI XR θ rR xR yR yR sinθ XI 3 θ xI XR cosθ OI,ZI OR,ZR נתחיל בבעיה סטטית; ORמסובבת ביחס ל OI -בזוית .q נמצא את הקשר בין גדלים שנמדדים ב OR -אותם נסמן באינדקס Rלבין הגדלים שנמדדים ב OI-ושאותם נסמן באינדקס .I תהי Pנקודה כלשהי .שיעורי הנקודה: ב( xI , yI , zI ) OI - ב( xR , yR , zR ) OR - נמצא קשר בין שיעורי הנקודה בשתי המערכות. 4 YR YI P yI XR θ rR xR yR OI,ZI OR,ZR yR sinθ θ XR cosθ xI x I = x R cosθ - y R sinθ (1) y I = x R sinθ + y R cosθ (2) zI = zR (3) XI 5 נשים לב למשמעות של .xI,yI,zIאלה הם הרכיבים של וקטור המקום rRמנקודת ראות של צופה בOI- כלומר x I = (rR ) x y I = (rR ) y z I = (rR ) z בעוד ש xR,yR,zR -הם הרכיבים של rRמנקודת ראות של צופה ב.OR- 6 הערה 1 הנוסחאות נכונות לכל וקטור ב OR -ללא קשר למשמעותו הפיסיקאלית .זה נכון גם לווקטור המהירות .כך אם נחליף את וקטור המקום rRבווקטור המהירות נקבל: = x R cosθ - y R sinθ vR x vR y v R z ()4 כאשר vR = x R , yR , zR וקטור המהירות של Pכפי שהוא נמדד במסגרת הייחוס .OR = x R sinθ - y R cosθ = zR 7 וגם לווקטור התאוצה ,אם נחליף את rRבווקטור התאוצה aR נקבל : = x R cosθ - y R sinθ ()5 כאשר = x R sinθ - y R cosθ = zR a R = x R ,yR ,zR התאוצה כפי שהיא נמדדה ע"י צופה בOR- 8 a R x a R y a R z נחזור לדון בבעיה דינמית; נניח כי θ =ωt נתייחס למקרה הפרטי שבו ORסובבת סביב ציר z במהירות זוויתית קבועה ; ).ω=(0,0,ω עבור צופה ב OI -שיעורי הנקודה Pיהיו )xI(t) , yI(t) , zI(t ועבור צופה ב OR -שיעורי הנקודה Pיהיו ).xR(t) , yR(t) , zR(t 9 כפי שראינו הקשר בין שיעורי הנקודה ב OI -וב OR-בזמן נתון הנו (מש' : ) 1-3 x I = x R cosωt - y R sinωt x I = x R sinωt + y R cosωt zI = zR כדי לחשב מהירויות נגזור את הביטויים האלה לפי הזמן, ) v I = (x I , yI , z I ()6 10 x I = x R cosωt - yR sinωt = -ωx R sinωt - ωy R cosωt שני המחוברים הראשונים מייצגים את רכיב xשל וקטור המהירות vR (רגעי) כפי שרואה אותו צופה ב .OI -נכתוב בצורה נוחה את שני האיברים האחרונים: - ω x R sinωt + y R cosωt = - ωz rR y הביטוי בסוגריים מיצג רכיב yשל ווקטור המקום rRכפי שרואה אותו צופה ב ; OI-כמו כן ωמייצג רכיב zשל וקטור המהירות הזוויתית ; . ω=ωzיוצא שאת שני האיברים האחרונים אנו יכולים לכתוב בצורה, - ω x R sinωt + yR cosωt = - ωz rR y = - ωz rR y ωy rR z = ω rR x הוספנו איבר ωy (rR)zשהוא שווה לאפס זהותית .ביטויים נוספים לשאר הרכיבים. 11 ונסכם : ובאופן דומה נקבל: = vR x + ω×rR x = v R y + ω×rR y = v R z + ω×rR z בכתיב ווקטורי ניתן לכתוב את שלושת הנוסחאות האחרונות באופן הבא: v I = v R + ω×rR או )(7 12 vI x vI y v I z v R = v I - ω×rR 13 מה אומר לנו הקשר האחרון שמצאנו ? המהירות מנקודת ראות של צופה ב OR-הנה הפרש של שני מחוברים. הראשון מייצג את המהירות vRכפי שרואה אותו צופה ב ;OI -השני נובע בגלל סבוב מערכת הייחוס שבה .OR נזכור ωהיא מהירות סיבובית של .ORאם המכפלה הווקטורית ) (ω×rRמתאפסת הצופים ב OI -וב OR -ימדדו מהירות זהה! תנאי זה יתקיים כאשר ω||rRואם . ω||zמה שמחייב ; rR=(0,0,z) :הנקודה מצויה על ציר . Zעבור נקודה כלשהי התנאי לא בהכרח מתקיים כך ששני הצופים יקצבו מהירויות שונות. הקשר בין התאוצות נגזור את הביטוי ) (6שמצאנו ל ẋ1-פעם נוספת: x I = x R cosωt - y R sinωt -2ω x R sinωt + y R cosωt -ω x R cosωt + y R sinωt 2 14 שני איברים ראשונים מייצגים רכיב Xשל וקטור התאוצה aRכפי שרואה אותו צופה ב [ O -מש' ( .])5בשורה השנייה הביטוי בסוגריים מיצג את רכיב Yשל וקטור המהירות vRכפי שרואה אותו צופה ב [ OI -מש' (.])6 ובשורה השלישית הסוגריים מייצגים את רכיב Xשל [ rRמש' (.])1 x I = (a R ) x - 2ωz (v R ) y - ωz2 (rR ) x 2ωz (v R ) y = 2ωz (v R ) y - 2ω y (v R ) z = [ω×v R ]x ω2z (rR ) x = ωz [ωz (rR ) x - ω x (rR ) z ] = ω z (ω×rR ) y = ωz (ω×rR ) y - ω y (ω×rR ) z = [ω×(ω×rR )]x על מנת לכתוב את המחוברים השני x= y=0 -חזרנו והשתמשנו ב .והשלישי בצורה נוחה יותר15 נסכם אפוא a I x = a R x + 2 ω×v R x + ω× ω×rR x : z - וy ובאופן דומה נקבל את רכיבי a I y = a R y + 2 ω×v R y + ω× ω×rR y a I z = a R z + 2 ω×v R z + ω× ω×rR z 16 17 האבר הראשון מיצג את התאוצה של Pכפי שרואה אותה צופה במסגרת האינרציאלית – .OI המחובר השני ) -2(ω×vRנקרא בשם תאוצת קוריוליס והוא נובע מסיבוב המערכת ORביחס ל .OI -תאוצת קוריוליס אינה אפס רק אם ל P -מהירות ב OR -שאינה אפס. המחובר השלישי מייצג את התאוצה הצנטריפוגאלית ומקורו אך ורק בסיבוב ORסביב ציר .z על נוסחא ( )9נוכל להסתכל גם מנקודת ראות של כוחות שפועלים על מסה נקודתית mב .P -נכפול את שני האגפים ב m -ונקבל: ) ma R = ma I - 2m (ω×vR ) - mω × (ω×rR 18 aIהתאוצה במערכת אינרציאלית שבה חוקי ניוטון תקפים ולכן המכפלה maIשווה לשקול הכוחות החיצוניים שפועלים על המסה .mב OI-פועלים כוחות ממשיים בלבד. ובכתיב וקטורי, a I = a R + 2 ω×v R + ω× ω×rR (........)9 a R = a I - 2 ω×v R - ω× ω×rR מה אומרת לנו נוסחא ( ? )9התאוצה כפי שמודד אותה צופה ב OR -שווה לסכום של שלושה מחוברים .הראשון התאוצה ב ,OI -השני ידוע בשם תאוצת קוריוליס והוא נובע בשל סבוב המערכת ותנועת החלקיק ביחס לצופה ב ,OR -השלישי מייצג את התאוצה הצנטריפוגלית. 19 20 המחובר השני מייצג את כוח קוריוליס בעוד המחובר השלישי מייצג את הכוח הצנטריפוגאלי .שני הכוחות האלה הנם כוחות פיקטיביים שנובעים מן העובדה שמערכת הצופה אינה מערכת אינרציאלית .בדוגמא הנדונה הם נובעים מסיבוב מערכת הצירים ORסביב ציר ;Zהם תלויים במצב התנועה של מערכת הייחוס ושל הגוף ביחס למערכת האינרציאלית. תאוצה צנטריפוגלית ותאוצת קוריוליס במערכת הארץ נדגים כוחות אלה והשפעתם מנקודת ראות של צופה על הארץ אשר כאמור הינה מערכת מסתובבת.נסתכל תחילה על התאוצה הצנטריפוגאלית בקו רוחב λהמכפלה הוקטורית ) (ω×rRניצבת למישור הדף וכיוונה מזרחה (אל תוך הדף/מסך) N ω )-ω×(ω×rR λ A D rR מישור המשווה 21 λ ω בקו רוחב ( λהזווית בין rRלבין מישור המשווה) הזווית בין המהירות הזוויתית של הארץ סביב צירה הנה ,)π/2(-λולכן |(ω×rR)| = ω rR sin[(π/2)- λ] = ω rR cos λ הכיוון של ) (ω×rRהנו אל תוך הדף/מסך ,ומכאן הזווית בינו לבין ωהנה ( .)π/2הגודל של המכפלה המשולשת יהיה אפוא נתון ע"י, )|ω×(ω×rR)| = ω |ω×rR| sin(π/2 = ω ω rR cosλ = ω2 rR cosλ 22 תאוצה צנטריפוגלית הכיוון של המכפלה המשולשת × ×vRיהיה בכיוון ADהמשווה. הכיוון של התאוצה הצנטריפוגאלית יהיה בכיוון של DAכמוראה בציור. סדר גודל -התאוצה הצנטריפוגאלית: המהירות הזוויתית של הארץ הנה ω = 7.292 · 10-5 s-1 רדיוס הארץ rR = 6.35 · 106 m N ω )-ω×(ω×rR λ A D vR ω2rR~ 3.4 · 10-2 ms-1 מישור המשווה 23 λ ω תאוצת קוריוליס-זריקה אנכית z z ω v ω N v r )-(ω×vR r y y )(ω×vR מכוון מזרח. - ×vRמכוון מערבה.יוצא החוצה מן הדף/מסך 24 N x תאוצת קוריוליס-נפילה חופשית כיוון תאוצת קוריוליס -2) ×vR ניצב לווקטור המהירות vRולפיכך השפעתה תהיה הסחת החלקיק בניצב לכיוון תנועתו.שים לב לסימן השלילי. מקרה פרטי :תאוצת קוריוליס במקרה של נפילה חופשית בקו רוחב כבדוגמא הקודמת. כיוון צפון-דרום vR ω λ A מישור המשווה 25 N D λ תאוצת קוריוליס-נפילה חופשית כיוון הניצב לפני הארץ בנקודה A כיוון המכפלה -2) ×vR יהיה מזרחה ולפיכך גוף שנופל נפילה חופשית מן הנקודה Bיפגע הקרקע מזרחה לנקודה .Aשים לב לסימן השלילי. B N λ rR ω ’’A W A E S 26 תאוצת קוריוליס – גוף נע מזרחה על המשווה z z N N ω v ω )-(ω×vR y )(ω×vR vR 27 )(ω×vR y )-2(ω×vR מקטין את g0 x התאוצה הצנטריפוגאלית תהיה אפוא נתונה ע"י = Acf = -ω2 rR cosλ = -(7.292 · 10-5 s-1)2 · (6.35 · 106 m) cosλ = -3.38 · 10-2 cosλ ערכה המקסימלי יהיה שווה ל ; 3.38 · 10-2רק כ- acf/g0=[3.38·10-2 (ms-2)]/10 (ms-2) ~ 0.34% 28 מערכה הממוצע של . g אנו מצפים אפוא שהתאוצה החופשית לא תשנה את כיוונה במידה ניכרת. ההשפעה על הגודל תהייה הקטנת g0בשיעור השווה לרכיב acfבכיוון rRאו ;g0בשיעור acf cosλ = -ω2 rR cos2λ צופה על פני כדור הארץ ימדוד אפוא תאוצה חופשית g = g0 - ω2 rR cos2λ = g0 - 3.38 · 10-2 · cos2λ 29 ההשפעה של התאוצה הצנטריפוגלית תהייה מקסימאלית על המשווה ומינימאלית על הקוטב. תרגיל: אם חלקיק נע במישור האופקי ולא בניצב לפני הארץ מה תהיה השפעת תאוצת קוריוליס? 30