Transcript lnotes8.ppt
אנרגיה פוטנציאלית ושימור האנרגיה בתקופה הפריהיסטורית תושבי איי הפסחא חצבו אבנים ענקיות במחצבה ולאחר מכן גררו אותם לאתרים בכל האי .לא ברור עד היום כיצד יכלו להוביל אותם למרחק של עד 10ק"מ ללא מכונות מתוחכמות ,והרבה תיאוריות הוצעו. מהי האנרגיה הדרושה להזיז פסל אחד ע"י אמצעים פרימיטיביים? אנרגיה פוטנציאלית כזכור אנרגיה קינטית היא האנרגיה החבורה לגוף עקב מהירותו. אנרגיה פוטנציאלית היא האנרגיה החבורה עקב הקונפיגורציה או הסידור של מערכת גופים המפעילים כוח אחד על השני .אם הקונפיגורציה משתנית גם האנרגיה הפוטנציאלית משתנית. סוגים של אנרגיה פוטנציאלית .1אנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית. חבורה למצב של הפרדה בין גופים הנמשכים אחד לשני ע"י כוח משיכה גרביטציוני. הרמת משקולת מעל הראש מגדילה את את ההפרדה בין המשקולת וכדור הארץ .הכוח שבעזרתו הורמה המשקולת שינה את האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת משקולת – כדור הארץ .2אנרגיה פוטנציאלית אלסטית אנרגיה החבורה לדחיסה או למתיחה של גוף אלסטי. כדי למתוח או לדחוס גוף אלסטי יש צורך לעשות עבודה כיון שהגוף מתנגד לפעולה שפועלת עליו ולכן יש להפעיל כוח כדי לבצע את העבודה. הקשר בין העבודה שנעשית על גוף והשינוי באנרגיה הקינטית שלו ניתן K = W ע"י כאשר זורקים גוף כלפי מעלה כוח הגרביטציה עושה עבודה שלילית כיון שהכוח מעביר אנרגיה קינטית מהגוף .האנרגיה מועברת לאנרגיה פוטנציאלית של המערכת ארץ – גוף. בזמן הנפילה העברת האנרגיה משנה כיוון .העבודה ע"י כוח הגרביטציה היא חיובית ,והכוח מעביר אנרגיה פוטנציאלית מהמערכת ארץ – גוף לאנרגיה הקינטית של הגוף. מהנפילה או מהעלייה ניתן להגדיר את השינוי Uבאנרגיה הפוטנציאלית U = -W גוף קשור לקפיץ. נותנים לגוף מהירות התחלתית ימינה כוח הקפיץ ,שכוונו שמאלה ,עושה עבודה שלילית ומעביר מהאנרגיה הקינטית של הגוף לאנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ .הקפיץ מואט ,נעצר ומתחיל לנוע ימינה. כוח הקפיץ עדיין פועל שמאלה .מעבר האנרגיה הוא בכיוון הפוך ,מאנרגיה פוטנציאלית של הקפיץ לאנרגיה הקינטית של הגוף. כוחות משמרים ומכלים Conservative and Non conservative Forces נסכם את שתי הדוגמאות האחרונות. .1כל מערכת כוללת לפחות שני גופים .2הכוח פועל בין חלקיקים במערכת ובין שאר המערכת. הכוח אינו מופעל ע"י גל אלקטרומגנטי (למשל) .3כאשר הקונפיגורציה משתנית ,הכוח עושה עבודה W1על הגופים, ומעביר אנרגיה בין האנרגיה הקינטית Kובין צורות אחרות של אנרגיה של המערכת. .4כאשר השינוי בקונפיגורציה מתהפך ,הכוח הופך את מעבר האנרגיה ועושה עבודה .W2 במקרה שבו תמיד מתקיים W1 = -W2 הצורה השניה של האנרגיה היא אנרגיה פוטנציאלית ,והכוח הוא כוח משמר .כוח הגרביטציה והכוח האלסטי של הקפיץ הם כוחות משמרים. אחרת לא היינו מדברים על האנרגיה הפוטנציאלית שלהם. כוחות בלתי משמרים הם כוחות החיכוך והגרר למיניהם. כאשר נותנים דחיפה לגוף על משטח לא חלק ,הוא מואט .כוח החיכוך עושה עבודה שלילית על הגוף ומעביר אנרגיה קינטית מהגוף לאנרגיה תרמית ,שהיא האנרגיה הקינטית החבורה לתנועה האקראית של האטומים והמולקולות. התהליך הזה איננו הפיך. למרות שיש לנו מערכת של גוף – משטח מעבר האנרגיה איננו הפיך והכוח אינו כוח משמר. כוחות משמרים כיצד נקבע אם כוח הוא כוח משמר? ניתן לכוח לפעול על החלקיק מנקודה aל b -וחזרה ,ונראה אם האנרגיה המעברת לחלקיק בכיוון הלוך שווה לאנרגיה המעברת בכיוון חזור. ניסוח I העבודה שעושה כוח משמר על חלקיק הנע במסלול סגור היא אפס. ניסוח II העבודה שעושה כוח משמר על חלקיק הנע בין שתי נקודות אינו תלוי במסלול שבו נע החלקיק. Wab,1 + Wba,2 = 0 b Wab,1 = -Wba,2 1 2 a Wba,2 = -Wab,2 Wab,1 =Wab,2 חישוב האנרגיה הפוטנציאלית כוח משמר Fפועל על גוף המהווה חלק ממערכת .הכוח עושה עבודה .W xf W = ∫F(x)dx = -U xi אנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית yf yf )U = – ∫(– mg)dy = mg ∫dy = mg (yf – yi yi U = mg y yi )U – Ui = mg (y – yi Uiהיא האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת הייחוס כאשר החלקיק נמצא בנקודת ייחוס בגובה .yiבדרך כלל בוחרים את הייחוס בגובה אפס .כלומר Ui = 0כאשר yi = 0 האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת אדמה – גוף תלויה רק בגובה yשל החלקיק מעל האדמה יחסית לנקודה .y=0היא אינה תלויה במיקומו האופקי של הגוף. אנרגיה פוטנציאלית אלסטית לקפיץ קבוע כוח .kכאשר הגוף נע מנקודה xiלנקודה xf כוח הקפיץ F = -kxעושה עבודה על הגוף. xf xf xi xi U = – ∫(– kx)dx = k ∫x dx U = ½kxf2 – ½kxi2 נקודת הייחוס היא במצב שיווי המשקל של הקפיץ בו .xi = 0 U = ½kx2 חלקיק נע לאורך ציר ה x -מ x = 0 -עד x = xfבזמן שכוח משמר, המכוון לאורך ציר ,xפועל עליו .בציור להלן מתוארים שלושה מקרים של כוחות שונים .הם בעלי אותו ערך מקסימלי של הכוח שערכו שווה ל – .F1 דרג את שלושת המקרים לפי השינוי באנרגיה הפוטנציאלית שלהם. ii iii xf F1 xf F1 i F1 xf xf U = – F(x) dx xi F = -F1+ (F1/xf) x F = F1 F = F1 – (F1/xf) x xf U = – [F1 – (F1/xf) x] dx = – [F1xf – ½(F1/xf) xf2] .i 0 U = – ½ F1xf xf U = – F1 dx = – F1xf .ii 0 .iii xf U = – [– F1 + (F1/xf) x] dx = –[– F1xf + ½(F1/xf) xf2] 0 U = ½ F1xf שימור האנרגיה המכנית האנרגיה המכנית היא סכום האנרגיות הקינטיות והפוטנציאליות. Emec = K + U נטפל במקרה בו לא פועל כוח חיצוני במערכת .כלומר המערכת מבודדת מהסביבה. כאשר כוח משמר עושה עבודה Wעל גוף בתוך מערכת ,הוא מעביר אנרגיה בין האנרגיה הקינטית Kשל הגוף והאנרגיה הפוטנציאלית Uשל המערכת. K = W השינוי באנרגיה הקינטית השינוי באנרגיה הפוטנציאלית והתוצאה K = - U U = -W K + U = 0 )K2 – K1 = -( U2 –U1 K2 + U2 = K1 + U1 שימור האנרגיה המכנית Emec,2 = Emec,1 במערכת מבודדת שבה פועלים כוחות משמרים בלבד האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית יכולות להשתנות ,אבל האנרגיה המכנית של המערכת נשארת קבועה. זהו חוק שימור האנרגיה המכנית והוא מאפשר לנו לפתור בעיות שקשות או אפילו בלתי ניתנות לפתירה בעזרת חוק IIשל ניוטון. דוגמה לשימור אנרגיה .כאשר המטוטלת נעה מצד לצד האנרגיה של המערכת ארץ – מטוטלת נעה הלוך וחזור בין אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית גרביטציונית .ידיעת האנרגיה הפוטנציאלית בנקודה הגבוהה ביותר נותנת את האנרגיה הקינטית בנקודה הנמוכה ביותר. בתמונה המצורפת מתוארים 4מקרים .במקרה הראשון גוף נופל נפילה חופשית .בשלושת המצבים הבאים הגוף מחליק במורד משטח חסר חיכוך. באיזה מקרה יש לגוף את המהירות הגבוהה ביותר בהגיעו לנקודה B ובאיזה מקרה תהיה לו את המהירות הנמוכה ביותר. קופצת bungeeשמשקלה 61ק"ג קשורה לחבל קופצת מגשר שגובהו 45מטר וקשורה למיתר שאורכו 25מטר .המיתר מקיים את חוק הוק עם קבוע כוח של .160 N/m הקופצת נעצרת לפני המים .באיזה גובה h נמצאים רגליה מעל המים. המיתר מתארך ב .d -ניתן למצוא אותו מתוך שימור האנרגיה בין המצב ההתחלתי והסופי. K + Ue + Ug = 0 Ug = mg y = -mg ( L +d ) Ue = ½kd2 K = 0 0 + ½kd2 – mg ( L +d ) = 0 ½kd2 – mgd - mgL =0 d = mg / k ± (m2g2/k2 +2mgL / k)½ d = 17.9 m = 42.9 רגלי הקופצת הם במרחק של כלומר, מתחת לגשר17.9 + 25 m . מטר מעל המים2.1 קריאת עקומת האנרגיה הפוטנציאלית. נתון חלקיק שהוא חלק ממערכת שבה פועל כוח משמר .נניח כי החלקיק מוגבל רק לתנועה לאורך ציר ה – .x )U(x ניתן להסיק מסקנות רבות על תנועת החלקיק מתוך עקומת האנרגיה הפוטנציאלית המתוארת בצד. .1חישוב הכוח U = -W = -F(x) x F(x) = - U/x ומעבר לגבול נותן במקרה של קפיץ והכוח הפועל F(x) = -dU/dx U(x) = ½kx2 F(x) = -kx במקרה של גרביטציה U(x) = mgx והכוח הפועל F(x) = -mg .2עקומת האנרגיה הפוטנציאלית נתונה עקומת אנרגיה פוטנציאלית ). U(x את הכוח ) F(xהפועל על החלקיק ניתן לחשב (באופן גרפי) מתוך הנגזרת של האנרגיה הפוטנציאלית. התוצאה תהיה הגוף נמצא ב – .x2הזזתו ימינה היא לאזור שבו שיפוע ) U(xחיובי ולכן הכוח הוא שלילי ,כלומר פועל שמאלה חזרה לנקודת שיווי המשקל .הזזתו שמאלה היא לאזור שבו השיפוע שלילי ולכן הכוח פועל ימינה ומחזיר את הגוף לנקודת שיווי המשקל .לכן הנקודה היא נקודת שיווי משקל יציב. הנקודה x3היא נקודת שיווי משקל רופף .הוצאת הגוף משיווי משקל יתבטא בכוח שירחיק את הגוף מנקודת שיווי המשקל. .3נקודות חזרה בהעדר כוחות בלתי משמרים U(x) + K(x) = Emec )K(x) = Emec – U(x נניח כי Emec = 5J האנרגיה הקינטית תלויה במיקום הגוף. K(x>x5) = 1J K(x2)=5J האנרגיה הקינטית אינה יכולה להיות שלילית ( v2תמיד אינו שלילי). החלקיק אינו יכול להיות משמאל ל – .x1כאשר החלקיק מגיע לנקודה זו מימין ,מהירותו היא אפס ,והוא אינו יכול לנוע שמאלה .הכוח הפועל עליו הוא חיובי (פועל ימינה) ולכן הוא מתחיל לנוע ימינה .נקודה זו היה נקודת חזרה .4נקודות שווי משקל בנקודות x < x0 x >x5 x = x4 x = x3 x = x2 הכוח מתאפס ,ולכן הגוף נמצא בשיווי משקל. בנקודות x <x0ו – x > x5שווי המשקל הוא אדיש .הזזת הגוף אינה משנה את האנרגיה הפוטנציאלית שלו. x0 נקודות x2ו – x4הן נקודות שיווי משקל יציב .הזזת הגוף מנקודת שיווי המשקל מגדילה את את ) .U(xהכוח ] [-dU/dxדוחף את הגוף חזרה לנקודת שיווי המשקל. מסקנה :כל גוף שואף למצב בו האנרגיה הפוטנציאלית תהיה מינימלית. עבודה הנעשית על מערכת ע"י כוח חיצוני. עבודה היא אנרגיה המועברת למערכת או מהמערכת ע"י כוח חיצוני .אם פועל יותר מכוח אחד על המערכת העבודה הנקיה היא האנרגיה המועברת למערכת. במערכת של חלקיק בודד העבודה הנעשית ע"י כוח חיצוני יכולה לשנות את האנרגיה הקינטית ) (K=Wבלבד .במערכת כזו יש רק אנרגיה אחת בלבד ,האנרגיה הקינטית של החלקיק .במערכת יותר מורכבת (רב חלקיקית למשל) ,עבודת הכוח החיצוני יכולה לשנות גם את האנרגיה הפוטנציאלית. נמצא קשר בין עבודת הכוח החיצוני ובין אנרגיות המערכת. מערכת ללא חיכוך. בזריקת כדור כלפי מעלה ,היד נעה כלפי מעלה ומפעילה כוח חיצוני על הכדור .יש שינוי במהירות הכדור ובמרחקו מכדור הארץ .כלומר יש שינוי באנרגיה הקינטית של הכדור ובאנרגיה הפוטנציאלית של המערכת ארץ – כדור. W = K + U W = Emec Emec = K + U W מערכת עם חיכוך כוח קבוע Fפועל על גוף לאורך העתק ,d ומגדיל את מהירותו מ v0 -ל .v -במשך התנועה פועל חיכוך קינטי .fk v0 v F d F – fk = ma v2 = v02 + 2ad a = (F – fk) / m ובאופן כללי יכול להיות גם שינוי באנרגיה הפוטנציאלית ,אם למשל הגוף ינוע על מישור משופע. v2 = v02 + 2 d (F – fk) / m Fd = ½mv2 – ½mv02 + fkd Fd = K + fkd Fd = Emec + fkd fk ניסויים הראו כי החיכוך גורם לחימום הגוף והמשטח עליו הוא נע .החימום גורם להעלאת הטמפרטורה של שני הגופים .טמפרטורת גוף קשורה לאנרגיה התרמית שלו .ככל שהטמפרטורה גבוהה יותר ,האנרגיה התרמית גבוהה יותר .האנרגיה התרמית גדלה כתוצאה מעבודת כוח החיכוך. Eth = fkd Fd = Emec + Eth W = Emec + Eth העבודה שעושה הכוח החיצוני משנה את האנרגיה המכנית של המערכת ואת האנרגיה התרמית. Emec Eth W פסלי האבן הגדולים שבאי הפסחא הובלו כנראה ממקום חציבתם למקומם הנוכחי בעזרת מזחלת עץ שנגררה על "מסלול" שהורכב מבולי עץ. בשחזור נדרשו 25אנשים לגרור פסל שמשקלו 9000ק"ג למרחק 45מטרים במשך 2דקות. מהי העבודה שעשה הכוח Fשהפעיל הצוות בגרירת הפסל ועל איזה מערכת הכוח עשה את העבודה ? אנו מניחים שכל חבר צוות הפעיל כוח גרירה השווה לפעמיים משקלו שהוא בממוצע 80ק"ג. F = 25•2•mg W = 50mgd cos0° = 50•80•9.8•45•1 = 1.8 •106J = 1.8 MJ W = Eth + Emec אין ספק שקיים חיכוך ולכן יש שינוי באנרגיה התרמית .לעומת זאת המזחלת התחילה ממנוחה וסיימה במנוחה ) (K = 0ולא שינתה את גובהה מעל האדמה ).(U = 0 מסקנה :העבודה שינתה רק את האנרגיה התרמית. כמה עבודה צריכה להעשות בהזזת הפסל למרחק של 10ק"מ ? W = 50mgd cos0° = 50•80•9.8•104•1 = 3.9•108 J 400 MJ זוהי כמות גדולה מאוד של אנרגיה אבל אפשרית .אין שום דבר מסתורי במקורם של פסלי אי הפסחא. חוק שימור האנרגיה האנרגיה הכללית של מערכת יכולה להשתנות רק בכמות של האנרגיה המועברת למערכת דרך עבודת הכוח החיצוני. W = E = Emec + Eth + Eint זהו איננו חוק שנובע מתוצאה של עקרונות פיסיקליים יסודיים .הוא מבוסס על מספר עצום של ניסויים .עד היום לא נמצא שום דוגמא הסותרת חוק זה. אם המערכת מבודדת מסביבתה ,שום אנרגיה לא מועברת למערכת ,וחוק שימור האנרגיה אומר במערכת מבודדת האנרגיה הכללית של המערכת אינה יכולה להשתנות. בתוך המערכת המבודדת עצמה אנרגיה יכולה לעבור בין המרכיבים השונים שלה. Emec + Eth + Ein = 0 Emec,1 + Eth,1+Eint,1 = Emec,2 + Eth2+Eint,2 במערכת מבודדת ניתן ליחס את האנרגיה הכללית במצב אחד למצב שני ללא ידיעת אנרגיות מצבי הביניים ולא ידיעת פרטי המעבר בין שני המצבים. כיון שאנו מעונינים בעיקר בשינויי האנרגיה המכנית כאשר מערכת מבודדת עוברת ממצב 1למצב .2 Emec,2 = Emec,1 + Eth + Ein ובמקרה פרטי בו אין חיכוך ואין שינוי באנרגיה התרמית Emec,2 = Emec,1 הספק ההספק הוא קצב עשיית העבודה וגם קצב העברת האנרגיה למערכת או מהמערכת. Pavg = E / t P = dE / dt כלבת קרקס שמסתה 6ק"ג רצה בקצה השמאלי של מסלול במהירות של 7.8מ/ש ובגובה של 8.5מטר .היא מתחילה להחליק ועוצרת בגובה של 11.1מטר .המסלול אינו חסר חיכוך .מהו הגידול באנרגיה התרמית של המסלול והכלבה. זוהי מערכת מבודדת ולכן K = 0 - ½mv02 U = mgy – mgy0 Emec + Eth = 0 Eth = - Emec Eth = ½mv02 – mg(y – y0) = 30 J