Transcript lnotes4.ppt
תנועה דו ותלת ממדית. ב 1922 -לוליין ממשפחת zaccinisהיה הראשון שנורה מלוע של תותח. בשיאו הוא נורה מעל גלגלי ענק .כיצד ידע היכן לפרוס את רשת הביטחון שתקלוט אותו וכיצד הבטיח לעצמו שיעבור מעל גלגלי הענק. נשתמש בחומר של הפרקים האחרונים ( תנועה בממד אחד ווקטורים) לדון בתנועה רב ממדית. מיקום וההעתק. כדי למקם חלקיק משתמשים בוקטור המקום המתחיל בנקודת יחוס מסוימת .אם החלקיק נמצא בנקודה ) (x, y, zאז וקטור המקום יהיה z r = x i +y j + z k )(x, y, z נניח שהגוף בתנועה ונע מנקודה )(x1, y1, z1 לנקודה ) .(x2, y2, z2 y וקטור ההעתק יהיה r = r2 – r1 = ( x2 - x1 ) i + ( y2 - y1 ) j + ( z2 – z1 ) k r = x i + y j + z k x דוגמה שפן רץ לאורך מגרש חניה .מיקומו כל רגע ניתן ע"י x = -0.3 t2 + 7.2 t + 28 y = 0.22 t2 - 9.1 t + 30 .1מהו מיקומו אחרי 15שניות x = 66 m y - -57 m r = 66i – 57j r = (662 + 572)½ = 87m = tan –1(-57/66) = -41° .2מהו מסלולו של השפן y 30 -10 -57 x 28 56.5 66 t 0 5 15 מהירות ממוצעת ורגעית מהירות ממוצעת מוגדרת vavg = r / t מהגדרת וקטור ההעתק rמקבלים vavg = (x i + y j + z k )/ t המהירות הרגעית מוגדרת כאשר מרווח הזמן בין שתי הנקודות שואף לאפס. זהו המקרה בו המיתר שואף למשיק. y r r1 x r2 המהירות הרגעית משיקה למסלול. v = dr / dt v = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k = vxi +vyj + vzk y v vy vx x . שניות לאחר תחילת תנועתו15 מהי מהירות השפן שרץ במגרש החניה vx = dx / dt = d ( -0.3t2 + 7.2t + 28 ) /dt = -0.6t + 7.2 vy = dy / dt = d (0.22t2 – 9.1t + 30 ) /dt = 0.44t - 9.1 vx = -2.1 m/s vy = -2.5 m/s v = -2.1 i – 2.5 j v = ( vx 2 + vy 2 )½ = 3.3 m/s = tan -1 ( 2.5 /2.1) = -130° תאוצה כאמור ,תאוצה היא קצב השתנות המהירות .כמו במקרים הקודמים ,אם מהירות הגוף במיקום 1הוא v1ובמיקום 2הוא v2אזי aavg = (v2 – v1) / t וכרגיל ,התאוצה הרגעית תהיה a = dv /dt a = d (vx i + vy j + vz k ) / dt a = dvx/dt i + dvy/dt j + dvz/dt k ax = dvx/dt ay = dvy/dt az = dvz/dt a = axi + ayj + azk a ax x y ay תנועה בליסטית זוהי תנועה דו – ממדית שבה חלקיק נע במישור אנכי במהירות התחלתית v ובתאוצה אנכית .g תנועה זו ניתנת לניתוח בעזרת עקרון הסופרפוזיציה .עקרון זה מאפשר לפרק את התנועה המסובכת לשתי תנועות פשוטות בשני צירים מאונכים המתבצעות בעת ובעונה אחת. 2-1 2-2 דוגמה נוספת להפרדת התנועה לשתי תנועות פשוטות ניתנת במקרה הבא. Gהוא רובה אויר .המטרה היא קופסה התלויה בעזרת מגנט .M הקנה של הרובה מכוון ישר לקופסה. ברגע הירייה המגנט משחרר את הקופסה .אם g = 0מסלול הכדור יהיה קו ישר והוא יפגע בקופסה כיון שתישאר במקומה .במציאות הקופסה תיפול מרחק hבמשך תנועת הכדור .הכדור גם הוא נופל מרחק hמהקו הישר. מסקנה :הכדור יפגע בקופסה! 2-3 ניתוח התנועה v0 = v0xi + v0yj vx = v0cos 0 תנאי ההתחלה vy= v0sin 0 תנועה אנכית תנועה אופקית vy = v0sin 0 – gt vx = v0cos 0 y = y0 + (v0sin 0)t - ½ g t2 x = x0 + (v0cos 0) t t = x / (v0cos 0) y = ( tan 0 ) x – - g x2 / 2 (v0cos 0)2 השפעת האויר ניתוח הבעיה לא הביא בחשבון את השפעת האוויר. האוויר מתנגד לתנועה ועקב כך הטווח ושיא הגובה קטנים .השפעת האוויר (ע"י חשובים) ניתנת בטבלה הבאה ומבוססת על אותם תנאי התחלה. טווח גובה מקסימלי זמן מעוף מסלול I 98.5 m 53 m מסלול II 177 m 76.8 m 6.6 s 7.9 s נחזור למקרה הלוליין .הוא נורה מהתותח במהירות של 26.5 m/sובזווית של .53°גובה גלגלי הענק הוא .18 m .1באיזה גובה יעבור מעל הגלגל הראשון? .2באיזה גובה יהיה מעל הגלגל המרכזי אם שם שיא הגובה. y = tan 53 x 23 – 9.8 x 23 2 / 2x (26.5 cos 53 )2 = 20.3 הוא עובר בגובה של 5.3mמעל הגלגל כיון שהוא נורה מגובה של 3m מעל האדמה. ymax = (26.5 sin 53)2 / (2 x 9.8) = 22.9 m הוא יהיה בגובה של 7.9mמעליו. היכן הוא צריך לפרוס את רשת הביטחון כדי שתקלוט אותו? R = 26.5 2 sin 2(53) / 9.8 = 69 הוא צריך לפרוס את הרשת במרחק 69mמנקודת הירייה. החישוב הנ"ל לא הביא בחשבון את התנגדות האוויר .במקרה כזה ,הטווח ושיא הגובה יקטנו ועליו לפרוס רשת גדולה כדי להבטיח את בטחונו האישי. תנועה מעגלית אחידה בתנועה מעגלית אחידה הגוף נע על פני מעגל או קשת מעגלית בקצב קבוע .אין זאת אומרת כי מהירותו קבועה כיון שמהירות היא גודל וקטורי וכיוונה משתנה כל הזמן .שינוי המהירות נגרם ע"י תאוצה ,ובתנועה מעגלית התאוצה מכוונת כלפי מרכז המעגל וקרויה תאוצה צנטריפטלית שפירושה מחפשת את המרכז .התאוצה תמיד מאונכת לכוון המהירות. a גודל התאוצה a = v2/r v v a a זמן המחזור T = 2r / v זהו הזמן הדרוש לגוף להשלים סבוב אחד .התדירות היא מספר הסיבובים לשניה f = 1 / T = v / 2r v yv yp v= vx i + vy j = -v sin i + v cos j r xp p v = -vyp/r i + vxp/r j x a = dv /dt = (-v /r) ( dyp /dt ) i + ( v /r) (dxp /dt ) j dyp /dt = vy dxp /dt = vx a = (-v2/r cos ) i + (v2/r sin ) j a = ( ax2 +ay2 )½ = v2/r ( cos2 + sin2 )½ = v2/r טייסי קרב מכירים את השפעת התאוצה הצנטריפטלית בזמן סבוב מהיר כאשר הראש בכיוון מרכז הסיבוב .לחץ הדם במוח יורד עד כדי חוסר תפקוד .קיימים סימני אזהרה .כאשר התאוצה היא 2gאו 3gהטייס מרגיש כבדות .ב 4g -הטייס רואה בשחור – לבן ושדה הראיה קטן .אם התאוצה נמשכת או גדלה ,הטייס מאבד את הכרתו .זהו מצב הנקרא g - LOC ) .( g – induced loss of consciousness מהי התאוצה של טייס F-22הטס במהירות של 2500 km / hורדיוס סיבוב של ?5.8 km a = v2 / r = 694 2 / 5800 = 83 m / s2 = 8.5g בקרב אויר הטייס יאבד מיד את הכרתו. טיפול וקטורי עד עתה הנחנו שוקטורי היחידה קבועים בגודלם ובכיוונם ולכן הנגזרת שלהם לפי הזמן מתאפסת. כל וקטור ניתן לכתיבה כמכפלה של גודלו בווקטור יחידה בכיוונו. ) (r t ) (r t )r(ˆ t dr d ) (r t t )r(ˆ t t ) (r t )r(ˆ t [(r t )r(ˆ t )] lim t 0 dt dt t נפתח את ) r ( t + tלטור .רק שני האברים הראשונים יתרמו כיוון ש- .t dr 1dr 2 (r t t ) [(r t ) t ]( t ) 2 dt 2 dt 2 ˆ dr ˆdr dr ˆdr 2 dr d r [(r t ) t ][r(ˆ t ) t ] (r t )r(ˆ t ) (t () rˆ r ) ( t ) dt dt dt dt dt dt חלוקה ב t -והצבת הגבול נותנת dr dr ˆd r v rˆ r dt dt dt חישוב נגזרת של סקלר כפול וקטור מחושבת כמו נגזרת של מכפלה. למהירות תורמים שני גורמים .אחד תלוי בשינוי גודלו של rוהוא בכיוונו של .r הגורם השני תלוי בשינוי הכיוון של .r חישוב קצב ההשתנות של וקטור היחידה וקטור היחידה אינו משנה את גודלו אלא רק את כיוונו .במשך זמן tהוא מתאר זווית .θ ̂r θ ˆrˆ r ̂r גודל המיתר יהיה rˆ rˆ בזוויות קטנות ) (θאורך המיתר שווה לאורך הקשת. השינוי בוקטור היחידה r ,מאונך לרדיוס וקטור, כלומר בכיוון המשיק .וקטור היחידה בכיוון המשיק קרוי .θ ̂θ ̂r ˆr̂ ˆ rˆ t t במעבר לגבול בו מרווח הזמן שואף לאפס בצורה דומה ניתן להראות ˆ d rˆ d dt dt ˆd d ˆ r dt dt dr dr d ˆ v rˆ r dt dt dt והמהירות ניתנת ע"י התאוצה תהיה d v d 2r dr drˆ dr d ˆ d 2 ˆ d dˆ a 2 rˆ r 2 r dt dt dt dt dt dt dt dt dt ע"י הצבה מתאימה וסידור האברים dr d 2 1 d 2 d a [ 2 (r ) ]rˆ [ ( r )] ˆ dt dt r dt dt 2 בתנועה מעגלית בקצב קבוע הרדיוס קבוע ולכן המהירות תהיה מסמנים d dt בחישוב התאוצה rוω - קבועים ומקבלים ˆ d v r dt ˆv r ˆa r r 2 זוהי התאוצה הצנטריפטלית והיא בכיוון המרכז (הסימן השלילי). מהירות יחסית חד-ממדית נניח שאתה רואה מכונית הנוסעת במהירות של 100קמ"ש .למכונית שניה, הנוסעת באותה מהירות ובאותו כיוון ,המכונית הראשונה נראית במנוחה. מסקנה :מהירות של גוף תלויה במערכת הייחוס של הצופה המודד את המהירות. מערכת הייחוס היא עצם פיסיקלי שמצרפים אליו מערכת קואורדינטות. לדוגמה המהירות הרשומה בדוח מהירות היא יחסית לאדמה .היא הייתה אחרת אם השוטר הרושם את הדוח היה בתנועה. נניח שאמנון ,בראשית הצירים של מערכת ,A חונה לצד הכביש ורואה מכונית חולפת ) . ( P ברוך ,בראשית הצירים של מערכת ,Bנוסע במהירות קבועה על הכביש וצופה במכונית. שניהם מודדים את מיקום המכונית. P B xPB vBA A xPA xBA xPA = xPB + xBA dxPA / dt = dxPB / dt + dxBA / dt vPA = vPB + vBA חוק חיבור המהירויות :מהירות Pיחסית ל – Aשווה למהירות של Pיחסית ל – Bפלוס מהירות של Bיחסית ל – .A ואם מכונית Pמאיצה dvPA /dt = dvPB /dt +dvBA /dt aPA = aPB תנועה יחסית בשני ממדים vBA בתנועה יחסית ביותר מממד אחד יש צורך להביא בחשבון את האופי הוקטורי של ההעתק והמהירות. rPA = rPB + rBA vPA = vPB + vBA aPA = aPB P rPB rPA rBA