Transcript lnotes6.ppt
כוח ותנועה II חתולים הם חיות בית .כאשר חתול נופל מחלון מידת פציעתו תלויה בגובה החלון .ככל שהחלון גבוה יותר ,פציעתו קלה יותר .על חתול שנפל מגובה של 32קומות ויצא עם ידוע פציעה קלה. כיצד יתכן שפציעת החתול קלה יותר ככל שגובה נפילתו גבוה יותר? חיכוך הוא חלק מהויות חיי היום יום .אם לא נתגבר עליו שום דבר לא יזוז. מעריכים כי 20%מצריכת הדלק במכוניות דרוש להתגבר על תופעות החיכוך. מצד שני ,ללא חיכוך ,המכונית לא תיסע והמכנסים יפלו .לא נוכל לכתוב בעיפרון והמסמרים והברגים לא יחזיקו שום דבר. נדון בשלושה מקרים .1נדחוף גוף על משטח .הגוף יאט ולאחר מכן ייעצר .כלומר יש לו תאוצה במקביל למשטח ובניגוד לכוון המהירות .לפי חוק IIשל ניוטון פועל על הגוף כוח שזה כיוונו .כוח זה הוא כוח החיכוך. .2נדחוף גוף על משטח כך שינוע במהירות קבועה .האם זהו הכוח היחיד? לפי חוק IIשל ניוטון אם זה הכוח היחיד הוא יאיץ את הגוף .מסקנה :קיים כוח נוסף ,בניגוד לכוח החיצוני שאתה מפעיל ,שמאזן את הכוח החיצוני. .3נדחוף ארגז כבד .הוא איננו זז .מחוק IIשל ניוטון נובע שיש כוח המתנגד לכוח הדוחף ומאזן אותו .זה כוח החיכוך .אם תגדיל את הכוח שאתה מפעיל עדיין לא תוכל להזיז את הארגז .כוח החיכוך גדל באותה מידה .רק כשתגדיל את הכוח הדוחף מעבר למינימום מסוים הארגז יתחיל לנוע. N N fs W N F W גוף מונח במנוחה על פני כעת פועל על הגוף משטח .הכוחות היחידים כוח חיצוני .F הפועלים עליו הם משקלו והכוח הנורמלי. מיד מופיע כוח חיכוך סטטי fsומאזן את הכוח החיצוני F fs F W הגדלה נוספת של הכוח Fגורמת להגדלת .fs הגוף עדין לא זז. N fk N a F W הגדלה נוספת של הכוח .Fכוח החיכוך fsאינו מספיק לאזן את הכוח החיצוני והגוף מתחיל להחליק .כוח החיכוך הסטטי fsהופך להיות כוח החיכוך הקינטי fk כוח החיכוך הקינטי הוא ,בדרך כלל ,יותר קטן מכוח החיכוך הסטטי המקסימלי. fk a F W הגדלה נוספת של Fתגדיל את התאוצה aללא שינוי בכוח החיכוך. כוח החיכוך הוא סכום הכוחות בין האטומים על פני המשטחים הנמצאים במגע .אם שני משטחים מלוטשים יוצרים מגע כאשר הם נמצאים במערכת ואקום (כדי לשמור על ניקיון המשטחים) אי אפשר יהיה להחליק אותם אחד על השני. הסיבה היא מספר רב של אטומים על משטח אחד יוצרים מגע עם האטומים על המשטח השני ושני המשטחים מולחמים בהלחמה קרה אחד לשני. בדרך כלל ,במשטחים בלתי מלוטשים ,רק חלק קטן של האטומים יוצרים מגע .רק 10 -4 מסך כל האטומים יוצרים מגע. כאשר לוחצים את שני המשטחים אחד לשני ,נוצרת הלחמה קרה וצריך כוח רב להחליק משטח אחד על השני. תכונות כוח החיכוך בניסויי חיכוך גוף לוחץ על משטח בלתי משומן ,וכוח Fמנסה לדחוף את הגוף .לכוח החיכוך יש את התכונות הבאות: .1אם הגוף במנוחה ,כוח החיכוך הסטטי fsורכיב הכוח Fהמקביל למשטח מאזנים אחד את השני .כלומר fsאנטי מקביל לרכיב של F .2ל fs -יש ערך מקסימלי של . fs,maxערכו ניתן ע"י fs,max = µsN כאשר μsהוא מקדם החיכוך הסטטי ו – Nהוא גודל הכוח הנורמלי שהמשטח מפעיל על הגוף. .3אם הגוף בתנועה ,כוח החיכוך ניתן ע"י fs = µkN כאשר µkהוא מקדם החיכוך הקינטי. כוח החיכוך תלוי בכוח המגע בין המשטחים ולא בשטח המגע! דוגמה מטבע מונח על ספר שהוטה בזוית . בניסוי נמצא שכאשר הוגדלה ל - 13°הוא החל להחליק .מהו מקדם החיכוך הסטטי בין המטבע לספר. y fs = fs,max = sN s = fs / N x N fs fs + N + mg = 0 fs – mg sin = 0 N – mg cos =0 mg fs / N = tan s = 0.23 כוחות גרר ) (drag forcesומהירות סופית כל גוף הנע בתוך נוזל או גז מתנגש עם מולקולות הנוזל (גז) הנמצאות בתנועה מתמדת. נניח שהגוף הוא גוף קהה (כדור) ולא חד (כידון) ומהירותו היחסית ביחס לנוזל (גז) היא גבוהה מספיק כך שנוצרות מערבולות מאחורי הגוף. במקרה זה פועל על הגוף כוח עוצר Dהניתן ע"י D = ½ C A v2 D = ½ C A v2 כאשר - צפיפות הנוזל (גז) - Aשטח חתך הרוחב של הגוף - vמהירות הגוף -Cמקדם הגרר .מקבל ערכים בין 0.4עד .1.0לא תמיד הוא קבוע אלא תלוי במידת מה במהירות .אם המהירות לא משתנה בהרבה ,ניתן לראות אותו כקבוע. לפי חוק שני של ניוטון D – mg = ma aתלוי ב – .Dבתחילה המהירות קטנה ולכן Dקטן .התאוצה היא .g המהירות גדלה ולכן כוח הגרר גדל והתאוצה קטנה .המהירות ממשיכה לגדול עד אשר הגוף מגיע למהירות שבה כוח הגרר מאזן את הכוח הגרביטציוני .זוהי המהירות הסופנית. ½CAvt2 – mg = 0 ½)vt = (2mg/CA גוף )vt(m/s 95%מהמרחק* כדור ברזל 145 2500 צניחה חופשית 60 430 42 210 בייסבול כדור טניס כדורסל 31 20 115 47 10 כדור פינגפונג 9 טיפת גשם 7 6 צנחן 5 3 * המרחק שהגוף צריך ליפול ממנוחה עד שהוא מגיע ל 95%ממהירותו הסופנית. הקטנת או הגדלת כוח הגרר נעשה ע"י הגדלת או הקטנת חתך הרוחב .A מחליק סקי יוצר מגופו צורת ביצה כדי להקטין את Aוכתוצאה מכך להקטין את Dולהגדיל את מהירותו. צנחן בנפילה חופשית מגדיל את חתך הרוחב של גופו כדי להגדיל את כוח הגרר ולהקטין את מהירות נפילתו. לפי נוסחת כוח הגרר ,חתול צריך ליפול 6קומות לפני שיגיע למהירות הסופנית. הגוף הוא מד תאוצה טבעי ולא מד מהירות טבעי .כאשר החתול מרגיש את התאוצה ,הוא מכווץ את רגליו מתחת לגופו ראשו נדחף פנימה וגבו מתעקל .כל זה גורם להקטנת ,Aולכן להגדלת .vt כאשר החתול מגיע למהירות הסופנית ,הוא נרגע פורש את רגליו ומבליט את ראשו .כל זה גורם להגדלת Aולכן גם להגדלת ,Dולהקטנת המהירות הסופנית .לכן פציעת החתול הוא פחות רצינית אם הוא נופל מגובה יותר גבוה. החתול מגיע למהירות סופנית של 97קמ"ש ופורש את רגליו ומכפיל את .Aמהי מהירותו הסופנית החדשה? vtf / vti = (2mg/CAf╱2mg/ CAi)½ = (Ai/2Ai) ½ = 0.7 vtf = 0.7vti = 68 km/h טיפת גשם ,שרדיוסה 1.5מ"מ נופלת מענן הנמצא בגובה של 1200מטר. מקדם הגרר הוא .0.60חשב את מהירותה הסופנית בהנחה שהטיפה היא כדורית וצפיפותה lהיא 1000ק"ג למטר מעוקב וצפיפות האוויר aהיא 1.2ק"ג למטר מעוקב. A = R2 m = l V = l (4/3)R3 vt = (2mg/ CaA)½ = (8R3l g / 3CaR2)½ = 7.4 m/s מה הייתה מהירות הטיפה אם לא היה כוח גרר? v = (2gh) ½ = 2 • 9.8 • 1200 = 153 m/s חיכוך ותנועה מעגלית כאשר אתה במכונית שנוסעת בסיבוב שמאלה אתה ,במושב ליד הנהג, מרגיש שאתה נזרק ימינה. אם אתה בספינת חלל שחגה סביב כדור הארץ אתה מרגיש שאתה מרחף (חסר משקל). מה ההבדל בין המקרים? במקרה המכונית ,החיכוך בין הצמיגים לכביש מספק את התאוצה הצנטריפטלית הדרושה לתנועה המעגלית .כדי שגם אתה תהיה בתנועה מעגלית ,גם עליך חייב לפעול כוח צנטריפטלי .החיכוך עם המושב אינו מספיק ואתה ניזרק החוצה .זהו הכוח הצנטריפוגלי .כאשר לחץ הדלת על גופך מספק את התאוצה הצנטריפטלית אתה ממשיך לנוע עם המכונית במקרה ספינת החלל ,עליך ועל הספינה פועל כוח המשיכה של כדור הארץ, והא מספק את התאוצה הצנטריפטלית כלפי המרכז ,הגורם לשניכם לנוע בתנועה מעגלית. בשנת 1901לוליין קרקס רכב על אופניו במסלול אנכי שרדיוס 2.7מטר .מהי מהירותו בקצה העליון כדי שיישאר במגע עם המסלול. a בקצה העליון N mg N -N - mg = - ma -N – mg = - mv2/R לאבד מגע פירושו שאין כוח נורמלי בין המסלול והאופנים. N=0 v = ( Rg) ½ = 5.1 m/s משוואות התנועה ופתרונן F ma לפי חוק IIשל ניוטון dv dr Fm m 2 dt dt 2 אם פועל על גוף כוח ,ותלותו בזמן ידועה ניתן לחשב את מהירות הגוף ומיקומו בכל רגע נתון .המיכניקה הופכת לבעיה מתימטית של פתרון משוואת התנועה. דוגמאות .1כוח קבוע F dv F dt m F F v dt t v 0 m m 1F 2 r vdt t v 0t r 0 2m F bv dv m bv dt כוח מעכב הפרופורציוני למהירות.2 .בממד אחד dv b dt v m v b ln( ) t v0 m v t dv b v v m 0 dt 0 v v 0e b t m F mg bv נפילה חופשית עם התנגדות.3 אוויר dv m mg bv dt dv dt b g v m t dv dt נניח ששחררנו את הגוף 0 b 0 g v ממנוחה m v m b ln( g v ) t b m 0 v b t mg ) v ( 1 e m b המהירות הסופית ( )t תהיה .v = mg / bזהו מצב שבו כוח הגרביטציה שווה לכוח החיכוך. הכוח הפועל על מטען חשמלי qהנע תחת השפעת שדה חשמלי Eושדה מגנטי B משוואת התנועה של חלקיק הנע בשדה חשמלי יהיה F qE qv B dv F ma m qE dt .4שדה חשמלי קבוע qE v( t ) t v0 m qE 2 (r t ) t v 0t r 0 2m .5שדה החשמלי משתנה בזמן E E x ˆi E 0x sin t ˆi d2 x q 0 E x sin t 2 dt m אנחנו מחפשים פונקציה ) x(tשהנגזרת השנייה שלה פרופורציונית ל.sin - זוהי פונקצית .sinאבל יש אפשרות שהפונקציה תכלול איבר ליניאריv0t , וגם אבר קבוע. הצורה הכללית של הפתרון תהיה x( t ) x 1 sin t v 0 t x 0 הקבוע x1נקבע ע"י המשוואה .הקבועים v0ו x0 -נקבעים ע"י תנאי ההתחלה. גזירה כפולה והצבה במשוואה qE x x sin t sin t נותנת m o qE x x1 m 2 0 qE x x( t ) sin t v 0 t x 0 2 m 0 2 1 qE x v (x t ) cos t v 0 m 0 אם החלקיק נמצא במנוחה בתחילת התנועה vx(0) = 0 qE x v0 m 0 v0איננה המהירות ההתחלתית! המהירות ההתחלתית היא )vx(0 qE x a sin t m 0 התאוצה qE x v (x t ) ) ( 1 cos t m 0 אם החלקיק נמצא בראשית בתחילת התנועה x0 = 0 qE x x( t ) ) ( t sin t 2 m 0 מסלול התנועה של החלקיק היא סינוסואידה מורכבת על קו ליניארי העובר דרך הראשית. תנועה בשדה מגנטי dr m 2 qv B dt 2 B Bkˆ [ v B] x v yB dv x q v yB dt m [ v B] y v x B בכיווןB נבחר את .z ציר [ v B] z 0 dv z dv y q 0 v xB dt dt m משוואות התנועה .המהירות לאורך השדה המגנטי אינה משתנה K mv mv v 1 2 2 1 2 dK dv q mv mv ( v B ) qv v B 0 dt dt m v x Bמאונך ל ,v -ולכן המכפלה הסקלרית עם vמתאפסת. האנרגיה הקינטית קבועה .כלומר הכוח המגנטי אינו משנה את הגודל של המהירות. פתרון משוואות התנועה נעשה ע"י ניחוש .אנחנו מחפשים שתי פונקציות שנגזרת של אחת מהן פרופורציונית לשנייה (עד כדי סימן). v(x t ) v1 sin t v( t ) v cos t v( t ) const z זוהי תנועה מעגלית במישור .xy 1 y גזירה והצבה במשוואות התנועה qB v 1 cos t v 1 cos t m qB זוהי התדירות המעגלית של הסיבוב של המשוואה מתקיימת אם המטען במישור .xy m v1 v1 v1 x x 0 cos t y y 0 sin t z z 0 v z t משוואת המסלול תהיה v1 2 ) (( y y 0 ) 2 זוהי משוואת מעגל שמרכזו ב(x0 + v1/ω, y0) - ורדיוסו v 1 mv1 R qB 2 v1 ]) [ x ( x 0