Transcript lec04_edited.ppt

‫נשתמש בחומר של הפרקים האחרונים ( תנועה בממד אחד ווקטורים) לדון‬
‫בתנועה רב ממדית‪.‬‬
‫מיקום וההעתק‪.‬‬
‫כדי למקם חלקיק משתמשים בוקטור המקום המתחיל בנקודת יחוס‬
‫מסוימת‪ .‬אם החלקיק נמצא בנקודה )‪ (x, y, z‬אז וקטור המקום יהיה‬
‫‪z‬‬
‫‪r = x i +y j + z k‬‬
‫)‪(x, y, z‬‬
‫נניח שהגוף בתנועה ונע מנקודה‬
‫)‪(x1, y1, z1‬‬
‫לנקודה ) ‪.(x2, y2, z2‬‬
‫‪y‬‬
‫וקטור ההעתק יהיה‬
‫‪r = r2 – r1 = ( x2 - x1 ) i + ( y2 - y1 ) j + ( z2 – z1 ) k‬‬
‫‪r = x i + y j + z k‬‬
‫‪x‬‬
‫דוגמה‬
‫שפן רץ לאורך מגרש חניה‪ .‬מיקומו כל‬
‫רגע ניתן ע"י‬
‫‪x = -0.3 t2 + 7.2 t + 28‬‬
‫‪y = 0.22 t2 - 9.1 t + 30‬‬
‫‪ .1‬מהו מיקומו אחרי ‪ 15‬שניות‬
‫‪x = 66 m y = -57 m‬‬
‫‪r = 66i – 57j r = (662 + 572)½ = 87m  = tan –1(-57/66) = -41°‬‬
‫‪ .2‬מהו מסלולו של השפן‬
‫‪y‬‬
‫‪30‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪-57‬‬
‫‪x‬‬
‫‪28‬‬
‫‪56.5‬‬
‫‪66‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪15‬‬
‫מהירות ממוצעת ורגעית‬
‫מהירות ממוצעת מוגדרת‬
‫‪vavg = r / t‬‬
‫מהגדרת וקטור ההעתק ‪ r‬מקבלים‬
‫‪vavg = (x i + y j + z k )/ t‬‬
‫המהירות הרגעית מוגדרת כאשר מרווח‬
‫הזמן בין שתי הנקודות שואף לאפס‪.‬‬
‫זהו המקרה בו המיתר שואף למשיק‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪r2‬‬
‫המהירות הרגעית משיקה למסלול‪.‬‬
‫‪v = dr / dt‬‬
‫‪v = (dx/dt) i + (dy/dt) j + (dz/dt) k = vxi +vyj + vzk‬‬
y
v
vy
vx
x
.‫ שניות לאחר תחילת תנועתו‬15 ‫מהי מהירות השפן שרץ במגרש החניה‬
vx = dx / dt = d ( -0.3t2 + 7.2t + 28 ) /dt = -0.6t + 7.2
vy = dy / dt = d (0.22t2 – 9.1t + 30 ) /dt = 0.44t - 9.1
vx = -2.1 m/s vy = -2.5 m/s
v = -2.1 i – 2.5 j
v = ( vx 2 + vy 2 )½ = 3.3 m/s
 = tan -1 ( 2.5 /2.1) = -130°
‫תאוצה‬
‫כאמור‪ ,‬תאוצה היא קצב השתנות המהירות‪ .‬כמו במקרים הקודמים‪ ,‬אם‬
‫מהירות הגוף במיקום ‪ 1‬הוא ‪ v1‬ובמיקום ‪ 2‬הוא ‪ v2‬אזי‬
‫‪aavg = (v2 – v1) / t‬‬
‫וכרגיל‪ ,‬התאוצה הרגעית תהיה‬
‫‪a = dv /dt‬‬
‫‪a = d (vx i + vy j + vz k ) / dt‬‬
‫‪a = dvx/dt i + dvy/dt j + dvz/dt k‬‬
‫‪ax = dvx/dt ay = dvy/dt az = dvz/dt‬‬
‫‪a = axi + ayj + azk‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ay‬‬
‫תנועה בליסטית‬
‫זוהי תנועה דו – ממדית שבה‬
‫חלקיק נע במישור אנכי‬
‫במהירות התחלתית ‪v‬‬
‫ובתאוצה אנכית ‪.g‬‬
‫אפשר לפרק את התנועה‬
‫המסובכת לשתי תנועות פשוטות‬
‫בשני צירים מאונכים המתבצעות‬
‫בעת ובעונה אחת‪.‬‬
‫דוגמה נוספת להפרדת התנועה לשתי תנועות פשוטות ניתנת במקרה‬
‫הבא‪.‬‬
‫‪ G‬הוא רובה אויר‪ .‬המטרה היא‬
‫קופסה התלויה בעזרת מגנט ‪.M‬‬
‫הקנה של הרובה מכוון ישר‬
‫לקופסה‪.‬‬
‫ברגע הירייה המגנט משחרר את הקופסה‪ .‬אם ‪ g = 0‬מסלול הכדור יהיה קו‬
‫ישר והוא יפגע בקופסה כיון שתישאר במקומה‪ .‬במציאות הקופסה תיפול‬
‫מרחק ‪ h‬במשך תנועת הכדור‪ .‬הכדור גם הוא נופל מרחק ‪ h‬מהקו הישר‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬הכדור יפגע בקופסה!‬
‫ניתוח התנועה‬
v0 = v0xi + v0yj
vx = v0cos 0
‫תנאי ההתחלה‬
vy= v0sin 0
‫תנועה אופקית‬
‫תנועה אנכית‬
vy = v0sin 0 – gt
vx = v0cos 0
y = y0 + (v0sin 0)t - ½ g t2
x = x0 + (v0cos 0) t
t = x / (v0cos 0)
y = ( tan 0 ) x –
- g x2 / 2 (v0cos 0)2
‫כדי למצוא את טווח הגוף הנזרק בתנועה בליסטית‪ ,‬מציבים במשואת‬
‫המסלול את הגובה ‪.y = 0‬‬
‫‪0 = x tan 0 – g x2/ 2(v0cos 0 )2‬‬
‫]‪0 = x [ tan 0 – g x / 2(v0cos 0 )2‬‬
‫‪ x = 0‬הוא פתרון טריביאלי של נקודת הזריקה‬
‫‪0 = tan 0 – gx / 2 (v0 cos 0 )2‬‬
‫‪x = R = tan 0 2 (v0 cos 0 )2 / g‬‬
‫‪R = v0 2 sin 20 / g‬‬
‫את הגובה המקסימלי ניתן למצוא כיון שהמהירות בשיא הגובה היא בעלת‬
‫רכיב אופקי בלבד‪.‬‬
‫‪ymax = (v0sin 0)2 / 2g‬‬
‫‪vy2 = (v0sin 0)2 –2gymax = 0‬‬
‫השפעת האוויר‬
‫ניתוח הבעיה לא הביא‬
‫בחשבון את השפעת האוויר‪.‬‬
‫האוויר מתנגד לתנועה ועקב‬
‫כך הטווח ושיא הגובה‬
‫קטנים‪ .‬השפעת האוויר (ע"י‬
‫חשובים) ניתנת בטבלה‬
‫הבאה ומבוססת על אותם‬
‫תנאי התחלה‪.‬‬
‫טווח‬
‫גובה‬
‫מקסימלי‬
‫זמן מעוף‬
‫מסלול ‪I‬‬
‫‪98.5 m‬‬
‫‪53 m‬‬
‫מסלול ‪II‬‬
‫‪177 m‬‬
‫‪76.8 m‬‬
‫‪6.6 s‬‬
‫‪7.9 s‬‬
‫נחזור למקרה הלוליין‪ .‬הוא נורה מהתותח במהירות של ‪ 26.5 m/s‬ובזווית‬
‫של ‪ .53°‬גובה גלגלי הענק הוא ‪.18 m‬‬
‫‪ .1‬באיזה גובה יעבור מעל הגלגל‬
‫הראשון?‬
‫‪ .2‬באיזה גובה יהיה מעל הגלגל‬
‫המרכזי אם שם שיא הגובה‪.‬‬
‫‪y = tan 53 x 23 – 9.8 x 23 2 / 2x (26.5 cos 53 )2 = 20.3‬‬
‫הוא עובר בגובה של ‪ 5.3m‬מעל הגלגל כיון שהוא נורה מגובה של ‪3m‬‬
‫מעל האדמה‪.‬‬
‫‪ymax = (26.5 sin 53)2 / (2 x 9.8) = 22.9 m‬‬
‫הוא יהיה בגובה של ‪ 7.9m‬מעליו‪.‬‬
‫היכן הוא צריך לפרוס את רשת הביטחון כדי שתקלוט אותו?‬
‫‪R = 26.5 2 sin 2(53) / 9.8 = 69‬‬
‫הוא צריך לפרוס את הרשת במרחק ‪ 69m‬מנקודת הירייה‪.‬‬
‫החישוב הנ"ל לא הביא בחשבון את התנגדות האוויר‪ .‬במקרה כזה‪ ,‬הטווח‬
‫ושיא הגובה יקטנו ועליו לפרוס רשת גדולה כדי להבטיח את בטחונו האישי‪.‬‬
‫תנועה מעגלית אחידה‬
‫בתנועה מעגלית אחידה הגוף נע על פני מעגל או קשת מעגלית בקצב‬
‫קבוע‪ .‬אין זאת אומרת כי מהירותו קבועה כיון שמהירות היא גודל וקטורי‬
‫וכיוונה משתנה כל הזמן‪ .‬שינוי המהירות נגרם ע"י תאוצה‪ ,‬ובתנועה מעגלית‬
‫התאוצה מכוונת כלפי מרכז המעגל וקרויה תאוצה צנטריפטלית שפירושה‬
‫מחפשת את המרכז‪ .‬התאוצה תמיד מאונכת לכוון המהירות‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫גודל התאוצה‬
‫‪a = v2/r‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫זמן המחזור ‪T = 2r / v‬‬
‫זהו הזמן הדרוש לגוף להשלים סבוב אחד‪ .‬התדירות היא מספר‬
‫הסיבובים לשניה‬
‫‪f = 1 / T = v / 2r‬‬
‫‪v‬‬
yv
yp
v= vx i + vy j = -v sin  i + v cos  j

r

xp
p
v = -vyp/r i + vxp/r j
x
a = dv /dt = (-v /r) ( dyp /dt ) i + ( v /r) (dxp /dt ) j
dyp /dt = vy
dxp /dt = vx
a = (-v2/r cos ) i + (v2/r sin ) j
a = ( ax2 +ay2 )½ = v2/r ( cos2  + sin2  )½ = v2/r
‫טייסי קרב מכירים את השפעת התאוצה הצנטריפטלית בזמן סבוב מהיר‬
‫כאשר הראש בכיוון מרכז הסיבוב‪ .‬לחץ הדם במוח יורד עד כדי חוסר‬
‫תפקוד‪ .‬קיימים סימני אזהרה‪ .‬כאשר התאוצה היא ‪ 2g‬או ‪ 3g‬הטייס מרגיש‬
‫כבדות‪ .‬ב ‪ 4g -‬הטייס רואה בשחור – לבן ושדה הראיה קטן‪ .‬אם התאוצה‬
‫נמשכת או גדלה‪ ,‬הטייס מאבד את הכרתו‪ .‬זהו מצב הנקרא ‪g - LOC‬‬
‫) ‪.( g – induced Loss Of Consciousness‬‬
‫מהי התאוצה של טייס ‪ F-22‬הטס במהירות של ‪ 2500 km / h‬ורדיוס‬
‫סיבוב של ‪?5.8 km‬‬
‫‪a = v2 / r = 694 2 / 5800 = 83 m / s2 = 8.5g‬‬
‫בקרב אוויר הטייס יאבד מיד את הכרתו‪.‬‬
‫מהירות יחסית חד‪-‬ממדית‬
‫נניח שאתה רואה מכונית הנוסעת במהירות של ‪ 100‬קמ"ש‪ .‬למכונית שניה‪,‬‬
‫הנוסעת באותה מהירות ובאותו כיוון‪ ,‬המכונית הראשונה נראית במנוחה‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬מהירות של גוף תלויה במערכת הייחוס של הצופה המודד את‬
‫המהירות‪.‬‬
‫מערכת הייחוס היא עצם פיסיקלי שמצרפים אליו מערכת קואורדינטות‪.‬‬
‫לדוגמה המהירות הרשומה בדוח מהירות היא יחסית לאדמה‪ .‬היא הייתה‬
‫אחרת אם השוטר הרושם את הדוח היה בתנועה‪.‬‬
‫נניח שאמנון‪ ,‬בראשית הצירים של מערכת ‪,A‬‬
‫חונה לצד הכביש ורואה מכונית חולפת ) ‪. ( P‬‬
‫ברוך‪ ,‬בראשית הצירים של מערכת ‪ ,B‬נוסע‬
‫במהירות קבועה על הכביש וצופה במכונית‪.‬‬
‫שניהם מודדים את מיקום המכונית‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫‪B‬‬
‫‪xPB‬‬
‫‪vBA‬‬
‫‪A‬‬
‫‪xPA‬‬
‫‪xBA‬‬
‫‪xPA = xPB + xBA‬‬
‫‪dxPA / dt = dxPB / dt + dxBA / dt‬‬
‫‪vPA = vPB + vBA‬‬
‫חוק חיבור המהירויות‪ :‬מהירות ‪ P‬יחסית ל –‪ A‬שווה למהירות של ‪ P‬יחסית‬
‫ל – ‪ B‬פלוס מהירות של ‪ B‬יחסית ל – ‪.A‬‬
‫ואם מכונית ‪ P‬מאיצה‬
‫‪dvPA /dt = dvPB /dt +dvBA /dt‬‬
‫‪aPA = aPB‬‬
‫תנועה יחסית בשני ממדים‬
‫‪vBA‬‬
‫בתנועה יחסית ביותר ממימד אחד יש‬
‫צורך להביא בחשבון את האופי הוקטורי‬
‫של ההעתק והמהירות‪.‬‬
‫‪rPA = rPB + rBA‬‬
‫‪vPA = vPB + vBA‬‬
‫‪aPA = aPB‬‬
‫‪P‬‬
‫‪rPB‬‬
‫‪rPA‬‬
‫‪rBA‬‬